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2024-2025 学年安徽省安庆市江淮协作区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.关于样本相关系数，下列说法正确的是( )
A.样本相关系数 ∈ [ 1,1]
B.当样本相关系数 < 0 时，称成对数据成正相关
C.两个随机变量线性相关越弱，则相关系数越接近 1
D.两个随机变量线性相关越强，则相关系数越接近 1
2 22.已知双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的渐近线方程为 =± 3 ，则该双曲线的离心率为( )
A. 2 33 B. 2 C. 3 D. 2
3 1.已知随机变量 服从正态分布 (3, 2)，若 ( < 2) = 6，则 (3 < < 4) =( )
A. 1 B. 23 3 C.
1
9 D.
5
6
4.已知圆 ： 21 + 2 4 = 0，圆 22： + 2 4 + 4 8 = 0，则两圆的位置关系是( )
A.外离 B.外切 C.相交 D.内切
5.记 1 为等比数列{ }的前 项和，若 21 = 3， 4 = 6，则 4 =( )
A. 121 B. 53 41 403 3 C. 3 D. 3
6.江淮地区不仅风景优美，而且美食也是远近闻名.现有一游客计划用三天品尝山粉圆子烧肉、秋浦花鳜、
大通茶干、八公山豆腐这 4 种特色美食，每天至少选择一种(4 种美食不重复选择且每天美食的选择不分先
后顺序)，游客三天后恰好品尝完这 4 种美食.则这三天他选择美食的不同选法种数为( )
A. 24 种 B. 36 种 C. 42 种 D. 48 种
7 1.已知函数 ( ) = 3 + 23 +
2
3在 = 1 处的切线与直线 = 1 平行，且在区间( 8, )内存在最小值，
则实数 的取值范围是( )
A. (1,9) B. [1,9) C. [3,9) D. (3,9]
1 8.已知事件 ， 满足 ( ) = 2， ( ) =
2 3
3， ( + ) = 4，则 ( | ) =( )
A. 3 3 1 54 B. 8 C. 12 D. 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于随机变量 的期望与方差，下列说法正确的是( )
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A. (2 + 1) = 2 ( ) + 1
B.若 (1,4)，则 ( ) = 2
C. ( , ) ( )若 ～ ，则 ( )的值与 无关
D. 1若 是两点分布，则当 = 2时， ( )最大
10.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1，线段 1 1上有两个动点 ， ，且 =
2，则下列结论中
2
正确的有( )
A.当点 运动时， 1 ⊥ 总成立
B.当 向 1运动时，二面角 逐渐变小
C.二面角 的最小值为 45°
D.三棱锥 的体积为定值
11.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3 再加上 1；若是偶数，就将该数除以 2.反复进行上述两种运
算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 1 → 4 → 2 → 1.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜
想”).如取正整数 = 6，根据上述运算法则得出 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1，共需经过 8 个
步骤变成 1(简称为 8 步“雹程”).现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：

2 ,当 为偶数时,已知数列{ }满足： 1 = ( 为正整数)， +1 = 记数列{ }的前 项和为 ，则下
3 + 1,当 为奇数时.
列说法正确的是( )
A.当 = 2 时， 2025 = 2
B.当 = 34 时，使得 = 1 要 13 步“雹程”
C.当 = 512 时， 11 = 1027
D.若 7 = 2，则 的取值有 6 个
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.根据成对样本数据建立变量 关于 的成对数据如下表所示：
1 2 3 4 5
4 7 9 10

若由该数据得到的线性回归方程为 = 1.6 + 2.2，则 的值为______．
13 2.某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是3，从中随机选择 4 粒种子进行播种，则恰有 3 粒
种子发芽的概率是______．
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14.已知函数 ( )是定义在 上的偶函数， ′( )是 ( )的导函数，且 ( ) + ′( ) = 4 + 1.若 [ ( )
2 1] ≤ 在 上恒成立，则实数 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知(2 )6 = + + 20 1 2 + + 66 ( ∈ )．
(1)求该二项展开式中二项式系数最大的项；
(2)求| 1| + | 2| + + | 6|的值．
16.(本小题 15 分)
2
已知单调递增数列{ }的前 项和为
( +1)
，且 = 4 ．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)若数列{ } 3 满足

= 2 +1，求数列{ }的前 项和 ．
17.(本小题 15 分)
2025 年是中国共产党成立的 104 周年，某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共
分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个(决赛)环节，前两个环节是否通过
相互独立.只要一个环节失败，即终止比赛.现有 ， ， 三位同学参加比赛， 同学通过前两个环节的概率
2 1
分别为3和2，
2
同学和 同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为3．
(1)求恰有两位同学仅通过第一个环节的概率；
(2)设进入决赛的同学人数为 ，求 的分布列与数学期望．
18.(本小题 17 分)

