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2024-2025 学年河南省信阳市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 5.已知复数 与2+ 互为共轭复数，则复数 的虚部为( )
A. 1 B. C. 1 D.
2.下列命题中正确的是( )
A.若直线 上有无数个点不在平面 内，则 //
B.若直线 //平面 ，则直线 与平面 内的任意一条直线都平行
C.若直线 //直线 ，直线 //平面 ，则直线 //平面
D.若直线 //平面 ，则直线 与平面 内的任意一条直线都没有公共点
3.设平面向量 = (4,2)， = ( , 1)，若 与 不能作为平面向量的一组基底，则 =( )
A. 2 B. 10 C. 6 D. 0
4.如图，在△ 中，点 是 的中点， = 3 ，则 =( )
A. 2 1 3 + 3
B. 2 + 1 3 3
C. 5 8 +
3 8
D. 5 3 8 + 8
5.已知两条不同的直线 ， ，两个不同的平面 ， ，则下列命题正确的是( )
A.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // B.若 // ， // ， // ，则 //
C.若 ⊥ ， // ，则 ⊥ D.若 ⊥ ， // ， // ，则 ⊥

6.数据 1， 2， ， 23 10的平均数为 = 4，方差 = 6.4，现在增加两个数据 2 和 6，则这组新数据的标
准差为( )
A. 0.8 B. 6 C. 6.4 D. 6
7.将一个直角边长分别为 3，4 的直角三角形绕其较长直角边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥
内切球的体积为( )
A. 9 2 B. 9 C. 25 D. 27
8.已知非零向量 ， 的夹角为锐角， 为 在 方向上的投影向量，且| | = 2| | = 2，设 + 与 的夹角
为 ，则 的最小值为( )
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A. 32 B.
2 3
5 C.
2 6
5 D. 10
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 = 2 + ( ∈ )， 1 = (1 + ) ，则下列说法正确的是( )
A.若 1在复平面对应的点位于第二象限，则 > 2
B.若 1为纯虚数，则 = 2
C. | |的最小值为 2
D.存在 ∈ ，使 1与 互为共轭复数
10.如图，在正三棱柱 1 1 1中， = 1 = 1， 为线段 1 1上的动
点，则下列结论中正确的是( )
A.点 2到平面 1 的距离为 2
B.平面 1 与底面 的交线平行于 1
C.三棱锥 1 的体积为定值
D.二面角 1

的大小为4
11.在锐角△ 中，设 ， ， 分别表示角 ， ， 对边， = 1， = 1，则下列选项正确的
有( )
A. = 2
B. 的取值范围是( 2, 2)
C. 3 2 7当 = 2时，△ 的外接圆半径为 7
D.若当 ， 变化时， 2 2 3存在最大值，则正数 的取值范围为(0, 3 )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知正六边形 的边长为 2，则 = ______．
13.已知函数 ( ) = log ( 1) + 3 的图象经过定点 ，且幂函数 ( )的图象过点 ，则 (2) = ______．
14.在四棱锥 中，平面 ⊥平面 ， = ， = 2 = 4 ∠ = ∠ = 2 ， ， 3， 3，
若二面角 为4，则四棱锥 外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (1, )， = (2 + 3, )， = ( 3,5)， ∈ ．
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(1)若 // ，求|2 |的值；
(2)若 与 的夹角是钝角，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, < < )的部分图象如图所示．
(1)求 ( )的解析式及单调递增区间；
(2) 5 将函数 = ( )的图象向左平移12个单位长度后得到函数 = ( )图象，若不等式 ( ) ≤ 4 对任意
∈ [0, 4 ]成立，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷.随着 的开源，促进了 技术的共享和进步.某网站
组织经常使用 的人进行了 知识竞赛.从参赛者中随机选出 100 人作为样本，并将这 100 人按成
绩分组：第 1 组[50,60)，第 2 组[60,70)，第 3 组[70,80)，第 4 组[80,90)，第 5 组[90,100]，得到的频率
分布直方图如图所示．
(1)求 ；
(2)求样本数据的中位数与第 35 百分位数；
(3)已知直方图中成绩在[80,90)内的平均数为 85，方差为 10，[90,100]内的平均数为 95，方差为 15，求成
绩在[80,100]内的平均数与方差．
18.(本小题 17 分)
在△ 中，角 ， 1， 所对的边分别为 ， ， ， + = 2 ．
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(1)求 cos∠ ；
(2)已知 = 2 , = 10，求△ 面积的最大值．
19.(本小题 17 分)
如图，四棱锥 中，平面 ⊥平面 ，△ 是边长为 6 的等边三角形， // ， = 2 ，
点 在棱 上，且 = 2 ．
(1)求证： //平面 ；
(2)已知 ⊥ ．
①若二面角 的正切值为 2，求三棱锥 的体积；
②若∠ = ，设直线 与平面 所成的角为 ，若4 ≤ ≤ 3，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 6
13.3
14.49 3
15.解：因为 = (1, )， = (2 + 3, )， = ( 3,5)，
(1)若 / / ，则 = (2 + 3)，
解得 = 0 或 = 2，
当 = 0 时， = (1,0)， = (3,0)，2 = ( 1,0)，|2 | = 1，
当 = 2 时， = (1, 2)， = ( 1,2)，2 = (3, 6)，|2 | = 3 5；
(2)若 与 的夹角是钝角，则 = 3 + 5 < 0 且 与 不共线，
当 与 共线时，5 = 3 ，即 = 53，
3 5
所以 < 5且 ≠ 3，
故 的范围为{ | < 3 55且 ≠ 3 }.
16.(1)由函数 ( ) = ( + )的部分图象知， = 3，
= 4 × ( 7 12 3 ) = ，所以 =
2
= 2，
由 ( 7 12 ) = 3 (2 ×
7
12 + ) = 3
7
，得 6 + =

