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2024-2025 学年河北省五个一名校联盟高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数 = 3 ( 13 + 3 )的虚部为( )
A. 1 B. 1 C. 9 D. 9
2.已知全集 = ∪ = {0,1,2,3}， = {1,2}， ∩ = {0}，则 =( )
A. {0,3} B. {1,2} C. {1,2,3} D. {0,1,2}
3.已知 = (1,2)， = (4, )，| | = 3，则 =( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
4.设 29 = 2，则3 =( )
A. 2 B. 3 C. log23 D. log32
5.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0)在(0, )上没有零点，则 的最小值为( )
A. B. 4 2 C. D. 2
6.已知函数 ( ) = ( )2( )的图象关于点(0, 0)对称，则( )
A. + 2 = 0 B. 2 + = 0 C. = ( )30 2 D. 0 = (

2 )
3
2 2
7 .已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点为 ，右顶点为 ，过点 且与 轴垂直的直线与 在第一
象限交于点 ，直线 与 的渐近线在第一象限交于点 ，若 是 的中点，则 的离心率为( )
A. 2 B. 3 C. 32 D.
5
4
8.如图，正方形 的边长为 4，取正方形 各边的中点 ， ， ， ，作第 2 个正方形 ，然后
再取正方形 各边的中点 ， ， ， ，作第 3 个正方形 .如果这个作图过程可以一直继续下去，那么
这些正方形的面积之和将趋近于( )
A. 32
B. 40
C. 48
D. 64
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若 ∈ (0, 2 )， = 2，则( )
A. = 2 55 B. 2 =
4
3 C. 2 =
3
5 D. 2 =
4
5
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10.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规定如下：先赢两局者获胜，每局比赛甲赢的概率为 (0 < < 1)，
甲输的概率为 1 ，每局比赛的结果相互独立，记甲、乙共进行了 局比赛后分出胜负，则下列结论正确
的是( )
A. = 1 1 1 1若 2，则甲最终获胜的概率为2 B.若 = 2，则 ( = 2) = 4
C. 2 < ( ) ≤ 52 D. 0 < ( ) ≤
1
4
11.如图，在三棱锥 中，△ 是边长为 2 的等边三角形， ⊥ ，点
在棱 上(不含端点)，过点 作截面 ，且 / /平面 ， / /平面
，平面 ⊥平面 ，下列结论正确的是( )
A.四边形 是平行四边形
B.若 = = = 2，四边形 的面积的最大值为 2
C. 的长的取值范围为[ 2, 2)
D.若△ 3的周长为 3 + 3，则三棱锥 的体积为 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面 1 ，水面宽 2 ，根据图中坐标系，这条抛
物线的方程为______．
13.已知数据 1， 2， 3， 4， 5均为整数且互不相等，若该组数据的平均数、中位数、极差均为 4，则这
组数据的方差为______．
14.已知函数 ( ) = 1 12 +1，若| ( 1) ( 2)| = 3，则| 1 2|的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某工厂的某台机器工作时，分为正常运转和非正常运转两种状态.已知该机器正常运转时每天生产的零件数
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量 (单位：千个)与次品数 (单位：个)之间存在一定的线性关系.为了研究这种关系，质量检测部门记录了
该机器正常运转下某 5 天的生产数据，其数据如下：
生产零件数量 /千个 3 4 5 6 7
次品数 /个 10 12 15 16 19


(1)求次品数 关于生产零件数量 的经验回归方程 = + ．
(2)根据经验，该机器正常运转的概率为 0.9.该机器正常运转时，生产的零件中次品数满足第(1)问的经验回
归方程；该机器非正常运转时，次品率会提高，每生产 1000 个零件会出现 20 个次品.若某天计划用该机器
生产 10000 个零件，试估计这 10000 个零件中的次品数. (结果经四舍五入后取整数)

