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2024-2025学年四川省广安市高一（下）期末数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 5 2 是关于 的方程 2 + = 0( , ∈ )的一个根，则 的值为( )
A. 10 B. 6 C. 6 D. 10
2.收集到一组数据：10，20，30，70，80，90，100，110，则该组数据的第 75 百分位数是( )
A. 85 B. 90 C. 95 D. 100
3.复数 = 1 (其中 是虚数单位)的虚部是( )
A. 1 B. C. 1 D.
4.在平行四边形 中， 是边 靠近 的三等分点， 与 交于点 ，设 = , = ，则 =( )
A. 1 + 1 4 2 B.
2
3 +
1
3
C. 3 + 1 1 1 4 4 D. 6 + 2
5.已知 、 为两条不同的直线， 为一个平面，则下列结论中正确的是( )
A.若 // ， ，则 // B.若 // ， // ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 // ， ⊥ ，则 ⊥
6.某景区准备在两座山峰的山顶之间建设索道，需要预先测量这两个山顶之间的距离.设两座山峰的山顶分
别为 ， ，它们对应的山脚位置分别为 1， 1，在山脚附近的一块平地上找到一点 ( , 1, 1所在的平面
与山体垂直)，使得△ 1 1 是以 1

1为斜边的等腰直角三角形，现从 处测得到 ， 两点的仰角分别是3

和6，若 到 1的距离为 1 千米，则两个峰顶的直线距离为( )
A. 303 千米
B. 213 千米
C. 4 33 千米
D. 53千米
7.已知 为虚数单位，复数 满足( + 2 ) = 1 + ，则| | =( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 22
8.在三棱锥 中，底面△ 为斜边 = 2 2的等腰直角三角形，顶点 在底面 上的射影为
的中点.若 = 2， 为线段 上的一个动点，则 + 的最小值为( )
A. 6 + 2 B. 2 3 C. 2( 3 + 1) D. 2( 3 1)
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.2024 年 10 月央行再次下调人民币存款利率，存款利率下调是为了刺激经济增长促进投资和消费而采取
的一种货币政策.下表为某银行近年来的人民币一年定期存款利率：
时间 2018 年 2019 年 2020 年 2021 年 2022 年 2023 年 2024 年
利率% 1.55 1.50 1.75 1.75 1.55 1.85 1.65
关于表中的 7 个存款利率数据，下列结论正确的是( )
A.极差为 0.35 B.平均数小于 1.65
C.中位数为 1.65 D. 20%分位数为 1.50
10.已知向量 ， 满足| | = 1，| | = 1，| + | = 3，则下列结论中正确的有( )
A. 1与 夹角为6 B.
= 2
C. | | = 1 D. 与 夹角为3
11.已知圆锥 的底面半径为 1，母线 长为 4，底面圆周上有一动点 ，则( )
A. 15 圆锥的体积为 3
B. 圆锥的侧面展开图的圆心角大小为2
C.圆锥截面 的面积的最大值为 15
D.若 ∈ ，且 = 1，则从点 出发绕圆锥侧面一周到达点 的最短长度为 4 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.某学校师生共有 3600 人，现用分层抽样方法抽取一个容量为 240 的样本，已知样本中教师人数为 30
人，则该校学生人数为______．
13.在△ 中， ， 分别是边 ， 的中点，已知 = 5， = 13, = 4，
则△ 的面积为______．
14.已知 ⊥平面 ， ⊥ ，∠ = 30°， ⊥ 于 ， ⊥ 于 ，
在 上，且满足 // ，则四面体 与 的外接球的体积比的
取值范围为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
已知复数 = 1 2 ．
(Ⅰ)求| |；
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(Ⅱ) 若 1 = 3+4 ，求 1；
(Ⅲ)若| 2| = 5，且 2是纯虚数，求 2．
16.(本小题 12 分)
已知 = (sin( + 6 ), 1)， = (2 3, 2)，且 与
共线．
(1)求 cos( 6 )的值；
(2)若 ∈ ( 5 2 , 2 )，求 的值．
17.(本小题 12 分)
某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了“我知红楼“知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽
取 100 份作为样本，将样本数据(满分 100 分，成绩均为不低于 40 分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，
，[90,100]，并作出如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中 的值；
(2)求样本数据的第 62 百分位数；
(3)若落在[50,60)中的样本数据平均数是 52，方差是 6；落在[60,70)中的样本数据平均数是 64，方差是 3，

