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雅思高级中学2025年7月中旬高二下期期末
数学
选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．有8位同学一次数学测试的分数分别是：111，118，125，130，130，132，136，140，则这组数据的75百分位数是（ ）
A．130 B．132 C．134 D．136
2．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
3．已知向量，满足，，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A. 3 B. C. D.
4．若数列的前项和，则数列的前项和（ ）
A. B. C. D.
5．已知抛物线的焦点为，准线为，过上的一点作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），且的面积为，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
6．设A，B为两个事件，已知，则（ ）
A. B. C. D.
7．在中，角所对的边分别为，，若表示的面积，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8．已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A. B. C. D.
选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．2023年10月份诺贝尔奖获奖名单已经全部揭晓，某校为调研同学们对诺贝尔奖获奖科学家的了解程度，随机调查了该校不同年级的8名同学所知道的获得过诺贝尔奖的科学家人数，得到一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（ ）
A. 这组数据的众数为1 B. 这组数据的极差为2
C. 这组数据平均数为2 D. 这组数据的40%分位数为1
10．已知点在圆上，点，，则（ ）
A. 存在点，使得 B.
C. 存在点，使得 D.
11．在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点为A，直线l与以O为圆心，为半径的圆相切，切点为P．则（ ）
A. 双曲线C的离心离为
B. 当直线与双曲线C的一条渐近线重合时，直线l过双曲线C的一个焦点
C. 当直线l与双曲线C的一条渐近线平行吋，若直线l与双曲线C的交点为Q，则
D. 若直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于D，E两点，与双曲线C分别交于M，N两点，则
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知单位圆上一点，现将点绕圆心逆时针旋转到点，则点的横坐标为_________.
13.在数列中，，，其中是自然对数的底数，令，则____________．
14.已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为______．
四：解答题
15，如图，已知平面四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=2，AD=4.若A，B，C，D四点共圆.
(1)求AC；(6分)
(2)求四边形ABCD面积的最大值.(9分)
16，如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，PD⊥AB，AD∥BC，AD=4，AB=BC=2，M为PA的中点.
(1)证明：DM⊥平面PAB；
(2)求直线PB与平面MCD所成角的正弦值.
17，已知数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=3n2+5n,数列{bn}是等比数列,公比q>0,b1=6,b3=2a3+4.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.
(2)设数列{cn}满足c1=1,cn=其中k∈N*.
(i)求数列{cn}的前2 024项和;
(ii)求(n∈N*).
18，某学校为了了解老师对“民法典”知识的认知程度，针对不同年龄的老师举办了一次“民法典”知识竞答，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这m人年龄的第75百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取40人，担任“民法典”知识的宣传使者．
①若有甲(年龄23)，乙(年龄43)2人已确定人选宣传使者，现计划从第一组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人恰有一人被选上的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．
19，已知函数f(x)=ax+ln(x+1).
(1)若a=-2，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≤0恒成立，求a的取值集合.
答案
一，选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．有8位同学一次数学测试的分数分别是：111，118，125，130，130，132，136，140，则这组数据的75百分位数是（ ）
A．130 B．132 C．134 D．136
【答案】C
【解析】，，
故选：C
2．已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由，得，所以
又因为，所以.
故选：A．
3．已知向量，满足，，且，则在方向上的投影向量为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】D
【解析】，则，故，
在方向上的投影向量.
故选：D.
4．若数列的前项和，则数列的前项和（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为数列的前项和，
所以当时，，两式相减，得
，
当时，也符合该式，所以，
，
所以数列是首项为12，公差为12的等差数列，
所以.
故选：C．
5．已知抛物线的焦点为，准线为，过上的一点作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），且的面积为，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，
在抛物线中，，
焦点，准线
∴，，则
∴，解得：
∴的方程为：.
故选：C.
6．设A，B为两个事件，已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，显然，
因此，所以．
故选：B
7．在中，角所对的边分别为，，若表示的面积，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，
由正弦定理得，所以，
由余弦定理得，
所以，
令，则，当且仅当，即时取等号，
所以，
故选：D.
8．已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于点D. 若，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设双曲线的右焦点为，则直线，
联立方程，消去y得：，
则可得，
则，
设线段的中点，则，
即，
且，线段的中垂线的斜率为，
则线段的中垂线所在直线方程为，
令，则，解得，
即，则，
由题意可得：，即，
整理得，则，
注意到双曲线的离心率，
∴双曲线的离心率取值范围是.
故选：A.
二，选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．2023年10月份诺贝尔奖获奖名单已经全部揭晓，某校为调研同学们对诺贝尔奖获奖科学家的了解程度，随机调查了该校不同年级的8名同学所知道的获得过诺贝尔奖的科学家人数，得到一组样本数据：1，1，2，4，1，4，1，2，则（ ）
A. 这组数据的众数为1 B. 这组数据的极差为2
C. 这组数据平均数为2 D. 这组数据的40%分位数为1
【答案】ACD
【解析】数据从小到大排列为1，1，1，1，2，2，4，4．
对于A，该组数据的众数为1，故A正确；
对于B，极差为，故B错误；
对于C，平均数为，故C正确；
对于D，，这组数据的分位数为第4个数1，故D正确．
故选：ACD.
