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第2课时
直线与圆的方程的应用
第二章　 2.5.1　直线与圆的位置关系
<<<
1. 理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用(重点).
2.会用“数形结合”的数学思想解决问题(难点).
学习目标
当前台风中心P在某海滨城市O向东300 km处生成，并以40 km/h的速度向北偏西45°方向移动.已知距离台风中心250 km以内的地方都属于台风侵袭的范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭？受台风侵袭大概持续多长时间？
导 语
一、圆的切线问题
二、圆的方程的实际应用
课时对点练
三、直线与圆的方程的实际应用
随堂演练
内容索引
圆的切线问题
一
(1)(课本例2)　过点P(2，1)作圆O：x2+y2=1的切线l，求切线l的方程.
例 1
方法一　设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y-1=k(x-2)，
即kx-y+1-2k=0.
由圆心(0，0)到切线l的距离等于圆的半径1，
得=1，解得k=0或.
因此，所求切线l的方程为y=1，或4x-3y-5=0.
解
方法二　设切线l的斜率为k，则切线l的方程为y-1=k(x-2).
因为直线l与圆相切，所以方程组只有一组解.
消元，得(k2+1)x2+(2k-4k2)x+4k2-4k=0. ①
因为方程①只有一个解，所以Δ=4k2(1-2k)2-16k(k2+1)(k-1)=0，
解得k=0或.
所以，所求切线l的方程为y=1，或4x-3y-5=0.
解
(1)过点A(-1，4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线l，则切线l的方程为
　　　　　　　　　.
例 1
y=4或3x+4y-13=0
∵(-1-2)2+(4-3)2=10>1，∴点A在圆外.
当直线l的斜率不存在时，l的方程是x=-1，不满足题意.
因此直线l的斜率存在，设为k，
则切线l的方程为y-4=k(x+1)，
即kx-y+4+k=0.
圆心(2，3)到切线l的距离为=1，
解得k=0或k=-，
因此，所求直线l的方程为y=4或3x+4y-13=0.
解析
(2)由直线y=x+1上任一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则该切线长的最小值为
A.1 B.2 C. D.3
√
圆心C(3，0)到直线y=x+1的距离d==2，
所以切线长的最小值为l==.
解析
求过某一点的圆的切线方程
(1)过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
①若切线斜率存在且不为0，则先求切点与圆心连线所在直线的斜率k(k≠0)，由垂直关系得切线的斜率为-，由点斜式方程可得切线方程.
②若切线斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程为y=y0或x=x0.
反
思
感
悟
(2)过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的求法
①若切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y-y0 =k(x-x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程.
②当切线斜率不存在时要加以验证.
注意：过圆外一点的切线有两条.
反
思
感
悟
(1)过圆x2+y2-2x-4y=0上一点P(3，3)的切线方程为
A.2x-y+9=0 B.2x+y-9=0
C.2x+y+9=0 D.2x-y-9=0
跟踪训练 1
√
x2+y2-2x-4y=0的圆心为C(1，2)，
kPC=，∴切线的斜率k=-2，
∴切线方程为y-3=-2(x-3)，即2x+y-9=0.
解析
(2)已知直线l：ax+by-3=0与圆M：x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1，2)，则直线l的方程为　　　　　　.
x+2y-3=0
根据题意，由圆M：x2+y2+4x-1=0，化为标准方程得(x+2)2+y2=5，其圆心为M(-2，0)，
因为直线l：ax+by-3=0与圆M：x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1，2)，
则点P在直线l上且MP与直线l垂直.
kMP==2，则有-=-，
则有b=2a，
又由点P在直线l上，则-a+2b-3=0，
解得a=1，b=2，
则直线l的方程为x+2y-3=0.
解析
二
圆的方程的实际应用
　(课本例3)　如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=
20 m，拱高OP=4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m).
例 2
建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，
O为坐标原点，圆心在y轴上.
由题意，点P，B的坐标分别为(0，4)，(10，0).
设圆心坐标是(0，b)，圆的半径是r，那么圆的方程是x2+(y-b)2=r2.
下面确定b和r的值.
因为P，B两点都在圆上，所以它们的坐标(0，4)，(10，0)都满足方程x2+(y-b)2=r2.
解
于是，得到方程组
解得b=-10.5，r2=14.52.
所以，圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52.
把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程，
得(-2)2+(y+10.5)2=14.52，
即y+10.5=(P2的纵坐标y>0，平方根取正值).
所以y=-10.5≈14.36-10.5=3.86(m).
答：支柱A2P2的高度约为3.86 m.