2
+
2
= 1( > > 0) 3 3已知椭圆 ： 2 2 过点 ( 2 , 2 )，其中一个焦点在直线 + 2 + 2 = 0 上， 为椭圆的
上顶点，直线 ： = + 与椭圆 相交于不同的两点 ， ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 = 1， 为坐标原点，求△ 的面积最大时实数 的值；
2
(3)若直线 ， 的斜率分别为 1， 2，且 1 + 2 = 2，直线 ， 与圆 ： 2 + (
)2 = 2 4分别交于
点 ， .证明：直线 过定点，并求出定点坐标．
19.(本小题 17 分)
2
已知函数 ( ) = ．
(1)当 = 2 时，求函数 ( )在点(1, (1))处的切线方程；
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(2)讨论 ( )的单调性；
(3) 1 1若函数 ( )有两个极值点 1， 2，( 1 < 2)，证明：| ( 1) ( 2)| < ．1 2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.5
13.3281
14.( ∞, 12 ]
15.(1)由题意，(2 )6的展开式中的第 + 1 项为 6 +1 = 6 2 ( ) = 6 26 ( 1) ，
根据 = 6 为偶数，可知 = 3 时，第 4 项为二项式系数最大的项，
结合 = 3 3 3 34 6 2 ( 1) = 160 3，可得二项式系数最大项为 160 3；
(2)令 = 0 代入已知等式，求得 = 260 = 64，
令 = 1，可得(2 + 1)6 = 0 1 + 2 3 + 4 5 + 6 = | 0| + | 1| + | 2| + + | 6|，
所以| 1| + | 2| + + | 66| = 3 64 = 729 64 = 665．
16.(1)由已知得：4 = 2 + 2 + 1，
当 = 1 时，4 1 = 4 21 = 1 + 2 1 + 1，解得 1 = 1，
当 ≥ 2 时，4 4 1 = 4 = 2 2 2 2 + 2 + 1 ( 1 + 2 1 + 1) = 1 + 2 2 1，
即 2 2 1 2( + 1) = ( + 1)( 1 2) = 0，
又数列{ }单调递增，所以 + 1 ≠ 0，即 1 2 = 0，
则 1 = 2， = 2 1， = 1 时也符合，
所以 = 2 1．
(2) = 3 = 3 (2 1) = 2 2 +1 2 +1 2 ，
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= + + + + = 1 + 0 + 1 + + 2 1 2 3 2 22 23 2 ，①
1
2 =
1 + 0 1 2 22 23 + 24 + + 2 +1，②
1
故① ②得：2 =
1 1 1 2
2 22 . . . 2 2 +1，

