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(共82张PPT)
2.2.3
直线的一般式方程
第二章　 §2.2　直线的方程
<<<
1.掌握直线的一般式方程(重点).
2.理解关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A，B不同时为0)都表示直线.
3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.
学习目标
观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们发现，它们都是关于x，y的二元一次方程.直线与二元一次方程是否都有这种关系呢？下面我们探讨这个问题.
导 语
一、直线的一般式方程
二、利用一般式解决直线的平行与垂直问题
课时对点练
三、直线的一般式方程的应用
随堂演练
内容索引
直线的一般式方程
一
提示　y=2x+1可以化成2x-y+1=0的形式，是二元一次方程.2x-y+3=0可以化为y=2x+3的形式，可以表示一条直线.
直线y=2x+1是二元一次方程吗？方程2x-y+3=0表示一条直线吗？
问题
我们把关于x，y的二元一次方程 (其中A，B不同时为0)叫做直线的 ，简称一般式.
Ax+By+C=0
一般式方程
(1)直线一般式方程的结构特征
①方程是关于x，y的二元一次方程.
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.
③x的系数一般不为分数和负数.
(2)当直线方程Ax+By+C=0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax+By+C=0有如下性质
①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交；
②当A≠0，B=0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直；
③当A=0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直；
④当A=0，B≠0，C=0时，直线与x轴重合；
⑤当A≠0，B=0，C=0时，直线与y轴重合.
注 意 点
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　(课本例5)　已知直线经过点A(6，-4)，斜率为-求直线的点斜式和一般式方程.
例 1
经过点A(6，-4)，斜率为-的直线的点斜式方程是y+4=-(x-6)，
化为一般式，得4x+3y-12=0.
解
根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是，且经过点A(5，3)；
例 1
由点斜式，得直线方程为y-3=(x-5)，
即x-y-5+3=0.
解
(2)经过A(-1，5)，B(2，-1)两点；
由两点式，得直线方程为=，
即2x+y-3=0.
解
(3)在x轴、y轴上的截距分别为-3，-1；
由截距式，得直线方程为+=1，
即x+3y+3=0.
解
(4)经过点B(4，2)，且平行于x轴.
y-2=0.
解
求直线一般式方程的策略
在求直线方程时，通常不设直线的一般式方程，而是根据给定条件，选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式.
反
思
感
悟
　根据下列条件分别写出直线的一般式方程.
(1)经过两点A(5，7)，B(1，3)；
跟踪训练 1
由两点式方程得=，
即x-y+2=0，
解
(2)经过点(-4，3)，斜率为-3；
由点斜式方程得y-3=-3(x+4)，
即3x+y+9=0.
解
(3)经过点(2，1)，平行于y轴；
由题意知x=2，即x-2=0.
解
(4)斜率为2，在x轴上的截距为1.
由点斜式得y=2(x-1)，
即2x-y-2=0.
解
二
利用一般式解决直线的平行与垂直问题
已知直线l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为0).
(1)l1∥l2 A1B2-A2B1=0，且B1C2-B2C1≠0或A1C2-A2C1≠0.
(2)l1⊥l2 A1A2+B1B2=0.
已知直线l的方程为3x+4y-12=0，求满足下列条件的直线l'的方程：
(1)过点(-1，3)，且与l平行；
例 2
方法一　l的方程可化为y=-x+3，
∴l的斜率为-.
∵l'与l平行，
∴l'的斜率为-.
又∵l'过点(-1，3)，
∴由点斜式知l'的方程为y-3=-(x+1)，
即3x+4y-9=0.
解
方法二　由l'与l平行，
可设l'的方程为3x+4y+m=0.
将点(-1，3)代入上式得m=-9.
∴所求直线的方程为3x+4y-9=0.
解
(2)过点(-1，3)，且与l垂直.
方法一　∵l'与l垂直，∴l'的斜率为，
又l'过点(-1，3)，
∴由点斜式可得l'的方程为y-3=(x+1)，
即4x-3y+13=0.
方法二　由l'与l垂直，可设l'的方程为4x-3y+n=0.
将(-1，3)代入上式得n=13.
∴所求直线的方程为4x-3y+13=0.
解
求过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的方法
(1)由已知直线求出斜率，再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，由点斜式写出方程.
(2)可利用待定系数法：与直线Ax+By+C=0(A，B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1；与直线Ax+By+C=0(A，B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0，再由直线所过的点确定C2.
反
思
感
悟
　(1)已知直线3x-4y+4=0与直线ax+8y+7=0平行，则实数a的值为　　　.
跟踪训练 2
因为直线3x-4y+4=0与直线
ax+8y+7=0平行，
所以3×8-(-4)a=0，解得a=-6.
