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(共106张PPT)
3.1.1
椭圆及其标准方程
第三章　§3.1　椭圆
<<<
1.理解并掌握椭圆的定义.
2.掌握椭圆的标准方程的推导(难点).
3.会求简单的椭圆的标准方程(重点).
学习目标
椭圆是一种很美的数学曲线，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用.例如，神舟十九号载人飞船在进入太空后，先以椭圆轨道运行，
导 语
后经过变轨调整为圆形轨道.那么，椭圆上的点满足什么条件，如何精确地画出一个椭圆呢？今天我们来研究一番.
一、椭圆的定义
二、椭圆的标准方程
课时对点练
三、椭圆的焦点三角形
随堂演练
内容索引
椭圆的定义
一
提示　椭圆，笔尖(动点)到两个定点的距离的和等于常数.
取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2(如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
问题1
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 的点的轨迹叫做椭圆，这 叫做椭圆的焦点， 叫做椭圆的焦距，焦距的 称为半焦距.
常数(大于|F1F2|)
两个定点
两焦点间的距离
一半
(1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值.
(2)定值必须大于两定点间的距离.
(3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段.
(4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在.
注 意 点
<<<
(1)设F1，F2为定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=10，则动点M的轨迹是
A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段
√
例 1
∵|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|=6，
由椭圆定义知，动点M的轨迹为椭圆.
解析
(2)已知点A(-1，0)，B(1，0)，动点P(x，y)满足|PA|+|PB|=1，则动点P的轨迹是
A.椭圆 B.直线 C.线段 D.不存在
√
由题设知|PA|+|PB|=1<|AB|=2，
则动点P的轨迹不存在.
解析
椭圆定义的理解
(1)椭圆定义中包含一动点和两定点.
(2)椭圆定义要求动点到两定点间的距离之和大于两定点间的距离.
反
思
感
悟
下列说法中正确的是
A.到点M(-4，0)，N(4，0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆
B.到点M(0，-4)，N(0，4)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
C.到点M(-4，0)，N(4，0)的距离之和等于11的点的轨迹是椭圆
D.到点M(0，-4)，N(0，4)的距离相等的点的轨迹是椭圆
跟踪训练 1
√
由椭圆定义知，C正确.
解析
二
椭圆的标准方程
观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
问题2
提示　观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，如图所示，设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，那么焦点F1，F2的坐标分别为(-c，0)，(c，0).
根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集P={M||MF1|+|MF2|=2a}.因为|MF1|=，|MF2|=，
所以+=2a. ①
为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，
得=2a-. ②
对方程②两边平方，得
(x+c)2+y2=4a2 -4a+(x-c)2+y2，
整理，得a2-cx=a， ③
对方程③两边平方，得
a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2，
整理，得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)， ④
将方程④两边同除以a2(a2-c2)，得
+=1， ⑤
由椭圆的定义可知，2a>2c>0，即a>c>0，
所以a2-c2>0.
令b=，
那么方程⑤就是+=1(a>b>0). ⑥
我们将方程⑥称为焦点在x轴上的椭圆方程.
如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，-c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
问题3
提示　+=1(a>b>0).
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 _______________ ________________
图形
焦点坐标 __________________ __________________
a，b，c的关系 ________ +=1(a>b>0)
+=1(a>b>0)
F1(-c，0)，F2(c，0)
F1(0，-c)，F2(0，c)
b2=a2-c2
(1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a.
(2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在对应的坐标轴上.
注 意 点
<<<
(课本例1)　已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2，0)，(2，0)，并且经过点求它的标准方程.
例 2
由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为+=1(a>b>0).
由椭圆的定义知c=2，
2a=+=2
所以a=.
所以b2=a2-c2=10-4=6.
所以，所求椭圆的标准方程为+=1.
解
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
例 2
因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为+=1(a>b>0).
又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
所以
所以所求椭圆的标准方程为+x2=1.
解
(2)两个焦点的坐标分别是(0，-2)，(0，2)，并且椭圆经过点；
方法一　由题意得椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为+=1(a>b>0)，
由椭圆的定义知，
2a=+=2，
即a=，
又c=2，所以b2=a2-c2=6，
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
解
方法二　由题意得椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为+=1(a>b>0)，
由题意知
解得
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
解
(3)经过点P，Q.
方法一　(分类讨论法)
①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
依题意，有
由a>b>0，知不符合题意，故舍去；
解
②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
依题意，有
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
解
方法二　(待定系数法)
设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n).
则
所以所求椭圆的方程为5x2+4y2=1，
故椭圆的标准方程为+=1.
解
(1)求椭圆标准方程时，首先要进行“定位”，即确定焦点的位置，其次是进行“定量”，即确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解.
(2)椭圆的两种标准方程可以写成统一形式mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n).