整理得： = 2 ．
17.(1) 2 1根据题意， 同学通过前两个环节的概率分别为3和2，
2同学和 同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为3，
， ， 三位同学仅通过第一个环节的概率分别为：
= 21 3 × (1
1 ) = 1 = 2 × (1 2 2 2 2 22 3， 2 3 3 ) = 9， 3 = 3 × (1 3 ) = 9，
所以恰有两位同学仅通过第一个环节的概率为：
= 13 ×
2
9 × (1
2 1 2 2
9 ) + 3 × (1 9 ) × 9 + (1
1
3 ) ×
2 2 4
9 × 9 = 27；
(2)记 ， ， 三位同学进入决赛分别为事件 1， 2， 3，则，
( ) = 2 × 1 11 3 2 = 3， ( ) =
2 2 4 2 2
2 3 × 3 = 9， ( 3) = 3 × 3 =
4
9，
随机变量 可能的取值为：0，1，2，3，
( = 0) = 2 5 5 503 × 9 × 9 = 243，
( = 1) = 1 × 5 × 5 + 23 9 9 3 ×
4
9 ×
5 + 29 3 ×
5 4 35
9 × 9 = 81，
( = 2) = 1 × 4 × 5 + 1 × 5 × 4 + 2 43 9 9 3 9 9 3 × 9 ×
4 8
9 = 27，
( = 3) = 1 × 4 × 4 = 163 9 9 243，
故 的分布列为：
0 1 2 3
50 35 8 16
243 81 27 243
所以随机变量 50的数学期望为 ( ) = 0 × 243 + 1 ×
35
81 + 2 ×
8
27 + 3 ×
16 297 11
243 = 243 = 9．
18.(1)因为焦点在直线 + 2 + 2 = 0 上，令 = 0，解得 = = 2，
( 3)22 (
3
2 )
2 2
又因为过点 ( 3 , 3 )，那么可得 2 + 2 = 1 ，解得
= 3，
2 2 2
2 2 = 2
= 1
= 2
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2
因此椭圆 为
3 +
2 = 1．
(2)如图，
当 = 1 时，直线 ： = + ( ≠ 0)，设 ( 2, 2)， ( 1, 1)，
2 2
联立直线 和椭圆方程可得 3 + = 1，化简得 4 2 + 6 + 3 2 3 = 0，
= +
因为根的判别式 = 12 2 + 48 > 0，那么可得 ∈ ( 2,0) ∪ (0,2)，
+ = 3 根据韦达定理可得 ， = 3
2 3
1 2 2 1 2 ，4
| |
点 到直线 的距离 = 2，
2
弦长| | = 1 + 1 ( 21 + 2) 4
3
1 2 = 2 3 ，4
那么三角形 2的面积 = 12 | | =
1 | | 3
2 2 2 3 4
1 2 2 2 2= 22 (3
3
4 ) =
1 3 (4 2) ≤ 1 3 +4 = 3，2 4 2 2 2 2
当且仅当 2 = 4 2，即 =± 2时，等号成立，因此 的值为± 2．
(3)如图，
根据第一问可知 = 1，因此圆 ： 2 + 2 = 0，又因为 1 + 2 = 2，因此 + = 2，
( )若直线 垂直于 轴， (0,1)，设 的方程： = ， ( , )， ( , )，
=
那么可得 2 + 2
2 2
= 0，化简得 + = 0，
根的判别式 = 1 4 2 > 0( )，且 + = 1，
1 1可得 + = + = 2，解得 =
1
2
，不满足( )，不合题意；
( )若直线 不垂直于 轴，
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那么设 ： = + ， ( 4, 4)， ( 3, 3)，
= +
那么 2 + 2 = 0，化简得(1 +
2) 2 + (2 ) + 2 = 0，
2
根的判别式 = (2 )2 4(1 + 2)( 2 ) > 0 2 ，那么根据韦达定理可得 3 4 = 2， 3 + 4 = 1+ 1+ 2，
+ = 3 1+ 4 1 = 2 3 4+( 1)( 3+ 4) = 2 (
2 )+( 1)( 2 )
可得 3 4 3 2
= 2．
4
由于 ≠ 1，那么 2 + 2 = 2 = ，即 2，
2
根的判别式 = ( 2 + )2 4(1 + 2)( ，所以 > 04 2 ) = 2 > 0
所以直线 1 1方程为： = + 2 = ( + 2 )( > 0)，
1
所以直线 过定点( 2 , 0)．
19.(1)由题意可知 ( )的定义域为 > 0，
当 = 2 2 1 2时，函数 ( ) = 2 ，那么导函数 ′( ) = 2 + 2，
1 2
因此 ′(1) = 2 1+ 1 = 3， (1) = 0，
因此 ( )在 = 1 处的切线为： 0 = 3( 1)，即 3 3 = 0．
(2)
2 +
导函数 ′( ) = 2 ( > 0)，
①当 ≤ 0，由于 > 0， ′( ) < 0 恒成立，因此函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减；
②当 > 0，令导函数 ′( ) = 0，即 2 + = 0，由于根的判别式 = 1 4 2，
2 2
若 0 < < 1 1 1 4 1+ 1 4 2时，得 1 = 2 ， 2 = 2 ，0 < 1 < 1 < 2，
当 ∈ ( 1, 2)时，导函数 ′( ) < 0，那么函数 ( )在( 1, 2)上单调递减；
当 ∈ (0, 1)，( 2, + ∞)时，导函数 ′( ) > 0，那么函数 ( )在(0, 1)，( 2, + ∞)上单调递增，
若 ≥ 1 22时， = 1 4 ≤ 0，那么导函数 ′( ) ≥ 0 恒成立，那么函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增．
综上所述：当 ≤ 0 时， ( )在(0, + ∞)上单调递减；
1 1 1 4 2 1+ 1 4 2 1 1 4 2 1+ 1 4 2
当 0 < < 2时， ( )在( 2 , 2 )上单调递减，在(0, 2 )和( 2 , + ∞)上单调递增，
当 ≥ 12时， ( )在(0, + ∞)上单调递增．
(3) 1证明：根据第二问知，当 0 < < 2时，函数 ( )有两个极值点 1， 2，
其中 2是 ( )
1 1
的极小值点， 1是 ( )的极大值点，且 1 + 2 = ， 1 2 = 1，因此 = ，1+ 2
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要证| ( 1) (
1 1
2)| < ，只要证 ( 1) ( 2) < 2 1，1 2
根据 2 1 ( 1) + ( 2) = ( + 1)( 2 1) + ( 2 1) ln
2 2
= 2 ( 2 1) + ( 2 1) ln ，1 1
2
= 2 2
1
代入 可得，原式 1
2 1 2 1 2 1
+ + ln = 2 2 + ln
2
2 1 2 1 1 +1 1 2
，
11
令 = 2 > 1
2( 1)
，设函数 ( ) = +1 +
1
，1
4 1 1 1 4 ( 1)2
因此导函数 ′( ) = ( +1)2 + 2 + 2 ，即导函数 ′( ) = ( +1)2 + 2 > 0，
那么函数 ( )在(1, + ∞)上单调递增，所以 ( ) > (1) = 0，
则 2 1 ( 1) + ( 2) > 0，即 ( 1) ( 2) < 2 1，
所以原不等式成立．
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