10．已知点在圆上，点，，则（ ）
A. 存在点，使得 B.
C. 存在点，使得 D.
【答案】ABD
【解析】圆即，圆心，半径，又，
所以，因为点在圆上，所以，
所以存在点，使得，故A对．
因为，所以点在圆外，又，点在圆内，
所以当与圆相切时，取最大值，
此时，所以，故B对．
对于D，设，若
，
又点在圆上，一定成立，故D对，C错.
故选：ABD．
11．在平面直角坐标系中，已知双曲线的右顶点为A，直线l与以O为圆心，为半径的圆相切，切点为P．则（ ）
A. 双曲线C的离心离为
B. 当直线与双曲线C的一条渐近线重合时，直线l过双曲线C的一个焦点
C. 当直线l与双曲线C的一条渐近线平行吋，若直线l与双曲线C的交点为Q，则
D. 若直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于D，E两点，与双曲线C分别交于M，N两点，则
【答案】ABD
【解析】对于A选项．由，，，可得双曲线C离心率为，故A选项正确；
对于B选项，双曲线C的渐近线方程为．
由对称性，不妨设直线l与渐近线重合，点P位于第四象限，
记直线l与x轴的交点为T，由直线的倾斜角为，有，
又由，可得．又由，故直线l过双曲线C的一个焦点，故B选项正确；
对于C选项，当直线l与双曲线C的一条渐近线平行时，由对称性，
不妨设直线l的方程为（其中），有，可得，
直线l的方程为，联立方程解方程组可得点Q的坐标为．
可得，故C选项错误；
对于D选项，设点P的坐标为，可得直线l的方程为．其中．
联立方程解得，联立方程 解得，
可得线段DE的中点的横坐标为，联立方程，
消去y后整理为，
可得线段MN的中点的横坐标为，
可得线段和的中点相同，故有，故D选项正确．
故选：ABD．
三，填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知单位圆上一点，现将点绕圆心逆时针旋转到点，则点的横坐标为_________.
【答案】
【解析】令坐标原点为，以射线为终边的角为，则以射线为终边的角为，
则，，
所以点横坐标为.
故答案为：
13.在数列中，，，其中是自然对数的底数，令，则____________．
【答案】
【解析】由，得，
则，
则，故．
故答案为：.
14.已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若均不相等，且，则的最小值为______．
【答案】18
【解析】由于，
故，
故，，
则
，
由，得，
由，即，知位于之间，
不妨设，则，
故，
当且仅当，即时等号成立，
故则的最小值为18，
故答案为：18
四：解答题
15，如图，已知平面四边形ABCD中，AB=BC=2，CD=2，AD=4.若A，B，C，D四点共圆.
(1)求AC；(6分)
(2)求四边形ABCD面积的最大值.(9分)
解　(1)在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC
=8+8-2×8×cos∠ABC=16-16cos∠ABC，
在△ACD中，由余弦定理得AC2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC
=16+4-2×8×cos∠ADC=20-16cos∠ADC，
因为A，B，C，D四点共圆，所以∠ABC+∠ADC=π，
因此cos∠ADC=-cos∠ABC，
上述两式相加得2AC2=36，所以AC=3(负值已舍去).
(2)由(1)得16-16cos∠ABC=20-16cos∠ADC，
化简得cos∠ADC-cos∠ABC=，
则cos2∠ADC-2cos∠ADCcos∠ABC+cos2∠ABC=， ①
四边形ABCD的面积S=AB·BCsin∠ABC+AD·CDsin∠ADC
=×2×2sin∠ABC+×2×4sin∠ADC
=4(sin∠ADC+sin∠ABC)，
整理得sin∠ADC+sin∠ABC=，
则sin2∠ADC+2sin∠ADCsin∠ABC+sin2∠ABC=， ②
①②相加得2-2(cos∠ADCcos∠ABC-sin∠ADCsin∠ABC)=，
即2-2cos(∠ADC+∠ABC)=，
由于0<∠ADC<π，0<∠ABC<π，
当且仅当∠ADC+∠ABC=π时，cos(∠ADC+∠ABC)取得最小值-1，
此时四边形ABCD的面积最大，由=4，解得S=3，
故四边形ABCD面积的最大值为3.
16，如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD为等边三角形，PD⊥AB，AD∥BC，AD=4，AB=BC=2，M为PA的中点.
(1)证明：DM⊥平面PAB；
(2)求直线PB与平面MCD所成角的正弦值.
(1)证明　设AD中点为O，连接PO，因为△PAD为等边三角形，故PO⊥AD，
由题意知平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO 平面PAD，
故PO⊥平面ABCD，AB 平面ABCD，
故PO⊥AB，又PD⊥AB，PO∩PD=P，PO，PD 平面PAD，
故AB⊥平面PAD，DM 平面PAD，故AB⊥DM，
又M为PA的中点，△PAD为等边三角形，则DM⊥PA，
因为AB∩PA=A，AB，PA 平面PAB，
所以DM⊥平面PAB.
