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(共96张PPT)
2.5.2
圆与圆的位置关系
第二章　 §2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系
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1.了解圆与圆的位置关系.
2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.(重点)
3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题.(难点)
学习目标
日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球运行至太阳与地球之间并在一条直线上时发生.日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食.
我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？
前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系.
导 语
一、两圆位置关系的判断
二、相交弦问题
课时对点练
三、圆与圆的综合性问题
随堂演练
内容索引
两圆位置关系的判断
一
1.代数法：设两圆方程分别为x2+y2+D1x+E1y+F1=0，x2+y2+D2x+E2y+F2=0，
联立方程得 一元二次方程，
方程组有两组不同的实数解 两圆 ，有一组实数解 两圆 ，无实数解 两圆 .
相切
相交
外离或内含
2.几何法：已知两圆C1：(x-x1)2+(y-y1)2=，C2：(x-x2)2+(y-y2)2=，则圆心分别为C1(x1，y1)，C2(x2，y2)，半径分别为r1，r2，圆心距d=|C1C2|= .则两圆C1，C2有以下位置关系：
位置关系 圆心距与半径之间的关系 图示
两圆外离 d>r1+r2
两圆外切 d=r1+r2
位置关系 圆心距与半径之间的关系 图示
两圆相交 |r1-r2|< d两圆内切 d=|r1-r2|
两圆内含 d<|r1-r2|
判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置关系.
注 意 点
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(课本例5)　已知圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0，圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0，试判断圆C1与圆C2的位置关系.
例 1
方法一　将圆C1与圆C2的方程联立，得到方程组
①-②，得x+2y-1=0，③
由③，得y=.
把上式代入①，并整理，得x2-2x-3=0.④
方程④的根的判别式Δ=(-2)2-4×1×(-3)=16>0，
所以，方程④有两个不相等的实数根x1，x2.把x1，x2分别代入方程③，得到y1，y2.
解
因此圆C1与圆C2有两个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，这两个圆相交.
方法二　把圆C1的方程化成标准方程，得(x+1)2+(y+4)2=25，
圆C1的圆心是(-1，-4)，半径r1=5.
把圆C2的方程化成标准方程，得(x-2)2+(y-2)2=10，
圆C2的圆心是(2，2)，半径r2=.
圆C1与圆C2的圆心距为
=3.
解
圆C1与圆C2的两半径长之和r1+r2=5+两半径长之差r1-r2=5-.
因为5-<3<5+即r1-r2<3解
　(课本例6)　已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍.试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
例 1
如图，以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.由AB=4，得A(-2，0)，B(2，0).
解
设点M的坐标为(x，y)，由|MA|=|MB|，
得=×
化简，得x2-12x+y2+4=0，即(x-6)2+y2=32.
所以点M的轨迹是以P(6，0)为圆心，半径为4的一个圆(如图).
因为两圆的圆心距为|PO|=6，两圆的半径分别为r1=2，r2=4又r2-r1<|PO|　 已知圆C1：x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0)，圆C2：x2+y2-4ax-2y+4a2=0 (a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：
(1)相切；
例 1
圆C1，C2的方程，经配方后可得
C1：(x-a)2+(y-1)2=16，C2：(x-2a)2+(y-1)2=1，
∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1=4，r2=1.
∴|C1C2|==a.
当|C1C2|=r1+r2=5，即a=5时，两圆外切；当|C1C2|=r1-r2=3，
即a=3时，两圆内切.
解
(2)相交；
当3<|C1C2|<5，即3解
(3)外离；
当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离.
解
(4)内含.
当|C1C2|<3，即0解
判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法.
(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系.
反
思
感
悟
　(1)圆C1：x2+y2-4x+3=0与圆C2：(x+1)2+(y-4)2=a恰有三条公切线，则实数a的值是
A.4 B.6 C.16 D.36
跟踪训练 1
√
圆C1的标准方程为(x-2)2+y2=1，
∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，
∴=1+，解得a=16.
解析
(2)到点A(-1，2)，B(3，-1)的距离分别为3和1的直线有　　条.
到点A(-1，2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到点B(3，-1)的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|==5.
