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2.7 探索勾股定理（第二课时）
题型一：判断三边能否组成直角三角形
1．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）下列条件不能够判定是直角三角形的是（ ）
A．， B．，，
C．点D是边的中点， D．
2．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，，是的三边，则．
B．若，，是的三边，则．
C．若，，是的三边，，则．
D．若三条线段长，，满足，那么这三条线段组成的三角形是直角三角形．
3．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）在中，的对边分别是，下列命题中假命题是（ ）
A．若，则是直角三角形
B．若，则是直角三角形
C．若，则不一定是直角三角形
D．若，则一定不是直角三角形
4．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）下列条件无法判定是直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
5．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）已知的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25八年级下·河南许昌·期末）下列由线段、、组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
7．（24-25八年级上·广西百色·期末）已知中，，，分别是，，的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，，
8．（24-25八年级下·江西赣州·期末）已知中，分别是的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（24-25八年级下·福建福州·期末）满足下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：在网格中判断直角三角形
1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
2．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，均在网格的格点上，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，小正方形的边长均为，、、在小正方形的格点上，连接，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称为格点格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
6．（24-25九年级上·云南临沧·期末）如图所示的网格是正方形网格，点、、、、都是网格线交点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C分别是小正方形的顶点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25八年级下·广东惠州·期中）点A，B，C，D，E是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则（ ）

A． B． C． D．
9．（2025·河北邢台·模拟预测）图是由小正方形拼成的网格，两点均在格点上，两点均为小正方形一边的中点，直线与直线交于点，则（ ）
A． B． C． D．
题型三：勾股定理的逆定理求线段长度
1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为（ ）
A．12 B．10 C． D．
2．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（20-21八年级上·陕西西安·期中）如图，D为的边上一点，已知，，，，则的长为（ ）

A．18 B．21 C．20 D．23
4．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）．
A．4 B． C．5 D．
5．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，，D是边的中点，则 ．
6．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，已知，，，则的长为 ．
题型四：勾股定理的逆定理求角度
1．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，四边形中，，，，，．则（ ）
A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小
2．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，中，，点在上，点为的中点，，相交于点，且．若，则的度数是 ．
6．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，在四边形中，已知，则的度数为 ．
7．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，中，，垂足为D，E为边的中点，，，，则 ．
题型五：勾股定理的逆定理求面积问题
1．（24-25九年级下·广东河源·期中）如图，在四边形中，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）

A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·吉林松原·期末）已知一个三角形的三边长分别为、4、5，则此三角形的面积为（ ）
A．20 B．10 C． D．
4．（24-25八年级下·西藏·期中）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积是( )
A． B． C． D．
5．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，一块三角形木板，测得，，，则三角形木板的面积为（ ）
A．15 B．24 C．30 D．不能确定
6．（24-25九年级下·四川绵阳·开学考试）如图，，，，，，则这个图形的面积为 ．
7．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积是 ．
题型六：勾股定理的逆定理综合解答题
1．（24-25八年级下·天津红桥·期末）如图，在四边形中，，，，，，
(1)求的大小；
(2)求四边形的面积．
2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在四边形中，，，，，．
(1)连接，求的长；
(2)求四边形的面积．
3．（24-25八年级下·广西钦州·期中）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的长．
4．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，已知等腰三角形的底边，D是腰上一点，且，，求的面积．
5．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，在中，，，点D为内一点，且，，．
(1)求BC的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
6．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，于点D．
(1)已知，，，求证：；
(2)已知．
①若，，求的长；
②若设，，，则m，n，k的数量关系为__________．
7．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，四边形中，，，，，．
(1)求的长度；
(2)求四边形的面积．
题型七：勾股定理逆定理的实际应用
1．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（ ）
A．30平方里 B．32.5平方里 C．60平方里 D．65平方里
2．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在我国海军某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口同时出发，号舰沿南偏东方向以节（节海里/小时）的速度航行，号舰以节的速度航行，离开港口小时后它们分别到达两点且相距海里，则号舰的航行方向是（ ）
A．北偏西 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西
3．（24-25八年级上·山西晋中·期中）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离（）为240米．假设所有管道的材质相同．
(1)求B，N之间的距离；
(2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确．
5．（24-25八年级下·江西宜春·期末）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，，，，，，现计划在空地内种草，若每平方米草地造价40元，则这块地全部种草的费用是多少元？
6．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行．
7．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图是某工厂的平面图经测量．
（1）则 度；
（2）已知是在边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为，若，则直线上被摄像头监控的公路长度为 米．
题型一：最短路径之圆柱体上的问题
1．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图是一个底面周长为，高为的圆柱模型，是底面直径．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，在圆柱表面的高上有一点，，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆柱的表面爬行到点的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（ ）
A．10米 B．12米 C．16米 D．20米
5．（24-25七年级下·广西玉林·期末）2025年中国轮滑（滑板）公开赛于5月2日在江西崇义站举行，标志着我国乡村体育发展的新突破．如图是一名滑板选手训练的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，该选手从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米．