2 + 2 ， ∈ ；
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解得 = 2 3 + 2 ， ∈ ；
又 < < = 2 ，所以 3， ( ) = 3 (2
2
3 )，
令 2 + 2 ≤ 2
2
3 ≤ 2 + 2 ， ∈ ；

解得12 + ≤ ≤
7
12 + ， ∈ ；
所以 ( ) 7 的单调递增区间为[ 12 + , 12 + ]， ∈ ；
(2)将函数 = ( ) 5 的图象向左平移12个单位长度，
5
得函数 = ( + 12 ) = 3 [2( +
5 ) 2 12 3 ] = 3 (2 +

6 )的图象，
所以 ( ) = 3 (2 + 6 )，
不等式 ( ) ≤ 4 可化为 sin(2 + ) ≤ +46 3 ，
∈ [0, 2 14 ]时，2 + 6 ∈ [ 6 , 3 ]，sin(2 + 6 ) ∈ [ 2 , 1]，
1 ≤ +4由题意，令 3 ，解得 ≥ 1，
所以 的取值范围是{ | ≥ 1}．
17.(1)由题意可得( + 0.015 + 0.020 + 0.003 × 2) × 10 = 1，解得 = 0.005．
(2)前三组频率之和为 0.05 + 0.15 + 0.030 = 0.5，所以样本数据的中位数为 80；
前两组频率之和为(0.005 + 0.015) × 10 = 0.2，
则样本数据的第 35 百分位数落在第三组，设第 35 百分位数为 ，
则( 70) × 0.03 = 0.35 0.2，解得 = 75；
(3)由题意，成绩在[80,90)，[90,100]内的人数分别为 30，20．
85×30+95×20
所以成绩在[80,100]内的平均数为： = 50 = 89，
3
方差为 2 = 5 [10 + (89 85)
2] + 25 [15 + (89 95)
2] = 36．
所以，成绩在[80,100]内的平均数为 89，方差为 36．
18.(1)因为 + = 12 ，
1
由正弦定理， 2 + 2 2 = 2 ，
2 2 2 1
因此 cos∠ = + 2 1；2 = 2 = 4
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(2)由 = 2 ，
得 = + 2 = + 2 ( ) = 1 + 2 3 3 3 3 ，
因此 2 = 19 (
+ 2 )2 = 1 ( 2 + 4 29 + 4 ×
1 1
4 ) = 9 (
2 + 4 2 + ) = 10，
1 1 5
由基本不等式，10 = ( 2 29 + 4 + ) ≥
2 2
9 (2 4 + ) = 9 ，
因此 ≤ 18，当且仅当 = 2 ，即 = 3， = 6 时等号成立．
由 cos∠ = 14， ∈ (0, )，
因此 sin∠ = 15，4
因此 = 12 ∠ ≤
1
2 × 18 ×
15
4 =
9
4 15．
故△ 面积的最大值为9 15．
4
19.(1)证明：连接 交 于点 ，连接 ，
因为 // ， = 2 ，由相似三角形的性质，可得 = 2 ，
又 = 2 ，所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
因此 //平面 ．
(2)①取 的中点 ，取 的中点 ，连接 ， ， ，
1
则 // ， = 2 ，
因为 ⊥ ，因此 ⊥ ，
因为△ 是边长为 6 的等边三角形，则 = 3 3， ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
因此 ⊥平面 ，因为 平面 ，因此 ⊥ ．
又 ∩ = ， ， 平面 ，因此 ⊥平面 ，
因为 平面 ，因此 ⊥ ，所以∠ 为二面角 的平面角．
△ tan∠ = 在 中， =
3 3
= 2．
= 3 3因此 2 = 2 = 3 3
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在 △ 中， = 2 2 = 36 27 = 3，
△ =
1 = 1 × 3 × 3 3 = 9 32 2 2 ，
因此 1 1 9 3 = 3 △ = 3 × 2 × 3 3 =
27
2．
②过 作 // 交 于 ，连接 ，由于 ⊥平面 ，
所以 ⊥平面 ，
则∠ 为 与平面 所成角，即∠ = ， = ．
点 在棱 上，且 = 2 ．
由 = 13 = 3， =
1
3 = 1， = 6 ，
由余弦定理得 = 2 + 2 2 = 24 2 + 1，
1 2 1 1
因为4 ≤ ≤ 3，因此2 ≤ ≤ 2 ，4 ≤ cos
2 ≤ 2，因此 = 24
2 + 1 ∈ [ 7, 13]，
因此 = = 3 ∈ [ 39 21 13 , 7 ]
故 39 21的取值范围为[ 13 , 7 ]．
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