半径之和为3+1=4，因为5>4，
所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条.
解析
4
二
相交弦问题
已知圆C1：x2+y2+6x-4=0和圆C2：x2+y2+6y-28=0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
例 2
设两圆交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立圆C1与圆C2的方程，
得
由①-②，得x-y+4=0.
∵A，B两点的坐标都满足此方程，
∴x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.
又圆C1的圆心(-3，0)，r=，
解
∴C1到直线AB的距离d==，
∴|AB|=2=2=5，
即两圆的公共弦长为5.
解
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
解方程组
得两圆的交点为(-1，3)，(-6，-2).
设所求圆的圆心为(a，b)，∵圆心在直线x-y-4=0上，故b=a-4.
则=，
解得a=，半径为.
故所求圆的方程为+=，
即x2+y2-x+7y-32=0.
解
(1)若圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+ F2
=0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y +F1-F2=0.
(2)公共弦长的求法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
反
思
感
悟
圆心在直线x-y-4=0上，且经过圆x2+y2-4x-6=0与圆x2+y2-4y-6=0的交点的圆的方程为　　　　　　　　　　 　　　　.
跟踪训练 2
(x-3)2+(y+1)2=16(或x2+y2-6x+2y-6=0)
方法一　由解得
所以圆x2+y2-4x-6=0与圆x2+y2-4y-6=0的交点分别为A(-1，-1)，B(3，3)，连接AB(图略)，则线段AB的垂直平分线的方程为y-1=-(x-1).
由
所以所求圆的圆心坐标为(3，-1)，
半径为=4，
所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16.
解析
方法二　同方法一求得A(-1，-1)，B(3，3)，
设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，
由
所以所求圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=16.
解析
圆与圆的综合性问题
三
求与圆x2+y2-2x=0外切且与直线x+y=0相切于点M(3，-)的圆的方程.
例 3
设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，
由题知所求圆与圆x2+y2-2x=0外切，
则=r+1. ①
又所求圆过点M的切线为直线x+y=0，
故=. ②
=r. ③
由①②③解得a=4，b=0，r=2或a=0，b=-4，r=6.
故所求圆的方程为(x-4)2+y2=4或x2+(y+4)2=36.
解
将本例变为“求与圆x2+y2-2x=0外切，圆心在x轴上，且过点(3，-)的圆的方程”，如何求？
延伸探究
因为圆心在x轴上，
所以可设圆心坐标为(a，0)，半径为r，
则所求圆的方程为(x-a)2+y2=r2，
又因为与圆x2+y2-2x=0外切，
且过点(3，-)，
所以
所以圆的方程为(x-4)2+y2=4.
解
通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题.
反
思
感
悟
1.知识清单：
(1)两圆位置关系的判断.
(2)两圆的公共弦问题.
(3)圆与圆的综合性问题.
2.方法归纳：几何法、代数法.
3.常见误区：将两圆内切和外切相混.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.圆O1：x2+y2-2x=0和圆O2：x2+y2-4y=0的位置关系是
A.外离 B.相交 C.外切 D.内切
√
把圆O1和圆O2的方程化为标准方程，得圆O1：(x-1)2+y2=1，圆O2：x2+(y-2)2=4，则O1(1，0)，O2(0，2)，r1=1，r2=2，
|O1O2|==解析
1
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2.(多选)圆C1：(x+2)2+(y-m)2=9与圆C2：(x-m)2+(y+1)2=4外切，则m的值为
A.2 B.-5 C.-2 D.5
√
圆C1：(x+2)2+(y-m)2=9的圆心为(-2，m)，半径为3，
圆C2：(x-m)2+(y+1)2=4的圆心为(m，-1)，半径为2.
依题意有=3+2，
即m2+3m-10=0，
解得m=2或m=-5.
解析
√
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4
3.已知以C(4，-3)为圆心的圆与圆O：x2+y2=1相切，则圆C的方程是
　　　　　　　　　　　　　　　　.
