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(共84张PPT)
2.4.1
圆的标准方程
第二章　 §2.4　圆的方程
<<<
1.掌握圆的定义及标准方程.(重点)
2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系.(难点)
学习目标
古朗月行(节选)
[唐] 李白
小时不识月，呼作白玉盘.
又疑瑶台镜，飞在青云端.
月亮在中国人心中具有多重象征意义，承载着丰富的文化内涵和情感寄托.如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？
导 语
一、圆的标准方程
二、点与圆的位置关系
课时对点练
三、求圆的标准方程
随堂演练
内容索引
圆的标准方程
一
提示　平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.
确定圆的要素：圆心和半径，
圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.
圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？
问题1
提示　如图，设圆上任一点M(x，y)，则|MA|=r，
由两点间的距离公式，得=r，
两边平方，得(x-a)2+(y-b)2=r2.
已知圆心为A(a，b)，半径为r，你能推导出圆的方程吗？
问题2
确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径.
(x-a)2+(y-b)2=r2
x2+y2=r2
(1)当圆心在原点即A(0，0)，半径长r=1时，方程为x2+y2=1，称为单位圆.
(2)相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的.
(3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上.
注 意 点
<<<
(1)与y轴相切，且圆心坐标为(-5，-3)的圆的标准方程为
　　　　 .
例 1
∵圆心坐标为(-5，-3)，
又与y轴相切，∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x+5)2+(y+3)2=25.
解析
(x+5)2+(y+3)2=25
(2)以两点A(-3，-1)和B(5，5)为直径端点的圆的标准方程是
　　　　　　　　.
(x-1)2+(y-2)2=25
∵AB为直径，
∴AB的中点(1，2)为圆心，
|AB|==5为半径，
∴该圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=25.
解析
求圆的标准方程的策略
(1)确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，其中常用到中点坐标公式、两点间距离公式.
(2)有时应用平面几何知识如“弦的中垂线必过圆心” “两条弦的中垂线的交点必为圆心”等来解决.
反
思
感
悟
　求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)；
跟踪训练 1
r2=(2-4)2+(2-0)2=8，
∴圆的标准方程为(x-4)2+y2=8.
解
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，-4).
设圆心为C(0，b)，
则(3-0)2+(-4-b)2=52，
∴b=0或b=-8，
∴圆心为(0，0)或(0，-8)，
又r=5，
∴圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25.
解
二
点与圆的位置关系
提示　点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径.
点M0(x0，y0)在圆x2+y2=r2内的条件是什么？在圆x2+y2=r2外的条件又是什么？
问题3
圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，
设d=|PC|=.
位置关系 几何法：利用距离判断 代数法：利用方程判断
点在圆外 d r (x0-a)2+(y0-b)2 r2
点在圆上 d r (x0-a)2+(y0-b)2 r2
点在圆内 d r (x0-a)2+(y0-b)2 r2
>
>
=
=
<
<
(1)(课本例1)　求圆心为A(2，-3)，半径为5的圆的标准方程，并判断点M1(5，-7)，M2(-2，-1)是否在这个圆上.
例 2
圆心为A(2，-3)，半径为5的圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25.
把点M1(5，-7)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边，得(5-2)2+(-7+3)2 =25，左右两边相等，点M1的坐标满足圆的方程，所以点M1在这个圆上.
解
把点M2(-2，-1)的坐标代入方程(x-2)2+(y+3)2=25的左边，得(-2-2)2+(-1+3)2=20，左右两边不相等，点M2的坐标不满足圆的方程，所以点M2不在这个圆上(如图).
(1)已知a，b是方程x2-x-=0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2+y2=8的位置关系是
A.点P在圆C内 B.点P在圆C外
C.点P在圆C上 D.无法确定
例 2
√
由题意，得a+b=1，ab=-，
∴a2+b2=(a+b)2-2ab=1+2<8，
∴点P在圆C内.
解析
(2)已知点P(2，1)和圆C：+(y-1)2=1，若点P在圆C上，则实数a=　　　　；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为　　　　　　.
-2或-6
a<-6或a>-2
由题意，得+(y-1)2=1，
当点P在圆C上时，
由+(1-1)2=1 ，
解得a=-2或a=-6.
当点P在圆C外时，
由+(1-1)2>1，
解得a<-6或a>-2.
解析
判断点与圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断.
(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断.
反
思
感
悟
　已知点M(5+1，)在圆(x-1)2+y2=26的内部，则a的取值范围为　　　　.
跟踪训练 2
由题意知
即解得0≤a<1.