6．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，求它从点A出发沿圆柱表面爬行到上底面与点A相对的点B处的最短路径是 ．
7．（24-25八年级下·湖南郴州·期中）如图，半径为1，高为3的圆柱体，一只甲壳虫从点到点，则甲壳虫的最短路程为 ．
题型二：最短路径之长方形上的问题
1．（24-25八年级下·云南西双版纳·期中）如图，正方体的棱长长为，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面到点处吃食物，那么它爬行最短路程是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，有一个长方体．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（　　）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·广东韶关·期末）如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，点B为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点B的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025八年级下·河南·专题练习）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是（ ）
A．5 B． C． D．
5．（2025八年级下·河南·专题练习）如图，长方体的底面是边长为6的正方形，侧面都是长为13的长方形，点是的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级上·四川成都·期中）在一个长6米，宽为6米的正方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图的高是米的正三角形，一只昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是 米．
7．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，则所用细线最短需 ．
8．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖．
(1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？
(2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程．
题型三：勾股定理逆定理的拓展问题
1．（24-25八年级下·河南信阳·期中）阅读下列内容：
设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：若，则该三角形是直角三角形；若，则该三角形是钝角三角形；若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，由于，由结论可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题：
(1)若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
(2)若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为________．
2．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形” B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形” D．①②都一定不是“方倍三角形”
(2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积．
3．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式．
4．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）．
(1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形；
(2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当时，
当为直角三角形时，则的取值为________；
当为锐角三角形时，则的取值范围________；
当为钝角三角形时，则的取值范围________．
5．（21-22八年级上·山西晋中·期中）阅读下列内容，并解决问题．
一道习题引发的思考
小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究：
【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m -1，c= m +1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗 如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗
【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c ，那么a，b，c称为一组勾股数．
关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》．
【问题解答】
（1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数；
（2）若m表示大于1的整数，试证明（m -1，2m，m +1）是一组勾股数；
（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数．
6．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．
（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．
1．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）
A．8，15，17 B．5，6，7 C．，， D．6，7，8
2．（24-25八年级下·江西上饶·期末）设的三边分别为，满足下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．的面积为10 D．点到直线的距离是2
4．（24-25八年级下·吉林松原·期中）小智用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将活动学具制成为如图①所示的菱形，并测得，接着将活动学具制成为如图②所示的正方形，并测得图②中的对角线，则图①中的对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（ ）
A．点A、点B、点D B．点A、点C、点G
C．点B、点E、点F D．点B、点G、点E
7．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（ ）
A． B． C． D．
8．（河北省张家口市经开区2024-2025学年七年级下学期期末数学练习卷）如图，在中，平分，交于点D，，，，则点D到的距离为 ．
9．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）若是的三边，且，则的面积为 ．
10．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在中，，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则点D到的距离为 ．
11．（24-25八年级下·河南漯河·期中）如图，在3×3的网格上标出了和，则 ．
12．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．
(1)分别求出线段，的长度（图中，，，均为网格线交点）；
(2)在图中画线段，使得的长为；判断以，，三条线段是否构成直角三角形，并说明理由．
13．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，是的中点，，交于点，且，，．求证：．

14．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条道路，已知，，．
(1)是否为村庄到河边最近的道路？请通过计算加以说明；
(2)已知新的取水点与原取水点相距，求新路比原路少多少千米．
15．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在笔直的河边的一侧是一片空旷的草地，牧马人从草地上的A处出发到河边饮马，然后前往草地上的B处．若测得A处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为D）为12米，B处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为E）为28米，且两处相距30米．
(1)在图中画出从A到再到B的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）；
(2)C是河边上D，E两地之间的一个地点，且与D处相距16米，如果从A先到C处饮水，再回到B处，行走路程比（1）中的最短路径长多少？
16．（24-25八年级上·山东济南·期末）（1）如图1，是等边内一点，连接，且，连接．
① __度；（答案直接填写在横线上）
②_ __﹔（答案直接填写在横线上）
③求的度数．
（2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接，，连接．当满足什么条件时，．请给出证明．中小学教育资源及组卷应用平台
2.7 探索勾股定理（第二课时）
题型一：判断三边能否组成直角三角形
1．（24-25八年级下·湖南娄底·期末）下列条件不能够判定是直角三角形的是（ ）
A．， B．，，
C．点D是边的中点， D．
【答案】D
【分析】本题考查直角三角形的判定，掌握三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据三角形内角和定理判定A和D，根据勾股定理的逆定理判定B，利用直角三角形斜边中线的性质判定C．
【详解】A．，，则，故为直角三角形，此选项不符合题意；
B．，即，故为直角三角形，此选项不符合题意；
C．点D为中点，且，根据定理“若一边的中线等于该边的一半，则三角形为直角三角形”，可知为直角三角形，此选项不符合题意；
D．，令，则，，由内角和得：，解得，则，非直角．故D不能判定为直角三角形，此选项符合题意；
故选：D．
2．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，，是的三边，则．
B．若，，是的三边，则．
C．若，，是的三边，，则．
D．若三条线段长，，满足，那么这三条线段组成的三角形是直角三角形．
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，灵活运用勾股定理以及逆定理成为解题的关键．