解
一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是
A.13米 B.14米
C.15米 D.16米
例 2
√
建立如图所示的平面直角坐标系，则A(-6，-2)，B(6，-2)，
设圆的方程为x2+(y+m)2=m2(m>0)，
将A点坐标代入圆的方程，则有m=10，
故圆的方程为x2+(y+10)2=100，
令y=-4，则x=±8，故|EF|=16(米).
解析
建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，通过代数运算，解决几何问题.
反
思
感
悟
一辆平顶车篷的卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的篷顶距离地面的高度不得超过
A.1.4米 B.3.0米 C.3.6米 D.4.5米
跟踪训练 2
可画出示意图如图所示，通过勾股定理解得OD== =3.6(米).
解析
√
直线与圆的方程的实际应用
三
　(课本例4)　一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20 km的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西40 km处，港口位于小岛中心正北30 km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
例 3
以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系.为了运算的简便，我们取10 km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0，3)，轮船所在位置的坐标为(4，0).这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为x2+y2=4；
轮船航线所在直线l的方程为+=1，
即3x+4y-12=0.
联立直线l与圆O的方程，得
解
消去y，得25x2-72x+80=0.
由Δ=(-72)2-4×25×80<0，可知方程组无解.
所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险.
解
如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过O，A，B三点.
(1)求圆C的方程；
例 3
由题意，得A(40，40)，B(20，0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
则
解得
∴圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0.
解
(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？
该船初始位置为点D，则D(-20，-20)，
且该船航线所在直线l的斜率为1，
故该船航行方向为直线l：x-y+20-20=0，
由(1)得圆C的圆心为C(10，30)，半径r=10，
由于圆心C到直线l的距离
d==10<10，
故该船有触礁的危险.
解
解决直线与圆的实际应用题的步骤
(1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知.
(2)建系：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素.
(3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知.
(4)还原：将运算结果还原到实际问题中去.
反
思
感
悟
　某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向50米的A处出发，沿西北方向走向位于设备正北方向的B处，则这名工作人员被持续监测的时长为
A.1分钟 B. 分钟
C.2分钟 D. 分钟
跟踪训练 3
√
以设备的位置为坐标原点O，其正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，则A(50，0)，B(0，50)，可得lAB∶x+y=50，圆O：x2+y2=10 000.
记从N处开始被监测，
解析
到M处监测结束，因为O到lAB的距离为|OO'|==50(米)，
所以|MN|=2=100(米)，
故监测时长为=2(分钟).
1.知识清单：
(1)圆的切线问题.
(2)圆的方程的实际应用.
(3)直线与圆的方程的实际应用.
2.方法归纳：数学建模、坐标法.
3.常见误区：不能正确进行数学建模.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.圆x2+y2=4在点P(，-1)处的切线方程为
A.x+y-2=0 B.x+y-4=0
C.x-y-4=0 D.x-y+2=0
√
1
2
3
4
∵()2+(-1)2=4，
∴点P在圆上.∴P为切点.
∵切点与圆心连线的斜率为-，
∴切线的斜率为，
∴切线方程为y+1=(x-)，
即x-y-4=0.
解析
1
2
3
4
2.经测得某圆拱索桥(如图)的跨度|AB|=100米，拱高|OP|=10米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度约为(注：≈3.162)
A.6.48米 B.4.48米
C.2.48米 D.5.48米
√
1
2
3
4
以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴、过点P且平行于AB的直线为x轴，1米为单位长度建立平面直角坐标系，
由题意可知，点A的坐标为(-50，-10)，
设圆拱桥所在圆的半径为r，
∵|OP|=10，
由勾股定理可得(r-|OP|)2+|OA|2=r2，
即(r-10)2+502=r2，解得r=130，
所以圆心坐标为(0，-130)，
解析
1
2
3
4
则圆的方程为x2+(y+130)2=1302，
将x=-30代入圆的方程得
(y+130)2=1302-(-30)2=16 000，
∵y>-10，解得y=40-130，
∴|MN|=(40-130)-(-10)
=40-120≈40×3.162-120=6.48(米).
解析
1
2
3
4
3.设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示，村外一小路方程可用x-y+2=0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是
　　　　.
从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，-3)到直线x-y+2=0的距离减去圆的半径2，即-2=-2.
解析
-2
1
2
3
4
4.一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它
　　　(填“会”或“不会”)受到台风的影响.
不会
1
2
3
4
如图，以台风中心为原点O，以东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中，取10 km为单位长度.则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O，圆的方程为x2+y2=9；轮船航线所在的直线l的方程为4x+7y-28=0.又圆心O到直线l的距离为=>3，
可知直线与圆相离，
故轮船不会受到台风的影响.