解析
[0，1)
求圆的标准方程
三
(课本例2)　△ABC的三个顶点分别是A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)，求△ABC的外接圆的标准方程.
例 3
设所求的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2. ①
因为A(5，1)，B(7，-3)，C(2，-8)三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.
于是
即
解
观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去a2，b2，r2，
得到关于a，b的二元一次方程组
解此方程组，得
代入(5-a)2+(1-b)2=r2，得r2=25.
所以，△ABC的外接圆的标准方程是(x-2)2+(y+3)2=25.
解
(课本例3)　已知圆心为C的圆经过A(1，1)，B(2，-2)两点，且圆心C在直线l：x-y+1=0上，求此圆的标准方程.
例 3
方法一　设圆心C的坐标为(a，b).
因为圆心C在直线l：x-y+1=0上，
所以a-b+1=0. ①
因为A，B是圆上两点，所以|CA|=|CB|.
根据两点间距离公式，
有=
即a-3b-3=0. ②
由①②可得a=-3，b=-2.
所以圆心C的坐标是(-3，-2).
解
圆的半径r=|AC|==5.
所以，所求圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25.
方法二　如图，设线段AB的中点为D.
由A，B两点的坐标为(1，1)，
(2，-2)，可得点D的坐标为
直线AB的斜率为kAB==-3.
因此，线段AB的垂直平分线l'的方程是y+=即x-3y-3=0.
解
由垂径定理可知，圆心C也在线段AB的垂直平分线上，
所以它的坐标是方程组的解.
解这个方程组，得
所以圆心C的坐标是(-3，-2).
圆的半径r=|AC|==5.
所以，所求圆的标准方程是(x+3)2+(y+2)2=25.
解
求经过点P(1，1)和坐标原点O，并且圆心在直线2x+3y+1=0上的圆的标准方程.
例 3
方法一　(待定系数法)
设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，
则有
即圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.
方法二　(几何法)
由题意知OP是圆的弦，
其垂直平分线为x+y-1=0.
解
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴
得
即圆心坐标为(4，-3)，
半径为r==5.
即圆的标准方程是(x-4)2+(y+3)2=25.
解
求圆的标准方程的两种方法
(1)几何法：利用图形的几何性质，如圆的性质等，直接求出圆的圆心和半径，从而得到圆的标准方程.
(2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组得到圆的标准方程中的三个参数，从而确定圆的标准方程.
反
思
感
悟
过点A(1，-1)，B(-1，1)，且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是
A.(x-3)2+(y+1)2=4
B.(x+3)2+(y-1)2=4
C.(x-1)2+(y-1)2=4
D.(x+1)2+(y+1)2=4
跟踪训练 3
√
方法一　设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，
则有
解得
即圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
解析
方法二　因为kAB==-1，
线段AB的中点坐标为(0，0).
所以线段AB的垂直平分线的方程为y=x.
由
所以圆心坐标为(1，1)，半径为2，
所以所求圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=4.
解析
1.知识清单：
(1)圆的标准方程.
(2)点与圆的位置关系.
2.方法归纳：直接法、几何法、待定系数法.
3.常见误区：几何法求圆的标准方程出现漏解情况.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.以(2，-1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为
A.(x+2)2+(y-1)2=4
B.(x+2)2+(y+1)2=4
C.(x-2)2+(y+1)2=16
D.(x+2)2+(y-1)2=16
√
以(2，-1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x-2)2+(y+1)2=16.
解析
1
2
3
4
2.点P(1，3)与圆x2+y2=24的位置关系是
A.在圆外 B.在圆内
C.在圆上 D.不确定
√
∵12+32=10<24，
∴点P在圆内.
解析
1
2
3
4
3.若点P(5a+1，12a)在圆(x-1)2+y2=1的外部，则a的取值范围为
A.a> B.a<-
C.a>或a<- D.不确定
√
∵P在圆外，∴(5a+1-1)2+(12a)2>1，169a2>1，a2>，∴a>或a<-.
解析
1
2
3
4
4.与圆(x-2)2+(y+3)2=16同圆心，且过点P(-1，1)的圆的标准方程为
　　　　　　　　　.
因为已知圆的圆心坐标为(2，-3)，所以所求圆的圆心坐标为(2，-3)，所以所求圆的半径为=5，所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
解析
(x-2)2+(y+3)2=25
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C C ACD B C CD (x-1)2+y2=18
题号 8 11 12 13 14 　15
答案 1或5 B ABC -4 1 　π
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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15
16
9.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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15
16
(1)∵点M(6，9)在圆N上，
∴(6-5)2+(9-6)2=a2，∴a2=10.
又a>0.∴a=.
(2)由已知，得圆心N(5，6).