设圆C的半径为r，
圆心距d==5，
当圆C与圆O外切时，r+1=5，解得r=4；
当圆C与圆O内切时，r-1=5，解得r=6，
则圆C的方程为(x-4)2+(y+3)2=16
或(x-4)2+(y+3)2=36.
解析
(x-4)2+(y+3)2=16或(x-4)2+(y+3)2=36
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4.若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay-6=0(a>0)的公共弦长为2，则a=　　.
将两圆的方程相减，
得相交弦所在的直线方程为y=，
圆心(0，0)到直线的距离d===1，
所以a=1.
解析
1
课时对点练
五
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C A BCD B ABC C 4a2+b2=1 题号 8 11 12 13 14 15
答案 x2+y2+x- y+=0 C ACD A ∪
9.
答案
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(1)将两圆方程分别化为标准方程为C1：(x-1)2+(y+5)2=50，
C2：(x+1)2+(y+1)2=10，则圆C1的圆心为(1，-5)，半径r1=5
C2的圆心为(-1，-1)，半径r2=.
又|C1C2|=2r1+r2=5+r1-r2=5-
所以r1-r2<|C1C2|(2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x-2y+4=0.
9.
答案
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(3)方法一　两方程联立，得方程组
两式相减得x=2y-4，③
把③代入②得y2-2y=0，
解得y1=0，y2=2，
9.
答案
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-4，0)和(0，2)，
所以两圆的公共弦长为=2.
9.
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方法二　由(2)知x-2y+4=0为两圆公共弦所在直线的方程.
由(1)知圆C1的圆心为(1，-5)，半径r1=5圆心C1到直线x-2y+4=0的距离d==3
所以两圆的公共弦长为2=2=2.
10.
答案
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(1)圆C：x2+y2-6x-8y+21=0化为标准方程为(x-3)2+(y-4)2=4，
所以圆C的圆心为(3，4)，半径为2.
①若直线l1的斜率不存在，即直线为x=1，符合题意.
②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y-1=k(x-1).
即kx-y-k+1=0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，
=2，=2，解得k=
所以直线方程为5x-12y+7=0.
综上，所求l1的方程为x=1或5x-12y+7=0.
10.
答案
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(2)依题意，设D(a，a+2).
又已知圆C的圆心为(3，4)，半径为2，
由两圆外切，可知|CD|=5，
=5，
解得a=-1或a=6.
所以D(-1，1)或D(6，8)，
所以所求圆D的方程为(x+1)2+(y-1)2=9或(x-6)2+(y-8)2=9.
16.
答案
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(1)设圆C2的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，
因为圆C1的方程为+y2=10，
所以圆C1的圆心坐标为C1
因为圆C2与圆C1外切于点N
所以圆C2的圆心在直线C1N上，
因为直线C1N的方程为y=-所以b=-
16.
答案
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因为圆C2过点M且与圆C1外切于点N
所以圆C2的方程为x2+=.
16.
答案
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(2)如图，设直线m的方程为y=2x+t(t>0)，
则AB(0，t)，
因为圆C2的方程为x2+=
所以圆C2与y
因为直线m交圆C2在第二象限的部分于E，F两点，
16.
答案
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所以圆心C2m的距离满足
因为△AOE与△BOF的面积相等，
则AE=BF，所以EF，AB的中点重合.
所以EF的中点D
16.
答案
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因为C2D⊥EF，C2
·kEF=-1，
×2=-1，
解得t=4满足①式，
所以直线m的方程为y=2x+4，
即2x-y+4=0.
基础巩固
1.圆C1：x2+y2+4x+8y-5=0与圆C2：x2+y2+4x+4y-1=0的位置关系为
A.相交 B.外切 C.内切 D.外离
√
由已知，得C1(-2，-4)，r1=5，
C2(-2，-2)，r2=3，则圆心距d=|C1C2|=2，
所以d=|r1-r2|，所以两圆内切.
解析
答案
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2.圆x2+y2-2x-5=0与圆x2+y2+2x-4y-4=0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是
A.x+y-1=0 B.2x-y+1=0
C.x-2y+1=0 D.x-y+1=0
√
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圆x2+y2-2x-5=0的圆心为M(1，0)，圆x2+y2+2x-4y-4=0的圆心为N(-1，2)，两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN，其方程为=，即x+y-1=0.
