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7.1 复数的概念
必修第二册第七章《复数》
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
数系的扩充
自然数集N
整数集Z
引入负数(负号)
引入分数(分数线)
有理数集Q
引入无理数(根号)
实数集R
自然数
整数
有
理
数
实
数
引入？数
？数集
正方形对角线的度量
复数是16世纪人们在讨论一元二次方程、一元三次方程的求根公式时引入的。
复数在数学、力学、电学及其他学科中都有广泛的应用。
复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系。
扩充后的数系中规定的加/乘法运算与原数系的加/乘法运算协调一致.
如：Q中的加/乘法交换律、结合律等
R中也适用
引入虚数i,使i2=﹣1
解决问题，引入新数
实数
i
解决方程x2+1=0在实数集中无解的问题:
②引入i后的新数集和实数间仍能进行加/乘法运算.
①引入新数i，使i 2 = i·i = -1；
③扩充为新数集C={a+bi|a,b∈R}.
a+bi
复数集
扩充后的数系中规定的加/乘法运算与原数系的加/乘法运算协调一致.
1.复数集和复数的概念-P69
实数
虚数
纯虚数
复数C
R
[例1]实数x取什么值时，
复数z＝(x2＋2x－3)＋(x＋3)i是：
(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？
x=﹣3
x≠﹣3
x=1
2.虚数单位 i
B
虚数单位“i”是数学家欧拉最早引入的，到德国数学家高斯提倡才普遍使用。
高斯第一个引进术语“复数”并记作a+bi。“虚数”一词首先由笛卡儿提出。
-1-i
3.复数相等-P69
一般对两个不全是实数的复数只能说相等或不相等,不能比较大小.
如:3与1+2i不能比较大小
2+3i与1+2i不能比较大小.
作用：将复数问题转化为实数问题．
注：若两个复数能比较大小，则它们必为实数.
3.复数相等-P69
复系数一元二次方程是否有根不能用△判定.
复系数一元二次方程
是否有根不能用△判定.
必修第二册第七章《复数》
7.1.2 复数的几何意义
历史上，复数一开始也叫做虚数，因为数学家们感觉它很“虚幻”，难以认识.
复数是否像实数一样可在现实世界中找到她的“影子”呢？
实数a
数轴上的点a
一一对应
复平面
任一复数z=a+bi都可由一个有序实数对(a,b)唯一确定.
复数z=a+bi
平面直角坐标系内的点(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
复平面内的点Z(a,b)
一一对应
4.复数的几何意义 P70-71
平面向量OZ=(a,b)
一一对应
→
①建立了直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；
x轴叫实轴，y轴叫虚轴.
②实轴上的点都表示实数(b=0)；
③虚轴上的点(除原点外)都表示纯虚数(a=0,b≠0)；
<0
>0
二
5.复数的模 P71
规定：相等的向量表示同一个复数.
考查1：|z|的计算公式
5.复数的模 P71
考查2：|z|的几何意义
6.共轭复数
实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做共轭复数.
本意：两头牛背上的架子称为轭，轭使两头牛同步行走。共轭即为按一定的规律相配的一对。
7.2 复数的四则运算
必修第二册第七章《复数》
7.2.1 复数的加减运算及几何意义
1.复数的加法和减法的运算法则 P75-77
复数加法与减法的运算法则：实部和虚部分别相加/减
(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则
z1＋z2＝ ，
z1－z2＝ ___.
(a＋c)＋(b＋d)i
(a－c)＋(b－d)i
(2)对任意z1，z2，z3∈C，有加法交换律：z1＋z2＝______，
加法结合律：(z1＋z2)＋z3＝ __.
z2＋z1
z1＋(z2＋z3)
2.复数的加/减法的几何意义
加法的平行四边形
减法的三角形法则
(a,b)
(c,d)
(a+c,b+d)
(a-c,b-d)
(a+c)+(b+d)i
(a-c)+(b-d)i
=z1+z2
=z1－z2
复数差的模=对应向量差的模=两点距离
复数加减法→对应向量加减法
(同上)
其对应的复数z=2－3i
2
必修第二册第七章《复数》
7.2.2 复数的乘、除运算
设z1＝a＋bi, z2＝c＋di是任意两个复数, 则它们的积
(a＋bi)(c＋di)＝_________________
＝__________________．
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
对于任意z1，z2，z3∈C，有
乘法交换律 z1·z2＝_______
乘法结合律 (z1·z2)·z3＝_________
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝_________
z2·z1
z1·(z2·z3)
z1z2＋z1z3
1.复数的乘法法则：类似于多项式的乘法
ac＋bci＋adi＋bdi2
2.复数的除法法则：分母实数化
(上下同乘分母的共轭复数)
3.实系数一元二次方程在复数集内的解
3.实系数一元二次方程在复数集内的解
3.实系数一元二次方程在复数集内的解
3.实系数一元二次方程在复数集内的解
判断△
△<0时：
首系数化1
配方
由向量的长度和方向决定
对应
对应
FIGHTING

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