∵|PN|==|QN|==3，
∴|PN|>|QN|，
故点P在圆外，点Q在圆内，∴a的取值范围是(3.
10.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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15
16
(1)当AB为直径时，
过A，B的圆的半径最小，从而周长最小.即AB的中点(0，1)为圆心，
半径r=|AB|=
则圆的标准方程为x2+(y-1)2=10.
10.
答案
1
2
3
4
5
6
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15
16
(2)方法一　AB的斜率k=-3，
则AB的垂直平分线的方程是y-1=x，
即x-3y+3=0，
又圆心在直线2x-y-4=0上，
得两直线交点为圆心，
即圆心坐标是C(3，2)，r=|AC|==2
故所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20.
10.
答案
1
2
3
4
5
6
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15
16
方法二　设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，

故所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=20.
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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16
(1)依题意知，一个半圆弧的长为36π m，所以每条直道的长度为
(400-2×36π)÷2=(200-36π)m.
(2)如图，设两个半圆的圆心分别为A，B，AB的中点为O，以O为原点，
AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(18π-100，0)，B(100-18π，0)，
所以圆A的方程为(x-18π+100)2+y2=1 296，
圆B的方程为(x+18π-100)2+y2=1 296，
16.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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14
15
16
所以该跑道内圈上半部分对应的函数解析式为
y=
基础巩固
1.圆(x-1)2+(y+)2=1的圆心坐标是
A.(1，) B.(-1，)
C.(1，-) D.(-1，-)
√
由圆的标准方程(x-1)2+(y+)2=1，
得圆心坐标为(1，-).
解析
答案
1
2
3
4
5
6
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8
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15
16
2.圆心为(1，2)，且过(0，0)的圆的标准方程为
A.(x+1)2+(y+2)2= B.x2+y2=5
C.(x-1)2+(y-2)2=5 D.x2+y2=
√
答案
1
2
3
4
5
6
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16
因为圆的圆心为(1，2)，且过(0，0)，
则圆的半径r==，
故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
解析
3.(多选)已知圆M：(x-4)2+(y+3)2=25，则下列说法正确的是
A.圆M的圆心为(4，-3)
B.圆M的圆心为(-4，3)
C.圆M的半径为5
D.圆M被y轴截得的线段长为6
√
由圆M：(x-4)2+(y+3)2=52，
得圆心为(4，-3)，半径为5，则A，C正确，B错误；
令x=0，得y=0或y=-6，线段长为6，故D正确.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
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15
16
√
√
4.已知圆(x-a)2+(y-1)2=2a(0A.圆内 B.圆外
C.圆上 D.圆上或圆外
√
由圆的标准方程(x-a)2+(y-1)2=2a，
知圆心为(a，1)，
则原点与圆心的距离为.
∵0=r，
即原点在圆外.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
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5.圆C：(x-a)2+(y+1)2=4的圆心到直线x=1与直线y=1的距离相等，则实数a等于
A.-1 B.1或-3
C.-1或3 D.3
√
答案
1
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16
由(x-a)2+(y+1)2=4，知C(a，-1)，则|a-1|=|1-(-1)|，解得a=-1或a=3.
解析
6.(多选)已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)，且被x轴分成两段，弧长之比为1∶2，则圆C的方程可能是
A.x2+= B.x2+=
C.x2+= D.x2+=
√
√
答案
1
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6
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16
由题可知，圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心为(0，b)，半径为r，则rsin=1，rcos=|b|，解得r=，|b|=，即b=±.故圆的方程为x2+=.
解析
7.与圆C：(x-1)2+y2=36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的标准方程为　　　　　　　.
圆C的半径R=6，设所求圆的半径为r，
则=，
所以r2=18，
又圆心坐标为(1，0)，
则所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=18.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
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9
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16
(x-1)2+y2=18
8.若圆C与x轴和y轴均相切，且过点(1，2)，则圆C的半径长为　　　.
答案
1
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1或5
答案
1
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16
根据题意，若圆C与x轴和y轴均相切，
则圆心C在直线y=x或y=-x上，
当圆心C在直线y=x上时，
设圆心C的坐标为(a，a)，
此时圆的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=a2，
将(1，2)代入可得(1-a)2+(2-a)2=a2，
即a2-6a+5=0，解得a=1或a=5，
此时圆的半径长为1或5；
解析
答案
1
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16
当圆心C在直线y=-x上时，
设圆心C的坐标为(a，-a)，
此时圆的标准方程为(x-a)2+(y+a)2=a2，
将(1，2)代入可得(1-a)2+(2+a)2=a2，
即a2+2a+5=0，方程无解，
综上所述，圆的半径长为1或5.