求这两组数据的总平均数 和方差 2．
18.(本小题 12 分)
已知向量 = ( , )， = ( 3 , )，设函数 ( ) = 12， ∈ ．
(1)求 ( )的最小正周期；
(2)求 ( )的单调递增区间；
(3)设 ∈ (0, ) ，且 tan( 6 ) =
1
2，5 ( ) = 6 ( )，求 的值．
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19.(本小题 12 分)
如图，已知三棱柱 1 1 1的底面是正三角形，侧面 1 1 是矩形， ， 分别为 ， 1 1的中点，
为 上一点，过 1 1和 的平面交 于 ，交 于 ．
(1)求证： 1 1// ；
(2)求证： ⊥ 1 1；
(3) 4 3设 1与平面 1 1所成角为 30°，且 = 3 ， 1 = 2， = 3.求四棱锥 1 1 的体积．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3150
13.12
14.( 8 3 , 64 39 9 )
15.解：(Ⅰ) ∵复数 = 1 2 ，
∴ | | = 12 + ( 2)2 = 5；
(Ⅱ) ∵复数 = 1 2 ，
∴ = = 1 2 = (1 2 )(3 4 ) = 3 4 6 +8
2 5 10
1 3+4 3+4 (3+4 )(3 4 ) 32 (4 )2 = 25 =
1 2
5 5 ；
(Ⅲ)设 2 = + ，
∵ | | = 2 + 22 = 5，
∴ 2 + 2 = 5①，
又∵ 2 = (1 2 )( + ) = ( + 2 ) + ( 2 ) ，
∴ + 2 = 0， 2 ≠ 0②，
= 2 = 2
由①②联立，解得 = 1或 = 1. ，
∴ 2 = 2 或 2 = 2 + ．
16.(1) = (sin( + 6 ), 1)， = (2 3, 2)，且 与 共线，
得 2 ( + 6 ) + 2 3 = 0，则 3 + 3 3 = 0，
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2 3sin( + 3 ) = 3，sin( +

3 ) =
3
2 ，
则 cos( 6 ) = cos[
( + )] = sin( + 2 3 3 ) =
3
2 ．
(2)由(1) 3 知 sin( + 3 ) = 2 ， ∈ ( 2 ,
5 ) + ∈ ( 5 2 ，则 3 6 ,
17
6 )，
故 + 3 =
7 8 7
3或 3， = 2 或 3．
17.解：(1)根据题意可知，(0.005 + 0.010 + 0.020 + + 0.025 + 0.010) × 10 = 1，解得 = 0.030；
(2)因为(0.005 + 0.010 + 0.020) × 10 = 0.35，(0.005 + 0.010 + 0.020 + 0.030) × 10 = 0.65，
所以样本数据的第 62 百分位数在[70,80)内，可得 70 + 0.62 0.350.3 × 10 = 79，
所以样本数据的第 62 百分位数为 79 分；
(3)样本数据落在[50,60)的个数为 0.1 × 100 = 10，落在[60,70)的个数为 0.2 × 100 = 20，

= 10 2010+20 × 52 + 10+20 × 64 = 60，
总方差 2 = 10 2 20 210+20 [6 + (52 60) ] + 10+20 [3 + (64 60) ] = 36．
18.(1)已知向量 = ( , )， = ( 3 , )，设函数 ( ) = 12， ∈ ，
则 ( ) = 3 + cos2 1 = 32 2 (2 ) +
1
2 (2
2 1)
= 32 2 +
1
2 2 = sin(2 +

6 )，
= 2 2 由 | | = 2 = ，
得 ( )的最小正周期为 ．
(2)由(1)知 ( ) = sin(2 + 6 )，

令 2 + 2 ≤ 2 + 6 ≤ 2 + 2 ， ∈ ，
即 3 + ≤ ≤ 6 + ， ∈ ，
所以 ( ) 的单调递增区间为[ 3 + , 6 + ]， ∈ ．
(3) ( ) = sin(2 + ) = cos( 由题意 6 3 2 )
1 tan2(
)
= 2( 6 ) =
6
1+tan2( 6 )
，
又 tan( 16 ) = 2，
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3
所以 ( ) = 5，
又 5 ( ) = 6 ( )，
则 ( ) = 12，
即 sin(2 + 16 ) = 2，
又 ∈ (0, )，
即 2 + 6 ∈ (
, 13 6 6 )，
所以 2 + 6 =
5
6，
即 = 3，
故 的值为3．
19.解：(1)证明：因为四边形 1 1 是矩形，
所以 1 1// ，
又因为 1 1 平面 ， 平面 ，
所以 1 1//平面 ，又因为 1 1 平面 1 1 ，
平面 1 1 ∩平面 = ，
所以 1 1// ；
(2)证明：在等边 中，因为 为 的中点，
所以 ⊥ ，
因为侧面 1 1为矩形，所以 ⊥ 1．
因为 // 1 ，所以 ⊥ ，
又因为 ∩ = ， ， 平面 1，
所以 ⊥平面 1，
因为 平面 1，
所以 ⊥ ，
又因为 // 1 1，
所以 ⊥ 1 1．
(3)过 作 的垂线，垂足为 ，
由(1)(2)可知 // ， ⊥平面 1，
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所以 ⊥平面 1，
又因为 平面 1，
所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ，且 ， 平面 1 1，
所以 ⊥平面 1 1，
又 // 1 ，
则∠ 就是 1与平面 1 1所成的角，
所以∠ = 30°，
因为 = 3, = 2，
所以在△ 中由余弦定理可得： 2 = 2 + 2 2 30° = 3 + 4 2 × 3 × 2 × 32 = 1，
所以 = 1，易知 = 2，即 为 的中点，
因为 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
又 ⊥ 且 ∩ = ，且 ， 平面 1 1，
所以 ⊥平面 1 1 ，
因为四边形 1 1 为梯形且 = 3，
1 2 3 4 3
所以 1 1 = 2 × ( 3 + 3 ) × 3 = 3，
因为 //平面 1 1 ，
1 1
所以 1 1 = 1 1 = 3 1 1 = 3 × 3 × 1 = 1．
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