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2024-2025学年安徽省淮北一中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.如图所示，表示水平放置的的直观图，则的面积是( )
A. B.
C. D.
3.甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为( )
A. B. C. D.
4.已知一组数据为，，，，，，，，其平均数、第百分位数和众数的大小关系是( )
A. 平均数第百分位数众数 B. 平均数第百分位数众数
C. 第百分位数众数平均数 D. 平均数第百分位数众数
5.已知，是不同的平面，，是不同的直线，下列命题中不正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.已知平面向量，，若在方向上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
7.下列说法正确的是( )
A. ，同时发生的概率一定比，中恰有一个发生的概率小
B. 若，则事件与是对立事件
C. 当，不互斥时，可由公式计算的概率
D. 某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的
8.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为如图，已知和都是正三角形，，，且，，三点共线，设点是内的任意一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.动力电池组对新能源汽车的性能表现以及安全性影响巨大，是新能源汽车非常核心的部件．如图是刀片电池、三元锂电池和磷酸铁锂电池部分指标的雷达图，则下列说法正确的是( )
A. 刀片电池的安全性更高，价格优势更突出
B. 三元锂电池的缺点是循环寿命较短、价格偏高、安全性偏低
C. 对于这项指标，刀片电池的平均得分低于三元锂电池
D. 磷酸铁锂电池能量密度低、低温性能好
10.下列说法正确的是( )
A. 复数的虚部为
B. 若是关于的二次方程的根，则也是该方程的根
C.
D. 若复数满足，则的最大值为
11.在直三棱柱中，，且，为线段不含端点上的动点，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 异面直线与所成角的取值范围为
C. 的最小值为
D. 当是的中点时，过，，三点的平面截三棱柱外接球所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.已知圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的内切球表面积为______．
13.已知圆的半径为，弦，为圆上一动点，则的最大值为______．
14.某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取件做使用寿命的测试，则车间应抽取的件数为______；若，，三个车间产品的平均寿命分别为，，小时，方差分别为，，，则总样本的方差为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，，．
求；
求边上的高．
16.本小题分
如图，正三棱柱中，，是的中点，与交于点．
求证：平面；
若以为直径的球的表面积为，求三棱锥的体积．
17.本小题分
某机械零件工厂为了检验产品的质量，质检部门随机在生产线上抽取了个零件并称出它们的重量单位：克重量按照，，，分组，得到频率分布直方图如图所示．
估计该工厂生产的零件重量的平均数；每组数据用该组的中点值作代表
估计该工厂生产的零件重量的分位数；
按各组零件数量比例用分层随机抽样方法从样本里重量不低于克的零件中抽取个零件，再从这个零件中任取个，求这个零件的重量均在内的概率．
18.本小题分
为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响，已知每题甲、乙两人同时答对的概率为、恰有一人答对的概率为．
求和的值；
求甲、乙两人共答对道题的概率．
19.本小题分
已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，．
求的长；
若为的中点，求二面角的余弦值；
若为上一点，且满足，求．
参考答案
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15.解：在中，，，，
由正弦定理得，，整理得：，
由于，，
所以．
由可知在中，，，，
由余弦定理得，，
整理得，
化简为，
解得或．
则，
整理得或．
16.证明：连接，因为是的中点，是的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面；
解：若以为直径的球的表面积为，则，
所以，所以，
所以三棱锥的体积为
．
17.解：根据题意，，解得．
即各个小组的频率分别为，，，，．
估计该工厂生产的零件重量的平均数约为．
设分位数为，因为前三组频率和为，前四组频率和为，所以，
因此，可估计该工厂生产的零件重量的分位数约为．
由条件知个零件中，重量在内的零件个数为，分别记为，，，，；重量在内的零件个数为，记为．
从中随机抽取个，样本空间为，，，，，，，，，，，，，，，所以．
设“这个零件的重量均在内”为事件，
则，，，，，，，，，，，
所以．
18.解：设“甲同学答对第一题”，“乙同学答对第一题”，，．
设“”，．
因为甲乙两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，
所以与相互独立，与互斥，
所以，，
即，解得：．
设“甲同学答对了道题”，“乙同学答对了道题”，，，．，，，，
设“甲、乙两大共答对道题”，，
所以．
19.解：在四棱锥中，底面为矩形，
底面，易得，，两两相互垂直，
易得平面，平面平面，
又，为上一点，
且，，，
，
，又，，
；
若为的中点，分别延长，交点，
底面，过作于点，连接，
则根据三垂线定理可得为二面角的补角，
又，底面为矩形，且由知，
为等腰直角三角形，，
，
，
二面角的余弦值为；
过作于点，由知平面平面，
平面，又根据新定义可知，
又，，
，，，，
，
，，
过作，且，在上取靠近的五等分点，
，
则易知，且，，
，且，
四边形为平行四边形，，又平面，
平面，
又，，
．
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