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2024-2025学年山西省阳泉十一中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则的值为( )
A. B. C. D.
3.一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面图形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
4.下列叙述正确的是( )
A. 有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B. 不在同一个平面内的两条直线叫做异面直线
C. 直线，，则与的位置关系是
D. 若，，则
5.已知向量满足，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体，它们的体积依次为、、，若它们的表面积相等，则：：( )
A. B. C. ：： D. ：：
7.已知在中，，，若的最小值为，则( )
A. B. C. D.
8.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. ，有
B. “，，则”是“为纯虚数”的充要条件
C. 若，则对应的点在复平面内的第四象限
D. ，，则的范围是
10.对于中，有如下判断，其中正确的判断是( )
A. 若，，，则符合条件的有两个
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则的最小值为
D. 若的面积，，则外接圆面积为
11.如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是( )
A. 直三棱柱的侧面积是
B. 直三棱柱的外接球表面积是
C. 直三棱柱的内置球的最大表面积为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，是两个不共线的向量，若与共线，则的值为______．
13.中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为______．
14.已知中，点在边上，，，当取得最小值时，______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆锥的轴截面面积为，侧面展开图为半圆．
求其母线长；
在此圆锥内部挖去一个正四棱柱，形成几何体，其中正四棱柱的底面边长为，上底面的四个顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，求几何体的体积．
16.本小题分
如图，在等边中，，点在边上，且过点的直线分别交射线，于不同的两点，．
设，，试用，表示；
求；
设，，求的最小值．
17.本小题分
已知，，是的内角，，的对边，且的面积，记，，若．
求角；
求的值．
18.本小题分
已知在正四棱柱中，，，点是的中点．
求证：平面；
求异面直线与所成角的余弦值；
求三棱锥的体积．
19.本小题分
已知点是边长为的菱形所在平面外一点，且点在底面上的射影是与的交点，已知，是等边三角形．
求证：；
求点到平面的距离；
若点是线段上的动点，问：点在何处时，直线与平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并求出取得最大值时线段的长．
参考答案
1.
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10.
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15.解：设圆锥底面圆的半径为，母线长为，高为，
由题意知，侧面展开图的弧长，，
圆锥高，
由其轴截面的面积为．
解得，则．
即其母线长为；
设正四棱柱的高为，
所以圆锥体积为．
由，则正四棱柱的底面对角线的长为，一半长为，
由图可得，所以，
故正四棱柱的体积为
所以该几何体的体积为．
16.解：由，，，
可得，
所以；
在等边中，，
则，
由得，
，
，，
所以，
所以；
由知，，
而，，
因此，
而，，共线，则，
又，，
于是
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值是．
17.
18.

19.解：证明：点在底面上的射影是与的交点，
平面，
平面，
，
四边形为菱形，
，
，、平面，
平面，
平面，
；
由题意可得、与都是边长为的等边三角形，
，，
，
，
，
设点到平面的距离为，
由得，
即，解得．
故点到平面的距离为．
设直线与平面所成的角为，
，平面，
到平面的距离即为到平面的距离，
过作垂线平面交于点，则，
此时，要使最大，则需使最小，此时，
由题意可知：，，
平面，且，
，，
在中，由余弦定理可得：
，
，
由面积相等，
即，
解得，
，，
此时在线段上靠近点的处，，．
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