=

=1

参考公式及数据： 2 2 , = ,
5
=1 = 382,
5 2
=1 = 135． =1
16.(本小题 15 分)
△ = 2 (2 2 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 2 1)， = 6， = 4 2．
(1)求 ；
(2) 4设 为 边上一点，且 sin∠ = 5，求△ 的面积．
17.(本小题 15 分)
如图，四边形 为正方形，平面 ⊥平面 ， // ， ⊥ ， = 2， = = 1，点
= 6在线段 上， 3 ．
(1)证明： ⊥平面 ．
(2)证明：平面 ⊥平面 ．
(3)求平面 与平面 的夹角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
已知椭圆 1的中心为坐标原点，对称轴为 轴、 轴，且过 (0,1)， ( 3, 2 )两点．
(1)求 的方程．
(2)直线 ： = + 与 交于 ， 两点．
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①若 = 1，求 的取值范围；
②若| | = 7，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
(1)证明：函数 ( ) = 2 + 有且仅有一个零点，记该零点为 0，则 0 + 0 = 0．
(2)证明： ∈ ( 1,0)， 3 + (2 1) > 0．
(3)证明： ∈ ( 1,0)， + ( 1) +

1 > 0．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2 =
13.2
14.2
15. (1)根据题意易得 = 5， = 14.4，

= 382 5×5×14.4所以 135 5×52 = 2.2，

所以 = = 14.4 2.2 × 5 = 3.4，

所以次品数 关于生产零件数量 的经验回归方程为 = 2.2 + 3.4；

(2)该机器正常运转时，把 = 10 代入 = 2.2 + 3.4，得 = 25.4，
估计这 10000 个零件中的次品数为 25.4．
该机器非正常运转时，估计这 10000 个零件中的次品数为 200．
估计这 10000 个零件中的次品数为 0.9 × 25.4 + 0.1 × 200 = 42.86 ≈ 43．
16.(1)利用正弦定理化简已知等式可得 = 2 (2 2 2 1)，
由于 ≠ 0，
2
可得 1 = 2(2 2 2 1)，即 = 2 ，
又 0 < < ，
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可得 = 4，
又因为 = 6， = 4 2
由于 2 = 2 + 2 2 = 36 + 32 2 × 6 × 4 2 × 22 = 20，可得 = 2 5；
2 2 2
(2)由题意可得 = + 36+20 32 52 = 2×6×2 5 = 5 ，
因为 ∈ (0, )，
= 1 ( 5 )2 = 2 5所以 5 5 ，
在△ 中，由正弦定理得sin∠ =
2 5
，可得 4 = ，解得 = 5，2 5
5 5
5
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 ，可得 25 = 20 + 2 2 × 2 5 5 ，解得 =
5( = 1 舍去)，
可得 1 1△ = 2 = 2 × 2 5 × 5 ×
2 5
5 = 10．
17.(1)证明：过点 作 ⊥ ，垂足为 ．
因为 // ， ⊥ ， = ，
所以四边形 是正方形，
所以∠ = 4， = = = 1，
△ 则 是等腰直角三角形，所以∠ = 4，则∠ = 2，即 ⊥ ．
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， ⊥ ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
因为 ∩ = ，所以 ⊥平面 ．
(2)证明：连接 ，记 ∩ = ，连接 ．
由(1)得四边形 是正方形， // ， ⊥平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以 ⊥ ．
又 = 2 + 2 = 22 + 12 = 5， = 2 + 2 = 12 + ( 5)2 = 6，
1
所以 = 3．
因为△ ∽△ ，
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= 1所以 = 2，
1
即 = 3 =

，
所以 // ，所以 ⊥平面 ．
因为 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
(3)连接 .在正方形 中， ⊥ ．
由(2)得 ⊥平面 ，因为 平面 ，所以 ⊥ ．
因为 ∩ = ，所以 ⊥平面 ．
以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0), (2,2,0), (1,0,1), = (2,2,0), = (1,0,1)．
由题可知 是平面 的一个法向量， 是平面 的一个法向量．

cos , =
= 2 1则
| ||
= ，
| 22+22× 1+1 2
所以 sin , == 1 cos2 < , > = 3，2
所以平面 与平面 的夹角的正弦值为 3．
2
2 2
18.(1)若椭圆 的焦点在 轴上，则设椭圆方程为 2 + 2 = 1( > > 0)，
1
因为椭圆 过 (0,1)， ( 3, 2 )两点，
1
2 = 1 2 2所以 3 1 ，解得
= 4，符合题意，则椭圆方程为 + 2 = 1；
+ 2 = 1 4 2 4 2 = 1
2