反
思
感
悟
求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点(2，-)，；
跟踪训练 2
方法一　(分类讨论法)
①若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
由已知条件得
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
②若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
解
由已知条件得
则a2b>0矛盾，舍去.
综上，所求椭圆的标准方程为+=1.
解
方法二　(待定系数法)
设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n).
将两点(2，-代入，
得
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
解
(2)过点(，-)，且与椭圆+=1有相同的焦点.
因为所求椭圆与椭圆+=1的焦点相同，
所以其焦点在y轴上，
且c2=25-9=16.
设它的标准方程为+=1(a>b>0).
因为c2=16，且c2=a2-b2，
所以a2-b2=16. ①
又点(，-)在椭圆上，
解
所以+=1，
即+=1. ②
由①②得b2=4，a2=20，
所以所求椭圆的标准方程为+=1.
解
椭圆的焦点三角形
三
已知P为椭圆+=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，∠F1PF2=60°，求△F1PF2的面积.
例 3
由已知得a=2，b=，
所以c===3，
从而|F1F2|=2c=6，在△F1PF2中，
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|. ①
由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=4，
即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|. ②
由①②得|PF1|·|PF2|=4.
所以=|PF1|·|PF2|·sin 60°=.
解
若将本例中“∠F1PF2=60°”变为“∠PF1F2=90°”，求△F1PF2的面积.
延伸探究
由已知得a=2，b=，
所以c===3.
从而|F1F2|=2c=6.
在△F1PF2中，由勾股定理可得
|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2，
即|PF2|2=|PF1|2+36，
又由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=4，
所以|PF2|=4-|PF1|.
解
从而有(4-|PF1|)2=|PF1|2+36，
解得|PF1|=.
所以=·|PF1|·|F1F2|=××6=，
即△F1PF2的面积是.
解
椭圆焦点三角形的常用结论
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化.
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，焦点三角形的周长为2a+2c.
反
思
感
悟
设P为椭圆C：+=1上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且△PF1F2的重心为点G，若|PF1|∶|PF2|=3∶4，那么△GPF1的面积为
A.24 B.12 C.8 D.6
跟踪训练 3
√
∵P为椭圆C：+=1上一点，
|PF1|∶|PF2|=3∶4，|PF1|+|PF2|=2a=14，
∴|PF1|=6，|PF2|=8.
又|F1F2|=2c=2=10，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，
∴△PF1F2是直角三角形，
=|PF1|·|PF2|=24.
∵△PF1F2的重心为点G，
∴=3，∴△GPF1的面积为8.
解析
1.知识清单：
(1)椭圆的定义及其应用.
(2)椭圆的标准方程.
(3)椭圆的焦点三角形.
2.方法归纳：分类讨论、待定系数法.
3.常见误区：
(1)忽视椭圆定义中a，b，c的关系.
(2)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.点P为椭圆+=1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若|PF1|=3，则|PF2|等于
A.13 B.1 C.7 D.5
√
由已知得a=4，
|PF2|=2a-|PF1|=8-3=5.
解析
1
2
3
4
2.已知椭圆的焦点为(-1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为
A.+=1 B.+y2=1
C.+=1 D.+x2=1
√
由已知得c=1，又由点P(2，0)在椭圆上，
可得a=2，则b2=3，
∴椭圆的方程为+=1.
解析
1
2
3
4
3.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是
A.(0，+∞) B.(0，2)
C.(1，+∞) D.(0，1)
√
∵方程x2+ky2=2，
即+=1表示焦点在y轴上的椭圆，
∴>2，故0解析
1
2
3
4
4.已知点A，B是椭圆C：+=1上关于原点对称的两点，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，若|AF1|=2，则|BF1|等于
A.1 B.2 C.4 D.5
√
1
2
3
4
因为|OA|=|OB|，|OF1|=|OF2|，
所以四边形AF1BF2是平行四边形，
所以|BF1|=|AF2|.
由椭圆的定义得|AF2|=2×3-|AF1|=6-2=4，
所以|BF1|=4.
解析
课时对点练
五
对一对
答案
1
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11
12
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14
15
16
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 AC A C C C A +=1
题号 8 11 12 13 14 　15
答案 B CD 4+2 　B
9.
答案
1
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3
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16
(1)由椭圆的定义得，2a=|PF1|+|PF2|=4，
∴a=2，在△PF1F2中，由余弦定理可得，
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 120°，∴4c2=15，
∴c=b2=a2-c2=4-=
故椭圆C+4y2=1.
(2=|PF1||PF2|sin 120°=×(2+×(2-×=.
10.
答案
1
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(1)方法一　由题意，知椭圆N的焦点为(-2，0)，(2，0)，
设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)，
化简并整理得5b4+11b2-16=0，
故b2=1或b2=-a2=5，
故椭圆M+y2=1.
