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7.3 复数的三角表示
对应
若z=0，则0的辐角是任意的;
若z≠0，则z的辐角有无数个值,它们相差k·2π(k∈Z);
规定：在0≤θ<2π内的辐角θ的值称为辐角的主值，记作arg z;
(z=0对应的零向量的方向是任意的)
计算r和θ
如：z=﹣1+i的辐角θ=______________;
复数的三角形式和代数形式的互化
方法：①画向量，找r和θ
②用定义，算r和θ
复数的三角形式和代数形式的互化
方法：①画向量，找r和θ
②用定义，算r和θ
复数的三角形式和代数形式的互化
方法：①直接运算得a,b
②看图找对应点坐标得a,b
复数的三角表示式：
复数的三角表示式：
复数乘法运算的三角表示及其几何意义
推广：P91棣莫弗定理
复数的模补充习题和知识点
复数的模的运算性质
取模法解决复数问题
取模法解决复数问题
知识框架
知识网络
本章学习目标
(1)通过方程的解，认识复数引入的表现，理解复数的代数表示；
(2)理解复数的分类，掌握复数相等的充要条件；
(3)了解复平面的概念,理解复数的几何意义；
(4)掌握复数的模、共轭复数的概念，会求复数的模和一个复数的共轭复数；
(5)能熟练进行复数代数形式的加减乘除运算，了解加减法的几何意义；
知识梳理——1.数系扩充
自然数集N
整数集Z
引入负数(负号)
引入分数(分数线)
有理数集Q
引入无理数(根号)
实数集R
自然数
整数
有
理
数
实
数
引入虚数i
复数集
复数
知识梳理——2.复数的相关概念
(1)复数集C={a+bi|a,b∈R}
(2)复数z=a+bi(a,b∈R)
(3)虚数单位i：
规定i2=﹣1；
i的幂有周期性，周期为4.
知识梳理——2.复数的相关概念
(4)复数相等：
作用：将复数问题转化为实数问题．
注：①若两个复数能比较大小，则它们必为实数.
②一般对两个不全是实数的复数只能说相等或不相等，不能比较大小.
如：3与1+2i不能比较大小；2+3i与1+2i不能比较大小.
知识梳理——2.复数的相关概念
(5)复数的几何意义：
复数z=a+bi
复平面内的点Z(a,b)
一一对应
平面向量OZ=(a,b)
一一对应
→
①建立了直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；
x轴叫实轴，y轴叫虚轴.
②实轴上的点都表示实数(b=0)；
③虚轴上的点(除原点外)都表示纯虚数(a=0,b≠0)；
知识梳理——2.复数的相关概念
(6)复数的模：
(7)共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做共轭复数.
知识梳理——2.复数的相关概念
(8)实系数一元二次方程在复数集内的解
知识梳理——3.复数的四则运算
(1)复数加法与减法的运算法则：实部和虚部分别相加/减
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则
z1＋z2＝ ，
z1－z2＝ ___.
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
对任意z1，z2，z3∈C，有加法交换律：z1＋z2＝z2＋z1，
加法结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
(2)复数加法与减法的几何意义：对应向量相加/减
复数差的模=对应向量差的模=两点距离
知识梳理——3.复数的四则运算
(3)复数乘法的运算法则：类似于多项式的乘法
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i
对于任意z1，z2，z3∈C，有
①乘法交换律：z1·z2＝z2·z1
②乘法结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
③乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3
(4)复数除法的运算法则：分母实数化(上下同乘分母的共轭复数)
方法与易错归纳
(1)对于复数z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.
(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分．
(3)注意分清复数分类中的条件：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则
①z为实数 b＝0；②z为虚数 b≠0；③z为纯虚数 a＝0，b≠0；
④z＝0 a＝0且b＝0.
(4)|z－z0|(z,z0∈C)的几何意义是z, z0在复平面内的对应点Z, Z0的距离．
方法与易错归纳
(5)解决复数问题的主要思想方法有：
①转化思想：利用复数相等将复数问题实数化；
②数形结合思想：利用复数的几何意义数形结合解决；
③整体化思想：利用复数的特征整体处理，分清实部和虚部.
(6)常见结论：复平面内，z1，z2对应的点分别为A，B，z1＋z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB为平行四边形．
①若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；
②若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；
③若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．
方法与易错归纳
(7)复数模的最值问题解法
①|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值内变为两复数差的形式．
②|z－z0|＝r表示z在以z0对应的点为圆心，r为半径的圆上．
③涉及复数模的最值问题，可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．
(8)复数范围内z2≥0不一定成立，|z|2≠z2.
(9)复数与平面向量联系时，必须是以原点为始点的向量．

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