运用勾股定理以及勾股定理逆定理逐项判断即可．
【详解】解：A、未限定为直角三角形，任意三角形三边不一定满足勾股定理，故错误，不符合题意；
B、虽指明，但未明确直角对应的边．若直角边为a、b、斜边c，则满足；若c为直角边，则等式不成立．因未指定直角位置，结论不必然成立，故错误，不符合题意；
C、已知，则a为斜边，应满足，而非，故错误，不符合题意；
D、由变形得，再根据勾股定理逆定理可得以a为斜边的三角形为直角三角形，故正确，符合题意．
故选D．
3．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）在中，的对边分别是，下列命题中假命题是（ ）
A．若，则是直角三角形
B．若，则是直角三角形
C．若，则不一定是直角三角形
D．若，则一定不是直角三角形
【答案】D
【分析】本题考查了命题的真假，三角形内角和定理及勾股定理逆定理的应用，需逐一分析各选项是否符合直角三角形的判定条件，据此进行作答即可．
【详解】解：A、由，总份数为，
∴，
故是直角三角形，为真命题；
B、设三边为、、，
则，满足勾股逆定理，
故是直角三角形，为真命题；
C、由，结合内角和，
得，
即，
此时，
但无法确定是否有直角（如，时为直角三角形；，时则不是），为真命题；
D、因为仅说明以为斜边时不成立，但不能说明一定不是直角三角形，故为假命题；
故选：D
4．（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）下列条件无法判定是直角三角形的是（ ）
A． B．，，
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．根据题意求出角的度数或者利用勾股定理的逆定理进行计算即可．
【详解】解：A．∵，
设，
，
，
，
，
∴是直角三角形，故选项A不符合题意；
B．∵，，
∴，
∴是直角三角形，故选项B不符合题意；
C．∵，
，
，
，
∴是直角三角形，故选项C不符合题意；
D．∵，
设，
∴，
∴不是直角三角形，故选项D符合题意；
故选：D．
5．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）已知的三条边分别为，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．
【详解】解：A、∵，，
∴最大角为，
∴不是直角三角形，
故本选项符合题意；
B、∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
故本选项不符合题意；
C、∵，
∴最大角是，
∴能构成直角三角形，
故选项不符合题意；
D、∵，
∴，
∴最大角为，
∴是直角三角形，
故本选项不符合题意．
故选：A．
6．（24-25八年级下·河南许昌·期末）下列由线段、、组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，判断较小两边的平方和是否等于第三边的平方，则可以判断各个选项的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．
【详解】解：A、，故选项A中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
B、，故选项B中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
C、，故选项C中的三条线段能构成直角三角形，不符合题意；
D、，故选项D中的三条线段不能构成直角三角形，符合题意；
故选：D．
7．（24-25八年级上·广西百色·期末）已知中，，，分别是，，的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，，
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
根据直角三角形的判定方法，逐一用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分析各选项是否存在角即可求解．
【详解】解：A． 由，结合内角和得，
代入得，解得，
为直角三角形，故此选项不符合题意．
B． 设，
则，
解得，
故，无直角，不能判定为直角三角形，故此选项符合题意．
C． 展开得，即，
由勾股定理的逆定理知，为直角三角形，故此选项不符合题意．
D． ∵，
∴，
由勾股定理的逆定理知，
∴故为直角三角形故此选项不符合题意．
故选：B．
8．（24-25八年级下·江西赣州·期末）已知中，分别是的对边，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形内角和定理及勾股定理的逆定理的应用．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理求解，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可．
【详解】解：A、∵，
设三边为、、，满足，即，
能构成直角三角形，故此选项不符合题意．
B、∵
∴，，无角为，
不是直角三角形，故此选项符合题意；
C、，
，
∴
，
为直角三角形，故此选项不符合题意；
、，
，
能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：B．
9．（24-25八年级下·福建福州·期末）满足下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理．根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，
设，，，
，
，
，，，
不是直角三角形，符合题意．
B、，，，
，即，
为直角三角形．不符合题意；
C、，，
，
，
为直角三角形．不符合题意；
D、，
，
，
为直角三角形．不符合题意．
故选：A．
题型二：在网格中判断直角三角形
1．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．7个
【答案】C
【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个．
【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个；
当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点；
当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．
因而共有6个满足条件的顶点．
故选C．
2．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在网格中，点，，都是网格线的交点，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟悉“利用勾股定理的逆定理判断直角三角形”是解题的关键．先利用勾股定理分别求解 ，，，再证明，，从而可得答案．
【详解】解：如图，连接，
由勾股定理得：，，，
，，
，，
故选B．
3．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，均在网格的格点上，下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、勾股定理的逆定理、三角形的面积，利用勾股定理求线段长度是解题的关键．根据勾股定理求出、、，利用勾股定理的逆定理推出，再利用割补法求出，结合选项即可得出答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
．
结合选项可得，A、B、C选项结论正确，D选项结论不正确．
故选：D．
4．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，小正方形的边长均为，、、在小正方形的格点上，连接，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，判断是等腰直角三角形是解决本题的关键，注意在格点三角形中利用勾股定理．在格点三角形中，根据勾股定理即可得到，，的长度，继而可得出的度数．
【详解】解：根据勾股定理可得：
，，
，即，
是等腰直角三角形．
．
故选：A．
5．（24-25八年级下·湖北孝感·期中）如图，在网格中，每个小正方形的边长都相等，网格线的交点称为格点格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【分析】根据网格的特点以及等腰直角三角形的性质，分类讨论，找出符合题意的点，即可求解．
【详解】解：如图，
格点与图中的格点，可构成直角三角形，则这样的格点有个
故选：D．
6．（24-25九年级上·云南临沧·期末）如图所示的网格是正方形网格，点、、、、都是网格线交点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理与网格，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，理解图示，掌握勾股定理与网格，全等三角形的判定和性质是关键．
如图，连接、，由勾股定理逆定理得到是等腰直角三角形，，再证明，得到，由即可求解．
【详解】解：如图，连接、，
由勾股定理得：，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
故选：B．
7．（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C分别是小正方形的顶点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，熟悉掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
连接，利用勾股定理求出三角形各边的长度，再用逆定理证明为直角，再通过等腰三角形的性质运算求解即可．
【详解】解：连接，如图所示：
根据勾股定理可得：，， ，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
8．（24-25八年级下·广东惠州·期中）点A，B，C，D，E是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，连接，设小正方形的边长为x，根据勾股定理得，，，再根据勾股定理的逆定理，得，从而，由，得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
设图中每个小正方形的边长为x，
，，，
，，
，
，
由题意得，，
，
，
，
故选：B．
9．（2025·河北邢台·模拟预测）图是由小正方形拼成的网格，两点均在格点上，两点均为小正方形一边的中点，直线与直线交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平移的性质，勾股定理及其逆定理，通过平移，将点C、D移到格点是银题的关键．
将向下平移一格，再向左平移格，得到，连接，利用勾股定理及其逆定理，证明，即可由平行线的性质求得，从而求得．
【详解】解：如图，平移至处，则均在正方形格点上，连接，
设小正方形的边长为1，由勾股定理得：
，，，
∴
∴
∵平移至处，．
∴
∴
∴
故选：C．
