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(共85张PPT)
2.4.2
圆的一般方程
第二章　 §2.4　圆的方程
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1.掌握圆的一般方程及其特点.
2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.
3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.(重点)
学习目标
前面我们已讨论了圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，现将其展开可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2+y2+Dx+Ey+F=0的形式.请大家思考一下，形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题.
导 语
一、圆的一般方程的辨析
二、求圆的一般方程
课时对点练
三、圆的轨迹问题
随堂演练
内容索引
圆的一般方程的辨析
一
提示　将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方可得，+=，当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆.
如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆，需要满足什么条件？
问题1
提示　①当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示点.
②当D2+E2-4F<0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0不表示任何图形.
当D2+E2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形？当D2+E2-4F<0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示什么图形？
问题2
1.圆的一般方程：当D2+E2-4F>0时，二元二次方程 叫做圆的一般方程.
2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形
条件 图形
D2+E2-4F<0 不表示任何图形
D2+E2-4F=0 表示一个点
D2+E2-4F>0 表示以___________为圆心，以___________为半径的圆
x2+y2+Dx+Ey+F=0
(1)二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项.
(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+ E2-4F>0.
注 意 点
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　若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆.
(1)求实数m的取值范围；
例 1
由表示圆的充要条件，
得(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0，
解得m<，即实数m的取值范围为.
解
(2)写出圆心坐标和半径.
将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m，
故圆心坐标为(-m，1)，半径r=.
解
圆的一般方程的辨析
(1)由圆的一般方程的定义，若D2+E2-4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆.
(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.
反
思
感
悟
　(1)当圆C：x2+y2-4x-2my+2m=0的面积最小时，m的值为
A.4 B.3 C.2 D.1
跟踪训练 1
√
由圆C：x2+y2-4x-2my+2m=0，得圆C的标准方程为(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4，从而对于圆C的半径r有r2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3，所以当m=1时，r2取得最小值，此时圆C的面积最小.
解析
(2)点M，N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上，且点M，N关于直线x-y+1=0对称，则该圆的面积为　　　.
圆x2+y2+kx+2y-4=0的圆心坐标是，
由圆的性质，知直线x-y+1=0经过圆心，
∴-+1+1=0，解得k=4，
圆x2+y2+4x+2y-4=0的半径为=3，
∴该圆的面积为9π.
解析
9π
二
求圆的一般方程
(课本例4)　求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2(4，2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
例 2
设圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0. ①
因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解.
把它们的坐标依次代入方程①，
得到关于D，E，F的一个三元一次方程组
解这个方程组，得
所以，所求圆的方程是x2+y2-8x+6y=0.
解
由前面的讨论可知，所求圆的圆心坐标是(4，-3)，
半径r==5.
解
已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，-1).
(1)求△ABC的外接圆的一般方程；
例 2
设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
由题意，得
解得
即△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
解
(2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值.
由(1)知，△ABC的外接圆的方程为
x2+y2-8x-2y+12=0，
易知M的一个坐标为(2，2)，
即a=2，
又点M(a，2)在△ABC的外接圆上，
∴a2+22-8a-2×2+12=0，
即a2-8a+12=0，解得a=6，
综上，a=2或6.
解
求圆的方程的策略
(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程.
(2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于D，E，F或a，b，r的方程组解出系数得到圆的方程.
反
思
感
悟
　已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆心在直线x+y-1=0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程.
跟踪训练 2
圆心C，
∵圆心在直线x+y-1=0上，
∴---1=0，
即D+E=-2. ①
又∵半径长r==，
∴D2+E2=20. ②
解
由①②可得
又∵圆心在第二象限，
∴-<0，即D>0.则
故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0.
解
圆的轨迹问题
三
提示　轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等.轨迹方程是点的坐标满足的关系式.
轨迹和轨迹方程有什么区别？
问题3
(课本例5)　已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
例 3
设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0).由于点B的坐标是(4，3)，且M是线段AB的中点，所以x=y=.
于是有x0=2x-4，y0=2y-3. ①
因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，
即(x0+1)2+=4. ②
把①代入②，得(2x-4+1)2+(2y-3)2=4，
整理，得+=1.
这就是点M的轨迹方程，它表示以为圆心，半径为1的圆.
解
点A(2，0)是圆x2+y2=4上的定点，点B(1，1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点.
