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(共27张PPT)
8.3 简单几何体的表面积与体积
预备知识——平面图形的面积
1.多面体的表面积公式
多面体的表面积：围成它的各个面的面积之和。
如：棱长为2的正四面体的表面积
2.多面体的体积公式
(S,h分别为棱柱的底面积和高)
(1)棱柱的体积：
(2)圆/棱锥的体积：
(S,h分别为棱锥的底面积和高)
圆柱体积：
(r,h分别为圆柱的底面半径和圆柱的高)
祖暅原理
“幂势既同，则积不容异”：两个等高的几何体，若在等高处的截面积总相等，则体积相等。
前后体积不变
底面积和高都相等的棱柱，体积相等。
祖暅原理——推导棱锥体积公式
底面积和高都相等的棱锥，体积相等。
两个等高的几何体，若在等高处的截面积总相等，则体积相等。
将三棱柱分割成3个小三棱锥，
由等底等高易证得V1=V2=V3
2.多面体的体积公式
(S,h分别为棱柱的底面积和高)
(1)棱柱的体积：
(2)棱锥的体积：
(S,h分别为棱锥的底面积和高)
(3)棱台的体积：
(S',S分别为上/下底面积，h为棱台的高)
推广：圆台体积
(r',r分别为上/下底半径，h为圆台的高)
棱台是由棱锥截出来的，因此可利用两个锥体的体积差，
得到棱台的体积公式．
推导棱台体积公式
根据面积比=相似比的平方，得
S为底面面积，h为柱体高
S分别为上、下底面面积，h为台体高
S为底面面积，h为锥体高
上底扩大
上底缩小
柱体、椎体、台体体积公式的关系
[变式]如图，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为_________,体积为_______.
P119-1.如图，八面体的每一个面都是正三角形，且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内，若四边形ABCD是边长为30cm的正方形，则该八面体的表面积为____.
小结
(S,h分别为棱/圆柱的底面积和高)
(1)柱体体积：
(2)锥体体积：
(S,h分别为棱/圆锥的底面积和高)
(3)棱台体积：
(S',S分别为上/下底面积，h为棱台的高)
圆台体积：
(r',r分别为上/下底半径，h为圆台的高)
[变式]如图，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为_________,体积为_______.
P119-1.如图，八面体的每一个面都是正三角形，且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内，若四边形ABCD是边长为30cm的正方形，则该八面体的表面积为____.
2.正三棱锥S-ABC的底面边长为1，高为，
则该三棱锥的表面积为______.
P120-3.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1=8，若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点，
则当底面ABC水平放置时，水面高为多少？
解：设底面ABC的面积为S，
底面ABC水平放置时，水面高为h.
3.如图，棱长为1的正方体的8个顶点中，有4个为正四面体的顶点，(1)这个正四面体与正方体的表面积之比为_________.
(2)三棱锥B-ACB1的体积为_________.
(3)正四面体B1-ACD1的体积为_________.
(换底法)
(割补法)
求三棱锥体积通常可用
换底法(也叫等积法).
P116-3.广场的石凳：
棱长为50cm的正方体石块截去八个相同的四面体，求表面积or体积
(割补法)
变式练习.“鲁班锁”玩具：
每条棱的长均为2，则该鲁班锁玩具的表面积为（ ）
鲁班锁可看成是1个棱长为_______的正方体截去了8个底面边长为___，侧棱为___的正三棱锥所余下来的几何体.
2
2
鲁班锁可看成由6个边长为__的正六边形和8个边长为__的正三角形围成的多面体.
P119-2.如图，将一个长方体沿相邻3个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比.
[变式]设长方体的长宽高分别为4,3,5，求棱锥B'-A'C'B的体积.
(换底法)
绿优-5.如图，正方体棱长为1，E,F分别为棱AA1,B1C上的点，求三棱锥D1-EDF的体积.
(换底法)
(割补法)
4.如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF//AB，EF=2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，EF ⊥面FBC，则该多面体的体积为_________.
(分割法)
[变式]如图，多面体ABCDEF中，面ABCD是边长为4的正方形，EF//AB，EF=2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，则该多面体的体积为_____.
(分割法+换底法)
新知：旋转体的表面积公式
(1)圆柱的表面积：
O
(l为圆柱的母线长)
(2)圆锥的表面积：
(l为圆锥的母线长，S锥侧=πrl)
(3)圆台的表面积：
扇环面积=大圆锥侧-小圆锥侧
(l为圆台的母线长，S台侧=π(r+r')l)
P119-1.已知圆锥的表面积为a m2，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面半径.
r
l
2πr
解：
[变式]若圆锥的表面积为14π，且其侧面展开图的圆心角为60°，求这个圆锥体积.
解：
新知：球的表面积和体积公式
(1)球的表面积：
(2)球的体积：
体积公式推导法1(祖暅法)
祖暅原理：两个等高的几何体，若在等高处的截面积总相等，则体积相等。
3.球的表面积和体积公式
(1)球的表面积：
(2)球的体积：
体积公式推导法2(极限法)
O
A
B
C
D
把球O的表面分成n个小网格, 连接球心O和每个小网格的顶点, 整个球体就被分割成n个“小锥体”.
当n越大，每个小网格越小，每个“小椎体”的底面越平，“小椎体”就越近似于棱锥，其高越近似于球的半径R.
O
例3.如右图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m. 如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5 kg 涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料 (π取3.14)
解：一个浮标的表面积为
S表=2π×0.15×0.6 + 4π×0.152 =0.8478 (m2)
∴给1000个这样的浮标涂防水漆所需涂料约为
0.8478×1000×0.5 = 423.9 (kg).
公式运用
公式运用
P119例4.如图所示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，
(1)求球与圆柱的体积之比.
(2)求球与圆柱的表面积之比.
O
R
解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.
即球与圆柱的体积和表面积之比均为2:3！
这是我生平最得意的定理！
圆柱容球
P119-2.当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？
解：由S球= V球，得
解得R=3.
[变式]已知正三角形ABC的三个顶点都在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，且AB=3，则球O的表面积为____.
练面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则该球的体积为______.
公式归纳
圆柱
圆锥
圆台

O
R
球
l
O
O'
2πr
r


O'
O
r'
2πr'
r
l
2πr


2πr
O
S
l
r

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