题型三：勾股定理的逆定理求线段长度
1．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为（ ）
A．12 B．10 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，，延长到E，使得，连接，证明得到，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，延长到E，使得，连接，
∵是边上的中线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
2．（24-25八年级下·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可．
【详解】解：连接，

∵，，
∴，
∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
故选：D．
3．（20-21八年级上·陕西西安·期中）如图，D为的边上一点，已知，，，，则的长为（ ）

A．18 B．21 C．20 D．23
【答案】B
【分析】根据得到，根据勾股定理得到，结合，解答即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
【详解】解：∵，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，，将折叠，得到折痕，且顶点B恰好与点A重合，点C落在点F处，则的长为（　　）．
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，勾股定理及其逆定理的应用．连接，先证明是直角三角形，且，再证明是的垂直平分线，得到，设，则，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接，如图；
，，，
，，，
，
是直角三角形，且，
由折叠的性质得：，
顶点B恰好与点A重合，
，
是的垂直平分线，
，
设，则，
在中，，
，
,
，
故选：B．
5．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图，在中，，，，D是边的中点，则 ．
【答案】//
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，直角三角形的性质，得到是直角三角形是解题的关键．
先根据勾股定理逆定理得到，再由直角三角形斜边上中线的性质即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∵D是边的中点，
∴，
故答案为：．
6．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图所示，已知，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，延长至点E，使，则，由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，再由勾股定理得，然后证明，即可得出结论．
【详解】解：如图，延长至点E，使，
则，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
题型四：勾股定理的逆定理求角度
1．（24-25八年级下·四川南充·期末）如图，四边形中，，，，，．则（ ）
A．是锐角 B．是直角 C．是钝角 D．不确定大小
【答案】B
【分析】此题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．
直接利用勾股定理可得的长；再根据勾股定理逆定理判定即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B
2．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．连接，可求，再由，可得是直角三角形，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴，
∴是直角三角形，，
∴．
故选：D．
3．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，已知．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质．根据勾股定理可得，再由勾股定理的逆定理可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
4．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，中，，点在上，点为的中点，，相交于点，且．若，则的度数是 ．
【答案】/105度
【分析】根据，可知为直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半，可知，利用等边对等角，可求得，，接着利用外角，推出，最后利用求得答案．
【详解】解： 中，，不妨设，，，
，，，
，
，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
6．（24-25八年级下·福建福州·阶段练习）如图，在四边形中，已知，则的度数为 ．
【答案】/135度
【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理等知识，连接，得出为等腰直角三角形，得到，根据勾股定理求出，根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，且，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，，
为等腰直角三角形，
∴，
在中， ，
在中，，
是直角三角形，且，
，
故答案为：．
7．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，中，，垂足为D，E为边的中点，，，，则 ．
【答案】/30度
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，再利用勾股定理的逆定理得出，从而由三角形的面积求得，从而可证明是等边三角形，得，即可由求解．
【详解】解：∵，E为边的中点，，
∴，，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴．
故答案为：．
题型五：勾股定理的逆定理求面积问题
1．（24-25九年级下·广东河源·期中）如图，在四边形中，，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，求四边形的面积，解题关键是通过连结对角线，将四边形问题转化为三角形问题求解．
先证明为直角三角形，再求出两个三角形的和即为四边形的面积．
【详解】解：连接，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴为直角三角形，
∴四边形的面积，
故选：B．
2．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可．
【详解】解：连接，

∵
∴，
∵，
∴为直角三角形，且，
∴．
故选：C．
3．（24-25八年级下·吉林松原·期末）已知一个三角形的三边长分别为、4、5，则此三角形的面积为（ ）
A．20 B．10 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，先判断三角形是否为直角三角形，再利用直角三角形的面积公式计算．
【详解】解：由题意，三角形的三边长分别为、4、5，
所以，
所以三角形为直角三角形，其中4和5为直角边，
所以直角三角形的面积．
故选：B
4．（24-25八年级下·西藏·期中）如图，四边形中，，，，，，则四边形的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，三角形面积，熟练掌握勾股定理及逆定理是解题的关键．连接，利用勾股定理求出，利用勾股定理的逆定理得到为直角三角形，得到，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
，，
，
，
，，
，
为直角三角形，且，
，
故选：A．
5．（24-25八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，一块三角形木板，测得，，，则三角形木板的面积为（ ）
A．15 B．24 C．30 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理逆定理的应用，根据勾股定理的逆定理，得为直角三角形，故可求出面积．
【详解】解：∵，，
∴，
即是直角三角形，
∴，
故选：B．
6．（24-25九年级下·四川绵阳·开学考试）如图，，，，，，则这个图形的面积为 ．
【答案】24
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的运用，三角形面积的求法．关键是掌握勾股定理与逆定理．连接，在中，，，可求；在中，由勾股定理的逆定理可证为直角三角形，利用两个直角三角形的面积差求图形的面积．
【详解】解：连接，在中，，
，
在中，
，
为直角三角形；
图形面积为：
故答案为：．
7．（24-25八年级上·福建漳州·期中）如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积是 ．
【答案】234
【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题关键．连接，先利用勾股定理可得的值，再根据勾股定理的逆定理可得，然后根据四边形的面积等于求解即可得．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积等于
；
故答案为：234．
题型六：勾股定理的逆定理综合解答题
1．（24-25八年级下·天津红桥·期末）如图，在四边形中，，，，，，
(1)求的大小；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，说明为直角三角形，，是解题的关键．
（1）先根据直角三角形性质求出，再根据勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，最后求出结果即可；
（2）根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，，最后求出结果即可．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
∴为直角三角形，，
．
（2）解：，，
，
，，
四边形的面积为．
2．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在四边形中，，，，，．
(1)连接，求的长；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)10
(2)144
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，证明是直角三角形是解题的关键．
（1）利用勾股定理求解；
