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2024-2025 学年江西省赣州市全南中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(1 + )2 =( )
A. 2 B. 1 + 2 C. 2 + 2 D. 0
2.使得等式 2 = 1 有意义的实数 的取值范围是( )
A. (0, + ∞) B. ( ∞,0] C. [ 1,1] D. [ 3,1]
3.已知向量 = (1, 3)与 = (4, )共线，则实数 =( )
A. 14 B. 12 C. 4 D.
1
12
4.已知 ∈ (0, ) 2 2， + = 5 ，则 =( )
A. 425 B.
42 C. 215 5 D.
21
5
5.把函数 = 1 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，再将图象上所有的点向右平移6个单
位长度，得到函数 = ( )的图象，则 ( ) =( )
A. cos(2 ) B. cos(2 1 6 3 ) C. cos( 2 6 ) D. cos(
1 2 12 )．
6.已知一个圆柱形容器的轴截面是边长为 4 的正方形，往容器内注水后水面高度为 3，若再往容器中放入
一个半径为 1 的实心铁球，则此时水面的高度为( )
A. 10 B. 37 C. 11 D. 823 12 3 27
7.已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0,0 < < )的部分图象如图所示，若 ( ) = 1，则 cos(2 +

3 ) =( )
A. 79
B. 79
C. 89
D. 89
8.在△ 中，若点 满足 = 2 ，且 = + ，则 的值为( )
A. 12 B. 2 C.
1
3 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知函数 ( ) = 2 3 2 ，下列说法正确的是( )
A. ( )的最小正周期为
B. ( ) 5 的一个对称中心为( 6 , 0)
C. ( ) (0, 在区间 3 )内单调递增
D.将函数 = 2 2 7 的图象上所有点向右平移 6个单位长度，可得到函数 = ( )的图象
10.已知复数 = (1 )(6 + )，则( )

A. = 7 + 5 B. | 2| = 5 2
C. + 7 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限
11.已知 ， 为两条不同的直线， ， 为两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A.若 // ， ∩ = ，则 //
B.若 ， ， // ， // ，则 //
C.若 // ， // ， ⊥ ，则 ⊥
D.若 // ， ⊥ ， ⊥ ，则 //
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 = 12 .已知 13 , ∈ ( 2 , 0)，则 cos( 4 )的值为______．
13.已知向量 = (1,1), = ( 1,3)，则向量 在向量 方向上的投影向量为______. (用坐标表示)
14.已知 ∈ ，复数 1 = + 3 ，
1
2 = 2 ，若 为纯虚数，则
1
2
的虚部为______．
2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 1 + 2 ．
(1)求 ( )的最小正周期；
(2)求 ( )的单调递减区间．
16.(本小题 15 分)
(1) 2已知 = 3，且 是第四象限的角，求 及 ；
(2) 1已知 = 2，求 及 ．
17.(本小题 15 分)
如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥 ，下部是一个正方体，其中正四棱锥 的高为
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3 2，△ 是等边三角形， = 6．
(1)求该几何体的表面积；
(2)求该几何体的体积．
18.(本小题 17 分)
在△ 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，2 + ( + ) = ．
(1)求 ；
(2) = 2 39若 3 ,
= 6，求 ， ．
19.(本小题 17 分)
如图，正四棱锥 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，点 在侧棱 上，且 =
3 ．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求二面角 的平面角的正切值；
(3)侧棱 上是否存在一点 ，使得 //平面 .若存在，求 的值；若不存在，试说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.7 226
13.( 1 35 , 5 )
14.32
15.解：(1)由 ( ) = 1 + 2 ，
得 ( ) = 2 的最小正周期为 2 = ；
(2)令 2 ≤ 2 ≤ + 2 ， ∈ ，解得： ≤ ≤ 2 + ， ∈ ．

故函数 ( )的单调递减区间为[ , + 2 ]， ∈ ．
16.(1) ∵ = 23，且 是第四象限的角，
2
∴ = 1 sin2 = 1 ( 23 )
2 = 5 2 53 ，则 =
3
cos = = ；5 5
3
(2) ∵ = 12，∴ 是第二或第四象限角，
1
当 = 5 2 5是第二象限角时，由 cos 2 ，解得 =
sin2 + cos2 = 1 5
， = 5 ；
1
当 = 5 2 5是第四象限角时，由 cos 2 ，解得 = ， = ．
sin2 + cos2 = 1 5 5
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17.解：(1)设 是 的中点，连接 ，
因为△ 是边长为 6 的正三角形，
所以 ⊥ ，且 = 62 32 = 3 3，
1
所以该几何体的表面积 = ( 2 × 6 × 3 3) × 4 + 6
2 × 4 + 62 = 36 3 + 180；
(2)连接 ， ，设交点为 ，连接 ，则 是四棱锥 的高，
则 = 3 2，
所以 1 2 = 3 × 6 × 3 2 = 36 2，
又正方体的体积为 6 × 6 × 6 = 216，
所以该几何体的体积 = 36 2 + 216．
18.(1)因为 2 + ( + ) = ，
则由正弦定理可得：2 = ，
即 2 = sin( + ) = 1，所以 = 2，又 0 < < ，

所以 = 3；
(2)由 = 2 393

， = 3可得： = 13，
由 = = = 6 可得： = 12，
所以由余弦定理可得： 2 = 2 + 2 2 ，即 2 + 2 = 25，联立 = 12，
= 4 = 3
解得 = 3或 = 4．
19.(1)证明：在正四棱锥 中，连接 ，设 ∩ = ，
连接 ，则点 是正方形 的中心，
根据正四棱锥的性质可得 ⊥平面 ，而 平面 ，
则 ⊥ ，
又 ⊥ ， ， 平面 ， ∩ = ，
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于是 ⊥平面 ，而 平面 ，
所以 ⊥ ．
(2)过 作 ⊥ 于 ，过 作 ⊥ 于 ，连接 ，
在三角形 中， // ，又 ⊥平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
平面 ，所以 ⊥ ，
于是∠ 是二面角 的平面角，
令正方形 边长为 2，则 = = = 2 = 2 2 ， = 2 ( 2 )
2 = (2 2)2 ( 2)2 =
6，
因为 = 3 ，
所以 = 1 64 = 4 , =
7
8 =
7
4，
6

在直角三角形 中，tan∠ = =
4
7 =
6
7 ，
4
6
所以二面角 的正切值为 7 ．
(3)在 上取点 ，使得 = ，过 作 // 交 于点 ，连接 ，
由 平面 ， 平面 ，得 //平面 ，由 是 的中点，
得 // ，
而 平面 ， 平面 ，得 //平面 ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
因此平面 //平面 ，而 平面 ，
则 //平面 ，
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由(2)知， = 2 = 2 = 12 ，

即点 是 中点，故 = 2，

于是 = = 2，
所以侧棱 上存在一点 ，使得 //平面 ，此时 ： = 2：1．
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