解析
课时对点练
五
对一对
答案
1
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16
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D B CD A C 1 1.22
题号 11 12 13 14 　15 答案 A BCD - 17.5 　ABD
9.
答案
1
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(1)圆C的圆心为(2，3)，半径r=2.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=4，此时圆C与直线l相切；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k(x-4)，
即kx-y-4k-1=0，
=2，解得k=-
所以此时直线l的方程为3x+4y-8=0.
综上，直线l的方程为x=4或3x+4y-8=0.
9.
答案
1
2
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(2)当直线l的倾斜角为135°时，
直线l的方程为x+y-3=0，
圆心到直线l的距离d==
故所求弦长为2=2=2.
10.
答案
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如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，
则A(40，0)，B(0，30)，
圆O的方程为x2+y2=252.
直线AB+=1，
即3x+4y-120=0.
设点O到直线AB的距离为d，
则d==24<25，
10.
答案
1
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所以外籍轮船能被海监船监测到.
设监测时间为t，
则t==0.5(h).
所以这艘外籍轮船能被海监船监测到，持续时间为0.5 h.
16.
答案
1
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(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系Oxy.
由条件知，A(0，60)，C(170，0)，
直线BC的斜率kBC=-tan∠BCO=-.
又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率kAB=.
设点B的坐标为(a，b)，
则kBC==- ①
kAB== ②
16.
答案
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联立①②解得a=80，b=120.
所以|BC|==150.
因此新桥BC的长为150 m.
16.
答案
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(2)设保护区的边界圆M的半径为r m，
|OM|=d m(0≤d≤60).
由条件知，直线BC的方程为y=-x-170)，
即4x+3y-680=0.由于圆M与直线BC相切，
故点M(0，d)到直线BC的距离是r，
即r==.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，
16.
答案
1
2
3
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解得10≤d≤35.
故当d=10时，r=.
所以当|OM|=10 m时，圆形保护区的面积最大.
基础巩固
1.过点P(2，1)作圆O：x2+y2=1的切线l，则切线l的方程为
A.y=1
B.4x-3y-5=0
C.y=1或3x-4y-5=0
D.y=1或4x-3y-5=0
√
答案
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当直线l斜率不存在时，x=2与圆O相离，
因此设切线l的方程为y-1=k(x-2)，即kx-y-2k+1=0，
∴圆心到直线l的距离d==1，
∴3k2-4k=0，∴k=0或k=，
∴切线l的方程为y=1或4x-3y-5=0.
解析
2.一艘科考船在点O处监测到北偏东30°方向40 海里处有一个小岛A，距离小岛10 海里范围内可能存在暗礁.若以点O为原点，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，则暗礁所在区域边界的方程为
A.(x+20)2+(y+20)2=100
B.(x-20)2+(y-20)2=100
C.(x+20)2+(y+20)2=100
D.(x-20)2+(y-20)2=100
√
答案
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易得暗礁所在区域边界为一个圆，过A作y轴的垂线，垂足为B(图略)，则∠AOB=30°，
∵|OA|=40，
∴|AB|=20，|OB|==20，
∴暗礁所在区域边界方程为(x-20)2+(y-20)2=100.
解析
3.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形储备基地(如图)，它的附近有一条平直的公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专线DE，则DE的最短距离为
A.6 km B.(4-1)km
C.(4+1)km D.4 km
√
答案
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以O为坐标原点，O的正东方向为x轴正方向，O的
正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，
则圆O的方程为x2+y2=1，
因为点B(8，0)，C(0，8)，
所以直线BC的方程为x+y=8.当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE为最短距离，此时DE的最小值为-1=(4-1)km.
解析
4.(多选)若直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切，则b的值是
A.-2 B.-12 C.2 D.12
√
圆的方程为x2+y2-2x-2y+1=0，
可化为(x-1)2+(y-1)2=1，
由圆心(1，1)到直线3x+4y-b=0的距离为==1，
得b=2或b=12.
解析
答案
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16
√
5.过点P(a，b)作圆O：x2+y2=2的切线，A为切点，|PA|=1，则2a-b的最大值是
A. B. C.4 D.3
√
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由题意|OP|2=|OA|2+|PA|2，
即a2+b2=3.
设2a-b=t，则b=2a-t，代入a2+b2=3，
得a2+(2a-t)2=3，即5a2-4ta+t2-3=0.
因为关于a的一元二次方程一定有解，
所以Δ=(-4t)2-4×5×(t2-3)≥0，
即t2≤15，解得-≤t≤，
则2a-b的最大值为.