（2）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，再根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：如图，连接．
，，，
．
（2）解：由（1）可知．
，，
，．
．
是直角三角形，．
．
3．（24-25八年级下·广西钦州·期中）如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点，．
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，线段垂直平分线的性质，证明是直角三角形是解题的关键。
（1）可证明，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形；
（2）连接，由线段垂直平分线的性质得到．设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】（1）证明：在中，，，，
，，
．
∴，
∴是直角三角形；
（2）解：如图，连接．
是的垂直平分线，
．
由（1）可得是直角三角形，
即．
设，则，
在中，由勾股定理得，
即．
解得．
即的长为．
4．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图所示，已知等腰三角形的底边，D是腰上一点，且，，求的面积．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，先证明是直角三角形，设，则，在中，根据勾股定理，求得，进而求得的长，然后根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】解∶，，
，
是直角三角形，，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
，
．
5．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，在中，，，点D为内一点，且，，．
(1)求BC的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是求出的长．
（1）根据勾股定理和，，，可以求出的长；
（2）根据勾股定理的逆定理可以判断的形状，从而可以求出阴影部分的面积．
【详解】（1）解：∵，，，，
；
（2）解：∵，，，且，
即，
∴是直角三角形，，
．
6．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，在中，于点D．
(1)已知，，，求证：；
(2)已知．
①若，，求的长；
②若设，，，则m，n，k的数量关系为__________．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键．
（1）由勾股定理可得、，再根据勾股定理逆定理即可证明结论；
（2）设，则，由勾股定理可得求解即可：②由勾股定理可得，进而得到求解即可．
【详解】（1）证明∶∵，，，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：①设，则，
∴，
∴，即，解得：（已舍弃负值），
∴．
②根据勾股定理得，，
∵，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
7．（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，四边形中，，，，，．
(1)求的长度；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)5
(2)11
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握相关定理，是解题的关键：
（1）勾股定理进行求解即可；
（2）利用勾股定理逆定理得到，分割法求出四边形的面积即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴；
（2）∵，，由（1）知：，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
题型七：勾股定理逆定理的实际应用
1．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为5里，12里，13里，问这块沙田的面积为（ ）
A．30平方里 B．32.5平方里 C．60平方里 D．65平方里
【答案】A
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积计算，解题的关键是判断三角形的形状，再计算其面积．
先根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再根据直角三角形的面积公式计算沙田的面积．
【详解】解：已知三角形沙田的三条边分别为5里，12里，13里．
，
．
这个三角形沙田是直角三角形，其中5里和12里为两条直角边．
沙田的面积为（平方里）．
故选：A．
2．（24-25八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在我国海军某次海上编队演习中，两艘航母护卫舰从同一港口同时出发，号舰沿南偏东方向以节（节海里/小时）的速度航行，号舰以节的速度航行，离开港口小时后它们分别到达两点且相距海里，则号舰的航行方向是（ ）
A．北偏西 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏西
【答案】D
【分析】本题考查了方向角，勾股定理的逆定理，由题意可得海里，海里，进而由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，即得到，即可求解，由勾股定理的逆定理得到是解题的关键．
【详解】解：由题意得，海里，海里，
∵海里，
∴，
∴是直角三角形，且，
∵，
∴，
∴号舰的航行方向是南偏西，
故选：．
3．（24-25八年级上·山西晋中·期中）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．如图，某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街清理出了一块可以绿化的空地（阴影部分）．若，，，，则这块可以绿化的空地（阴影部分）的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，求阴影部分的面积，先根据勾股定理求出，再根据逆定理说明是直角三角形，然后根据得出答案．
【详解】解：∵，，，
∴．
∵，，
∴，，
∴是直角三角形，，
∴．
∴这块可绿化的空地的面积为．
故选：C．
4．（24-25八年级下·河北沧州·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离（）为240米．假设所有管道的材质相同．
(1)求B，N之间的距离；
(2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确．
【答案】(1)180米
(2)珍珍的观点正确，见解析
【分析】1）利用勾股定理解答即可；
（2）利用勾股定理及其逆定理，证明即可．
本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴．
在中，，
由勾股定理得，
即B，N之间的距离为180米；
（2）解：∵，
∴．
在中，
由勾股定理得．
∵，，，
∴，
∴，即，
∴是垂线段，
∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确．
5．（24-25八年级下·江西宜春·期末）城市绿化是城市重要的基础设施，是改善生态环境和提高广大人民群众生活质量的公益事业．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，，，，，，现计划在空地内种草，若每平方米草地造价40元，则这块地全部种草的费用是多少元？
【答案】这块地全部种草的费用是5760元．
【分析】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理．连接，根据勾股定理和勾股定理的逆定理即可得到结论．
【详解】解：如图，连接，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形即，
∴，
∴（元），
答：这块地全部种草的费用是5760元．
6．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后分别位于点处，且相距30海里．已知“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿 方向航行．
【答案】西北方向
【分析】本题考查了勾股定理逆定理的应用和方向角，解题的关键是能够根据勾股定理的逆定理发现直角三角形进行解答．
根据题意，得出的三边长，再利用勾股定理的逆定理推出是直角三角形，再求解即可．
【详解】解：由题知，海里，海里，海里，，
，
，
是直角三角形，且，
，
“海天”号沿西北方向航行．
故答案为：西北方向
7．（24-25八年级下·河北唐山·期中）如图是某工厂的平面图经测量．
（1）则 度；
（2）已知是在边上药厂的进出口，为了能观察到进出口周围环境情况，工作人员计划在点处安装一个摄像头，且摄像头能监控的最远距离为，若，则直线上被摄像头监控的公路长度为 米．
【答案】 160
【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用，等腰三角形的性质与判定，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）连接，可得，利用勾股定理可得，则可证明，再根据勾股定理的逆定理可得，即可求解；
（2）过点E作，交直线于点G．点M，N在直线上，且，即的长为直线上被摄像头监控到的公路长度．可证明，得到．求出，由勾股定理得，则，由勾股定理得，同理可得，则，据此可得答案．
【详解】解：（1）如图，连接．
∵，，
∴．
在中，由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为；；
（2）如图，过点E作，交直线于点G．点M，N在直线上，且，即的长为直线上被摄像头监控到的公路长度．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴
在中，由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得，
同理可得，
∴，
即直线上被摄像头监控到的公路长度为，
故答案为：160．
题型一：最短路径之圆柱体上的问题
1．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为．在杯内离杯底的点C处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆柱的展开图，轴对称，勾股定理，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键．利用展开图，轴对称，勾股定理计算即可．
【详解】解：如图，将圆柱的侧面展开，

根据题意，，
∴
作点Ａ关于直线的对称点G，连接，则为所求最短距离，
则，
过点作，交的延长线于点E，
则四边形是矩形，
