资源简介

第2课时 等差数列及其通项公式的应用
(深化课题型研究式教学)
课时目标
掌握等差数列的判定与证明方法,能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用.
题型(一)　等差数列的实际应用
[例1]　某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4 km(不含4 km)计费10元,如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费
听课记录:
　　[变式拓展]
　在本例中,若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km(不足1 km,按1 km计费)处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需支付多少车费
　　[思维建模]
(1)解决实际应用问题,首先要认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列.
(2)合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解题过程中,一定要分清首项、项数等关键的问题.
　　[针对训练]
1.《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起,其日影长依次成等差数列,立春当日日影长为9.5尺,立夏当日日影长为2.5尺,则春分当日日影长为 (　 )
A.4.5尺 B.5尺
C.5.5尺 D.6尺
题型(二)　等差数列的判定与证明
[例2]　已知数列{an}中,a1=2,an=2-(n≥2,n∈N*),设bn=(n∈N*).
(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
听课记录:
　　[变式拓展]
　本例条件“an=2-(n≥2,n∈N*)”变为“an+1=”,那么数列是否为等差数列 请说明理由
　　[思维建模]
证明等差数列的方法
　　证明等差数列的常用方法是定义法、等差中项法、通项公式法.
(1)在解答题中,证明一个数列是等差数列首选定义法;其次是等差中项法.
(2)通项公式法可用于选择、填空题的求解.
　　[针对训练]
2.已知在数列{an}中,a1=1,an=2an-1+1(n≥2,n∈N*),记bn=log2(an+1).
(1)判断{bn}是否为等差数列,并说明理由;
(2)求数列{an}的通项公式.
题型(三)　等差数列项的设法与求解
[例3]　已知三个数成等差数列,它们的和为21,它们的平方和为155,求这三个数.
听课记录:
　　[变式拓展]
　本例条件变为:已知四个数成等差数列且是递增数列,这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求这四个数.
　　[思维建模]
　　利用等差数列的定义巧设未知量,可以简化计算,其设元技巧为
(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和,可设这两个数为a-d,a+d,公差为2d;
(2)三个数成等差数列且知其和,常设此三数为a-d,a,a+d,公差为d;
(3)四个数成等差数列且知其和,常设成a-3d,a-d,a+d,a+3d,公差为2d.
　　[针对训练]
3.已知递增的等差数列{an}的前三项之和为21,前三项之积为231,求数列的通项公式.
第2课时　等差数列及其通项公式的应用
　[题型(一)][例1]　解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km时,每增加1 km,乘客需要支付1.2元.
所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.
令a1=11.2,表示4 km处的车费,公差d=1.2,
那么当出租车行至14 km处时,n=11,
此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).即需要支付车费23.2元.
[变式拓展]
解:由题意知,当出租车行至18.5 km处时,n=16,此时需支付车费a16=11.2+(16-1)×1.2=29.2(元).即需要支付车费29.2元.
[针对训练]
1.选D　设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为{an},则立春当日日影长为a4=9.5,立夏当日日影长为a10=2.5,所以春分当日日影长为a7=(a4+a10)=6.故选D.
　[题型(二)][例2]　解:(1)证明:因为an=2-,所以an+1=2-.则bn+1-bn=-=-==1,所以{bn}是首项为b1==1,公差为1的等差数列.
(2)由(1)知bn=n,所以bn==n(n∈N*),解得an=1+,所以{an}的通项公式为an=1+(n∈N*).
[变式拓展]
解:数列是等差数列,理由如下:
∵a1=2,an+1=,
∴==+,∴-=,
即数列是首项为=,公差为d=的等差数列.
[针对训练]
2.解:(1){bn}是等差数列,理由如下:
b1=log2(a1+1)=log22=1,当n≥2时,bn-bn-1=log2(an+1)-log2(an-1+1)=log2=log2=1,∴{bn}是以1为首项,1为公差的等差数列.
(2)由(1)知,bn=1+(n-1)×1=n,∴an+1==2n,∴an=2n-1.
　[题型(三)][例3]　解:法一　设这三个数首项为a1,公差为d,
则
解得或
所以这三个数依次为5,7,9或9,7,5.