解析
-6
(2)过点P(2，1)且与直线x-2y+1=0垂直的直线方程为
A.2x+y+5=0 B.2x+y-5=0
C.x+2y-5=0 D.x-2y+5=0
由题意，所求直线的斜率k=-2，
且过P(2，1)，所以直线方程为y-1=-2(x-2)，
即2x+y-5=0.
解析
√
直线的一般式方程的应用
三
　(课本例6)　把直线l的一般式方程x-2y+6=0化为斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
例 3
把直线l的一般式方程化为斜截式y=x+3.
因此，直线l的斜率k=它在y轴上的截距是3.
在直线l的方程x-2y+6=0中，令y=0，得x=-6，
即直线l在x轴上的截距是-6.
由上面可得直线l与x轴、y轴的交点分别为A(-6，0)，B(0，3)，过A，B两点作直线，就得直线l(如图).
解
　设直线l的方程为(m2-2m-3)x-(2m2+m-1)y+6-2m=0.
(1)已知直线l在x轴上的截距为-3，求m的值；
例 3
由题意知m2-2m-3≠0，
即m≠3且m≠-1，令y=0，得x=，
∴=-3，解得m=-.
解
(2)已知直线l的斜率为1，求m的值.
由题意知，2m2+m-1≠0，即m≠且m≠-1.
由直线l化为斜截式方程
得y=x+，
则=1，解得m=-2.
解
对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值.
延伸探究
∵直线l与y轴平行，
∴∴m=.
解
含参直线方程的研究策略
(1)若方程Ax+By+C=0表示直线，则需满足A，B不同时为0.
(2)令x=0可得在y轴上的截距.令y=0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式.
(3)解分式方程要注意验根.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)直线的一般式方程.
(2)直线五种形式方程的互化.
(3)利用直线方程判定直线的平行与垂直.
2.方法归纳：分类讨论法、化归转化.
3.常见误区：忽视直线斜率不存在的情况；忽视两直线重合的情况.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.直线+=1化成一般式方程为
A.y=-x+4 B.y=-(x-3)
C.4x+3y-12=0 D.4x+3y=12
√
1
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3
4
2.在平面直角坐标系中，直线x+y-3=0的倾斜角是
A.30° B.60° C.150° D.120°
√
直线斜率k=-，所以倾斜角为150°.
解析
1
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3
4
3.已知直线l过点(0，3)，且与直线x-y-1=0平行，则l的方程是
A.x+y-2=0 B.x-y+2=0
C.x+y-3=0 D.x-y+3=0
√
设直线l的方程为x-y+c=0(c≠-1)，
由点(0，3)在直线x-y+c=0上得
0-3+c=0，解得c=3，
因此直线l的方程为x-y+3=0.
解析
1
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4.若直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角是45°，则实数m的值是　　　.
由已知得∴m=3.
解析
3
课时对点练
五
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D D CD C 6 -2
题号 11 12 13 14 　15 答案 A A 12 8 　CD　
9.
答案
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(1)当直线l过原点时，
直线l在x轴和y轴上的截距均为0，
∴a=2，
此时直线l的方程为3x+y=0；
当直线l不过原点时，a≠2，直线l在x轴和y轴上的截距分别为
a-2，
∴=a-2，
9.
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解得a=0或a=2(舍去)，
∴直线l的方程为x+y+2=0.
综上所述，
直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
9.
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(2)将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2，
∵l不经过第二象限，
∴a≤-1.
综上可知，实数a的取值范围是(-∞，-1].
10.
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设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，
其中D，E分别为AB，AC的中点，
∵点B在中线BE：y-1=0上，
∴设B点坐标为(x，1).
又∵A点坐标为(1，3)，D为AB的中点，
∴由中点坐标公式得D.
又∵点D在中线CD：x-2y+1=0上，
10.
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∴-2×2+1=0，解得x=5，
∴B点坐标为(5，1).
同理可求出C点的坐标是(-3，-1).
故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x+2y-7=0，
x-4y-1=0和x-y+2=0.
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答案
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(1)由题意，当直线PQ的斜率不存在时，t=10-t，故t=5，
此时P(5，5)，Q(5，0)，
直线PQ不经过点M(6，1)；
当直线PQ的斜率存在时，
t≠5，kPQ=
直线PQ的方程为(2t-10)y=t(x+t-10).
假设直线PQ过点M(6，1)，
16.
答案
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则2t-10=t(6+t-10)，
即t2-6t+10=0，Δ=-4<0，方程无实根，
故直线PQ不经过点M(6，1).
综上，直线PQ不经过点M(6，1).