故，
故，
故，
∴蚂蚁到达蜂蜜C点的最短距离为．
故选：C
2．（24-25八年级下·河北张家口·期末）如图是一个底面周长为，高为的圆柱模型，是底面直径．现要在此模型的侧面贴一圈彩色装饰带，使装饰带经过A，C两点（接头不计），则装饰带的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理是解题关键．将圆柱的侧面展开，根据题意可知，，利用勾股定理解得的长度，然后计算装饰带长度的最短值即可．
【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，，且点为的中点，，
根据题意，可知，，
∴，
∴装饰带长度的最短值．
故选：D．
3．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期中）如图，圆柱体的底面周长为，是底面圆的直径，在圆柱表面的高上有一点，，，一只蚂蚁从A点出发，沿圆柱的表面爬行到点的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题，以及勾股定理的应用．首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长为，求出的值；再在中，根据勾股定理求出的长，即可解得．
【详解】解：圆柱侧面展开图如图所示，
圆柱的底面周长为，
．
，，
，
在中，，
，
即蚂蚁从点出发沿着圆柱体的表面爬行到点的最短距离是．
故选：B．
4．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在底面周长约为8米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），每根石柱刻有雕龙的部分的柱身高约12米，则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少为（ ）
A．10米 B．12米 C．16米 D．20米
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意把圆柱体的侧面展开，根据勾股定理求出每圈龙的长度，最后乘2即可得到结果．
【详解】解：如图，
∵底面周长约为8米，柱身高约12米，
∴米，（米），\
∴（米），
则雕刻在石柱上的巨龙的长度至少（米），
故选：D．
5．（24-25七年级下·广西玉林·期末）2025年中国轮滑（滑板）公开赛于5月2日在江西崇义站举行，标志着我国乡村体育发展的新突破．如图是一名滑板选手训练的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，该选手从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米．
【答案】50
【分析】本题考查了平面展开最短路径问题、勾股定理，要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，由与型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于，进而求解即可．
【详解】解：如图是其侧面展开图，则的长为滑行最短距离，
（米），（米），（米），
在中，，
∴，
解得（负值舍去），
故他滑行的最短距离约为50（米）．
故答案为：50．
6．（24-25八年级下·浙江台州·期中）如图，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，求它从点A出发沿圆柱表面爬行到上底面与点A相对的点B处的最短路径是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平面展开图求最短路径问题，将圆柱体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答是解题关键．
根据题意得出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，求出，，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：如图：
由题意得：，
由勾股定理有
故蚂蚁爬行的最短路程是，
故答案为：
7．（24-25八年级下·湖南郴州·期中）如图，半径为1，高为3的圆柱体，一只甲壳虫从点到点，则甲壳虫的最短路程为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先求出这个圆柱的侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面周长为，宽等于圆柱的高3，再画出图形，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：这个圆柱的侧面展开图是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱底面周长、宽等于圆柱的高3，
如图，由题意得：，，，
则甲壳虫的最短路程为，
故答案为：．
题型二：最短路径之长方形上的问题
1．（24-25八年级下·云南西双版纳·期中）如图，正方体的棱长长为，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面到点处吃食物，那么它爬行最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了正方体的平面展开图，勾股定理的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
展开后直接利用勾股定理计算即可．
【详解】解：由题知，，根据两点之间线段最短可知蚂蚁爬行最短路程是，
；
故选：B．
2．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，有一个长方体．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查勾股定理的应用．要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【详解】解：如图，将长方体的侧面展开，根据两点之间线段最短，连结，
则，．
在中，．
故选C．
3．（24-25八年级下·广东韶关·期末）如图，在桌面上放置一个棱长为的正方体，点B为一条棱上的点，且，蚂蚁在正方体表面爬行，从顶点A爬行到点B的最短路程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平面展开最短路径问题，勾股定理，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点是解题的关键．
正方体侧面展开为长方形，确定蚂蚁爬行的起点和终点，根据两点之间线段最短，根据勾股定理可求出最短路径长．
【详解】解：根据题意如图，
∵正方体棱长为，
∴，
在中中，
∴它运动的最短路程．
故选：B．
4．（2025八年级下·河南·专题练习）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点到点的所有路径中，最短路径的长是（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键．
先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可．
【详解】解：将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图，连接，
则最短路径．
故选：A．
5．（2025八年级下·河南·专题练习）如图，长方体的底面是边长为6的正方形，侧面都是长为13的长方形，点是的中点，在长方体下底面的点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点处的蜂蜜，则沿着表面需要爬行的最短路程的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平面展开-最短问题，勾股定理及两点之间线段最短，将棱柱展开，根据两点之间线段最短即可得到最短路径，利用勾股定理解答即可，将棱柱的侧面展开图正确画出来是解题的关键．
【详解】解：当沿着正面和侧面爬行时，如图所示，
∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点，
∴，
∴；
当沿着正面和上底面爬行时，如图所示，
∵棱柱的底面是边长为的正方形，侧面都是长为的长方形，点是的中点，
∴，
∴；
∵，
∴要爬行的最短路程的值为．
故选：．
6．（24-25八年级上·四川成都·期中）在一个长6米，宽为6米的正方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，木块的主视图的高是米的正三角形，一只昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是 米．
【答案】10
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短，用勾股定理计算解答即可．
【详解】解：设正三角形的边长为x，
∵正三角形的高是，
∴由三线合一和勾股定理，得：，
∴，
∴正三角形的边长为2，
如图，将木块展开，得到如图的长方形，
如图长方形的相当于是米，宽米．
在中，
米，
∴昆虫从点A处到C处需要走的最短路程是 10米．
故答案为：10．
7．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）如图，长方体的底面是边长为的正方形，高为．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，则所用细线最短需 ．
【答案】5
【分析】本题考查了平面展开 最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是解此题的关键，用了数形结合思想．根据绕两圈到B，则展开后相当于求出直角三角形的斜边长，并且，，根据勾股定理求出即可．
【详解】解：如图所示，
∵从点A开始经过4个侧面缠绕1圈到达点B，
∴展开后，，
由勾股定理得：AB＝．
故答案为5．
8．（24-25八年级下·河北邢台·期中）如图1，在棱长为的立方体纸盒的顶点处有一只蚂蚁，在另一顶点处有一粒糖．
(1)现甲、乙、丙三人分别为这只蚂蚁设计了一条爬行路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行到点处，如图所示．请通过计算分析，甲、乙、丙中谁设计的爬行路线最长？谁设计的爬行路线最短？
(2)将题干中的立方体纸盒改为长、宽、高分别为，，的长方体纸盒（如图3），其他条件不变，试通过分析求蚂蚁经过的最短路程．
【答案】(1)甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短；
(2)蚂蚁经过的路程最短路程为．
【分析】本题考查了勾股定理的应用，最短路径，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
（1）分别计算每个人设计的路线的长度，对结果进行比较即可；
（2）把纸盒分别沿着长、宽、高所在的棱展开，根据勾股定理计算每种情况对应的线段长度，对结果进行比较即可．
【详解】（1）解：∵纸盒是棱长为的立方体，
∴甲设计的爬行路线长为，