法二　设这三个数为a-d,a,a+d,
则
解得或
所以这三个数依次为5,7,9或9,7,5.
[变式拓展]
解:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则
又该数列是递增数列,所以d>0,所以a=±,d=,
所以此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1.
[针对训练]
3.解:设等差数列的前三项分别为a-d,a,a+d,由题意,得
即解得
∵等差数列{an}是递增数列,∴d=4.
∴等差数列的首项为3,公差为4.
∴an=3+4(n-1)=4n-1.(共54张PPT)
等差数列及其通项公式的应用(深化课——题型研究式教学)
第2课时
课时目标
掌握等差数列的判定与证明方法,能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一)　等差数列的实际应用
题型(二) 等差数列的判定与证明
题型(三) 等差数列项的设法与求解
4
课时跟踪检测
题型(一)　等差数列的实际应用
01
[例1]　某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4 km
(不含4 km)计费10元,如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费
解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km时,
每增加1 km,
乘客需要支付1.2元.
所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.
令a1=11.2,
表示4 km处的车费,
公差d=1.2,
那么当出租车行至14 km处时,
n=11,
此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).
即需要支付车费23.2元.
　[变式拓展]
　在本例中,若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km(不足1 km,按1 km计费)处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需支付多少车费
解:由题意知,当出租车行至18.5 km处时,
n=16,
此时需支付车费a16=11.2+(16-1)×1.2=29.2(元).
即需要支付车费29.2元.
[思维建模]
(1)解决实际应用问题,首先要认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列.
(2)合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解题过程中,一定要分清首项、项数等关键的问题.
针对训练
1.《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气,自冬至日起,其日影长依次成等差数列,立春当日日影长为9.5尺,立夏当日日影长为2.5尺,则春分当日日影长为 (　 )
A.4.5尺 B.5尺
C.5.5尺 D.6尺
√
解析:设十二节气自冬至日起的日影长构成的等差数列为{an},则立春当日日影长为a4=9.5,立夏当日日影长为a10=2.5,所以春分当日日影长为a7=(a4+a10)=6.故选D.
题型(二) 等差数列的判定与证明
02
[例2]　已知数列{an}中,a1=2,an=2-(n≥2,n∈N*),设bn=(n∈N*).
(1)求证:数列{bn}是等差数列;
(2)求{an}的通项公式.
解:(1)证明:因为an=2-,
所以an+1=2-.
则bn+1-bn=-=-==1,
所以{bn}是首项为b1==1,公差为1的等差数列.
(2)由(1)知bn=n,
所以bn==n(n∈N*),
解得an=1+,
所以{an}的通项公式为an=1+(n∈N*).
　　[变式拓展]
　本例条件“an=2-(n≥2,n∈N*)”变为“an+1=”,那么数列是否为等差数列 请说明理由.
解:数列是等差数列,理由如下:
∵a1=2,an+1=,
∴==+,
∴-=,
即数列是首项为=,公差为d=的等差数列.
　　[思维建模]
证明等差数列的方法
　　证明等差数列的常用方法是定义法、等差中项法、通项公式法.
(1)在解答题中,证明一个数列是等差数列首选定义法;其次是等差中项法.
(2)通项公式法可用于选择、填空题的求解.
针对训练
2.已知在数列{an}中,a1=1,an=2an-1+1(n≥2,n∈N*),记bn=log2(an+1).
(1)判断{bn}是否为等差数列,并说明理由;
(2)求数列{an}的通项公式.
解:(1){bn}是等差数列,理由如下:
b1=log2(a1+1)=log22=1,
当n≥2时,
bn-bn-1=log2(an+1)-log2(an-1+1)=log2=log2=1,
∴{bn}是以1为首项,
1为公差的等差数列.
(2)由(1)知,bn=1+(n-1)×1=n,
∴an+1==2n,
∴an=2n-1.
题型(三) 等差数列项的设法与求解
03
[例3]　已知三个数成等差数列,它们的和为21,它们的平方和为155,求这三个数.
解:法一　设这三个数首项为a1,公差为d,
则
解得或
所以这三个数依次为5,7,9或9,7,5.
法二　设这三个数为a-d,a,a+d,
则
解得或
所以这三个数依次为5,7,9或9,7,5.