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程；
例 3
设线段AP的中点M(x，y)，
由中点坐标公式，
得点P的坐标为(2x-2，2y).
∵点P在圆x2+y2=4上，
∴(2x-2)2+(2y)2=4，
故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.
解
(2)若∠PBQ=90°，求线段PQ的中点N的轨迹方程.
设线段PQ的中点N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|.
设O为坐标原点，连接ON(图略)，
则ON⊥PQ，
∴|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，
∴x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4，
故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.
解
在本例条件不变的情况下，求过点B的弦的中点T的轨迹方程.
延伸探究 1
设T(x，y).因为点T是弦的中点，所以OT⊥BT.
当斜率存在时，有kOT·kBT=-1.
即·=-1，
整理得x2+y2-x-y=0.
当x=0或1时，
点(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)也都在圆上.
故所求轨迹方程为x2+y2-x-y=0.
解
若本例条件不变，求BP的中点E的轨迹方程.
延伸探究 2
设点E(x，y)，P(x0，y0).
∵B(1，1)，∴
整理得x0=2x-1，y0=2y-1，
∵点P在圆x2+y2=4上，
∴(2x-1)2+(2y-1)2=4，
整理得，点E的轨迹方程为x2+y2-x-y-=0.
解
求与圆有关的轨迹问题的方程
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.
(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
反
思
感
悟
已知圆C经过(2，6)，(5，3)，(2，0)三点.
(1)求圆C的方程；
跟踪训练 3
设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
由题意得
解得
则圆C的方程为x2+y2-4x-6y+4=0.
解
(2)设点A在圆C上运动，点B(2，3)，且点M满足=2，求点M的轨迹方程.
设M(x，y)，A(xA，yA)，则=(x-xA，y-yA)，=(2-x，3-y)，
由=2，
得解得
由点A在圆C上，
得(3x-4)2+(3y-6)2-4(3x-4)-6(3y-6)+4=0，
即x2+y2-4x-6y+12=0，
故点M的轨迹方程为x2+y2-4x-6y+12=0.
解
1.知识清单：
(1)圆的一般方程.
(2)求动点的轨迹方程.
2.方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法.
3.常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.若x2+y2-x+y-2m=0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是
A. B.
C. D.
√
根据题意，得(-1)2+12-4×(-2m)>0，所以m>-.
解析
1
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3
4
2.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2，3)，则D，E分别为
A.4，-6 B.-4，-6
C.-4，6 D.4，6
√
圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为，
又已知该圆的圆心坐标为(-2，3)，
∴-=-2，-=3，
∴D=4，E=-6.
解析
1
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4
3.(多选)圆x2+y2-4x-1=0
A.关于点(2，0)对称
B.关于直线y=0对称
C.关于直线x+3y-2=0对称
D.关于直线x-y+2=0对称
√
√
√
x2+y2-4x-1=0 (x-2)2+y2=5，即圆心的坐标为(2，0).
A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，
而点(2，0)是圆心，故正确；
B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，
直线y=0过圆心，故正确；
C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，
直线x+3y-2=0过圆心，故正确；
D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，
直线x-y+2=0不过圆心，故不正确.
解析
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4.已知点M到两个定点A(1，0)，B(4，0)的距离比为，则点M的轨迹方程为　　　　　.
设M(x，y)，则|MA|=，|MB|=.
故==，
两边平方并化简得x2+y2=4.
所以点M的轨迹方程为x2+y2=4.
解析
x2+y2=4
课时对点练
五
题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C ABD C D A C (0，-2)和(0，1) 题号 8 11 12 13 14 15
答案 (x-8)2+y2=36(y≠0) C D ABC -2 D
对一对
答案
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9.
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(1)圆的方程可化为[x-(t+3)]2+[y+(1-4t2)]2=1+6t-7t2.
由1+6t-7t2>0，即7t2-6t-1<0，
得-故t.
(2)由(1)知，圆的圆心坐标为(t+3，4t2-1)，
.
9.
答案
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(3)r==≤.
所以r
此时t=
故此时圆的标准方程为+=.
10.
答案
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设B点坐标是(x，y)，
点A的坐标是(x0，y0)，
由于点C的坐标是(4，3)且点C是线段AB的中点，
所以4=3=
于是有x0=8-x，
y0=6-y. ①
因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，
10.
