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2024-2025学年广西桂林中学高一（下）期末数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设 = 4 3 ，则在复平面内 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知四棱锥 的高为 2，其底面 水平放置时的斜二测画法直
观图 ′ ′ ′ ′为平行四边形，如图所示，已知 ′ ′ = ′ ′ = 3，
′ ′ = ′ ′ = 1，则四棱锥 的体积为( )
A. 2 B. 4 C. 3 2 D. 12
3.下列说法正确的是( )
A.若空间两直线没有公共点，则这两条直线异面
B.与两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线
C.空间三点确定一个平面
D.过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直
4.王明正在筹划班级迎新晚会，想知道该准备多少斤水果，他最希望得到所有学生需要水果数量的( )
A.四分位数 B.中位数 C.众数 D.均值
5 3 1.甲、乙两人组成“星队”参加必修二数学知识竞答.已知甲每次答对的概率为4，乙每次答对的概率为4在
每次答题中，甲和乙答对与否互不影响.两人约定如下：每次由一人答题，若答对，下一次由另一人答题；
若答错，则继续答题.约定甲先答题，则前 4 次中甲恰好答题 3 次的概率为( )
A. 14 B.
1
8 C.
3 9
32 D. 64
6.如图，在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1中，点 在线段 1 上运动，则以下命题正确的个数为( )
①直线 1 ⊥平面 1 1
②平面 1

与平面 的夹角大小为2
③三棱锥 1 1 的体积为定值

④异面直线 与 1 所成角的取值范围是[ 4 ,

2 ]
⑤三棱锥 1 1外接球表面积是 3
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
7.圆锥 中，轴截面为正三角形， 、 为底面圆的两条相互垂直的直径，点 为 的中点，则异面直线
与 所成角的正弦值为( )
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A. 1 B. 1 C. 2 D. 33 2 2 2
8.函数 = 与 = lg| |的图象的交点个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (1,2)， = (1, 1)，则( )
A. + 2 = (3,1) B. | | = 5
C. cos < , >= 10 1 110 D. 在 方向上的投影向量坐标是( 2 , 2 )
10.设样本空间 = {1,2,3,4}含有等可能的样本点，记事件 = {1,2}，事件 = {1,3}，事件 = {3,4}，则下
列说法正确的是( )
A.事件 与事件 相互独立 B.事件 与事件 相互独立
C.事件 与事件 互斥 D.事件 与事件 互斥
11 .已知锐角△ 三个内角 ， ， 的对应边分别为 ， ， ，且∠ = 3， = 2，则下列结论正确的是( )
A. 的取值范围为( , ) B. 6 2
1的最小值为 4
C. 的值可能为 3 D. △ 的面积最大值为 2 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。

12.已知复数 满足 2 = ( )2，| | ≤ 1，则| 2 3 |的最小值是______．
13.在一次招聘面试中，小明要依次回答甲、乙、丙三个问题，已知他答对这三个问题的概率分别为 0.9，0.5，
0.4，各题回答正确与否相互独立，则小明能够连续答对至少 2 个问题的概率为______．
14.已知一个正三棱台的上、下底面边长分别为 3，6，侧棱长为 2，则该三棱台的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 = 7， = 8， = 17．
(1)求 ；
(2)若 为 的中点，求 的长．
16.(本小题 15 分)
1992 年，公安部发出通知，将每年的 11 月 9 日定为“119 消防宣传日”.通过消防宣传日的设立，旨在提
醒全民关注消防安全，学习消防知识，提高自救互救能力，减少火灾事故的发生.某高中学校为增强学生的
消防安全意识，组织本校高一、高二共 800 名学生参加“消防安全，在我心中”的知识竞赛，现从每个年
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级分别随机抽取 10 名学生的竞赛成绩如下：
高一：90 85 82 85 97 83 88 95 90 85
高二：83 90 97 88 95 85 95 85 80 82
(1)请根据以上 20 个数据，估计此次参赛学生成绩的第 60 百分位数、众数和平均数；
(2)若规定 95 分及以上为一等奖，从一等奖的学生中任选 2 人作为宣讲代表，则这 2 人中至少有 1 人来自
高一年级的概率是多少？
17.(本小题 15 分)
如图，圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ， 为直径， ， 在圆上， ⊥ ， = = 2， = 3．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
记△ 的内角 3( ) 3 2 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 = + ．
(1)求 ；
(2)若 = 3 4 , = 3．
( )求 的最大值；
( )求 的最小值．
19.(本小题 17 分)
如图所示正四棱锥 ， = = = = 2， = 2， 为侧棱 上的点，且 = 3 ．
(1)求证： ⊥ ；
(2)求平面 与平面 所成角的正弦值；
(3) 侧棱 上是否存在一点 ，使得 //平面 ，若存在，求 的值；若不存在，试说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 2
13.0.47
14.112
15.(1) 1由于 = 7 < 0，
可得 = 1 cos2 = 4 3 7 ，且 ∈ ( 2 , )，