　　[变式拓展]
　本例条件变为:已知四个数成等差数列且是递增数列,这四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求这四个数.
解:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,
则
又该数列是递增数列,
所以d>0,
所以a=±,d=,
所以此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1.
[思维建模]
　　利用等差数列的定义巧设未知量,可以简化计算,其设元技巧为
(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和,可设这两个数为a-d,
a+d,公差为2d;
(2)三个数成等差数列且知其和,常设此三数为a-d,a,a+d,公差为d;
(3)四个数成等差数列且知其和,常设成a-3d,a-d,a+d,a+3d,公差为2d.
针对训练
3.已知递增的等差数列{an}的前三项之和为21,前三项之积为231,求数列的通项公式.
解:设等差数列的前三项分别为a-d,a,a+d,
由题意,得
即
解得
∵等差数列{an}是递增数列,
∴d=4.
∴等差数列的首项为3,公差为4.
∴an=3+4(n-1)=4n-1.
课时跟踪检测
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√
A级——综合提能
1.若等差数列{an}的公差为d,bn=can(c为常数且c≠0),则(　 )
A.数列{bn}是公差为d的等差数列
B.数列{bn}是公差为cd的等差数列
C.数列{bn}是首项为c的等差数列
D.数列{bn}不是等差数列
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解析:由题意可知bn+1-bn=can+1-can=c(an+1-an)=cd,
所以数列{bn}是以cd为公差的等差数列.
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2.在数列{an}中,已知a1=3,当n≥2时,-=,则a35=(　 )
A. B. C. D.
解析:当n≥2时,
-=,
即是公差为的等差数列.
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因为=,
所以=+(n-1)=,=6,a35=.
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3.已知数列{an}满足2an+1=2an+1,其中a8=,则a3=(　 )
A.1 B. C.2 D.
解析:由2an+1=2an+1,
得an+1-an=,
即{an}是等差数列,a3=a8-5d=-5×=2.故选C.
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√
4.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 (　 )
A.1升 B.升
C.升 D.升
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解析:设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{an},其首项为a1,公差为d,
由条件得
即
解得
所以a5=a1+4d=.
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√
5.[多选]已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3,则 (　 )
A.a2=3 B.an=2n-1
C.{a2n}是等差数列 D.{an}是递增数列
解析:a2=S2-S1=3,故A正确;
当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=n2+3-(n-1)2-3=2n-1,
当n=1时,
√
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a1=S1=4,不适合上式,故B错误;
{an}从第2项开始为等差数列,
所以其偶数项构成等差数列,故C正确;
因为a1=4>a2=3,故D错误.
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6.已知数列{an}满足a1=1,若点在直线x-y+1=0上,则an=
　 　.
解析:由题设可得-+1=0,
即-=1,
所以数列是以1为首项,
1为公差的等差数列,
故通项公式为=n,
所以an=n2(n∈N*).
n2(n∈N*)
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7.已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),a1=47,a6=7,则a5等于　 　.
解析:由2an=an-1+an+1(n≥2)知,
数列{an}是等差数列,
设公差为d,
由a6=a1+5d=47+5d=7,
得d=-8,
所以a5=a6-d=7-(-8)=15.
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8.一个正实数的小数部分的2倍、整数部分和自身成等差数列,则这个正实数是　　　　.
解析:设这个正实数的小数部分是x(0≤x<1),整数部分是y(y∈N*),自身是x+y,
则2y=2x+x+y,
所以y=3x,
由于0≤x<1,y∈N*,
或
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当y=1时,
x=,x+y=;
当y=2时,
x=,x+y=;
当y≥3时,
x=≥1,不符合题意.
综上所述,这个正实数是或.
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9.(1)三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数;
(2)四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.
解:(1)设这三个数依次为a-d,a,a+d,
则
解得
所以这三个数为4,3,2.
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(2)设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),
依题意得2a=2且(a-3d)(a+3d)=-8,
即a=1,a2-9d2=-8,
所以d2=1,
所以d=1或d=-1.
又四个数成递增等差数列,
所以d>0,
所以d=1,
故所求的四个数为-2,0,2,4.
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10.已知数列{an}满足an+1=,且a1=3(n∈N*).