解析
3.(多选)下列圆中与圆C：x2+y2+2x-4y+1=0相切的是
A.(x+2)2+(y+2)2=9 B.(x-2)2+(y+2)2=9
C.(x-2)2+(y-2)2=25 D.(x-2)2+(y+2)2=49
√
答案
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由圆C：x2+y2+2x-4y+1=0，可知圆心C的坐标为(-1，2)，半径r=2.
A项，圆心C1(-2，-2)，半径r1=3.
∵|C1C|=∈(r1-r，r1+r)，∴两圆相交；
B项，圆心C2(2，-2)，半径r2=3，
∵|C2C|=5=r+r2，∴两圆外切，满足条件；
C项，圆心C3(2，2)，半径r3=5，
∵|C3C|=3=r3-r，∴两圆内切，满足条件；
D项，圆心C4(2，-2)，半径r4=7，
∵|C4C|=5=r4-r，∴两圆内切，满足条件.
解析
4.已知m是正实数，则“m≥16”是“圆C1：x2+y2=1与圆C2：(x-4)2+ (y+3)2=m(m>0)有公共点”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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圆x2+y2=1的圆心C1(0，0)，半径r1=1，圆(x-4)2+(y+3)2=m的圆心C2(4，-3)，
半径r2=，则|C1C2|==5，两圆有公共点 |-1|≤5≤+1，解得16≤m≤36，显然[16，36] [16，+∞).
故“m≥16”是“圆C1：x2+y2=1与圆C2：(x-4)2+(y+3)2=m有公共点”的必要不充分条件.
解析
5.(多选)已知圆C1：(x+2)2+y2=1，圆C2：x2+(y-a)2=9，则下列结论正确的是
A.若圆C1和圆C2外离，则a>2或a<-2
B.若圆C1和圆C2外切，则a=±2
C.当a=0时，有且仅有一条直线与圆C1和圆C2均相切
D.当a=2时，圆C1和圆C2内含
√
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圆C1：(x+2)2+y2=1的圆心为C1(-2，0)，半径r1=1，
圆C2：x2+(y-a)2=9的圆心为C2(0，a)，半径r2=3，所以|C1C2|=，
若圆C1和圆C2外离，则|C1C2|=>r1+r2=4，解得a>2或a<-2，故A正确；
若圆C1和圆C2外切，则|C1C2|==4，解得a=±2，故B正确；
当a=0时，|C1C2|=2=r2-r1，则圆C1和圆C2内切，故仅有一条公切线，故C正确；
当a=2时，2=r2-r1<|C1C2|=2解析
6.若直线l与圆C1：(x+1)2+y2=1，圆C2：(x-1)2+y2=4都相切，切点分别为A，B，则|AB|等于
A.1 B. C. D.2
√
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如图所示，设直线l交x轴于点M，
由于直线l与圆C1：(x+1)2+y2=1，圆C2：(x-1)2+y2=4都相切，切点分别为A，B，
则AC1⊥l，BC2⊥l，∴AC1∥BC2，
∵|BC2|=2=2|AC1|，
∴C1为MC2的中点，A为BM的中点，
∴|MC1|=|C1C2|=2，
由勾股定理可得|AB|=|MA|==.
解析
7.已知圆C1：x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C2：x2+y2-2by+b2-1=0只有一条公切线，则实数a，b的关系是　　　　　　.
圆C1：x2+y2+4ax+4a2-4=0化为标准方程为(x+2a)2+y2=4，
圆心坐标为(-2a，0)，半径长为2.
圆C2：x2+y2-2by+b2-1=0化为标准方程为x2+(y-b)2=1，
圆心坐标为(0，b)，半径长为1.
由于两圆只有一条公切线，所以两圆内切，所以=2-1=1，
整理得4a2+b2=1.
解析
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4a2+b2=1
8.已知一个圆经过直线l：2x+y+4=0与圆C：x2+y2+2x-4y=0的两个交点，
并且有最小面积，则此圆的方程为　　　　　　　　　　.