2
若椭圆 的焦点在 轴上，则设椭圆方程为 2 + 2 = 1( > > 0)，
因为椭圆 过 (0,1)， ( 3, 12 )两点，
1
2 = 1 2所以 = 11 3 ，解得 ，不符合题意． 2 = 4
4 2 + 2 = 1
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2
所以 的方程为 24 + = 1．
2 2
(2) + = 1联立 4 ，消去 得(4 2 + 1) 2 + 8 + 4 2 4 = 0．
= +
= (8 )2 4(4 2 + 1)(4 2 4) > 0，化简得 4 2 2 + 1 > 0．
①因为 = 1，所以 4 2 + 1 > 0，解得 5 < < 5，
所以 的取值范围为( 5, 5)．
2
②设 ( 1, 1)， ( ,
8 4 4
2 2)，则 1 + 2 = 4 2+1 , 1 2 = 4 2+1．
2
所以| | = 1 + 2 ( 1 + )22 4 1 2 = 1+ 2 (
8 2 4 4
4 2+1 ) 4 4 2+1
= 4 1+
2
2 2
4 2+1 4 + 1 = 7，
化简得 48 4 24 2 9+ 16 2( 2 + 1) = 0，
16 2 = 48
4+24 2+9
即 2+1 ≥ 0，
即 48 4 + 24 2 + 9 ≥ 0，解得 32 ≤ ≤
3
2 ，
所以 的取值范围为[ 3 , 32 2 ]．
19.证明：(1)由题意， ( )的定义域为(0, + ∞)，
1
则 ′( ) = ( 2 + 2 ) + > 0，∴ ( )在(0, + ∞)上单调递增．
函数 = + 是增函数，且有且仅有 1 个零点，
若 0满足 0 + 0 = 0，则 0 0 1 = 0，∴ ( 0) = 0( 0 0 1) + 0 + 0 = 0，
∴函数 ( ) = 2 + 有且仅有一个零点 0，且 0 + 0 = 0．
(2)令 ( ) = 3 + (2 1) 2 ，则 ′( ) = ( 3 + 3 2) + ．
令 ( ) = ( 3 + 3 2) + 2 ( > 0)，则 ′( ) = ( 3 + 6 2 + 6 ) 2 2 > 0，
∴ ( )在(0, + ∞)上单调递增，
2
(1) = 4 + 2 > 0, ( ) = (3 ) 22 2 4 4．
∵ 3 < 3 < 7 , 0 <
2 1
2 2 4 < 4 , 1 <
2 < ，
2
∴ (3 7 1 22 ) 4 < 2 × 4 × < 4，即 ( 2 ) < 0，
∴ 1 ∈ (
3 2 1 2
2 , 1), ( 1) = ( 1 + 3 1) + = 0．1
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当 ∈ (0, 1)时， ( ) < 0，当 ∈ ( 1, + ∞)时， ( ) > 0，
∴ ( )在(0, 1)上单调递减，在( 1, + ∞)上单调递增，
( ) ≥ ( 1) = 31 1 + (2 1 1) = (2 1
2
3+ 1)．1
令 ( ) = 2 23+ 1, ∈ (

2 , 1)
2 2
，面积 ′( ) = + (3+ )2 > 0，
∴ ( ) 在( 2 , 1)上单调递增．
∴ ( ) < (1) = 32 < 0，即 ( ) ≥ (2
2
1 3+ 1) > 0，1
∴ ∈ ( 1,0)， 3 + (2 1) > 0．

(3) ( ) = + ( 1) + 1 ( ) = ( 1) ( + )令 ，则 ′ 2 ．

( ) = ( 1) ( + )
3 +( +1) + (2 1)
令 2 ，则 ′( ) = 3 ．
又( + 1) > 0，且结合(2)可得， ′( ) > 0，∴ ( )在(0, + ∞)上单调递增．
若 2满足 2 + 2 = 0，则 2 2 1 = 0, ( 2) = 0，
∴当 ∈ (0, 2)时， ( ) < 0，当 ∈ ( 2, + ∞)时， ( ) > 0，
∴ ( )在(0, 2)上单调递减，在( 2, + ∞)上单调递增，
( ) ≥ ( 2) = 2 + (

1) 2 + 1 = ( + 1)(
1
+ 2 1) > + 1 > 0，2 2 2
∴ ∈ ( 1,0), + ( 1) + 1 > 0．
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