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2024-2025 学年河南省天立教育高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等差数列{ }的前 项和为 ，若 6 3 = 36，则 5 =( )
A. 6 B. 12 C. 18 D. 24
2.(1 + 2 )6的展开式中第 4 项的系数是( )
A. 20 B. 15 C. 160 D. 120
3.若函数 ( ) = 6 3 2 ′(1) ，则 ′(1) =( )
A. 3 B. 6 C. 6 D. 3
4 31.已知各项都为正数的等比数列{ }的前 5 项和为32，且 1 = 3 3 + 4 5，则 3的值为( )
A. 1 1 1 12 B. 4 C. 8 D. 16
5.将 4 名志愿者全部安排到某社区参加 3 项工作，每人参加 1 项，每项工作至少有 1 人参加，则不同的安
排方式共有( )
A. 24 种 B. 36 种 C. 60 种 D. 72 种
6.为了研究某种商品的广告投入 和收益 之间的相关关系，某研究小组收集了 5 组样本数据如表所示，得

到线性回归方程为 = + 0.28，则当广告投入为 10 万元时，收益的预测值为( )万元．
/万元 1 2 3 4 5
/万元 0.50 0.80 1.00 1.20 1.50
A. 2.48 B. 2.58 C. 2.68 D. 2.88
7.小明和小强两人计划假期到南京游玩，他们分别从“夫子庙”“钟山风景区”“玄武湖”三个景区中随
机选择一个游玩.记事件 =“两人中至少有一人选择夫子庙”，事件 =“两人选择的景区不同”，则
( | ) =( )
A. 45 B.
5 C. 39 5 D.
1
5
8.已知函数 ( ) = 2 3 + 6 2 + 1，下列命题正确的有( )
A. ( )可能有 2 个零点
B. ( )没有极小值
C. > 2 时， ( 1) < ( )
D.若 ( )存在极大值点 1，且 ( 1) = ( 2)，其中 1 ≠ 2，则 1 + 2 2 = 0
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在等比数列{ }中， 2 = 2， 6 = 32，则{ }的公比可能为( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 4
10.已知 ( )是定义在 上的可导函数，则( )
A.若 ′( ) > 0，则 ( )是增函数
B.若 ′(0) = 0，则 0 是 ( )的极值点
C.若 ( ) = [ ( )]2，则 ′( ) = 2 ′( )
D.若 ( ) > ( ) = ( )′ ，则 是减函数
11.下列说法中，正确的是( )
A.在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差
B.关于一元线性回归，若相关系数 = 0.98，则 与 的相关程度很强

( )2C.决定系数 2 = 1 =1 ，甲、乙两个模型的 2分别约为 0.98 和 0.80，则模型乙的拟合效果更好． =1 ( )2
D.若随机变量 ， 满足 = 3 2，则 ( ) = 9 ( )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在等比数列{ }中， 4 = 1， 1 3 + 2 3 5 + 5 7 = 12，则 2 + 6 = ______．
13.若随机变量 ～ (3, 2)，且 ( ≤ 5) = 0.7，则 (1 < < 3) = ______．
14.甲、乙、丙为完全相同的三个不透明盒子，盒内均装有除颜色外完全相同的球.甲盒装有 4 个白球，8 个
黑球，乙盒装有 1 个白球，5 个黑球，丙盒装有 3 个白球，3 个黑球.随机抽取一个盒子，再从该盒子中随
机摸出 1 个球，求摸出的球是黑球的概率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
深度求索( )可以帮助人们写代码、读文件、写作各种创意内容.某研发团队为了解人们对
的使用满意度，随机抽查了 150 名使用过 的人员，整理得到如下列联表：
单位：人
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满意度
性别 合计
比较满意非常满意
男 50
女 45 100
合计 70 80 150
(1)求 ， ， 的值；
(2)从样本中的男性人员、女性人员中各随机抽取 1 人，求这 2 人都持“非常满意”态度的概率；
(3)根据小概率值 = 0.1 的独立性检验，能否认为对 的使用满意度与性别有关？
( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )， = + + + ．
0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
16.(本小题 15 分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 2 3 + 4 = 46， 8 = 160．
(1)求{ }的通项公式和 ；
(2)若 = 2 1 ，求数列{ }的前 项和 ．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 + 2 + 在 = 1 处的切线方程为 + 1 = 0．
(1)求实数 ， 的值；
(2)求 ( )的单调区间和极值．
18.(本小题 17 分)
某网店经销某商品，为了解该商品的月销量 (单位：千件)与当月售价 (单位：元/件)之间的关系，收集了
5 组数据进行了初步处理，得到如下表：
5 6 7 8 9
8 6 4.5 3.5 3
(1)求 关于 的线性回归方程；
(2)根据(1)中的线性回归方程，估计当售价 定为多少时，月销售金额最大？(月销售金额=月销售量×当月
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售价)
(
= =1 )( ) =

