资源简介

2024-2025 学年贵州省安顺市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是 1， 2， 3， 4，其中最大的是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2 (2) (2+ ).已知函数 ( )的导函数为 ′( )，若 → 0 = 3，则 ′(2) =( )
A. 3 B. 2 C. 2 D. 3
3.正十二边形的对角线的条数是( )
A. 56 B. 54 C. 48 D. 44
( )2
4 .已知三个正态密度函数 ( ) = 1 2 2 ( ∈ , = 1,2,3)的图像如图所示，则( ) 2
A. 1 = 3 > 2， 1 = 2 > 3 B. 1 < 2 = 3， 1 < 2 < 3
C. 1 = 3 > 2， 1 = 2 < 3 D. 1 < 2 = 3， 1 = 2 < 3
5.细胞在适宜环境下的繁殖通常符合 = 1 2 类型的模型，假设某种细胞的初始数量为 1，在理想条件下，
每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过 个单位时间后，细胞总数 (万个)会呈指数增长.设 = ，变换后

得到线性回归方程 = 0.206 + ，已知该回归方程的样本中心为(4,1.42)，则 1 =( )
A. 0.596 B. 0.596 C. 0.206 D. 0.206
第 1页，共 9页
6.某班级组织抽奖活动，共有 10 个外观相同的抽奖盒，其中 3 个盒子有奖品，7 个盒子为空盒.现甲、乙两
名同学依次抽奖(甲抽完后不放回)，则在甲没有抽到奖品的情况下，乙抽到奖品的概率是( )
A. 1 33 B. 10 C.
1 2
4 D. 9
7.某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机
抽取了 100 人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为 40 和 20，则下列
结论正确的是( )
附表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
A.依据小概率值 = 0.005 的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
B.依据小概率值 = 0.005 的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
C.根据小概率值 = 0.001 的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
D.是否接受去外地长时间出差与性别无关
8.若函数 ( ) = + 1 2有两个极值，则实数 的取值范围为( )
A. ( ∞, 2 2) ∪ (2 2, + ∞) B. (2 2, + ∞)
C. ( ∞, 2) ∪ (2, + ∞) D. (2, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于独立事件和互斥事件的说法，正确的是( )
A.若两个事件是互斥事件，则这两个事件一定不是对立事件
B.掷一枚质地均匀的骰子，记事件 为“掷出的点数为奇数”，事件 为“掷出的点数大于 4”，则事件
与事件 是互斥事件
C.若事件 与事件 相互独立，则 ( ∩ ) = ( ) ( )
D.若事件 与事件 是互斥事件，则 ( ∪ ) = ( ) + ( )
10 1.已知( 2 + )
的展开式中各项系数之和为 1024，则展开式中( )
A.各项的二项式系数之和为 1024 B.含 2的项的系数为 210
C.奇数项的二项式系数之和为 512 D.二项式系数最大项为第 5 项
11.已知函数 ( ) = 3 3 2 + ( ∈ , > 0)在区间( ∞,0]上的最大值为 2，则下列结论正确的是( )
第 2页，共 9页
A. = 2
B.若 ( )有 3 个零点 1， 2， 3，则 1 2 3 = 2
C.若 = 1，则函数 ( )有 2 个零点
D. 1若 = 1，则 ( 2025 ) + (
2 ) + ( 3 ) + … + ( 4048 ) + ( 40492025 2025 2025 2025 ) = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知函数 ( ) = ( 2 + 1)，则 ( )在点(0,1)处的切线方程为______．
13.已知变量 与 的一组观测数据如表：
1 2 3 4 5
3 5 7 9 11

根据表中数据得到 关于 的经验回归方程为 = + 1，则 = ______，当 = 8 时， 的预测值为______．
14.某校组织学生参加数学、物理、化学三项学科竞赛，要求每名学生只报名一项竞赛，且每项竞赛至少有
一人参加.若有 5 名学生报名，其中甲、乙都不参加化学竞赛，则不同的报名方案共有______种(用数字作
答)．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知数列{ }的首项 1 = 1 =