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
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解:(1)证明:由=====+,
得-=,n∈N*,
故数列是等差数列.
(2)由(1)知=+(n-1)×=,
所以an=,n∈N*.
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B级——应用创新
11.《周髀算经》中有这样一个问题,从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影长的和是37.5尺,芒种的日影长为4.5尺,则冬至的日影长为(　 )
A.4尺 B.8.5尺
C.12.5尺 D.15.5尺
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解析:记十二节气日影长构成的等差数列为{an},设其公差为d,
因为冬至、立春、春分的日影长的和是37.5尺,芒种的日影长为4.5尺,
所以
即
即
则8d=a12-a4=-8,
所以d=-1,
因此a1=a12-11d=4.5+11=15.5尺.
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12.若数列{an}的前n项积为Sn,且满足a1=,+=2,则S11=(　 )
A. B.
C. D.7
解析:由题意知,当n≥2时,
Sn-1an=Sn.
由+=2,
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得Sn=2Sn,
所以当n≥2时,
Sn-1an=2Sn-1+1=2Sn,
即Sn-Sn-1=,
又a1=S1=,
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所以{Sn}是首项为,
公差为的等差数列,
故S11=+×(11-1)=.
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13.某城市的绿化建设有如下统计数据:
年份 2017 2018 2019 2020
绿化覆盖率/% 17.0 17.8 18.6 19.4
如果以后的几年继续依此速度发展绿化,那么至少到哪一年该城市的绿化覆盖率可超过23.4%
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解:由表中数据可知,每年的绿化覆盖率成等差数列,设为{an},
则a1=17,公差d=17.8-17=0.8,
故通项公式为an=a1+(n-1)d=17+0.8(n-1)=0.8n+16.2,
令0.8n+16.2>23.4,
解得n>9,2 017+9=2 026.
故至少到2026年该城市的绿化覆盖率可超过23.4%.
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14.数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n∈N*),λ是常数.
(1)当a2=-1时,求λ及a3的值;
(2)判断是否存在实数λ使得数列{an}为等差数列,并说明理由.
解:(1)因为an+1=(n2+n-λ)an(n∈N*),
且a1=1,
所以当a2=-1时,
得-1=2-λ,
解得λ=3.
从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.
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2
(2)不存在实数λ使得{an}为等差数列.
理由如下:由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,
得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),
a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).
若存在实数λ,
使得{an}为等差数列,
则a3-a2=a2-a1,
即(5-λ)(2-λ)=1-λ,
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解得λ=3.
于是a2-a1=1-λ=-2,a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24,a2-a1≠a4-a3,
这与{an}为等差数列矛盾.
所以不存在实数λ使得{an}为等差数列.
5课时跟踪检测(四)　等差数列及其通项公式的应用
A级——综合提能
1.若等差数列{an}的公差为d,bn=can(c为常数且c≠0),则 (　 )
A.数列{bn}是公差为d的等差数列
B.数列{bn}是公差为cd的等差数列
C.数列{bn}是首项为c的等差数列
D.数列{bn}不是等差数列
2.在数列{an}中,已知a1=3,当n≥2时,-=,则a35= (　 )
A. B.
C. D.
3.已知数列{an}满足2an+1=2an+1,其中a8=,则a3= (　 )
A.1 B.
C.2 D.
4.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为 (　 )
A.1升 B.升
C.升 D.升
5.[多选]已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3,则 (　 )
A.a2=3 B.an=2n-1
C.{a2n}是等差数列 D.{an}是递增数列
6.已知数列{an}满足a1=1,若点在直线x-y+1=0上,则an=　　　　.
7.已知数列{an}满足2an=an-1+an+1(n≥2),a1=47,a6=7,则a5等于　　　　.
8.一个正实数的小数部分的2倍、整数部分和自身成等差数列,则这个正实数是　　　　.
9.(1)三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数;
(2)四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数.
10.已知数列{an}满足an+1=,且a1=3(n∈N*).