=

= 3 = 3由正弦定理可得 3 6 ，
又 = 7， = 8，
7×4 3
可得 = 7 = 38 2 ，
又 ∈ (0, 2 )，
所以 = 3；
(2)由余弦定理可得 64 = 49 + 2 2 × 7 × ( 17 )，
整理得到 2 + 2 15 = 0，
解得 = 3 或 = 5(舍)，
又 为 的中点，
所以 = 12 (
+ )，
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2 1 2两边平方，可得 = ( + 2
2
4 +
) = 14 [9 + 2 × 3 × 7 × (
1
7 ) + 49] = 13，
可得| | = 13，
所以 的长为 13．
16.解：(1)把 20 个数据由小到大排列为 80，82，82，83，83，85，85，85，85，85，88，88，90，90，
90，95，95，95，97，97，
由 20 × 60% = 12，
60 88+90得估计此次参赛学生成绩的第 百分位数为 2 = 89，
估计此次参赛学生成绩的众数为 85，

平均数为 = 120 (80 + 82 × 2 + 83 × 2 + 85 × 5 + 88 × 2 + 90 × 3 + 95 × 3 + 97 × 2) = 88．
(2)成绩在 95 分及以上的有 5 人，来自高一年级的有 2 人，记为 1，2，
来自高二年级的有 3 人，记为 ， ， ，
从 5 人中任选 2 人的样本空间为：
= {12,1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 , , , }，共 10 个样本点，
设事件 表示“这 2 人中至少有 1 人来自高一年级”，
则 = {12,1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 2 }，共 7 个样本点，
∴这 2 人中至少有 1 人来自高一年级的概率是：
( ) = 710．
17.(1)证明：连接 、 ，且 延长线交 于点 ，
因为 ⊥ ，则由圆的结构性质可知 = = 3，
又因为 为直径， = = 2， = 3，
所以 2 ⊥ , = 2 2 = 22 3 = 1，
1
所以由2 × × =
1
2 ×
1
2 × ，
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1
即2 × 1 × 3 =
1 × 12 2 × 2 = 3，
所以△ 是正三角形，设 与 交点为 ，
2
则 = 12 =
3，
2 = =
2 2 1 = 3 ( 3 )22 1 =
1 1
2 = 2
，
所以 为正△ 的重心，所以 为正△ 的中线，故 CE⊥ ，
又由圆锥的结构性质可知 垂直于底面，
即 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，由 ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ．
(2)设点 到平面 的距离为 ， 与平面 所成角为 ，
则 与平面 所成角正弦值为 = ，
由题意可得 = = 2 + 2 = 22 + 12 = 5，
所以由(1)得： = 1 2
2
△ 2 × (
)2 1 1 2 19，2 = 2 × 1 × 5 ( 2 ) = 4
△ =
1
2 × =
1 × 1 × 3 = 3，2 2
所以 1 1 19 19 1 1 3 3 = 3 △ = 3 × 4 × = 12 ， = 3 △ = 3 × 2 × 2 = ，3
又 = ，
所以 19 3 4 57，
12 = 3 = 19
4 57
所以 与平面 所成角正弦值为 = 19 = 4 285．5 95
18.(1) 3( ) 3 2 利用正弦定理化简已知等式可得 = + ，
所以 2 + 2 2 = 23 ，
2 2 2 2
可得 = + = 3 12 2 = 3；
(2)( )因 = 3 4 ，
所以 = + = + 3 4 = +
3 ( 4
) = 1 4
+ 3 4 ，
又 = 3， = | || |cos∠ = 13 ，
2
= ( 1 + 3则 )2
2
= 1
2
+ 9
2
4 4 16 16
+ 3 8