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x2+y2+x-y+=0
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设圆的方程为x2+y2+2x-4y+λ(2x+y+4)=0， λ∈R，
即x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+4λ=0，
此时圆心坐标为，
当圆心在直线2x+y+4=0上时，圆的半径最小，从而面积最小，
∴2(-1-λ)++4=0，解得λ=，
则所求圆的方程为x2+y2+x-y+=0.
解析
9.已知两圆C1：x2+y2-2x+10y-24=0和C2：x2+y2+2x+2y-8=0.
(1)试判断两圆的位置关系；
将两圆方程分别化为标准方程为C1：(x-1)2+(y+5)2=50，C2：(x+1)2+ (y+1)2=10，则圆C1的圆心为(1，-5)，半径r1=5；圆C2的圆心为(-1，-1)，半径r2=.又|C1C2|=2，r1+r2=5+，r1-r2=5-，所以r1-r2<|C1C2|解
答案
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(2)求公共弦所在的直线方程；
将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x-2y+4=0.
解
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(3)求公共弦的长度.
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方法一　两方程联立，得方程组
两式相减得x=2y-4，　　　　　　　　　　 ③
把③代入②得y2-2y=0，解得y1=0，y2=2，
所以所以两圆交点坐标为(-4，0)和(0，2)，
所以两圆的公共弦长为=2.
解
答案
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方法二　由(2)知x-2y+4=0为两圆公共弦所在直线的方程.
由(1)知圆C1的圆心为(1，-5)，半径r1=5，圆心C1到直线x-2y+4=0的距离d==3，
所以两圆的公共弦长为2=2=2.
解
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10.已知圆C：x2+y2-6x-8y+21=0.
(1)若直线l1过定点A(1，1)，且与圆C相切，求l1的方程；
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圆C：x2+y2-6x-8y+21=0化为标准方程为(x-3)2+(y-4)2=4，
所以圆C的圆心为(3，4)，半径为2.
①若直线l1的斜率不存在，即直线为x=1，符合题意.
②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y-1=k(x-1).
即kx-y-k+1=0.由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，
所以=2，即=2，
解得k=，所以直线方程为5x-12y+7=0.
综上，所求l1的方程为x=1或5x-12y+7=0.
解
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x-y+2=0上，且与圆C外切，求圆D的方程.
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依题意，设D(a，a+2).
又已知圆C的圆心为(3，4)，半径为2，
由两圆外切，可知|CD|=5，
所以=5，
解得a=-1或a=6.所以D(-1，1)或D(6，8)，
所以所求圆D的方程为(x+1)2+(y-1)2=9或(x-6)2+(y-8)2=9.
解
11.已知点A(1，0)，B(1，6)，圆C：x2+y2-10x-12y+m=0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB=90°，则m等于
A.-3或3 B.57
C.-3或57 D.3或57
√
综合运用
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由题意得，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切.
因为A(1，0)，B(1，6)，
所以以AB为直径的圆M的方程为(x-1)2+(y-3)2=9，
圆C：(x-5)2+(y-6)2=61-m.
因为两圆相切，
所以|CM|=|3±|，即5=|3±|，
解得m=57或m=-3.
解析
12.(多选)若圆C1：x2+y2=1，圆C2：(x-3)2+(y-b)2=r2(r>0)，则
A.当b=4时，若圆C1与圆C2有且仅有三条公切线，则r=4
B.当r=4时，若圆C1与圆C2有且仅有两条公切线，则b的取值范围是(-4，4)
C.当r=5时，存在实数b，使得圆C1与圆C2无公切线
D.若存在实数b，使得圆C1与圆C2有且仅有三条公切线，则r的取值范围
是[2，+∞)
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当b=4时，若两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以|C1C2|=r+1，即=r+1，得r=4，故A正确；
当r=4时，若两圆有两条公切线，则两圆相交，所以4-1<|C1C2|<4+1，即3<<5，解得-4当r=5时，若两圆无公切线，则两圆内含，所以|C1C2|<5-1，即<4，解得b2<7，得-若两圆有三条公切线，则两圆外切，所以|C1C2|=r+1，即=r+1，若存在b使两圆有三条公切线，则r+1=≥3，即r≥2，故D正确.
