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2024-2025 学年河南省信阳市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(0! + 0! + 0! + 0! )! =( )
A. 0 B. 4 C. 12 D. 24
2.某校开展安全知识竞赛，每个参赛选手从 6 道题(其中选择题 4 道，填空题 2 道)中不放回地依次抽取 2
道题作答，则在第一次抽到选择题的条件下，第二次抽到填空题的概率( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 22 5 5 3
3.根据如图的散点图，变量 和变量 的样本相关系数 的值为( )
A. 0.81
B. 0.20
C. 0.34
D. 0.88
4.调查某医院一段时间内婴儿出生的时间(白天与晚上)和性别(男与女)的关联性，对样本数据分析统计，计
算得到 2 = 3.689，依据小概率值 = 0.1 的独立性检验，下列说法正确的是(附： 0.1 = 2.706)( )
A.婴儿 90%在白天出生
B.婴儿性别与出生时间无关联
C.有 0.1 的把握认为婴儿性别与出生时间有关联
D.婴儿性别与出生时间有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.1
5.《哪吒之魔童闹海》在全球热映创下中国电影多项记录，影片的角色受到海内外观众的喜爱.现将敖丙、
敖闰、申公豹、太乙真人 4 个卡通模型和 2 个相同的哪吒模型从左到右排成一排，则两个哪吒模型相邻的
概率为( )
A. 16 B.
1
4 C.
1 1
3 D. 2
6.已知函数 ( ) = 在区间(1,2)上单调递减，则 的最大值为( )
2
A. 12 2 B.
1
C. D.

2
7.随机变量 1的分布列如表，若 = 3，则 =( )
1 0 1 2
2 2
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A. 16 B.
5 43 11
6 C. 27 D. 9
8.某人在 次射击中击中目标的次数为 ，且 ( , 0.8)，记 = ( = )， = 0，1，2， ， ，若 7
是唯一的最大值，则 ( )的值为( )
A. 1.28 B. 1.6 C. 6.4 D. 8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数 ( )在 上可导，其导函数为 ′( )，函数 = ( + 2) ′( )的图象如图所示，
则下列结论中一定成立的是( )
A. ( )在( ∞, 2)上单调递减
B. 2 为 ( )的极小值点
C.函数 ( )有极大值 (2)
D.函数 ( )有三个零点
10.我国南宋数学家杨辉首先发现了二项式系数的性质，并把系数写成一张表，后人称为杨辉三角，如图所
示，关于杨辉三角正确的是( )
A. =
B. = +1 1 + 1
C. 1 + 1 + 1 1 21 2 3 + … + 1 = ( ≥ 2)
D. 22 + 23 + 2 2 34 + … + 1 = ( ≥ 3)
11.甲、乙两人投篮，每人只能在下列两种方式中选一种.方式 1：投篮 3 次，每次投中得 1 分，未投中不得
分，累计计分.方式 2：选手最多投 3 次，如果第一次投中可进行第二次投篮，如果第二次投中可进行第三
次投篮，如果某次未投中，则投篮终止，且每投中一次得 2 分，未投中不得分，累计计分.已知甲、乙两人
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每次投中的概率均为 (0 < < 1)，且各次投篮相互独立.甲选择方式 1 投篮，乙选择方式 2 投篮.则下列说
法正确的是( )
A.当 = 2 23时，甲得 1 分的概率为3
B. = 2 26当 3时，甲至少得 1 分的概率为27
C.当 = 2 53时，乙最多得 2 分的概率为9
D. 3 1当 2 < < 1 时，乙得分的期望大于甲得分的期望
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.随机变量 ( , 2)，若 ( ≤ ) = ( ≥ + 4)，则 ( ≥ + 2) = ______．
13.曲线 = 2 + 4在 = 4处的切线方程为______．
14.某校 8 名学生(高一 1 人，高二 3 人，高三 4 人)在数学竞赛中获奖. 8 人站成一排合影留念，同年级的
同学不相邻的站法有______种.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知(2 )9 = 99 + 8 78 + 7 + + 1 + 0，求：
(1) 9 + 8 + 7 + … + 1；
(2)| 9| + | 8| + | 7| + … + | 1| + | 0|；
(3)9 9 + 8 8 + 7 7 + … + 1．
16.(本小题 15 分)
人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷.随着 的开源，促进了 技术的共享和进步.某校
社团十分关注学生 的使用，若将经常使用 的人称为“ 达人”，偶尔使用或不使用
的人称为“非 达人”.从该社团随机抽取 60 名学生进行调查，得到如下数据：
达人非 达人合计
男 6 30
女 18
合计
(1)补全 2 × 2 列联表，根据小概率值 = 0.010 的独立性检验，能否认为“ 达人”与性别有关联？
(2)现从抽取的“ 达人”中，按性别采用分层抽样的方法抽取 7 人，然后从 7 人中随机抽取 2 人，记 2
人中女“ 达人”的人数为 ，求 的分布列与数学期望．
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( )2
附： 2 = ( + )( + )( + )( + )．
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17.(本小题 15 分)
某制药公司研发一种新药，需要开展临床用药试验.随机征集了一部分志愿者作为样本参加试验，并得到一
组数据( , )( = 1,2, , 10)，其中 ， 表示连续用药 天，相应的临床药效指标值.已知该组数据中 与
之间具有线性相关关系，令 = ，经计算得到下面一些统计量的值：
10 2 =1 = 385,
10
=1 = 86,
10
=1 = 15.0,
10 2 10 10
=1 = 27.5, =1 = 528, =1 = 143.0．
(1)求 关于 的经验回归方程；
(2)该公司要用甲与乙两套设备同时生产该种新药，已知设备甲的生产效率是设备乙的 1.5 倍，设备甲生产
药品的不合格率为 0.008，设备乙生产药品的不合格率为 0.006，且设备甲与乙生产的药品是否合格相互独
立．
①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；
②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中恰有二件是设备乙生产的概率．



