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2024-2025 学年四川省泸州市老窖天府中学高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2.在( + 4 ) 的展开式中，常数项为( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 24
2.记 为等差数列{ }的前 项和.若 2 + 6 = 10， 4 8 = 45，则 5 =( )
A. 25 B. 22 C. 20 D. 15
3.从 4 件合格品和 2 件次品共 6 件产品中任意抽取 2 件检查，抽取的 2 件中至少有 1 件是次品的概率是( )
A. 25 B.
8
15 C.
3 D. 25 3
4.函数 ( ) = 2 的图象在 = 0 处的切线方程为( )
A. + 1 = 0 B. + 2 = 0 C. 2 + 2 = 0 D. 2 + 1 = 0
5.函数 ( ) = ( 2 2 ) 的图象大致是( )
A. B. C. D.
6 1 1.已知数列{ }满足 1 = 2， +1 = + 2+ ，则 =( )
A. 3 12 B. 2
3
+1 C. 1
1 3 1
+1 D. 2 +
7.某班有 ， ， ， ， 五名同学要排成一排进行拍照，其中 同学不站在两端， ， 两名同学相邻，则
不同的排列方式种数为( )
A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
8
2

2
.如图，已知 1， 2为双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦
点，过点 1， 2分别作直线 1， 2交双曲线 于 ， ， ， 四点，使得
四边形 为平行四边形，且以 为直径的圆过 1, | 1| = | 1|，则
双曲线 的离心率为( )
A. 2 B. 3
C. 5 D. 102 2
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知 10 个互不相同的样本数据 1， 2，…， 10的平均值为 ，则关于新样本数据 1， 2，…， 10， ，下
列说法正确的是( )
A.极差不变 B.平均数变大 C.方差变小 D.中位数变小
10.在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，过点 (4,0)的直线 与抛物线 交于 ，
两点，则下列说法正确的是( )
A. 对任意直线 ，均有∠ = 2 B.若| | = 2| |，则| | + | | = 11
C. △ 面积的最小值为 16 D.以 为直径的圆与 的准线不可能相切
11.已知函数 ( ) = 3 + 2 + + 在( ∞,0]上是增函数，在[0,2]上是减函数，且方程 ( ) = 0 有 3 个
不等实根，它们分别为 ， ，2，则( )
A.实数 1 1为 0 B. + 为定值 C. (1) > 3 D. | | > 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知数列{ } 满足 1 = 1, +1 = +1 , ( ∈ )，则数列{ }的通项公式 = ______．
13.函数 ( ) = 的零点为______．
14 1 .设函数 ( ) = 2 + ln ， 1 = 1， = (
1
) + (
2
) + (
3
) + + (
1
)( ∈
, ≥ 2).设数列{ }的
前 项和 +20 ，则 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
等比数列{ }的各项均为正数，且 21 + 3 = 10，4 3 = 2 6．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)求数列{ }的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
， ， 三个班共有 120 名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，
数据如表(单位：小时)：
班 12 13 13 18 20 21
班 11 11.5 12 13 13 17.5 20
班 11 13.5 15 16 16.5 19 21
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(Ⅰ)试估计 班的学生人数；
(Ⅱ)从这 120 名学生中任选 1 名学生，估计这名学生一周上网时长超过 15 小时的概率；
(Ⅲ)从 班抽出的 6 名学生中随机选取 2 人，从 班抽出的 7 名学生中随机选取 1 人，求这 3 人中恰有 2 人
一周上网时长超过 15 小时的概率．
17.(本小题 15 分)
如图，在直三棱柱 1 1 1中， = 1 = 3， ⊥ ， 为 1 1的中点．
(1)证明： 1 ⊥平面 1 ；
(2) 2若二面角 的余弦值为 4 ，求点 到平面 的距离．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 2 + ．
(1)若 = 4，求 ( )的极值；
(2)若 > 0，求函数 ( )的单调增区间；
(3)若 > 0，函数 ( )有两个极值点 1， 2， 1 < 2，不等式 ( 1) > 2恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
2
焦点在 轴上的等轴双曲线 ，其顶点到渐近线的距离为 2 ，直线过点 ( 5, 0)与双曲线的左、右支分别
交于点 、 ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若 4 = ，求直线 的斜率；
(3)若点 关于原点的对称点 在第三象限，且 △ > 2 △ ，求直线 斜率的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.0
14.415
15.解：(1){ }是各项均为正数的等比数列，设数列{ }的公比为 ，且 > 0，由 1 + 3 = 10，4 23 = 2 6．
即 4 2 = 23 2 6 = 4
得： 2 = 4，所以 = 2．
由 1 + 3 = 1 + 4 1 = 5 1 = 10，得到 1 = 2
所以数列{ }的通项公式为 = 2 ．
(2)由条件知， = 1 × 2 + 2 × 22 + 3 × 23 + + × 2 ……①
又 2 = 1 × 22 + 2 × 23 + 3 × 24 + + × 2 +1……②
将两式相减：即① ②可得 = 2 + 22 + 23 + + 2 × 2 +1 = 2(2 1) × 2 +1 = (1
)2 +1 2，
所以 = ( 1)2 +1 + 2．
故得数列{ }的前 项和 +1 = ( 1)2 + 2．
16.解：由题可得： ， ， 三个班抽取的人数分别为 6，7，7，共有 20 人；
(Ⅰ) 6由题可得： 班的人数估计为：120 × 6+7+7 = 36 人；
(Ⅱ)抽取的 20 人中，网时长超过 15 小时的有：3 + 2 + 4 = 9；
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∴ 9从这 120 名学生中任选 1 名学生，这名学生一周上网时长超过 15 小时的概率为：20；
(Ⅲ)从 班抽出的 6 名学生中随机选取 2 人，从 班抽出的 7 名学生中随机选取 1 人，共有抽法： 26 × 17 =
105 种；
这 3 人中恰有 2 人一周上网时长超过 15 小时的抽法有：①均来自 班，有 23 × 15 = 15 种；
②一个来自 班，一个来自 班，有 1 × 1 × 13 3 2 = 18 种；
故共有：15 + 18 = 33 种；
∴ 3 33 11这 人中恰有 2 人一周上网时长超过 15 小时的概率为：105 = 35．
17.解：(1)证明：因为四边形 1 1 为正方形，所以 1 ⊥ 1 ，
因为 1 ⊥平面 1 1 1，且 1 1 平面 1 1 1，所以 1 ⊥ 1 1，
由 ⊥ ，得 1 1 ⊥ 1 1，
又 1 ∩ 1 1 = 1， 1 平面 1 1 ， 1 1 平面 1 1 ，所以
1 1 ⊥平面 1 1 ，
又 1 平面 1 1 ，所以 1 1 ⊥ 1，
又 1 ∩ 1 1 = 1， 1 平面 1 ， 1 1 平面 1 ，
所以 1 ⊥平面 1 ；
(2)由(1)知， ， ， 1两两互相垂直，
则以 为原点， ， ， 1所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 = 2 ( > 0)，则 (0,0,0)， ( 3, 0,0)， (0,2 , 0)， (0, , 3)，
所以 = ( 3, 2 , 0)， = (0, , 3)，
= 3 + 2 = 0
设 = ( , , )是平面 的一个法向量，则