答案
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所以点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4，
即(x0+1)2+=4， ②
把①代入②，
得(8-x+1)2+(6-y)2=4，
整理，得(x-9)2+(y-6)2=4.
所以点B的轨迹方程为(x-9)2+(y-6)2=4.
16.
答案
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(1)设G(x，y)，
由中点坐标公式得
E(2x，0)，F(0，2y)，
∴|EF|==2，
整理得x2+y2=1，
∴线段EF的中点G的轨迹C的方程为x2+y2=1.
16.
答案
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(2)由已知得A1(-1，0)，A2(1，0)，
设P(x0，y0)，x0≠±1+=1，
直线PA1的方程为y=x+1)，
令x=3，得y=
则M
同理，可求N
16.
答案
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MN|MN|==2
∴以MN为直径的圆的方程为(x-3)2+=.
令y=0，得(x-3)2=-+==8.
∴x=3±2
∴该圆总过定点，定点坐标为(3+20)或(3-20).
基础巩固
1.圆x2+y2-2x+6y+8=0的面积为
A.8π B.4π C.2π D.π
√
原方程可化为(x-1)2+(y+3)2=2，
∴半径r=，
∴圆的面积为S=πr2=2π.
解析
答案
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2.(多选)下列结论正确的是
A.任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程
B.圆的一般方程和标准方程可以互化
C.方程x2+y2-2x+4y+5=0表示圆
D.若点M(x0，y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则++Dx0+Ey0+F>0
√
答案
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√
√
A，B显然正确；
C中方程可化为(x-1)2+(y+2)2=0，所以表示点(1，-2)；D正确.
解析
3.若点P(1，1)在圆x2+y2+x-y+k=0的外部，则实数k的取值范围是
A.(-2，+∞) B.
C. D.(-2，2)
√
因为点P(1，1)在圆x2+y2+x-y+k=0的外部，
所以需满足
解得-2解析
答案
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4.已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1，0)，则圆C的圆心的轨迹是
A.点 B.直线 C.线段 D.圆
√
∵圆C：(x-a)2+(y-b)2=1过点A(1，0)，∴(1-a)2+(0-b)2=1，
∴(a-1)2+b2=1，
∴圆C的圆心的轨迹是以(1，0)为圆心，
1为半径的圆.
解析
答案
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5.已知直线l：x+my+2=0，若圆C：x2+y2-6x+4y-3=0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为
A. B. C. D.5
√
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由圆C：x2+y2-6x+4y-3=0，得圆C的圆心坐标为(3，-2)，又圆C上存在两点P，Q关于直线l对称，所以直线l经过圆C的圆心，
从而3-2m+2=0，解得m=.
解析
6.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆取得最大面积时，直线y=(k-1)x+2的倾斜角α等于
A. B. C. D.
√
答案
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x2+y2+kx+2y+k2=0化为标准方程为+(y+1)2=1-k2，
所以当k=0时圆的半径最大，面积也最大，
此时直线的斜率为-1，故倾斜角为.
解析
7.当m变化时，圆x2+y2+(m+2)x+y-2=0恒过定点　　　　　　　　.
方程x2+y2+(m+2)x+y-2=0可化为(x2+y2+2x+y-2)+mx=0.
由
所以定点坐标是(0，-2)和(0，1).
解析
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(0，-2)和(0，1)
8.已知△ABC的顶点A(0，0)，B(4，0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是　　 　.
设C(x，y)(y≠0)，则D.
∵B(4，0)，且AC边上的中线BD长为3，
∴+=9，
即(x-8)2+y2=36(y≠0).
解析
答案
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(x-8)2+y2=36(y≠0)
9.已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示一个圆.
(1)求t的取值范围；
圆的方程可化为[x-(t+3)]2+[y+(1-4t2)]2=1+6t-7t2.
由1+6t-7t2>0，
即7t2-6t-1<0，
得-故t的取值范围是.
解
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(2)求这个圆的圆心坐标和半径；
由(1)知，圆的圆心坐标为(t+3，4t2-1)，
半径为.
解
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(3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程.
r==≤.
所以r的最大值为，
此时t=，
故此时圆的标准方程为+=.
解
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10.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4，3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程.