解析
9.已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).
(1)若点M(6，9)在圆N上，求半径a；
∵点M(6，9)在圆N上，
∴(6-5)2+(9-6)2=a2，∴a2=10.
又a>0.∴a=.
解
答案
1
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(2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围.
由已知，得圆心N(5，6).
∵|PN|==，
|QN|==3，
∴|PN|>|QN|，
故点P在圆外，点Q在圆内，
∴a的取值范围是(3，).
解
答案
1
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10.已知点A(1，-2)，B(-1，4)，求
(1)过点A，B且周长最小的圆的标准方程；
答案
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当AB为直径时，
过A，B的圆的半径最小，从而周长最小.
即AB的中点(0，1)为圆心，
半径r=|AB|=，
则圆的标准方程为x2+(y-1)2=10.
解
(2)过点A，B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.
答案
1
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答案
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方法一　AB的斜率k=-3，
则AB的垂直平分线的方程是y-1=x，
即x-3y+3=0，
又圆心在直线2x-y-4=0上，
得两直线交点为圆心，
即圆心坐标是C(3，2)，
r=|AC|==2，
故所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20.
解
答案
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方法二　设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，
则
故所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=20.
解
11.已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0恒过定点P，则与圆C：(x-2)2+(y+3)2 =16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为
A.(x-2)2+(y+3)2=36
B.(x-2)2+(y+3)2=25
C.(x-2)2+(y+3)2=18
D.(x-2)2+(y+3)2=9
√
综合运用
答案
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由(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0，
得(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0，
则
即P(-1，1).
∵圆C：(x-2)2+(y+3)2=16的圆心坐标是(2，-3)，
∴|PC|==5，
∴所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
解析
12.(多选)如图，在平面直角坐标系中，坐标轴将边长为4的大正方形ABCD分割成四个小正方形.若大圆为正方形ABCD的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是
A.(x-1)2+(y-1)2=1
B.(x+1)2+(y-1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=1
D.x2+y2=4
√
答案
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由题可知小正方形边长为2，
则内切圆半径为1，
可得第一象限的小圆的圆心为(1，1)，
方程为(x-1)2+(y-1)2=1，A选项正确；
第二象限的小圆的圆心为(-1，1)，
方程为(x+1)2+(y-1)2=1，B选项正确；
第三象限的小圆的圆心为(-1，-1)，
方程为(x+1)2+(y+1)2=1，C选项正确；
解析
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第四象限的小圆的圆心为(1，-1)，
方程为(x-1)2+(y+1)2=1，没有选项符合；
外接圆圆心为(0，0)，半径为2，
方程为x2+y2=8，没有选项符合.
解析
13.已知点P(x，y)为圆x2+y2=1上的动点，则x2-4y的最小值为　　　.
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-4
∵点P(x，y)为圆x2+y2=1上的动点，
∴x2-4y=1-y2-4y=-(y+2)2+5.
∵y∈[-1，1]，
∴当y=1时，-(y+2)2+5有最小值-4.
解析
14.大约在2 000年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等.这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年.现有一动点P满足|OP|=2，其中O为坐标原点，若M，则|PM|的最小值为　　.
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动点P的轨迹是以O为圆心，
2为半径的圆，即x2+y2=4，
而|OM|==1<2，
故点M在圆内，
所以当O，M，P三点共线时，|PM|最小，
即|PM|min=2-|OM|=2-1=1.
解析
15.曲线y=-(x≤0)的长度为　　　.
拓广探究
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π
由y=-得x2+y2=4(x≤0，y≤0)，
所以曲线y=-(x≤0)的图形是以原点为圆心，
以2为半径的圆在第三象限的弧长，
所以曲线y=-(x≤0)的长度是×4π=π.
解析
16.已知某400 m标准跑道的内圈如图所示，其中左右两边均是半径为36 m的半圆弧.(设400 m标准跑道最内圈周长为400 m)
(1)求每条直道的长度；
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依题意知，一个半圆弧的长为36π m，
所以每条直道的长度为(400-2×36π)÷2=(200-36π)m.
解
(2)建立平面直角坐标系Oxy，写出该跑道内圈上半部分对应的函数解析式.
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如图，设两个半圆的圆心分别为A，B，AB的中点为O，
以O为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
则A(18π-100，0)，B(100-18π，0)，
所以圆A的方程为(x-18π+100)2+y2=1 296，
圆B的方程为(x+18π-100)2+y2=1 296，
所以该跑道内圈上半部分对应的函数解析式为
y=
解
第二章　 §2.4　圆的方程
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