(1)证明:数列是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
B级——应用创新
11.《周髀算经》中有这样一个问题,从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影长的和是37.5尺,芒种的日影长为4.5尺,则冬至的日影长为 (　 )
A.4尺 B.8.5尺
C.12.5尺 D.15.5尺
12.若数列{an}的前n项积为Sn,且满足a1=,+=2,则S11= (　 )
A. B.
C. D.7
13.某城市的绿化建设有如下统计数据:
年份 2017 2018 2019 2020
绿化覆盖率/% 17.0 17.8 18.6 19.4
如果以后的几年继续依此速度发展绿化,那么至少到哪一年该城市的绿化覆盖率可超过23.4%
14.数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n∈N*),λ是常数.
(1)当a2=-1时,求λ及a3的值;
(2)判断是否存在实数λ使得数列{an}为等差数列,并说明理由.
课时跟踪检测(四)
1.选B　由题意可知bn+1-bn=can+1-can=c(an+1-an)=cd,所以数列{bn}是以cd为公差的等差数列.
2.选B　当n≥2时,-=,即是公差为的等差数列.因为=,所以=+(n-1)=,=6,a35=.
3.选C　由2an+1=2an+1,得an+1-an=,即{an}是等差数列,a3=a8-5d=-5×=2.故选C.
4.选B　设自上而下9节竹子各节的容积构成等差数列{an},其首项为a1,公差为d,由条件得即解得所以a5=a1+4d=.
5.选AC　a2=S2-S1=3,故A正确;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+3-(n-1)2-3=2n-1,当n=1时,a1=S1=4,不适合上式,故B错误;{an}从第2项开始为等差数列,所以其偶数项构成等差数列,故C正确;因为a1=4>a2=3,故D错误.
6.解析:由题设可得-+1=0,即-=1,所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列,故通项公式为=n,所以an=n2(n∈N*).
答案:n2(n∈N*)
7.解析:由2an=an-1+an+1(n≥2)知,数列{an}是等差数列,设公差为d,由a6=a1+5d=47+5d=7,得d=-8,所以a5=a6-d=7-(-8)=15.
答案:15
8.解析:设这个正实数的小数部分是x(0≤x<1),整数部分是y(y∈N*),自身是x+y,则2y=2x+x+y,所以y=3x,由于0≤x<1,y∈N*,当y=1时,x=,x+y=;当y=2时,x=,x+y=;当y≥3时,x=≥1,不符合题意.综上所述,这个正实数是或.
答案:或
9.解:(1)设这三个数依次为a-d,a,a+d,
则解得所以这三个数为4,3,2.
(2)设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d(公差为2d),依题意得2a=2且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,所以d2=1,所以d=1或d=-1.
又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4.
10.解:(1)证明:由=====+,得-=,n∈N*,故数列是等差数列.
(2)由(1)知=+(n-1)×=,所以an=,n∈N*.
11.选D　记十二节气日影长构成的等差数列为{an},设其公差为d,因为冬至、立春、春分的日影长的和是37.5尺,芒种的日影长为4.5尺,所以即即则8d=a12-a4=-8,所以d=-1,因此a1=a12-11d=4.5+11=15.5尺.
12.选B　由题意知,当n≥2时,Sn-1an=Sn.由+=2,得Sn=2Sn,所以当n≥2时,Sn-1an=2Sn-1+1=2Sn,即Sn-Sn-1=,又a1=S1=,所以{Sn}是首项为,公差为的等差数列,故S11=+×(11-1)=.
13.解:由表中数据可知,每年的绿化覆盖率成等差数列,设为{an},则a1=17,公差d=17.8-17=0.8,故通项公式为an=a1+(n-1)d=17+0.8(n-1)=0.8n+16.2,令0.8n+16.2>23.4,解得n>9,2 017+9=2 026.故至少到2026年该城市的绿化覆盖率可超过23.4%.
14.解:(1)因为an+1=(n2+n-λ)an(n∈N*),且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-λ,解得λ=3.从而a3=(22+2-3)×(-1)=-3.
(2)不存在实数λ使得{an}为等差数列.
理由如下:由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),
a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).若存在实数λ,使得{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,即(5-λ)(2-λ)=1-λ,解得λ=3.于是a2-a1=1-λ=-2,a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24,a2-a1≠a4-a3,这与{an}为等差数列矛盾.所以不存在实数λ使得{an}为等差数列.

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