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(共34张PPT)
第六章 排列与组合
6.2.1---排列
6.2.2---排列数
学 习 目 标
1.理解并掌握排列、排列数的概念,能用列举法、树状图法列出简单的排列.(数学抽象)
2.掌握排列数公式及其变式,并能运用排列数公式熟练地进行相关计算.
(数学运算)
3.掌握有限制条件的排列应用题的一些常用方法,并能运用排列的相关知识解一些简单的排列应用题.(数学运算、数学建模)
内容索引
新 知 梳 理
题 型 探 究
当 堂 检 测
01
02
03
请同学们思考以下问题:
(1)从我们班50位同学中选出两名同学,分别担任我们班的正、副班长,假设每名同学被选的可能性相同,一共有多少种选举方法
(2)从红、黄、蓝、白4颗大小形状完全相同的小球中选出3颗,然后放到3个不同的盒子中去,有多少种不同放置的方式
情境导入
新 知 梳 理
01
1.排列:一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
指其中一种情况
2.相同排列（充要条件）:
两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同.
知识点一 排列的相关概念
如何判断一个具体问题是不是排列问题
(1)首先要保证元素互异性,即从n个不同元素中,取出m个不同的元素,否则不是排列问题.
(2)要保证元素的有序性,即安排这m个元素时是有序的,有序就是排列,无序则不是排列.
而检验它是否有序的依据是变换元素的位置,看结果是否发生变化,有变化是有序,无变化就是无序.
思考
下列问题中:
①10本不同的书分给10名同学,每人一本;
②从5个不同小球中不放回取2个;
③从5个不同小球中一次性取2个;
④10个没有任何三点共线的点构成的线段.
属于排列的有(　　)
A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个
答案 B
解析 由排列的定义可知①③是排列,②④不是排列.
小试牛刀
1.排列数的定义:从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,
3.全排列和阶乘:n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列.这时,排列数公式中m=n,即有
也就是说,将n个不同的元素全部取出的排列数,等于正整数1到n的连乘积.正整数1到n的连乘积,叫做n的阶乘,用 n! 表示.于是,n个元素的全排列数公式可以写成 .另外,我们规定, 0!=1.
知识点二 排列数与排列数公式
你认为“排列”和“排列数”是同一个概念吗 它们有什么区别
提示 “排列”与“排列数”是两个不同的概念,一个排列是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列”,它不是一个数,而是具体的一个事件.“排列数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数”,它是一个数.
思考
从5面不同颜色的小旗中取出三面,按从上到下的顺序排在一起表示信号,不同的顺序表示不同的信号,则一共可表示　　　种不同的信号.
答案 60
解析 一共可表示 =5×4×3=60(种)不同的信号.
小试牛刀
题 型 探 究
02
题型一 简单的排列问题
例1 (1)有5个不同的科研小课题,从中选3个由高二(6)班的3个学习兴趣小
组进行研究,每组一个课题,共有多少种不同的安排方法
(2)校园歌手大奖赛共有12名选手参加,比赛设一等奖、二等奖、三等
奖各一名,每人最多获得一种奖项,共有多少种不同的获奖情况
分析：
(1)从5个不同的科研小课题中选出3个分给3个兴趣小组,要注意各个小组得到不同的科研课题属于不同的情况;
(2)从12名选手中选出3名选手分别得一等奖、二等奖、三等奖.
解析
(1)从5个不同的科研小课题中选出3个,由3个学习兴趣小组进行研究,对应
于从5个不同元素中取出3个元素的一个排列.
因此不同的安排方法有 =5×4×3=60(种).
(2)从12名选手中选出3名获奖并安排奖次,共有 =12×11×10=1 320(种)
不同的获奖情况.
题型二 排列数公式
例2
(1)用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N*,且n<55).
分析： (1)用排列数公式的定义解答即可;
(2)直接用排列数公式计算;
(3)用排列数的公式展开得方程求解,要注意x的取值范围,并检验根
是否合理.
解
(1)因为55-n,56-n,…,69-n中的最大数为69-n,且共有69-n-(55-n)+1=15(个),
解得x≥3,x∈N*.
根据排列数公式,原方程化为(2x+1)·2x·(2x-1)·(2x-2)=140x·(x-1)·(x-2).
因为x≥3,两边同除以4x(x-1),得(2x+1)(2x-1)=35(x-2),即4x2-35x+69=0,
解得x=3或x= (因为x为整数,所以应舍去).
所以原方程的解为x=3.
题型三 “相邻”与“不相邻”
例3. 7人站成一排.
(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种
(2)甲、乙两人不相邻的排法有多少种
(3)甲、乙、丙三人必相邻的排法有多少种
(4)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种
分析:
①若元素相邻,则可将相邻元素视为一个元素,即将甲、乙或甲、乙、丙“捆绑”
在一起,视为一个元素,与其他元素一起排列.
②至于不相邻问题 可以用“总”的排法减去“相邻”的排法；
也可以用“插空法”解决.
(3)(捆绑法)
将甲、乙、丙三人捆绑在一起与其余4人全排列,有种排法,甲、乙、丙三人有种排法,共有=720(种)排法.
(4)(插空法)
将其余4人排好,有种排法.将甲、乙、丙插入5个空中,有种排法.
故共有=1 440(种)排法.
元素相邻和不相邻问题的解题策略
限制条件 解题策略
元素相邻 通常采用“捆绑”法,即把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列
元素不相邻 通常采用“插空”法,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻元素插在前面元素排列的空中
题型四 “定序”问题
例4. 五个人排成一排,求满足下列条件的不同排列各有多少种.
(1)A,B,C三人左中右顺序不变(不一定相邻);
(2)A在B的左边且C在D的右边(可以不相邻).
当 堂 检 测
03
1. 考生甲填报某高校专业意向,打算从5个专业中挑选3个,分别作为第一、第二、第三志愿,则不同的填法有(　　)
A.10种 B.60种 C.125种 D.243种
答案 B
解析 依题意,满足题意的不同的填法共有 =5×4×3=60(种).
(1)解析 原不等式即
3. 对于本例中的7人,甲、乙两人之间只有1人的排法有多少种
3. 五位师傅和五名徒弟站一排.
(1)五名徒弟必须排在一起共有多少种排法
(2)五名徒弟不能相邻共有多少种排法
(3)师傅和徒弟相间共有多少种排法
5. 元宵节灯展后,悬挂的8盏不同的花灯需要取下,如图所示,每次取1盏,则不同的取法共有(　　)
A.32种
B.70种
C.90种
D.280种
答案 B
解析 因为取灯时每次只能取一盏,所以每串灯必须先取下面的灯,即每串灯取下的顺序确定,取下的方法有 =70(种).
一题多解——用多种方法解决排列问题
有4名男生、5名女生,全体排成一行,问下列情形各有多少种不同的排法
(1)甲不在中间,也不在两端;
(2)甲、乙两人必须排在两端;
(3)男女相间.
【审题视点】这是一个排列问题,一般情况下,从受到限制的特殊元素开始考虑,或从特殊的位置开始考虑.
问题分析
1.此类题目从不同的视角可以选择不同的方法,我们用各种方法解决这个题的目的是:希望通过对本题的感悟,能掌握更多的解决这类问题的方法.
2.元素分析法最基本,位置分析法对重要元素区别对待,间接法对对立面比较容易求解的题目特别实用.
课 堂 小 结
本 课 结 束

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