解析
6.已知圆O：x2+y2=3，P是圆O外一点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，若·=，则|OP|等于
A. B.3 C.2 D.
√
答案
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由x2+y2=3，可得圆心O(0，0)，半径r=，
设∠APO=∠BPO=α，|OP|=x(x>)，
则sin α=，cos α=，||=||=，
cos∠APB=cos 2α=1-2sin2α=1-，
则有·=||2cos∠APB= (x2-3)= 2x4-27x2+36=0，
即(2x2-3)(x2-12)=0，∵x2>3，∴x2=12，即x=2.
解析
7.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为　　　h.
答案
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如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则台风中心经过以B(40，0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，
即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，由题意知，台风路径用方程表示为y=x，则圆心B(40，0)到直线y=x的距离d==20，可求得|MN|=2=20，
所以城市B处于危险区的时间为=1(h).
解析
8.某圆弧形拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m.现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻.近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，则船身至少降低　　　　m，船才能安全通过桥洞.(结果精确到0.01 m)
答案
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1.22
以水位未涨前的水面AB的中点O为原点，建立平面直角坐标系，如图所示，设圆拱所在圆的方程为x2+(y-b)2=r2(r>0)，
∵圆经过点B(10，0)，C(0，4)，
∴
∴圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52，
令x=4.5，得y≈3.28，
故当水位暴涨1.5 m后，船身至少应降低1.5-(3.28-3)=1.22(m)，船才能安全通过桥洞.
解析
答案
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9.已知圆C：(x-2)2+(y-3)2=4外有一点P(4，-1)，过点P作直线l.
(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
圆C的圆心为(2，3)，半径r=2.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=4，此时圆C与直线l相切；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k(x-4)，即kx-y-4k-1=0，
则=2，解得k=-，
所以此时直线l的方程为3x+4y-8=0.
综上，直线l的方程为x=4或3x+4y-8=0.
解
答案
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(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长.
当直线l的倾斜角为135°时，
直线l的方程为x+y-3=0，
圆心到直线l的距离d==，
故所求弦长为2=2=2.
解
答案
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10.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25 km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)
答案
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如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴建立平面直角坐标系，
则A(40，0)，B(0，30)，
圆O的方程为x2+y2=252.
直线AB的方程为+=1，
即3x+4y-120=0.
设点O到直线AB的距离为d，
则d==24<25，
所以外籍轮船能被海监船监测到.
解
答案
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设监测时间为t，
则t==0.5(h).
所以这艘外籍轮船能被海监船监测到，
持续时间为0.5 h.
解
答案
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11.现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面图如图所示(阴影部分为镶嵌在墙体内的部分)，已知弦|AB|=30 cm，弓形高|CD|=3 cm，则阴影部分的面积约为
A.56.99 cm2 B.55.35 cm2
C.57.37 cm2 D.58.39 cm2
√
综合运用
答案
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连接OD，OA，OB(图略)，设半径为r cm.
由题意知|AD|=15 cm，则|OD|=(r-3)cm，
在Rt△OAD中，|OA|2=|AD|2+|OD|2，
即r2=152+(r-3)2，解得r=39，
则sin∠AOC==，所以∠AOC≈22.5°，
则∠AOB≈2×22.5°=45°，
所以扇形OAB的面积S1≈=≈596.99(cm2)，
解析
答案
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△OAB的面积S2=×30×36=540(cm2)，
所以阴影部分的面积为S1-S2≈596.99-540
=56.99(cm2).
解析
12.(多选)从点A(-3，3)发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆C：x2+y2-4x-4y+7=0上，则下列结论正确的是
A.若反射光线与圆C相切，则切线方程为3x-4y-3=0
B.若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为x-y=0
C.若反射光线照射到圆上后被吸收，则光线经过的最短路程是5-1
D.若反射光线反射后被圆C遮挡，则在x轴上被挡住的范围是
√
答案
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√
√
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点A(-3，3)关于x轴的对称点为A'(-3，-3).圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=1，由题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为y+3=k(x+3)，即kx-y+3k-3=0.由相切知=1，解得k=或k=.
所以反射光线方程为y+3=(x+3)或y+3=(x+3)，
即4x-3y+3=0或3x-4y-3=0，故A错误；
又A'(-3，-3)，C(2，2)的方程为y=x，故B正确；
解析
答案
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因为|A'C|==5，所以光线经过的最短路程为5-1，故C正确；
由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为(1，0)和
所以被挡住的范围是，故D正确.
解析
13.已知圆C：x2+(y-2)2=16，点P在直线l：x+2y+6=0上，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.当∠APB最大时，cos∠APB=　　　.