，且 ( ∈ +1 2 ). +1
(1) 1证明：数列{ }是等差数列，并求数列{ }的通项公式；
(2)设 = +1，求数列{ }的前 项和 ．
16.(本小题 15 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，底面△ 是边长为 2 的正三角形， 1 ⊥底面 ， 1 = 3， ，
1
分别是 ， 1 1的中点，点 在线段 1上，且 =1 3
．
(1)证明： //平面 1 1．
(2)求直线 与平面 1所成角的正弦值．
第 3页，共 9页
17.(本小题 15 分)
1
已知平面内一动点 ( , )到点 (1,0)的距离与它到直线 = 4 的距离之比为2，过点 的直线 与动点 的轨迹
相交于 ， 两点．
(1)求动点 的轨迹 的方程．
(2)是否存在直线 ，使得△ 的面积为 3？若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．
18.(本小题 17 分)
甲、乙两选手进行象棋比赛，假设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为 (0 < < 1)，乙
获胜的概率为 1 ，比赛分出胜负时结束．
(1) 2若 = 5，比赛采用三局两胜制，求乙获胜的概率；
(2) 1若比赛有两种赛制，五局三胜制和三局两胜制，且 > 2，试分析哪种赛制下甲获胜的概率更大，并说明
理由；
(3) = 3设 4，已知甲、乙进行了 局比赛且甲胜了 8 局，试给出 的估计值( 表示 局比赛中甲胜的局数，以
使得 ( = 8)最大的 的值作为 的估计值)．
19.(本小题 17 分)
若 ， ， ， 为( , ) + + + 上任意 个实数，满足 ( 1 2 ) ≥ ( 1)+ ( 2)+ + ( )1 2 ，当且仅当 1 = 2 = =
时，等号成立，则称函数 ( )在( , )上为“凸函数”；也可设可导函数 ( )在( , )上的导函数为 ′( )，
若 ′( )在( , )上单调递减，则称 ( )为( , )上的“凸函数”.若 1， 2， ， 为( , )上任意 个实数，
( 1+ 2+ + ) ≤ ( 1)+ ( 2)+ + ( )满足 ，当且仅当 1 = 2 = = 时，等号成立，则称函数 ( )在( , )
上为“凹函数”；也可设可导函数 ( )在( , )上的导函数为 ′( )，若 ′( )在( , )上单调递增，则称 ( )
为( , )上的“凹函数”．
(1)判断函数 ( ) = 在(0, )上的凹凸性，并说明理由；
(2)已知△ 的三个内角分别为 ， ， ，求 + + 的最大值；
(3) ( ) =

已知 ( )在(0, + ∞)上是凹函数，求实数 的取值范围．
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. = 1
13.2 17
14.62
15.(1) 1 1证明：由 = +1 2 +1 ( ∈ )，两边取倒数可得： = 2． +1
∴ 1数列{ }是等差数列，公差为 2，首项为 1．
∴ 1 = 1 = 2( 1) = 2 1．
∴ =
1
2 1．
(2) = = 1 1 1 1解： +1 (2 1)(2 +1) = 2 ( 2 1 2 +1 )．
∴数列{ }
1 1
的前 项和 = 2 [(1 3 ) + (
1
3
1
5 ) + … + (
1 1
2 1 2 +1 )]
= 1 12 (1 2 +1 )
= 2 +1．
16.(1)证明：在三棱柱 1 1 1中，
因为 ， 分别是 ， 1 1的中点，
根据三棱柱的性质， // 1 1且 = 1 1，
所以四边形 1为平行四边形，
第 5页，共 9页
所以 // 1，
又因为 平面 1 1， 1 平面 1 1，
所以 //平面 1 1．
(2)由题意，底面△ 是边长为 2 的正三角形，
侧棱 1 = 3，则 = 1, = 3．
如图，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系．
1
因为 = 3，所以 (0,0,0), (1,0,0), 1(0, 3, 3)， (0, 3, 1)，1
所以 = ( 1, 3, 1), = (1,0,0), 1 = (0, 3, 3)．
设平面 1的法向量为 = ( , , )，
⊥ = = 0
则 ，则
⊥ 1
，
1 = 3 + 3 = 0
令 = 1，则 = (0, 3, 1)．
设直线 与平面 1所成的角为 ，