(2)①由题意设点A(a，0)，
B(2a，0)，C(2a，a)，D(a，a)，
点C(2a，a)满足y=x，故顶点C一定在直线y=x上.
16.
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②直线PQ的方程为(2t-10)y=t(x+t-10)，
因为P(t，t)，Q(10-t，0)，
设阴影部分的面积为S，
则S=S△OPQ-S正方形ABCD=t(10-t)-a2(0因为点C(2a，a)在直线PQ上，
则(2t-10)a=t(2a+t-10)，
16.
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所以a=t(10-t).
所以S=5a-a2=-+.
所以当a=即t=5时，
图中阴影部分的面积取得最大值，Smax=
此时点AB(5，0)，CD.
基础巩固
1.过点P(-，1)，倾斜角为60°的直线方程是
A.x+y+4=0 B.x-y+2=0
C.x-y+4=0 D.x+y+2=0
√
由倾斜角为60°知，直线的斜率为，又直线过点P(-，1)，
所以直线方程为y-1=(x+x-y+4=0.
解析
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2.过点A(2，3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线方程为
A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0
C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0
√
答案
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过点A(2，3)且垂直于直线2x+y-5=0的直线的斜率为，由点斜式求得直线的方程为y-3=(x-2)，化简可得x-2y+4=0.
解析
3.已知直线l：x-2y-m=0在x轴和y轴上的截距之和为1，则实数m的值是
A.-2 B.- C. D.2
√
对于直线l：x-2y-m=0，令x=0，则y=-，
令y=0，则x=m，故m+=1，则m=2.
解析
答案
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4.已知直线l1：ax+(a+2)y+2=0与l2：x+ay+1=0平行，则实数a的值为
A.-1或2 B.0或2
C.2 D.-1
√
由l1∥l2知，a×a=1×(a+2)，
即a2-a-2=0，∴a=2或a=-1.
当a=2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去；
当a=-1时，l1∥l2.∴a=-1.
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答案
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5.(多选)三条直线x+y=0，x-y=0，x+ay=3构成三角形，则a的取值可以是
A.-1 B.1 C.2 D.5
√
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√
直线x+y=0与x-y=0都经过原点，而无论a为何值，直线x+ay=3总不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线x+ay=3与另两条直线不平行，所以a≠±1.
解析
6.直线l1：ax-y+b=0，l2：bx-y+a=0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图象大致是
答案
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将l1与l2的方程化为l1：y=ax+b，l2：y=bx+a.
A中，由图知l1∥l2，而a≠b，故A错误；
B中，由l1的图象可知，a<0，b>0，由l2的图象知b>0，a>0，两者矛盾，故B错误；
C中，由l1的图象可知，a>0，b>0，由l2的图象可知，a>0，b>0，故C正确；
D中，由l1的图象可知，a>0，b<0，由l2的图象可知a>0，b>0，两者矛盾，故D错误.
解析
7.已知直线l的方程为3x+4y-12=0，直线l与坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积为　　　.
直线l的方程为3x+4y-12=0，
令x=0得y=3，令y=0得x=4，
故令A(4，0)，B(0，3)，则S△AOB=×4×3=6.
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8.已知平行四边形ABCD中，一组对边AB，CD所在直线的方程分别为ax+4y=a+2，x+ay=a，则实数a的值为　　　.
因为ax+4y=a+2，x+ay=a，整理可得ax+4y-(a+2)=0，x+ay-a=0，
因为四边形ABCD为平行四边形，故AB∥CD，则a2-4=0，
且a·(-a)≠-(a+2)·1，
解得a=-2.
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-2
9.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).
(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；
答案
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当直线l过原点时，直线l在x轴和y轴上的截距均为0，
∴a=2，此时直线l的方程为3x+y=0；
当直线l不过原点时，a≠2，直线l在x轴和y轴上的截距分别为，a-2，
∴=a-2，解得a=0或a=2(舍去)，
∴直线l的方程为x+y+2=0.
综上所述，
直线l的方程为3x+y=0或x+y+2=0.
解
(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
答案
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将l的方程化为y=-(a+1)x+a-2，
∵l不经过第二象限，
∴解得a≤-1.
综上可知，实数a的取值范围是(-∞，-1].
解
10.已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x-2y+1=0和y-1=0，求△ABC各边所在直线的方程.
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设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，
其中D，E分别为AB，AC的中点，
∵点B在中线BE：y-1=0上，
∴设B点坐标为(x，1).
又∵A点坐标为(1，3)，D为AB的中点，
∴由中点坐标公式得D点坐标为.
又∵点D在中线CD：x-2y+1=0上，
解
答案
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∴-2×2+1=0，解得x=5，
∴B点坐标为(5，1).
