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必修二 《第八章 立体几何初步》
8.5.1 直线与直线平行
回顾与思考
1.两直线平行的判定定理：
内错角相等，两直线平行；
同位角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行。
平行于同一条直线的两直线平行；
垂直于同一条直线的两直线平行。
2.平行四边形的判定定理：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
初中平面几何中
高中立体几何中
适用
3.平行四边形的性质：
平行四边形的对边平行且相等。
证线线平行：①平行线的传递性
A
C
B
A′
C′
B′
D
D′
长方体中,
∵DC//AB，A′B′ //AB，∴DC//A'B'.
基本事实4.(空间中)平行于同一条直线的两条直线互相平行.
①符号：若a//b，b//c，则a//c.
②本质：平行线的传递性.
③作用：证线线平行.
④(区分)空间中垂直于同一条直线的两条直线__________________.
平行或相交或异面
长方体中, DC//AB, A′B′ //AB, DC//A'B'吗
证线线平行：②三角形的中位线
[例1]如图，空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点. (1)求证：四边形EFGH是平行四边形. (2)求证：EF//HG.
(3)若AC=BD，则四边形EFGH是什么图形？
菱形
③平行四边形对边平行
证线线平行的方法
[例1]如图，空间四边形ABCD中，E,F,G,
H分别是AB,BC,CD,
DA的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形.
①平行线的传递性
②三角形的中位线 (找中点)
③平行四边形的对边平行 (先证平行四边形)
④棱柱的侧棱互相平行
证线线平行：②三角形的中位线
[变式]如图，正方体ABCD-A’B’C’D’中，E,F,E’,F’分别是AB,AD,B’C’,C’D’的中点，求证：四边形EFF’E’是平行四边形.
③平行四边形对边平行
④棱柱的侧棱互相平行
等角定理及其运用P135
定理. 若空间中的两个角的两条边分别对应平行，
则这两个角相等或互补.
等角定理及其运用P135
定理. 若空间中的两个角的两条边分别对应平行，
则这两个角相等或互补.
等角定理及其运用P135
4.如图，四面体A-BCD中，E,F,G分别为AB,AC,AD上的点，若EF//BC，FG//CD，则△EFG和△EFG有什么关系？
若一条直线截三角形的两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
平行线分线段成比例
证线线平行：⑤线段成比例
[变式]如图，空间四边形ABCD中，E,H分别是AB,AD的中点， F,G分别是CB,CD上的点，且==，求证：四边形EFGH是梯形.
证线线平行的方法
①平行线的传递性
②三角形的中位线 (找中点)
③平行四边形的对边平行 (先证平行四边形)
④棱柱的侧棱互相平行
⑤线段成比例
⑥定义(两直线共面且无公共点)
练习1.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E, F, G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点. 求证：∠BGC＝∠FD1E.
见多识广——证线线平行、等角定理
练习2.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E1, E分别是棱A1D1，AD的中点. 求证：∠BEC＝B1E1C1.
见多识广——证线线平行、等角定理
练习3.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.
求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.
见多识广——证线线平行、等角定理
必修二 《第八章 立体几何初步》
8.5.2 直线与平面平行
1.线面平行的判定定理
直线与平面平行
线面平行的定义：直线和平面没有公共点。
直线是无限延伸的，平面是无限延展的，怎样判定直线与平面平行呢？
当门绕着一边转动时，另一边与墙面有公共点吗 此时门转动的一边与墙面有公共点吗 它们平行吗
将一块矩形硬纸板ABCD平放在桌面上，把这块纸板绕边CD转动，在转动的过程中(AB离开桌面)，DC的对边AB与桌面有公共点吗 它们平行吗
只要保证平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与平面无公共点，即直线与平面平行.
a
b
α
②本质：线线平行 线面平行
线面平行的判定定理
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，
则该直线与此平面平行。
①符号：
(3个条件缺一不可)
[P137例2]求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.
B
C
A
D
E
F
已知：如图，空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点.
求证：EF//平面BCD.
线面平行的判定定理
P138-2. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，
判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由.
O
练习1.三棱柱ABC-A1B1C1中，M, N分别是BC和A1B1的中点，求证：MN//平面AA1C1C.
见多识广——证线面平行
练习2.正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱BC，CC1，BB1的中点. 求证：EF//平面AD1G.
见多识广——证线面平行
见多识广——证线面平行
练习3.点P为平行四边形ABCD外一点，E,F分别是AB，PD上的点，且==，求证：EF//平面PBC.
G
线线平行
①平行线的传递性
②三角形的中位线 (连中点)
③平行四边形的对边平行 (先证平行四边形)
④棱柱的侧棱互相平行
⑤三角形中线段对应成比例
线面平行
方法总结
a
b
α
(key:找面内线//面外线)
若直线a//平面α，则l与α无公共点，即l与α内的任何直线均无公共点，
故直线a与平面α内的直线的位置关系是____________
平行或异面
在什么条件下，平面α内的直线会与直线a平行？
如何找出平面α内与直线a平行的直线？
假设平面α内的直线b与直线a平行，
由两条平行直线可确定一个平面知，
过直线a，b有唯一的平面β.
∴b是平面α和平面β 的交线.
若a//α，且过直线a的平面β与平面α的交线为b，则a//b.
线面平行的性质定理
若直线a与平面α平行，
且过直线a的平面β与平面α的交线为直线b，
则直线b与直线a平行.
②本质：线面平行 线线平行
①符号：
[例]空间四边形ABCD中，E, F, G, H分别是AB, BC, CD, DA上的点，EH∥FG. 则EH与BD的位置关系是________．
③Key：找平面，定交线
EH∥BD
[P143-7]如图，α∩β=CD，α∩γ=EF，β∩γ=AB，AB//α，
求证：CD//EF.
线面平行的性质定理
2.线面平行的性质定理
[P138例3]如图，一块木料中，棱BC平行于面A' C' ．
(1)要经过面A‘C’内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？
⑵所画的线EF与平面AC是什么位置关系？
线面平行的性质定理
B
C
A
D
A'
B'
C'
D'
F
P
E
析：(1)即过点P和棱BC作截面.
即找平面PBC与木块各个面的交线，
(1)如图，在平面A'C'内，过点P作EF//B'C'连接BE、CF，则EF、BE、CF为应画的线．
性质定理
练习4.四面体ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形.
见多识广——线面平行的性质
析：已知AB//平面MNPQ，
CD//平面MNPQ
证明:∵AB∥平面MNPQ，
AB 平面ABD，平面ABD∩平面MNPQ＝PQ，
∴AB∥PQ.
又AB 平面ABC，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，
∴AB∥MN，
∴MN ∥PQ.
∵CD∥平面MNPQ，同理可得CD∥MQ，CD∥NP，
∴MQ ∥NP.
∴截面MNPQ是平行四边形.
练习5.四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，AC∩BD=O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.
见多识广3——线面平行的性质
又AP 平面APG，面APG∩面BDM=GH
证明:连接MO，平行四边形ABCD中,O为AC的中点
又∵M为PC的中点，∴MO∥AP.
又AP 平面BDM，MO 平面BDM，
∴AP∥平面BDM，
∴AP∥GH.
见多识广3——线面平行的性质
练习6.三棱柱中，AM＝2MA1，BN＝2NB1，过MN作一平面交△ABC的边BC、AC于点E、F，则 ( )
A．MF∥NE
B．四边形MNEF为梯形
C．四边形MNEF为平行四边形
D．A1B1∥NE
AM＝2MA1
BN＝2NB1
MN//AB
MN//平面ABC
MN//EF
性质定理
判定定理
MN≠EF
梯形MNEF
B

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