参考公式：对于一组数据( , )( = 1,2, , )，其回归方程 = + 中，斜率和截距的最小二乘法估计


= =1

公式分别为： 2 2 , = ． =1
18.(本小题 17 分)
对于函数 ( )，若实数 0满足 ( 0) = 0，则称 0为 ( )的不动点.已知函数 ( ) = ( ) ．
(1)若 ( )的极小值小于 ，求 的取值范围；
(2)当 = 1 时，求函数 ( ) = ( ) 1 的不动点的个数，并证明所有不动点之和等于零．
19.(本小题 17 分)
第 78 届联合国大会通过决议，将春节确定为联合国假日.某大学举办中国传统节日知识竞赛，每位大学生随
机抽取问题并依次作答，其中每个问题的回答相互独立.若答对一题记 2 分，答错一题记 1 分.已知学生甲答
1 2
对每个问题的概率为3，答错的概率为3．
(1)学生甲随机抽取 3 题，记总得分为 ，求 的分布列与数学期望；
(2)若学生甲已答过的题累计得分为 分的概率为 ，求 与 =1 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12
13.8 + 4 3 = 0
14.2016
15.(1)(2 )9 = 9 + 89 8 + 7 7 + + 1 + 0，
令 = 0，得 0 = 29 = 512.令 = 1，得 9 + 8 + 7 + + 1 + 0 = 1，
所以 9 + 8 + 7 + + 1 = 1 512 = 511．
(2)令 = 1，得 9 + 8 7 + 1 + 0 = 39，
所以，| 9| + | 8| + | 7| + + | 1| + | 0| = 9 + 8 7 + 1 + 0 = 39；
(3)(2 )9 = 9 9 + 8 + 78 7 + + 1 + 0，
两边对 求导，得 9(2 )8 = 9 9 8 + 8 8 7 + 7 7 6 + + 1，
再令 = 1，得 9 9 + 8 8 + 7 7 + + 1 = 9．
16.(1)根据题意，填写 2 × 2 列联表如下：
达人非 达人合计
男 24 6 30
女 18 12 30
合计 42 18 60
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零假设 0：“ 达人”与性别无关，
2 = 60×(24×12 18×6)
2 20
42×18×30×30 = 7 ≈ 2.857 < 6.635 = 0.010，
根据小概率值 = 0.010 的独立性检验，没有充分证据推断 0不成立，
因此认为 0成立，即认为“ 达人”与性别无关．
(2) 24在“ 达人”中按性别分层抽样抽取 7 人，其中男“ 达人”抽取42 × 7 = 4 人，
女“ 达人”抽取 3 人， 的所有可能取值为 0，1，2．
( = 0) =
2
4 = 2
1 1 4 2
则 2 7， ( = 1) =
4 3
2 = 7， ( = 2) =
3 1
2
= ．
7 7 7 7
所以， 的分布列如下：
0 1 2
2 4 1
7 7 7
2 4的数学期望 ( ) = 0 × 7 + 1 × 7 + 2 ×
1 = 67 7．