则 = |cos < , > | = | | = 2 5 5×2 = 5 ，| || |
所以直线 与平面 1所成角的正弦值为
5．
5
17.(1)由于点 ( , )到点 (1,0)的距离为 ( 1)2 + 2，
点 ( , )到 = 4 的距离为| 4|，
( 1)2+ 2
因此 1，
| 4| = 2
化简得 4( 1)2 + 4 2 = 2 8 + 16，即 3 2 + 4 2 = 12，
2 2
因此动点 的轨迹 的方程为 ．
4 + 3 = 1
(2)根据题意可知直线 的斜率不为 0，
因此设直线 为 = + 1， ( 2, 2)， ( 1, 1)，
第 6页，共 9页
= + 1
联立直线和椭圆方程可得 2 2 ，得(3 2 + 4) 2 + 6 9 = 0，直线 过点 ，那么必有 > 0，
4 + 3 = 1
那么 + 6 91 2 = 3 2+4 , 1 2 = 3 2+4，
1
因此三角形 的面积 △ = 2 | | × |
1
1 2| = 2 | | ( 1 + )
2
2 4 1 2，
2
= 1 × 1 × ( 6 )2 4( 9 ) = 6 +12 3 2+4 3 2+4 3 2 ．+4
6
令 = 2 + 1，那么 2 = 2 1( ≥ 1)，因此 △ = 3 2+1 ( ≥ 1)．
( ) = 6
2
令函数 3 2+1 ( ≥ 1)，那么导函数 ′( ) =
6(1 3 )
(3 2+1)2 < 0, ( )在[1, + ∞)上单调递减，
因此 ( ) = (1) =
6 3 3
3+1 = 2，所以三角形 面积的最大值为2．
3
由于2 < 3，因此不存在直线 ，使得三角形 面积为 3．
18.(1)根据题意，设事件 =“比赛采用三局两胜制乙获胜”．
2 3
因为每局比赛乙获胜的概率为 1 5 = 5，
所以 ( ) = ( 3 )2 + 15 2 ×
3 2 3 81
5 × 5 × 5 = 125．
(2)根据题意，采用五局三胜制甲获胜的概率更大，
理由如下：
在五局三胜制中甲获胜的概率 1 = 3 + 2 2 2 23 (1 ) + 4 (1 )2 = 3(6 2 15 + 10)．
在三局两胜制中甲获胜的概率 22 = + 1 22 (1 ) = 3 2 2 3．
1 2 = 3(6 2 15 + 10) (3 2 2 3) = 3 2( 1)2(2 1)．
若 > 12，则 2 1 > 0，必有 1 2 > 0，故采用五局三胜制甲获胜的概率更大．
(3)根据题意， 表示 局比赛中甲胜的局数，则 ( , 34 )，
可知 ( = 8) = 8 3 8 3 8 8 3 8 1 8 ( 4 ) (1 4 ) = ( 4 ) ( 4 ) ．
第 7页，共 9页
3 1 8
3
8 8 8 +1 +1(4)
8(1) 7 +1
令 4 = ( 4 ) ( 4 ) ，则 = 3 1 = ． 8( )8( ) 8 4( 7)4 4
+1
令4( 7) > 1，解得 ≤ 9，当 ≤ 9 时，可得 +1 > ；
+1
令4( 7) < 1，解得 ≥ 10，当 ≥ 10 时，可得 +1 < ．
故当 = 10 时， 最大，即 ( = 8)的值最大，
所以 的估计值为 10．
19.(1) ( )为(0, )上的凸函数．
因为 ( ) = ， ∈ (0, )，所以 ′( ) = ，
令 ( ) = ，则 ′( ) = < 0 在(0, )上恒成立，
所以 ′( )在(0, )上单调递减．
故 ( )为(0, )上的凸函数．
(2)由(1)知 ( )为(0, )上的凸函数，且 + + = ，
( + + ) ≥ ( )+ ( )+ ( )所以 3 3 ，
= = = 3 = sin ≥ + + 当且仅当 3时，等号成立，即 2 3 3 ，
3 3
所以 + + 的最大值为 2 ，当且仅当 = = = 3时，等号成立．

(3)因为 ( ) = ( )，

所以 ′( ) = + = ( 1 1 2 2 ) +

，
令 ( ) = ( 1 1 2 ) +

，
则 ′( ) = ( 1
1
2 ) +
( 1 2 2 1 1 2 + 3 ) 2 = ( 3 2 + ) 2，
因为 ( )在区间(0, + ∞)上为“凹函数”，
所以 ′( ) = ( 2 2 1 3 2 + ) 2 ≥ 0( > 0)，即 ≤
( 2 + 2)( > 0)．
令 ( ) = ( 2 + 2)( > 0)，
2
则 2 2 2 2 ( 1)( +2)′( ) = ( + 2) + ( 2 + 1) = ( 2 + + 1) = 2 ．
令 ′( ) < 0，得 0 < < 1，令 ′( ) > 0，得 > 1，
所以 ( )在(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增，
第 8页，共 9页
所以 ( ) = (1) = ，
所以 ≤ ，故 的取值范围为( ∞, ]．
第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