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(共43张PPT)
6.2.3-4　组合及组合数的定义
整体感知
[学习目标]　
1．通过实例，理解组合的概念．能写出一些简单问题的所有组合．(数学抽象)
2．明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题．(逻辑推理)
1.排列：一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。
3.排列数公式：
4.全排列：排列数公式中，即有
规定：
2.排列数：把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，符号 :
复习回顾
新知探究
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的活动，其中1名参加上午的活动，1名参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题2：从甲、乙、丙3名同学
中选出2名去参加某天一项活动，
有多少种不同的选法？
列举：甲乙、甲丙、乙丙，
共有3种.
6种.
列举：甲乙、甲丙、乙丙、乙甲、丙甲、丙乙,
思考：这两个问题有何不同？
组合问题
与元素顺序无关
排列问题
与元素顺序有关
探究1 通过以上例子，你能归纳排列和组合之间的对应关系吗？
甲乙
甲乙，乙甲
甲丙
甲丙，丙甲
乙丙
乙丙，丙乙
组合
排列
组合和排列的关系：
n个不同元素
m个元素
m个元素的全排列
第一步
组合
第二步
排列
构造排列可以分成两步完成，先取后排；组合是排列中的第一个步骤.
因此组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.
新知探究
排列
组合
“组合”与“排列”的联系与区别
排列 组合
相同点
不同点
完成这件事情 共分几步
从n个不同元素中取出m个元素
元素的顺序有关
元素的顺序无关
第一步、取
第二步、排
仅一步、取
AB和BA是不同的排列
AB和BA是相同的组合
一般地，从个不同元素中取出个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列。
一般地，从个不同元素中取出
个元素作为一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．
新知探究
思考：判断下列两类问题是排列问题还是组合问题？
问题1：从1，3，7，14这4个数中任取2个不同的数相减， 可得多少个不同的差？
问题3：平面内有A，B，C，D，E共5个点，以其中2个点为端点的向量共有多少个？
问题2：从1，3，7，14这4个数中任取2个不同的数相加，
可得多少个不同的和？
问题4：平面内A，B，C，D，E共5个点，任何三点不共线，以其中3个点为顶点的三角形共有多少个？
排列
排列
组合
组合
问题1和3：要考虑顺序
问题2和4：不用考虑顺序
新知探究
[新知生成]
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为______，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
一组
【微提醒】　
(1)组合中取出的元素没有顺序．
(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．
[典例讲评]　1．判断下列问题是组合问题还是排列问题．
(1)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场？
(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？
(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？
(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？
单循环比赛要求两支球队间只进行一场比赛,没有顺序,是组合问题．
排列问题．
排列问题．
3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题．
反思领悟　排列、组合辨析切入点
(1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可．
(2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．
(3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．
[学以致用]　1．判断下列问题是组合问题还是排列问题．
(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；
(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生．
(1)火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排列问题．
(2)排列问题．
(3)取出5本给某个学生，只取不排，并不考虑书的顺序，所以它是组合问题．
问题：你能根据排列数的定义，总结出组合数的定义吗？
组合数
排列数
把从个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的
排列数，
符号 :
从个不同元素中取出
个元素的所有不同组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的
组合数，
用符号表示.
新知探究
组合数
从个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，
叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示.
取出元素个数
元素总数
m，n所满足的条件是：
(1) m∈N*，n∈N* ；
(2) m≤n .
例如:
从3个不同元素中取出2个元素的组合数，表示为；
从4个不同元素中取出3个元素的组合数，表示为；
新知探究
新知探究
问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的活动，其中1名参加上午的活动，1名参加下午的活动，有多少种不同的选法？
问题2：从甲、乙、丙3名同学
中选出2名去参加某天一项活动，
有多少种不同的选法？
列举：甲乙、甲丙、乙丙，
共有3种.
6种.
列举：甲乙、甲丙、乙丙、乙甲、丙甲、丙乙,
思考：这两个问题有何不同？
组合问题
与元素顺序无关
排列问题
与元素顺序有关
探究2：我们前面已经提到，组合与排列有关系，我们能否利用它们的这种关系，
由排列数求出组合数公式呢？
①从3个不同元素a, b, c中取出2个元素：
组合
ab
排列
ac
bc
ac ca
bc cb
ab ba
由此可得
新知探究
探究2：我们前面已经提到，组合与排列有关系，我们能否利用它们的这种关系，
由排列数求出组合数公式呢？
②从4个不同元素a, b, c, d 中取出3个元素:
组合
排列
由此可得
abc
abd
acd
abc acb bac bca cab cba
abd adb bad bda dab dba
acd adc cad cda dac dca
bcd
bcd bdc cbd cdb dbc dcb
新知探究
组合数公式
求“从个元素中取个元素的排列数”，由以下两个步骤得到：
第1步：从个元素中取出个元素作为一组，共有种不同的取法；
第2步：将取出的个元素作全排列，共有种不同的排法.