17. (1)易得 = 1.5， = 8.6，
10
= =1 = 143.0 10×1.5×8.6所以
10 2

=1 2 27.5 10×1.5
2 = 2.8，

所以 = = 8.6 2.8 × 1.5 = 4.4，

所以 = 2.8 + 4.4．

所以 关于 的回归方程为 = 2.8 + 4.4；
(2)设事件 ：随机抽取一件药品来自设备甲生产，事件 ：随机抽取一件药品来自设备乙生产，事件 ：随
机抽取一件该公司生产的药品为不合格品．
3 2
①因为设备甲的生产效率是设备乙的 1.5 倍，所以 ( ) = 5， ( ) = 5，
则 ( | ) = 0.008， ( | ) = 0.006．
所以根据全概率公式可得：
( ) = 35 × 0.008 +
2
5 × 0.006 = 0.0072，
所以所抽药品为不合格品的概率为 0.0072；
2
( | ) = ( ) ( | ) 5
×0.006 1
② ( ) = 0.0072 = 3，
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1
即所抽药品为不合格品，该药品来自设备乙生产的概率为3，
1 2 2
所以三件不合格品中恰有二件是设备乙生产的概率为 = 23( 3 )
2 3 = 9．
18.(1)导函数 ′( ) = ( + 1) ，
当 > 1 时， ′( ) > 0，当 < 1 时， ′( ) < 0，
因此函数 ( )在( 1, + ∞)上单调递增，在( ∞, 1)上单调递减，
因此极小值为 ( 1) = 1．
由 1 < ，解得 > 2．
因此 ∈ (2, + ∞)；
(2)当 = 1 时，函数 ( ) = ( ) 1 = ( 1) 1，根据题意方程 ( ) = ，
即( 1) 1 = 的解就是函数 ( )的不动点．
令函数 ( ) = ( 1) 1，
导函数 ′( ) = 1，
令函数 ( ) = ′( )，那么导函数 ′( ) = ( + 1) ，
当 > 1 时， ′( ) > 0，当 < 1 时， ′( ) < 0，
因此函数 ( )在( 1, + ∞)上递增，在( ∞, 1)上递减，
又 (1) = 1 > 0， (0) = 1 < 0，且当 < 0 时， ( ) < 0．
因此存在唯一 0，0 < 0 < 1，使 ( 0) = 0．
当 > 0时， ( ) > 0，即 ′( ) > 0，当 < 0时， ( ) < 0，即 ′( ) < 0，
因此函数 ( )在( 0, + ∞)上递增，在( ∞, 0)上递减，
因此 ( ) ≥ ( 0).
由于 ′( 0) = 0，即 0 0 1 = 0，也即 0 =
1
0
因此 ( 0) = ( 0 1) 0 0 1 = 0 0 0 0 1 = 0 0 < 0．
又因为 ( 2) = 1 3 2 > 0, (2) =
2 3 > 0．
根据零点存在定理，函数 ( )在( 2, 0)，( 0, 2)内各仅有一个零点，
因此函数 ( )有且仅有两个零点．即 ( )有两个不动点．
设 是 ( )的零点，那么函数 ( ) = ( 1) 1 = 0，
又因为 ( ) = ( 1) + 1 = [( 1) + ( 1) ] = 0，
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因此 也是 ( )的零点．
故 ( )所有零点之和等于零．即函数 ( )所有不动点之和等于零．
19.(1) 的可能取值为 3，4，5，6．
( = 3) = ( 23 )
3 = 8， ( = 4) = 127 3 ×
1
3 × (
2 )2 = 43 9，
( = 5) = 2 × ( 1 )2 × ( 2 )1 = 2 ( = 6) = 3 × ( 1 )3 = 13 3 3 9， 3 3 27．
的分布列为：
3 4 5 6
8 4 2 1
27 9 9 27
因此， ( ) = 3 × 827 + 4 ×
4
9 + 5 ×
2 1
9 + 6 × 27 = 4．
(2) 1 =
2 = 1+ 2 × 2 = 73， 2 3 3 3 9，
当 ≥ 3 2 1时， = 3 1 + 3 2，即 +
1
3
1
1 = 1 + 3 2，
1
因此，数列{ + 3 1}为常数列．
又 1 7 1 22 + 3 1 = 9+ 3 × 3 = 1 +
1
，因此 3 1 = 1( ≥ 2)，
则
3
4 =
1 3 3 1 1
3 ( 1 4 )，因此，{ 4 }是以 12为首项， 3为公比的等比数列，
∴ 3 4 =
1 1 1
12 × ( 3 ) ，即 =
3 1
4 + 4 × (
1
3 )
( ≥ 2)．
3 1 1 = 4 + 4 × ( 3 ) ．
=1 = + + + . . . + =
3 + 1 × [( 1 )1 1 2 3 4 4 3 + (
1
3 )
2 + . . . + ( 1 ) ] = 3 1 1 3 4 16 [1 ( 3 ) ]．
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