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2024-2025学年青海省西宁市第二中学优质教育集团高二下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若与垂直，则( )
A. B. C. D.
4.已知分别为曲线和直线上的点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知圆锥的体积为，其侧面积与底面积的比为，则该圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线相切于点若，则圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
8.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.已知函数，则的图象( )
A. 关于直线对称
B. 关于点成中心对称
C. 相邻对称轴之间的距离为
D. 向右平移个单位可以得到的图象
10.下列说法正确的是( )
A. 若关于的线性回归方程为，则样本点的残差为
B. 已知数据，，，的极差为，方差为，则数据，，，的极差为，方差为
C. 数据，，，，的第百分位数是
D. ，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越“矮胖”
11.已知数列的前项和，则( )
A.
B.
C. 前项和为
D.
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.二项式的展开式中，项的系数为 ．
13.一质点在平面内每次只能向左或向右跳动个单位，且第次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为记第次向左跳动的概率为，则 ； 用表示
14.如图，正方体的棱长为，则三棱锥外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.某地区为发展新型农业，使用最新型的科技设备改良土壤，经过检测合格后，在年开始在实验田种植，并记录了年的小麦的产量，得到数据如下表
年份代码
产量吨
从该实验田的小麦产量数据中任取年的数据，若在至少有年的产量不低于吨的条件下，求年的产量都高于吨的概率；
已知这年间有一年由于干旱，导致小麦损失很大．若剔除干旱因素导致的异常，经计算，与有线性关系，求该经验回归方程，并预测在排除干旱因素影响的情况下，第年年该试验田小麦的产量．
附：．
16.已知函数．
若在处的切线方程为，求、的值；
讨论的单调性；
若恒成立，求的取值范围．
17.如图，在空间几何体中，平面，，，，，，分别为，的中点．

证明：平面．
求直线与平面所成角的正弦值．
18.某商场举办购物抽奖活动，在一个不透明的袋子中放入个大小材质都相同的小球，小球有红和蓝两种颜色，每个小球上都画有符号“”或“”，不同颜色和符号的小球个数如下表所示从袋中随机摸出一个球，记事件为“摸出红球”，事件为“摸出画的球”．
红球 蓝球
画
画
求和．
该商场规定在一次抽奖中，每人有放回地摸两次球，每次只摸出一个球，根据两次摸出球的颜色和符号是否相同设置三种奖项：颜色和符号均相同则奖励元；仅颜色相同或仅符号相同则奖励元；颜色和符号均不相同则奖励元设一次抽奖获得的奖金为元，求的分布列和数学期望．
19.已知椭圆，椭圆以椭圆的短轴为长轴，且与椭圆有相同的焦距．椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点．
求椭圆的标准方程；
若直线的方程为，求；
若直线过坐标原点，且四边形是矩形，求四边形的面积．
参考答案
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15.解：由表知，这年的小麦产量数据中，有年的产量不低于吨，年的产量低于吨，
记“这年中任取年，至少有年的产量不低于吨”，“这年中任取年，年的产量都高于吨”，
则，
所以．
由表可知，第七年的数据异常，剔除第七年的数据，
则剩余年的数据中，
，，
，
，
所以，
所以，
所以与的经验回归方程为，
当时，吨．
所以在排除干旱因素影响的情况下，预测第八年该试验田产量为吨．

16.解：由，
由题可知，，
将切点代入切线方程，得．
，
当时，恒成立，此时在在上单调递增；
当时，得；得；
则在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在单调递增．
由得，
令，
则，
则得；得或；
所以在和上单调递减，在上单调递增，
又，时，
所以，故，
故的取值范围为

17.解：由平面，平面，则，
又，，易得四边形是矩形．
连接，则为的中点，又为的中点，
所以为的中位线，即．
因为平面，平面，所以平面．
连接，因为为的中点，，所以．
因为，，所以四边形为矩形，则，
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．
设，由题意得，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，则，取．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．

18.解：由题意得，
．
在一次摸球的结果中，
．
由题意知的所有可能取值为，
且，
，
．
即的分布列为
所以．

19.解：椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为，
依题意，椭圆的焦点在轴上，其长半轴长，半焦距，则短半轴长，
所以椭圆的标准方程为．
由消去并整理得，设，
则，所以．
由知，，由四边形是矩形，得，
则，而，
所以四边形的面积．

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