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设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，
由于点C的坐标是(4，3)且点C是线段AB的中点，
所以4=，3=，
于是有x0=8-x，
y0=6-y. ①
因为点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x+1)2+y2=4，
即(x0+1)2+=4， ②
解
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把①代入②，
得(8-x+1)2+(6-y)2=4，
整理，得(x-9)2+(y-6)2=4.
所以点B的轨迹方程为(x-9)2+(y-6)2=4.
解
11.圆x2+y2-ax-2y+1=0关于直线x-y-1=0对称的圆的方程是x2+y2-4x+3=0，则a的值为
A.0 B.1 C.2 D.3
√
综合运用
答案
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由于圆x2+y2-ax-2y+1=0的圆心为M，
圆x2+y2-4x+3=0的圆心为N(2，0)，
又两圆关于直线x-y-1=0对称，
故有×1=-1，
解得a=2.
解析
12.若曲线C：x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为
A.(-∞，-2) B.(-∞，-1)
C.(1，+∞) D.(2，+∞)
√
答案
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由题意得，曲线C的标准方程为(x+a)2+(y-2a)2=4，
因此曲线C是圆心为(-a，2a)，
半径为2的圆.
∵曲线C上所有的点均在第二象限内，
∴
解得a>2，
∴a的取值范围是(2，+∞).
解析
13.(多选)若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2，-4)为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是
A.的最大值为9
B.圆关于直线y=-2x对称
C.F=4
D.圆与y轴相切
答案
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√
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答案
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表示圆上动点(x，y)到定点(2，1)的距离，因为圆心(2，-4)到点(2，1)的距离为5，所以圆上动点(x，y)到定点(2，1)的距离的最大值为5+4=9，A正确；
因为圆心(2，-4)在直线y=-2x上，所以圆关于直线y=-2x对称，B正确；
由题知解得D=-4，E=8，F=4，C正确；
由题知圆心纵坐标的绝对值等于半径，故该圆与x轴相切，与y轴相交，D错误.
解析
14.已知圆C经过点(4，2)，(1，3)和(5，1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为　　　.
答案
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-2
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设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
将(4，2)，(1，3)，(5，1)代入方程中，
得
所以圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.
令x=0，则y2+4y-20=0，
由根与系数的关系得y1+y2=-4；
令y=0，则x2-2x-20=0，
解析
答案
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由根与系数的关系得x1+x2=2，
故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1+y2+x1+x2=-4+2=-2.
解析
15.已知正方形ABCD的边长为2，点M在以C为圆心，1为半径的圆上，则2|MB|+|MD|的最小值为
A. B. C. D.
拓广探究
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答案
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依题意，以点C为原点，直线CB，CD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，
则B(2，0)，D(0，2)，如图，
取点E，设M'(x，y)，
当|M'D|=2|M'E|时，
=2，
化简整理得x2+y2=1，
即点M'的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，
解析
答案
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而点M在以C为圆心，1为半径的圆上，
因此|MD|=2|ME|，
显然点B在圆C：x2+y2=1外，
则2|MB|+|MD|=2|MB|+2|ME|
=2(|MB|+|ME|)≥2|BE|，
当且仅当M为线段BE与圆C的交点时取等号，
而|BE|==，
所以2|MB|+|MD|的最小值为2|BE|=.
解析
答案
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16.在平面直角坐标系Oxy中，长度为2的线段EF的两端点E，F分别在两坐标轴上运动.
(1)求线段EF的中点G的轨迹C的方程；
答案
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设G(x，y)，
由中点坐标公式得E(2x，0)，F(0，2y)，
∴|EF|==2，
整理得x2+y2=1，
∴线段EF的中点G的轨迹C的方程为x2+y2=1.
解
(2)设轨迹C与x轴交于A1，A2两点，P是轨迹C上异于A1，A2的任意一点，直线PA1交直线l：x=3于点M，直线PA2交直线l于点N，求证：以MN为直径的圆总过定点，并求出定点坐标.
答案
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由已知得A1(-1，0)，A2(1，0)，设P(x0，y0)，x0≠±1，+=1，
直线PA1的方程为y=(x+1)，
令x=3，得y=，则M，
同理，可求N，
MN的中点坐标为，
|MN|==2，
解
答案
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∴以MN为直径的圆的方程为(x-3)2+=.
令y=0，
得(x-3)2=-+==8.
∴x=3±2，∴该圆总过定点，
定点坐标为(3+2，0)或(3-2，0).
解
第二章　 §2.4　圆的方程
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