10.
答案
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16
方法二　由题意，知椭圆N的焦点为(-2，0)，(2，0)，
设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)，
则2a=+=2
所以a=因为c=2，所以b2=a2-c2=1.
故椭圆M+y2=1.
10.
答案
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(2)由(1)知F1(-2，0)，F2(2，0)，设P(x0，y0)，
则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1，解得y0=±.
+=1，=x0=±
所以点P有4
.
16.
答案
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(1)由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c=4，则c=2，a=4，故b=2
∴曲线C+=1.
(2)由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群距A，B两岛的距离分别为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2，0)，
由|PB|=3，=3，
16.
答案
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16
∴
∴点P的坐标为(2，3)或(2，-3).
基础巩固
1.(多选)已知在平面直角坐标系中，点A(-3，0)，B(3，0)，点P为一动点，且|PA|+|PB|=2a(a≥0)，下列说法中正确的是
A.当a=2时，点P的轨迹不存在
B.当a=4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3
C.当a=4时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6
D.当a=3时，点P的轨迹是以AB为直径的圆
√
答案
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15
16
√
答案
1
2
3
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15
16
当a=2时，2a=4<|AB|，故点P的轨迹不存在，A正确；
当a=4时，2a=8>|AB|，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为|AB|=6，B错误，C正确；
当a=3时，2a=6=|AB|，故点P的轨迹为线段AB，D错误.
解析
2.过点P和点Q的椭圆的标准方程是
A.+x2=1
B.+y2=1或+x2=1
C.+y2=1
D.以上都不对
√
答案
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设椭圆方程为Ax2+By2=1(A>0，B>0，A≠B)，
由题意得
所以此椭圆的标准方程为+x2=1.
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答案
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3.已知曲线C：+=1，则“a>0”是“曲线C是椭圆”的
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
√
答案
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若曲线C是椭圆，则有
解得a>0，且a≠2，
故“a>0”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件.
解析
4.设P为椭圆+=1上的任意一点，F1，F2为其上、下焦点，则|PF1|·|PF2|的最大值是
A.4 B.6 C.9 D.12
√
|PF1|+|PF2|=2a=6，
|PF1|·|PF2|≤=9，
当且仅当|PF1|=|PF2|=3时取等号.
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答案
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5.若椭圆+=1的焦距为2，则m的值为
A.5 B.5或8 C.5或3 D.3
√
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当椭圆+=1的焦点在x轴上时，
则有m-4=12，解得m=5；
当椭圆+=1的焦点在y轴上时，
则有4-m=12，解得m=3，
所以m的值为5或3.
解析
6.P是椭圆+=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·
|PF2|=12，则∠F1PF2的大小为
A.60° B.30° C.120° D.150°
√
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由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=8，|F1F2|=2，
∴(|PF1|+|PF2|)2=64，
∵|PF1|·|PF2|=12，∴|PF1|2+|PF2|2=40，
在△F1PF2中，
由余弦定理得cos∠F1PF2==，
∵0°<∠F1PF2<180°，
∴∠F1PF2=60°.
解析
7.已知椭圆的焦点F1，F2在x轴上，且经过点P(2，)，同时|PF1|+|PF2|
=2|F1F2|，则椭圆的标准方程为　　　　　.
答案
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+=1
答案
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由已知，可设椭圆的方程为+=1(a>b>0)，椭圆经过点P(2，)，
则+=1(a>b>0)， (*)
又|PF1|+|PF2|=2|F1F2|，
由椭圆定义得2a=4c，即a2=4c2，
因为a2-b2=c2，所以b2=3c2，代入(*)式
得c2=2，所以a2=8，b2=6，
所以椭圆的标准方程为+=1.
解析
8.已知椭圆+=1(a>2)的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在椭圆上，PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积是2，则a=　　　.
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根据椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，
由PF1⊥PF2，得△PF1F2为直角三角形，∴|PF1|2+|PF2|2=(2c)2，
又∵△PF1F2的面积为2，
∴·|PF1|·|PF2|=2，则|PF1|·|PF2|=4，
∴(2a)2=(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=4c2+8，
可得a2-c2=2=b2，
由+=1可得b2=a2-4，∴a2-4=2，
解得a=.
解析
9.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上一点，∠F1PF2=120°，|PF1|=2+，|PF2|=2-.
(1)求椭圆C的方程；
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由椭圆的定义得，2a=|PF1|+|PF2|=4，∴a=2，
在△PF1F2中，由余弦定理可得，
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos 120°，
∴4c2=15，∴c=，b2=a2-c2=4-=，
故椭圆C的方程为+4y2=1.
解
(2)求△PF1F2的面积.