解析
13.如图，A(2，0)，B(1，1)，C(-1，1)，D(-2，0)， 是以OD为直径的圆上一段圆弧， 是以BC为直径的圆上一段圆弧， 是以OA为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线W，则下列说法错误的是
A.曲线W与x轴围成的图形的面积等于2π
B.曲线W上有5个整点(横纵坐标均为整数的点)
C. 所在圆的方程为x2+(y-1)2=1
D. 与 的公切线方程为x+y=+1
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由已知点的坐标知，曲线W与x轴围成的图形为一个半圆、两个四分之一圆及一个长方形，且圆的半径都为1，由题意，面积为π×12+2×1= π+2，A错；
解析
由图知，曲线W上除A，B，C，D为整点，还有(0，2)，共5个整点，B对；
由题意得， 所在圆的半径为1，圆心为(0，1)，对应圆的方程为x2+(y-1)2=1，C对；
答案
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由题意， 所在圆的方程为(x-1)2+y2=1，故圆心为(1，0)，由图知，
与 的公切线的斜率存在且为负值，
设为y=kx+m且k<0，m>0，所以
即公切线方程为x+y=+1，D对.
解析
14.在平面直角坐标系Oxy中，圆C：x2-2ax+y2-2ay+2a2-1=0上存在点P到
点(0，1)的距离为2，则实数a的取值范围是　　　　　　 　.
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∪
因为圆C：x2-2ax+y2-2ay+2a2-1=0，所以(x-a)2+(y-a)2=1，
其圆心C(a，a)，半径r=1.
因为点P到点(0，1)的距离为2，所以P点的轨迹为x2+(y-1)2=4.
因为P又在(x-a)2+(y-a)2=1上，
所以圆C与圆x2+(y-1)2=4有交点，
即2-1≤≤2+1，
解得≤a≤0或1≤a≤.
所以实数a的取值范围是∪.
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15.为测量一工件的内圆弧AB对应的半径R，工人将三个半径均为10 mm的圆柱形量棒O1，O2，O3放在与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺下沿水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直深度h=6 mm(如图所示)，
则R=　　　mm.
拓广探究
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如图，设两圆O1，O2外切于点M，连接OM，作O1N⊥OO2交OO2于点N，
点D为线段OO2与圆O2的交点，
则|DE|=h=6，|NE|=10，|O2M|=10，|O2N|=10-|DN|=h=6，
因为∠O1NO2=∠OMO2=90°，
∠O1O2N=∠OO2M，
所以△O1NO2∽△OMO2，所以=，
所以=，解得R=.
解析
16.在平面直角坐标系Oxy中，已知圆C1的方程为+y2=10，圆C2过点M，且与圆C1外切于点N.
(1)求圆C2的方程；
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设圆C2的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，
因为圆C1的方程为+y2=10，
所以圆C1的圆心坐标为C1，
因为圆C2与圆C1外切于点N，
所以圆C2的圆心在直线C1N上，
因为直线C1N的方程为y=-，
所以b=-，
解
因为圆C2过点M，
且与圆C1外切于点N，
所以解得
所以圆C2的方程为x2+=.
解
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(2)设斜率为2的直线m分别交x轴负半轴和y轴正半轴于A，B两点，交圆C2在第二象限的部分于E，F两点.若△AOE与△BOF的面积相等，求直线m的方程.
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如图，设直线m的方程为y=2x+t(t>0)，
则A，B(0，t)，
因为圆C2的方程为x2+=，
所以圆C2与y轴正半轴的交点的坐标为，
因为直线m交圆C2在第二象限的部分于E，F两点，
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所以圆心C2到直线m的距离满足<且t>，
所以因为△AOE与△BOF的面积相等，
则AE=BF，所以EF，AB的中点重合.
所以EF的中点D，
因为C2D⊥EF，C2，
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所以·kEF=-1，即×2=-1，
解得t=4满足①式，
所以直线m的方程为y=2x+4，即2x-y+4=0.
解
第二章　 §2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系
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