，
= + 3 = 0
令 = 3，则 = 2 ， = ，所以 = (2 , 3, )为平面 的一个法向量，
由题知，平面 的一个法向量为 = (0,0,1)，
因为二面角 的余弦值为 2，
4
则|cos < , > | = | || || | =
| | = 24 ，解得 = 1，所以2 = (2, 3, 1)，5 +3
因为

= ( 3, 0,0) | | 2 3 6，所以点 到平面 的距离为 = | | = ．4+3+1 = 2
18.(1)当 = 4 时， ( ) = 2 2 4 ， > 0，
4 2( 2 2) 2( 2)( +1)
则 ′( ) = 2 2 = = ，
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所以当 ∈ (0,2)时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 ∈ (2, + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
所以函数的单调递增区间为(2, + ∞)，单调递减区间为(0,2)，
所以函数只有极小值，为 (2) = 4 2；
2
(2) 2 2 + 因为 ′( ) = 2 2 + = ， > 0，
又因为 = 2 2 2 + 的判断别式 = 4(1 2 )，
1
①当 ≥ 2时， ′( ) ≥ 0， ( )在(0, + ∞)上单调递增；
1
②当 0 < < 2时，
令 ′( ) = 0 = 1 1 2 ，得 1 2 > 0
1+ 1 2
， 2 = 2 > 0，
( ) = 2( 1)( 此时 ′ 2) ，
1 1 2 1+ 1 2
所以当∈ (0, 2 ) ∪ ( 2 , + ∞)时， ′( ) > 0，
( ) (0, 1 1 2 ) ( 1+ 1 2 所以 在 2 及 2 , + ∞)上单调递增；
(3) (2) 0 < < 1 + = 1 = 由 知，当 2时， 1 2 ， 1 2 2，
0 < < 1则 1 2 < 2，
由 ( 1) ≥ 2恒成立，
即 21 2 1 + 1 ≥ 2，
即(1 )22 2(1 2) + 2(1 2) 2ln(1 2) ≥ 2，
≤ 1即 2 + 2(1 2)ln(1 2)，2
记 ( ) = 1 + 2(1 )ln(1 )，1 > >
1
2，
则 1′( ) = 2 2 (1 ) 1 > 0(1 > >
1
2 )，
故 ( )在( 12 , 1)上为增函数，
1
且 ( 2 ) =
3
2 2，
故 ≤ 32 2，
3
所以实数 的取值范围为( ∞, 2 2]．
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19.解：(1)设等轴双曲线 的方程为 2 2 = 2，
其渐近线方程为 =± ，
= 2故 2 2 ，
解得 = 1，
所以双曲线 的方程为 2 2 = 1．
(2)由题意，过点 ( 5, 0)的直线 斜率存在且不为 0，
可设其方程为 = 5，
设 ( 1, 1)5 ( 2, 2)，由 4 = ，得 4 1 = 2，
= 5
联立
2 2
，
= 1
整理得( 1)2 2 2 5 + 4 = 0，
+ = 2 5 由韦达定理得： 1 2 2 1 = 5 1， 1
4 2
2 = 2 1 = 4 1，
联立解得 =± 5，
经验证均满足题意，所以直线 ± 5的斜率为 5 ．
(3)点 在第三象限，如图所示，故直线 的斜率是正数，
由 > 2 ，得 > 4 ，
所以 > 4 ，则 > 5 ，
则 2 > 5 1 > 0，
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( 1+ 由 2
)2 1 2
1
= + + 2，
2 2 1
5 2 36
得 2 1 > 5，
所以 2 < 36，则 2 1111 > 36，
又因为直线 交两支两点，
故直线 的斜率 ∈ (0,1)，
11
所以直线 斜率的取值范围是( 6 , 1)．
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