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=|PF1||PF2|sin 120°=×(2+)×(2-)×=.
解
10.已知椭圆M与椭圆N：+=1有相同的焦点，且椭圆M过点.
(1)求椭圆M的标准方程；
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方法一　由题意，知椭圆N的焦点为(-2，0)，(2，0)，
设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)，
则化简并整理得5b4+11b2-16=0，
故b2=1或b2=-(舍去)，a2=5，
故椭圆M的标准方程为+y2=1.
解
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方法二　由题意，知椭圆N的焦点为(-2，0)，(2，0)，
设椭圆M的方程为+=1(a>b>0)，
则2a=+=2，
所以a=，因为c=2，所以b2=a2-c2=1.
故椭圆M的标准方程为+y2=1.
解
(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标.
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由(1)知F1(-2，0)，F2(2，0)，设P(x0，y0)，
则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1，
解得y0=±.又+=1，
所以=，x0=±，
所以点P有4个，
它们的坐标分别为.
解
11.已知椭圆C：+=1上一点P到左焦点F的距离为8，O为坐标原点，若点M满足=+，则||等于
A.6 B.4 C. D.2
√
综合运用
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设椭圆C的右焦点为F2，连接PF，PF2，取PF的中点为N，如图所示，
由椭圆定义可知|PF|+|PF2|=2a=12，又|PF|=8，可得|PF2|=4.
易知=+=2，
所以||=2||，
又因为O为FF2的中点，
所以ON∥PF2，且|ON|=|PF2|=2，
可得||=4.
解析
12.(多选)已知P是椭圆E：+=1上一点，F1，F2是椭圆E的左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是
A.点P的纵坐标为3
B.∠F1PF2>
C.△F1PF2的周长为4(+1)
D.△F1PF2的内切圆半径为
√
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√
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由已知得a=2，b=2，c=2，F1(-2，0)，F2(2，0).
设P(m，n)，
则=·2c·|n|=3，
解得n=±，故A错误；
由+=1，解得m2=.
不妨设m>0，n>0，则P，
解析
答案
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∴|PF1|2=+=+2，
|PF2|2=+=-2，
∴|PF1|2+|PF2|2-(2c)2=×2-16=>0，
∴cos∠F1PF2=>0，
∴∠F1PF2<，故B错误；
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△F1PF2的周长=2a+2c=4(+1)，故C正确；
设△F1PF2的内切圆半径为r，
则×4(+1)r=3，
∴r=，故D正确.
解析
13.如图，椭圆C：+y2=1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆C上，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4，则△PF1F2的周长是　　　 　.
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4+2
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因为M，O，N分别为PF1，F1F2，PF2的中点，所以MO∥PN，|MO|=|PN|，则四边形OMPN是平行四边形，所以|MP|=|ON|，由四边形OMPN的周长为4可知，
|PF1|+|PF2|=2(|PM|+|PN|)=4，
即2a=4，所以a=2，则c==，
于是△PF1F2的周长是2a+2c=4+2.
解析
14.在平面直角坐标系Oxy中，已知△ABC的顶点A(-3，0)和C(3，0)，顶点B在椭圆+=1上，则=　　　.
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由椭圆的方程得a=5，b=4，c=3.
则△ABC的顶点A(-3，0)和C(3，0)分别为椭圆的左、右焦点，顶点B在椭圆+=1上，
∴|BC|+|AB|=2a=10，
∴由正弦定理可知===.
解析
15.已知F1是椭圆+=1的左焦点，P是椭圆上的动点，A(1，1)为定点，则|PA|+|PF1|的最小值是
A.9- B.6- C.3+ D.6+
拓广探究
√
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如图所示，设点F2为椭圆的右焦点，则F2(2，0)，
连接F2A并延长交椭圆于点P'，连接P'F1，PF2.
∵|PF1|+|PF2|=2a=6，
∴|PF1|=6-|PF2|，
∴|PA|+|PF1|=|PA|+6-|PF2|=6+(|PA|-|PF2|).
当点P位于P'时，|PA|-|PF2|最小，
其值为-|AF2|=-，
此时|PA|+|PF1|的最小值为6-.
解析
16.某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4海里处，研究发现，某种鱼群在距A岛、B岛距离之和为8海里处洄游，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示.
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(1)求鱼群的洄游路线曲线C的标准方程；
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由题意知曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c=4，则c=2，a=4，故b=2，
∴曲线C的标准方程为+=1.
解
(2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声呐探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)？
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由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5∶3，因此鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群距A，B两岛的距离分别为5海里和3海里，设P(x，y)，B(2，0)，由|PB|=3，
得=3，
∴解得
∴点P的坐标为(2，3)或(2，-3).
解
第三章　§3.1　椭圆
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