答案
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-
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如图所示，易知∠APB=2∠APC，若∠APB最大，则∠APC最大，
在Rt△APC中，sin∠APC=，则当∠APC最大时，|PC|取得最小值，
显然由点到直线的距离公式可知|PC|≥=2，
则当|PC|=2时，sin∠APC=，
则cos∠APB=1-2sin2∠APC=-.
解析
14.某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心O的东北方向20 米的点A处，有一360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度.那么观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为　 　米.
答案
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17.5
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以O为原点，正东方向为x轴正方向建立如图所示的直角坐标系，则O(0，0)，A(20，20)，观景直道所在直线的方程为y=-10，由图易知，过点A的直线l与圆O相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，所以设直线l过点A且恰与圆O相切，
①若直线l垂直于x轴，则l不可能与圆O相切；
②若直线l不垂直于x轴，设l：y-20=k(x-20)，
整理得kx-y-20k+20=0，
解析
答案
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所以圆心O到直线l的距离d==4，解得k=或k=，所以直线l的方程为3x-4y+20=0或4x-3y-20=0，
设这两条直线与y=-10交于D，E，
由解得x=-20，
由解得x=-2.5，
所以|DE|=17.5.
解析
15.(多选)“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创词汇，定义如下：在直角坐标平面上任意两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的曼哈顿距离为：d(A，B)=|x1-x2|+|y1-y2|.在此定义下，以下结论正确的是
A.已知点F1(-1，0)，F2(1，0)，则d(F1，F2)=2
B.已知点O(0，0)，满足d(O，M)=1的点M的轨迹围成的图形面积为2
C.已知点F1(-1，0)，F2(1，0)，不存在点M满足|d(M，F1)-d(M，F2)|=1
D.已知点M在圆O：x2+y2=1上，点N在直线l：2x+y-6=0上，则d(M，N)的
最小值为3-
拓广探究
√
√
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A选项，由题意得d(F1，F2)=|-1-1|+|0-0|=2，故A正确；
B选项，设M(x，y)，d(O，M)=|0-x|+|0-y|=|x|+|y|=1，
当x≥0，y≥0时，d(O，M)=x+y=1；
当x<0，y≥0时，d(O，M)=-x+y=1；
当x≥0，y<0时，d(O，M)=x-y=1；
当x<0，y<0时，d(O，M)=-x-y=1，
所以点M的轨迹围成的图形是以为边长的正方形，所以面积为2，故B正确；
解析
答案
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C选项，设M(x，y)，|d(M，F1)-d(M，F2)|
=||x+1|+|y|-|x-1|-|y||=||x+1|-|x-1||=1，
解得x=±，所以存在M使|d(M，F1)-d(M，F2)|=1，故C错误；
D选项，如图①所示，
过点M作平行于x轴的直线MB交直线l于点B，
过点N作NA⊥MB于点A，
d(M，N)表示|MA|与|NA|之和，
解析
答案
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因为直线l的方程为2x+y-6=0，
所以tan∠NBA=2，即=2，
即|NA|=2|AB|，d(M，N)=|MA|+2|AB|=|MB|+|AB|，当固定点M时，|MB|为定值，
则当AB为零，即点N与点B重合时，d(M，N)最小，
此时MN平行于x轴，
所以当OM垂直于直线l时，d(M，N)最小，
如图②所示，OM与直线l交于点T，
解析
答案
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此时，|MT|=-1=-1，
根据直线l的斜率为-2，得sin∠TNM=，
所以d(M，N)=|MN|==3-，
故D正确.
解析
16.如图所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m.经测量，点A位于点O正北方向60 m处，点C位于点O正东方向170 m处(OC为河岸)，tan∠BCO=.
(1)求新桥BC的长；
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如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴建立平面直角坐标系Oxy.
由条件知，A(0，60)，
C(170，0)，直线BC的斜率
kBC=-tan∠BCO=-.
又因为AB⊥BC，
所以直线AB的斜率kAB=.设点B的坐标为(a，b)，
解
答案
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则kBC==-， ①
kAB==， ②
联立①②解得a=80，b=120.
所以|BC|==150.
因此新桥BC的长为150 m.
解
(2)当OM为多长时，圆形保护区的面积最大？
答案
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设保护区的边界圆M的半径为r m，
|OM|=d m(0≤d≤60).
由条件知，直线BC的方程为y=-(x-170)，
即4x+3y-680=0.由于圆M与直线BC相切，
故点M(0，d)到直线BC的距离是r，
即r==.
因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m，
解
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所以
解得10≤d≤35.
故当d=10时，r=最大，即圆的面积最大.
所以当|OM|=10 m时，圆形保护区的面积最大.
解
第二章　 2.5.1　直线与圆的位置关系
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