(2)解　由(1)知AB⊥平面PAD，AD 平面PAD，故AB⊥AD，
连接CO，AO=AD=2，则AO∥BC，AO=BC，
即四边形ABCO为平行四边形，故OC∥AB，
所以OC⊥AD，
故以O为坐标原点，OC，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则P(0，0，2)，B(2，-2，0)，M(0，-1)，C(2，0，0)，D(0，2，0)，
=(2，-2，-2=(2，1，-=(0，3，-)，
设平面MCD的法向量为n=(x，y，z)，
则
即
令y=1，则n=(1，1)，
设直线PB与平面MCD所成的角为θ，θ∈
则sin θ====.
17，已知数列{an}的前n项和为Sn,满足2Sn=3n2+5n,数列{bn}是等比数列,公比q>0,b1=6,b3=2a3+4.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式.
(2)设数列{cn}满足c1=1,cn=其中k∈N*.
(i)求数列{cn}的前2 024项和;
(ii)求(n∈N*).
解析　(1)当n=1时,2S1=2a1=8 a1=4,
因为
所以an=Sn-Sn-1=3n+1,
显然a1=4符合上式,所以an=3n+1,
由题意b3=2×(3×3+1)+4=24=b1q2 q=2(舍负),所以bn=b1qn-1=3·2n.
(2)(i)易知210=1 024,211=2 048>2 024,
即数列{cn}的前2 024项中有10项分别为c2=b1,c4=b2,…,c512=b9,c1 024=b10,其余项均为1,
故数列{cn}的前2 024项和为2 024-10+b1+b2+…+b10=2 014+=8 152.
(ii)由(1)知=3·2i+1,而=bi=3·2i,
所以=3·2i(3·2i+1)=9·4i+3·2i,
易知=3·4n+1-12,=3·2n+1-6,
所以=3·4n+1+3·2n+1-18.
18，某学校为了了解老师对“民法典”知识的认知程度，针对不同年龄的老师举办了一次“民法典”知识竞答，满分100分(95分及以上为认知程度高)，结果认知程度高的有m人，按年龄分成5组，其中第一组：[20，25)，第二组：[25，30)，第三组：[30，35)，第四组：[35，40)，第五组：[40，45]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人．
(1)根据频率分布直方图，估计这m人年龄的第75百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取40人，担任“民法典”知识的宣传使者．
①若有甲(年龄23)，乙(年龄43)2人已确定人选宣传使者，现计划从第一组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人恰有一人被选上的概率；
②若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为36和1，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为42和2，据此估计这m人中35～45岁所有人的年龄的方差．
[解]　(1)不妨设第75百分位数为a，
此时5×(0.01＋0.07＋0.06)＋(a－35)×0.04＝0.75，
解得a＝36.25.
(2)由条件可知，第一、二、三、四、五组应分别抽取2人，14人，12人，8人，4人．
①第一组应抽取2人，记为A，甲，
第五组抽取4人，记为B，C，D，乙，
此时对应的样本空间为Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，甲)，(A，乙)，(B，C)，(B，D)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(C，D)，(D，甲)，(D，乙)，(甲，乙)}，共15个样本点，
记“甲、乙两人恰有一人被选上”为事件M，
此时M＝{(A，甲)，(A，乙)，(B，甲)，(B，乙)，(C，甲)，(C，乙)，(D，甲)，(D，乙)}，共8个样本点，
则甲、乙两人恰有一人被选上的概率P(M)＝.
②设第四组，第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，方差分别为s2，s′2，
此时＝42，s2＝1，s′2＝2，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为s″2，
此时＝＝＝38，
s″2＝
＝＝，
故这m人中35～45岁所有人的年龄的方差为.
19，已知函数f(x)=ax+ln(x+1).
(1)若a=-2，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)≤0恒成立，求a的取值集合.
解　(1)由a=-2，得f(x)=-2x+ln(x+1)，定义域为(-1，+∞)，
则f'(x)=-2+=
当x∈时，f'(x)>0，
当x∈时，f'(x)<0，
故f(x)的单调递增区间为
单调递减区间为.
(2)由f(x)=ax+ln(x+1)，x∈(-1，+∞)，
得f'(x)=a+
若a≥0，则显然f(2)=2a+ln 3>0，不符合题意，
则a<0，令f'(x)=0，解得x=->-1，
则当x∈时，f'(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈时，f'(x)<0，f(x)单调递减，f(x)max=f=-a-1-ln(-a)，
则-a-1-ln(-a)≤0，即a+1+ln(-a)≥0，
令g(a)=a+1+ln(-a)，a<0，
则g'(a)=1+=
当a∈(-∞，-1)时，g'(a)>0，g(a)单调递增，
当a∈(-1，0)时，g'(a)<0，g(a)单调递减，
所以g(a)max=g(-1)=0，
当满足g(a)≥0时，a=-1，
所以a的取值集合为{-1}.

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