乙设计的爬行路线长为，
丙设计的爬行路线长为，
∵，
∴甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短，
答：甲设计的爬行路线最长，丙设计的爬行路线最短．
（2）解：∵两点之间线段最短，
∴不考虑沿着棱爬行的情况，
如图所示，
蚂蚁沿爬行，经过的路程长为，
蚂蚁沿爬行，经过的路程长为，
蚂蚁沿爬行，经过的路程长为，
∵，
∴蚂蚁沿爬行，经过的路程最短，最短路程为，
答：蚂蚁经过的路程最短路程为．
题型三：勾股定理逆定理的拓展问题
1．（24-25八年级下·河南信阳·期中）阅读下列内容：
设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：若，则该三角形是直角三角形；若，则该三角形是钝角三角形；若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，由于，由结论可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题：
(1)若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
(2)若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为________．
【答案】(1)锐角；
(2)或
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解决本题的关键是根据阅读材料中提供的思路进行判断即可．
根据题意，三角形的三边长分别是，，，其中最长边是，计算出和的大小，从而可以判断三角形的形状；
当是最长边时，可得方程，解方程求出即可，当是最长边时，可得方程，解方程求出即可．
【详解】（1）解：三角形的三边长分别是，，，其中最长边是，
，
该三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）解：三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，
当是最长边时，
可得：，
解得：，
当是最长边时，
可得：，
解得：，
故答案为：或．
2．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”．
(1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ．
A．①一定是“方倍三角形” B．②一定是“方倍三角形”
C．①②都一定是“方倍三角形” D．①②都一定不是“方倍三角形”
(2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积．
【答案】(1)A
(2)
【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质．
（1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断；
（2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积．
【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等，
设边长为，
则，
根据“方倍三角形”定义可知：
等边三角形一定是“方倍三角形”；
对于②直角三角形，三边满足关系式：
，
根据“方倍三角形”定义可知：
直角三角形不一定是“方倍三角形”；
故答案为：；
（2）由题意可知：
，
，，
根据“方倍三角形”定义可知：
，
，
为等边三角形，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
延长交于点，如图，
，
，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
3．（23-24八年级上·湖南长沙·期中）定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式．
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了勾股数和新定义的综合应用．
（1）根据完美勾股数的定义可得答案；
（3）利用完全平方公式证明即可；
（3）由勾股定理可得m，n的关系式，将m，n的关系式代入，根据多项式有一个因式，求解即可．
【详解】（1）解：，
数10是“完美勾股数”，
故答案为：是；
（2）证明：
，
，
是“完美勾股数”；
（3）解：由题意得：，
，
，
，
，
，
又，
，即，
，
有一个因式为，
，
∴另一个因式为．
4．（23-24八年级上·江苏徐州·期中）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）．
(1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形；
(2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”）
(3)判断：当时，
当为直角三角形时，则的取值为________；
当为锐角三角形时，则的取值范围________；
当为钝角三角形时，则的取值范围________．
【答案】(1)锐角；钝角
(2)
(3)①；②；③
【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形；
（2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论；
（3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围．
【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边
当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形
当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形
（2）解：由勾股定理逆定理可得，
当时，为锐角三角形；
当时，为钝角三角形；
（3）解：当为直角三角形时，；
当为锐角三角形时，，
；
当为钝角三角形时，，
则的取值范围为，
两边之和大于第三边，
．
5．（21-22八年级上·山西晋中·期中）阅读下列内容，并解决问题．
一道习题引发的思考
小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究：
【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m -1，c= m +1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗 如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗
【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c ，那么a，b，c称为一组勾股数．
关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》．
【问题解答】
（1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数；
（2）若m表示大于1的整数，试证明（m -1，2m，m +1）是一组勾股数；
（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）答案不唯一，例如，等
【分析】（1）把直接代入，，即可求解；
（2）利用勾股定理的逆定理即可证明结论；
（3）根据勾股数解答即可．
【详解】（1）把代入，，得：
，，，
这组勾股数为；
（2）表示大于1的整数，
，，都是正整数，且是最大边，
，
是一组勾股数；
（3），等，它们是勾股数，但柏拉图给出的勾股数公式不能够造出．
6．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，，故由③可知该三角形是锐角三角形，请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是________三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是5，12，x．且这个三角形是直角三角形，求的值．
（3）当，时，判断的形状，并求出对应的的取值范围．
【答案】（1）锐角；（2）169或119；（3）见解析
【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案；
（2）直接利用勾股定理得出x2的值；
（3）分△ABC为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形结合三边关系得出答案．
【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92，
∴三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边，
∴52+122=x2，
∴x2=169，
当12是斜边，
则52+x2=122，
解得：x2=119，
故x2的值为169或119；
（3）∵a=2，b=4，
∴，
∴，
若△ABC是钝角三角形，
则或，
则或，
∴或；
若△ABC是直角三角形，
则或，
则或；
若△ABC是锐角三角形，
则或，
则或，
∴．
1．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（ ）
A．8，15，17 B．5，6，7 C．，， D．6，7，8
【答案】A
【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握相关知识是解题的关键；
根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足“两短边的平方和等于最长边的平方”，则该三角形为直角三角形．依次验证各选项即可．
【详解】解：A．由于，故能构成直角三角形，符合题意；
B．由于，故不能构成直角三角形，不符合题意；
C．由于，故不能构成直角三角形，不符合题意；
D．由于，故不能构成直角三角形，不符合题意．
故选：A．
2．（24-25八年级下·江西上饶·期末）设的三边分别为，满足下列条件的中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理及直角三角形的判定方法，灵活运用以上知识点是解题的关键．根据题意运用直角三角形的判定方法，在三角形中，当一个角是直角或两边的平方和等于第三边的平方，可判定该三角形是直角三角形，据此逐个选项进行判断即可．
【详解】解：A. 由，可得，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
B. ，
，，，不是直角三角形，故本选项符合题意；
C. 由，可得，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D. ，
设，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．的面积为10 D．点到直线的距离是2