=1
2 2 2
附注： =1 ( ) =1 ．

=
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + + 1．
(1)当 = 1 时，求函数 ( )在 = 1 处的切线方程；
(2)若 ( ) < 0 恒成立，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 3
13.0.2
14.23
15.(1)由表中数据可知， = 25， = 25， = 55．
(2)从男性人员中随机抽取 1 人，此人持“非常满
1 1
意”态度的概率为 251 = 1 = ， 36 2
1 11
从女性人员中随机抽取 1 人，此人持“非常满意”态度的概率为 = 111 1 = 100 20
，
1 11 11
故这 2 人都持“非常满意”态度的概率为 = 1 × 2 = 2 × 20 = 40，
(3)零假设为 .：对 的使用满意度与性别无关，
2 = 150×(25×55 25×45)
2 75
根据表中数据，可得， 50×100×70×80 = 224 ≈ 0.335 < 2.706，
则不拒绝独立性假设，即不能认为对 的使用满意度与性别有关．
16.解：(1)设等差数列{ }的公差为 ，
因为已知等差数列{ }的前 项和为 ，且 2 3 + 4 = 46， 8 = 160，
2 3 + 4 = 2( 1 + 2 ) + 1 + 3 = 46
则 = 8 + 8×78 1 2 = 160
，解得 1 = 6， = 4，
(6+4 +2) 所以 2 = 6 + ( 1) 4 = 4 + 2， = 2 = 2 + 4 ．
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(2)由(1)，且 2 3 + 4 = 46， 8 = 160，可知： = (4 + 2) 2 1 = (2 + 1) 2 = (2 1) 2 +1 (2
3) 2 ，
所以 = 22 + 2 + 3 × 23 22 + . . . + (2 1) 2 +1 (2 3) 2 = (2 1) 2 +1 + 2．
17. 2解：(1) ∵ ( ) = 2 + 2 + ，∴ ′( ) = + 2 ，
又∵ ( )在 = 1 处的切线方程为 + 1 = 0，∴切点坐标为(1,0)，
∴ ′(1) = 1， (1) = 0 4 = 1 = 5，即 1 + = 0，解得 = 4，
∴ = 5， = 4．
(2)由(1)知， ( ) = 2 + 2 5 + 4，定义域为(0, + ∞)，
2
( ) = 2 + 2 5 = 2 5 +2 = (2 1)( 2) 1计算 ′ ，令 ′( ) = 0，解得 = 2 或 = 2，
由 ′( ) > 0 得 > 2 或 0 < < 12，由 ′( ) < 0
1
得2 < < 2；
∴ ( ) 1 1的单调递增区间为(0, 2 )，(2, + ∞)，单调递减区间为( 2 , 2)；
( )的极大值为 ( 12 ) = 2 2 +
7
4，所以 ( )的极小值为 (2) = 2 2 2．
18. 解：(1)易知 = 5+6+7+8+9 = 7 = 8+6+4.5+3.5+35 ， 5 = 5，
所以5
2
=1 ( ) = (5 7)
2 + (6 7)2 + (7 7)2 + (8 7)2 + (9 7)2 = 10，

5 =1 ( )
2
= (8 5)2 + (6 5)2 + (4.5 5)2 + (3.5 5)2 + (3 5)2 = 16.5，
5

=1 ( )( ) = (5 7)(8 5) + (6 7)(6 5) + (7 7)(4.5 5) + (8 7)(3.5 5) + (9
7)(3 5) = 12.5，
5 ( )(
则 = =1
)
= 12.55 2 10 = 1.25， =1 ( )

此时 = = 5 ( 1.25) × 7 = 13.75，

所以 关于 的线性回归方程 = 1.25 + 13.75；

(2)易知月销售额的预报值 = = 1.25 2 + 13.75 (千元)，
因为该函数是开口向下的二次函数，函数最大值在 = 5.5 时取得，
所以该店主将售价定为 5.5 元/件时，可使网店的月销售额最大．
19.(1)当 = 1 时， ( ) = + + 1，定义域为(0, + ∞)，
则 ′( ) = ( + 1) + 1 + 1 ，
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所以 (1) = ， ′(1) = 2 + 2，
所以切线方程为 = (2 + 2)( 1)，即(2 + 2) 2 = 0．
(2)解法一：由题意得 ( ) = + + 1 = + + + 1，
设 = + ，则 ( ) = + 1 < 0 恒成立，
又因为 ′( ) = + 1 > 0 恒成立，即函数 ( )在 上为增函数，
又 (0) = 0，所以要使 ( ) < 0 恒成立，需使 < 0，
即 + < 0 ，得 < ( > 0)，
设 ( ) = ( ) = 1 ，则 ′ 2 ，
当 0 < < 时， ′( ) < 0，当 > 时， ′( ) > 0，
故 ( )在区间(0, )上单调递减，在区间( , + ∞)上单调递增，
所以 ( ) = ( ) =
1

1
从而 < ，即 的取值范围是( ∞,
1
)．
解法二： ( ) = + + 1， > 0，
′( ) = + + + 1 = ( + 1)(
1
+ )，因为 > 0
1
，所以 +
> 0，
当 ≥ 0 时， ′( ) > 0，则 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
当 > 1 时， ( ) > (1) = 1 + + 1 = + 1 ≥ + 0 1 = ≥ 0，
不满足 ( ) < 0 恒成立，故舍去；
当 < 0 时，当 = 1 时， ′( ) = 0，
0 < < 1 ( ) > 0 ( ) (0, 1当 时， ′ ，则 在 )上单调递增；
> 1 1当 时， ′( ) < 0，则 ( )在( , + ∞)上单调递减，
则 ( )的最大值为 ( 1 ) = ln( 1 ) + (
1
)
1
2，
ln( 1 ) + ( 1依题意 )
1
2 < 0 恒成立，
令 = 1 ， ( ) = +
1
2， > 0，
则 ′( ) = 1 +
1
> 0，则 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
又 ( ) = + 1 × 2 = 0，故 ( ) < 0 等价于 0 < < ，
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1
所以 0 < < 且 < 0，
即 < 1 1 ，则 的取值范围是( ∞, )．
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