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3 = 1 2 + 9 2 1 2 216 16 + 8 + 9 + 2 = 48，
可得 48 = 2 + 9 2 + 2 ≥ 2 2 9 2 + 2 = 8 ，
可得 ≤ 6，当且仅当 2 = 9 2，即 = 3 时取等号．
故 的最大值为 6；
( ) 设 = ，则 = ，其中 > 0．
又 2 + 9 2 + 2 = 48，
则 2 2 + 9 2 + 2 2 = 48 2 = 48 2+2 +9，
由(1) 2 2可得 2 + 2 2 = 2 2 23 ， + 3 = ，
2
可得 2 + 2 2 23 =
2，
2 2
则 2 = 2( 2 + 1 23 ) =

3 (3
2 2 + 3) = 16 3 2 +3 2+2 +9，
3 2 2 +3 +3
注意到 16 2+2 +9 = 48 128 2+2 +9，
+3
对于 2+2 +9，令 + 3 = ，其中 > 3，则 = 3，
+3 = 1 1 3+1则 2+2 +9 ( 3)2+2( 3)+9 = 12 ≤ = 8 ， + 4 2 12 4
12
当且仅当 = ，即 = 2 3 = 2 3 3 时取等号，
则 2 = 48 128 +3 2+2 +9 ≥ 48 128 ×
3+1
8 = 32 16 3，
则 ≥ 32 16 3 = 42 4 2 3 = 2 6 2 2

，当且仅当 = 2 3 3 时取等号，
所以 的最小值为 2 6 2 2．
19.(1)证明：设 ∩ = ，连接 ，
因为四棱锥 是正四棱锥，
所以 ⊥面 ，
又 面 ，所以 ⊥ ，
在正方形 中， ⊥ ，
因为 ∩ = ， 、 面 ，所以 ⊥面 ，
因为 面 ，所以 ⊥ ．
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(2)解：由(1)知 ， ， 两两垂直，
故以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为正方形 的边长为 2，
所以 = = = = 1 = 1 22 2 +
2 = 1， = 2 2 = 3，
所以 (0,0, 3), (1,0,0), (0,1,0), (0, 1,0), ( 1,0,0)，
所以 = (0,2,0)， = (0,1, 3)， = (1,0, 3)，
因为 = 3 1 1 1 3，所以 = 4
= 4 ( 1,0, 3) = ( 4 , 0, 4 )，
所以 = + = ( 14 , 0,
3
4 ) + (1,1,0) = (
3 3
4 , 1, 4 )，
2 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则 = 0
，即 3 3 ，
= 0 4 + 4 = 0
令 = 1，则 = 0, = 3，所以 = (1,0, 3)，
设平面 的法向量为 = ( , , ) ，则 = 0 3 = 0，即 ，
= 0 3 = 0
令 = 1，则 = = 3，所以 = ( 3, 3, 1)，
cos < >= 3+ 3 21所以 ， | | | =| 7×2 = 7 ，
= 1 cos2 , = 2 7设面 与平面 所成角为 ，则 7 ，
所以面 2 7与平面 所成角的正弦值为 7 ．
(3)解：假设 上存在点 满足题意，不妨设 = = (0,1, 3)， ∈ [0,1]，
则 = + = ( 1, 1,0) + (0,1, 3) = ( 1, 1 + , 3 )，
由(2)知设平面 的法向量为 = (1,0, 3)，
// 1因为 平面 ，所以 = 0，即 1 + 0 + 3 = 0，解得 = 3，
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= 1所以 3 ，

故 = 2．
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