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
利用勾股定理及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可．
【详解】解：A、，本选项结论正确，不符合题意；
B、，，，
，
， 本选项结论正确，不符合题意；
C、，本选项结论错误，符合题意；
D、点A到的距离，本选项结论正确，不符合题意；
故选：C．
4．（24-25八年级下·吉林松原·期中）小智用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将活动学具制成为如图①所示的菱形，并测得，接着将活动学具制成为如图②所示的正方形，并测得图②中的对角线，则图①中的对角线的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，在正方形中，连接，由正方形的性质得出，在菱形中连接、交于点，利用菱形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
，
∵四边形为正方形，，
∴，
如图，连接、交于点，
，
∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
5．（24-25八年级上·山西晋中·期末）五根小木棒的长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，下列图形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、，，故A不正确；
B、，，故B正确；
C、，，故C不正确；
D、，，故D不正确．
故选：B．
6．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是（ ）
A．点A、点B、点D B．点A、点C、点G
C．点B、点E、点F D．点B、点G、点E
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用数形结合求解是解答此题的关键．
根据勾股定理分别求得每两个点之间的距离的平方，再进一步利用勾股定理的逆定理进行分析．
【详解】解：A、，不可以构成直角三角形，不符合题意；
B、，不可以构成直角三角形，不符合题意；
C、，可以构成直角三角形，符合题意；
D、，不可以构成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
7．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则该蚂蚁要吃到饭粒需爬行的最短路径长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查立体图形平面展开的最短路径问题．了解“两点之间线段最短”并结合轴对称和勾股定理进行求解是解题的关键．将容器侧面展开，作A点关于EF的对称点，根据两点之间线段最短即可知的长度即为最短距离．利用勾股定理求出即可．
【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，
∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处，
∴，，，
∴．
故选：C．
8．（河北省张家口市经开区2024-2025学年七年级下学期期末数学练习卷）如图，在中，平分，交于点D，，，，则点D到的距离为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了勾股定理逆定理以及角平分线的性质，先得出，则，因为平分，所以角平分线上的点到角的两边距离相等，即点到的距离，
【详解】解：∵，
，
∴是直角三角形，且，
过点D作，垂足为E，
∵平分，
∴点到的距离，
故答案为：3．
9．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）若是的三边，且，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积，先根据绝对值、平方、二次根式的非负性求出的值，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积公式计算即可，掌握非负数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，，
解得，，，
∵，
∴是直角三角形，
∴的面积，
故答案为：．
10．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在中，，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，则点D到的距离为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查直角三角形的判定，作角平分线以及角平分线性质定理，先根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，过点作于点，由角平分线性质定理得，运用面积法可求出．
【详解】解：在中，，，，
∵，
∴是直角三角形，且，
由作图得是的平分线，过点作于点，
则；
又
∴
∴，
∵，
∴,
∴．
故答案为：．
11．（24-25八年级下·河南漯河·期中）如图，在3×3的网格上标出了和，则 ．
【答案】/45度
【分析】通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质将、转化为、，再通过计算三角形边长，判断三角形形状，进而求出的度数 ．本题主要考查了平行线的性质、勾股定理及其逆定理，熟练掌握平行线性质实现角的转化，运用勾股定理及其逆定理判断三角形形状是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
设每个小正方形的边长为a，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即 ．
故答案为：．
12．（24-25八年级下·湖北宜昌·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．
(1)分别求出线段，的长度（图中，，，均为网格线交点）；
(2)在图中画线段，使得的长为；判断以，，三条线段是否构成直角三角形，并说明理由．
【答案】(1)，
(2)见解析；以，，三条线段能构成直角三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键．
（1）利用勾股定理求解即可；
（2）利用勾股定理可得是一个两直角边长都为2的直角三角形的斜边，据此作图即可；可证明，据此可得结论．
【详解】（1）解：由题意得，，；
（2）解：如图所示，即为所求；
以，，三条线段能构成直角三角形，理由如下：
∵，，，
∴，，
∴，
∴以，，三条线段能构成直角三角形．
13．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，是的中点，，交于点，且，，．求证：．

【答案】见详解
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理的逆定理，并能进行推理论证是解决问题．
连接，由线段垂直平分线的性质得出，再由已知条件得出，由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形，故，即．
【详解】证明：连接，
是的中点，，
垂直平分，
，
∵，，．
，
，
是直角三角形，
∴．
即．
14．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，道路因为施工需要封闭，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条道路，已知，，．
(1)是否为村庄到河边最近的道路？请通过计算加以说明；
(2)已知新的取水点与原取水点相距，求新路比原路少多少千米．
【答案】(1)是村庄到河边最近的道路，计算见解析
(2)新路比原路少
【分析】本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解决本题的关键．
（1）根据勾股定理的逆定理验证为直角三角形，进而得到，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答；
（2）在中根据勾股定理解答即可．
【详解】（1）∵，，
∴．
∴是直角三角形，且．
∴．
根据“垂线段最短”可知是村庄到河边最近的道路．
（2）∵，
∴．
在中，．
由，可知新路比原路少
15．（24-25八年级下·山东济宁·期中）如图，在笔直的河边的一侧是一片空旷的草地，牧马人从草地上的A处出发到河边饮马，然后前往草地上的B处．若测得A处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为D）为12米，B处到河边的距离（即图中的长度，，垂足为E）为28米，且两处相距30米．
(1)在图中画出从A到再到B的最短路径，并计算最短路径的长度（保留作图痕迹）；
(2)C是河边上D，E两地之间的一个地点，且与D处相距16米，如果从A先到C处饮水，再回到B处，行走路程比（1）中的最短路径长多少？
【答案】(1)见解析，最短路径的长度米
(2)米
【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理的应用，轴对称最短问题，解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题．
（1）作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，连接，点P即为所求，利用勾股定理求出可得结论；
（2）利用勾股定理求出，可得结论．
【详解】（1）解：（1）如图，最短路径为A→P→B．
过点作交的延长线于点T，
∵米，米，米，
∴（米），
∴（米），
∴最短路径的长（米）；
（2）∵（米），
（米），
∴行走路程比（1）中的最短路径长：米．
16．（24-25八年级上·山东济南·期末）（1）如图1，是等边内一点，连接，且，连接．
① __度；（答案直接填写在横线上）
②_ __﹔（答案直接填写在横线上）
③求的度数．
（2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接，，连接．当满足什么条件时，．请给出证明．
【答案】（1）①；②；③；（2），证明见解析．
【分析】（1）①由得到，继而证明即可解题；
②由得到，结合①结论，可证明是等边三角形，即可解题；
③根据得到，在中根据三角形三边关系即勾股定理的逆定理，可证明为直角三角形，继而得到，再结合是等边三角形即可解得据此解题即可；
（2）由可得，可证明为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边的关系可得，最后根据直角三角形三边满足勾股定理解题即可．
【详解】解:（1）①
即
故答案为：；
②
，
由①得
是等边三角形，
故答案为：；
③
为直角三角形
为等边三角形
；
（2）当时，．
理由如下:
，
为等腰直角三角形，
，
当时，为直角三角形，
，
当满足时，．

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