同理可求出C点的坐标是(-3，-1).
故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的方程分别为x+2y-7=0，
x-4y-1=0和x-y+2=0.
解
11.将直线l上一点A(-1，2)向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的点B仍在直线l上，则直线l的一般式方程是
A.2x-y+4=0 B.2x+y=0
C.2x-y+5=0 D.x+2y-3=0
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综合运用
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将A(-1，2)向右平移1个单位长度，
再向上平移2个单位长度，得B(0，4)，
因为A，B都在直线l上，则kl==2，
所以直线l的方程为y-4=2x，即2x-y+4=0.
解析
12.已知直线ax+by-1=0在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线x-y-=0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为
A.-，-1 B.，-1
C.-，1 D.，1
√
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原方程化为+=1，
∴=-1，∴b=-1.
又∵ax+by-1=0的斜率k=-=a，
且x-y-=0的倾斜角为60°，
∴k=tan 120°=-，∴a=-.
解析
13.在平面直角坐标系Oxy中，已知点M(1，0)，N(5，-3)，P是直线4x-3y-12=0上任意一点，则·=　　　.
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由M(1，0)，N(5，-3)，
可得=(5，-3)-(1，0)=(4，-3)，
设P(m，n)，可得=(m，n)，
因为P是直线4x-3y-12=0上任意一点，所以4m-3n-12=0，即4m-3n=12，
所以·=4m-3n=12.
解析
14.若点A(-2，-1)在直线mx+ny+1=0上，其中m，n均大于0，则+的最小值为　　　.
答案
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点A在直线mx+ny+1=0上，
则2m+n=1，+=(2m+n)=4++≥4+4=8，
当且仅当n=2m，即n=，m=时，等号成立，
即+的最小值为8.
解析
8
15.(多选)已知直线l的一个方向向量为u=(1，-)，且l经过点(1，-2)，则下列结论中正确的是
A.l的倾斜角等于150°
B.l在x轴上的截距等于
C.l与直线x-3y+2=0垂直
D.l与直线x+y+2=0平行
拓广探究
√
√
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因为直线l的一个方向向量为u=(1，-)，
所以直线l的斜率k=-，
因为直线l经过点(1，-2)，
所以直线l的方程为y+2=-(x-1)，
即x+y+2-=0.
对于A，设直线l的倾斜角为θ，
则tan θ=-，
因为0°≤θ<180°，所以θ=120°，所以A错误；
解析
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对于B，当y=0时，2=-(x-1)，
得x=1-，
所以直线l在x轴上的截距等于1-，所以B错误；
对于C，因为直线x-3y+2=0的斜率为，
且×(-)=-1，
所以直线l与直线x-3y+2=0垂直，所以C正确；
解析
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对于D，因为直线x+y+2=0的斜率为-，
且在y轴上的截距为-2，
而直线l的斜率为-，
且在y轴上的截距为-2，
所以直线l与直线x+y+2=0平行，所以D正确.
解析
16.已知t∈R，且t∈(0，10)，由t确定两个任意点P(t，t)，Q(10-t，0).
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(1)直线PQ是否经过点M(6，1)？
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由题意，当直线PQ的斜率不存在时，
t=10-t，故t=5，此时P(5，5)，Q(5，0)，
直线PQ不经过点M(6，1)；
当直线PQ的斜率存在时，t≠5，kPQ=，
直线PQ的方程为(2t-10)y=t(x+t-10).
假设直线PQ过点M(6，1)，则2t-10=t(6+t-10)，
即t2-6t+10=0，Δ=-4<0，方程无实根，
故直线PQ不经过点M(6，1).
综上，直线PQ不经过点M(6，1).
解
(2)在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A，B在边OQ上，顶点D在边OP上.
①求证：顶点C一定在直线y=x上；
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由题意设点A(a，0)，B(2a，0)，
C(2a，a)，D(a，a)，
点C(2a，a)满足y=x，
故顶点C一定在直线y=x上.
证明
②求图中阴影部分面积的最大值，并求此时顶点A，B，C，D的坐标.
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直线PQ的方程为(2t-10)y=t(x+t-10)，
因为P(t，t)，Q(10-t，0)，
设阴影部分的面积为S，
则S=S△OPQ-S正方形ABCD=t(10-t)-a2(0因为点C(2a，a)在直线PQ上，
则(2t-10)a=t(2a+t-10)，
所以a=t(10-t).
解
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所以S=5a-a2=-+.
所以当a=，即t=5时，
图中阴影部分的面积取得最大值，Smax=，
此时点A，B(5，0)，C，D.
解
第二章　 §2.2　直线的方程
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