根据分步乘法计数原理，有.
，这里，，并且.
因为
规定
规定
规定
新知探究
[新知生成]
1．组合数的概念
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的______________的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号_________表示．
所有不同组合
2．组合数公式
乘积式：＝_______________________ (n，m∈N*，m≤n)．
阶乘式：＝_______________(n，m∈N*，并且m≤n)．
规定：＝___．
1
[典例讲评]　4．在一次物理竞赛中，某学校有10人通过了初试，学校要从中选出4人参加县级培训．甲、乙二人必须参加，有多少种不同的选法？
∵甲、乙二人必须参加，
∴只需要从另外8人中选2人，是组合问题，
共有＝28(种)不同的选法．
探究3　简单的组合问题
包头市第九十五中学（包钢一中）
[母题探究]
1．(变条件)本例条件中的“甲、乙二人必须参加”改为“甲、乙二人不能参加”，有多少种不同的选法？
∵甲、乙二人不能参加，
∴只需从另外的8人中选4人，
共有＝70(种)不同的选法．
2．(变条件)本例条件中的“甲、乙二人必须参加”改为“甲、乙二人只能有1人参加”，有多少种不同的选法？
甲、乙二人只能有1人参加，可分两步：
先从甲、乙中选1人，有＝2(种)选法；
再从另外8人中选3人，有种选法，
共有＝112(种)不同的选法．
反思领悟　解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关；其次要注意两个基本计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．
[学以致用]　3．(1)平面上有5个不同的点A，B，C，D，E，以其中两个点为端点的线段共有多少条？
如图所示:
任意两点之间可连成一条线段
所以共有＝10(条)不同的线段．
(2)现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
①现要从中选2名去参加会议，有多少种不同的选法？
②选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？
①＝45.
②可把问题分两类情况：
第1类，选出的2名是男教师有种选法；
第2类，选出的2名是女教师有种选法．
根据分类加法计数原理，共有＋＝15＋6＝21(种)不同的选法．
(2)现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．
③现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？
③从6名男教师中选2名的选法有种，
从4名女教师中选2名的选法有种．
根据分步乘法计数原理，共有不同的选法＝15×6＝90(种)．
[典例讲评]　2．求值：
(1)求值：＋；
角度1　利用组合数公式化简求值
＋
＋200
＝4 950＋200
＝5 150.
(2)已知，求.
∴1－，
即n2－23n＋42＝0，解得n＝2或n＝21，
又0，
由，得
角度2　利用组合数证明
[典例讲评]　3．证明：.
右边＝
·
＝＝左边，
所以原等式成立．
反思领悟　
(1)两个组合数公式在使用中的用途有所区别．
(2)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即中的n为正整数，m为自然数，且n≥m.因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合条件的解舍去．
[学以致用]　2．
(1)计算：－；
原式＝－
－7×6×5
＝210－210＝0.
(2)证明：.
　＝
＝，
原等式成立．
补充－－组合的性质
组合数性质1：
证明：因为，
=
组合数性质2：
证明：因为=
通分
2
4
3
题号
1
应用迁移
√
1．以下四个命题，属于组合问题的是(　　)
A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地
2
3
题号
4
1
√
3．(多选)使不等式(n∈N*)成立的n的取值可以是(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
在中，n∈N*，且n≥2，
在中，n∈N*，n≥3，即n∈N*，n≥3.
因为，则有，
即n－2≤3，解得n≤5，
因此有3≤n≤5，n∈N*，
所以n的取值可以是3，4，5.
√
√
2
3
题号
1
4
2．计算：＋＝(　　)
A．8 B．10
C．12 D．16
√
＋＋4＝6＋4＝10.
2
4
3
题号
1
4．已知a，b，c，d这四个元素，则每次取出2个元素的所有组合为_____________________________．
可按a→b→c→d顺序写出，即
所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.
ab，ac，ad，bc，bd，cd
1．知识链：(1)组合与组合数的定义．
(2)排列与组合的区别与联系．
(3)组合数的计算与证明．
2．方法链：组合数的计算方法、树状图法、公式法．
3．警示牌：不能正确理解“排列”与“组合”的联系与区别而致误．
回顾本节知识，自主完成以下问题：
1．写出本节课学习的公式．
(n，m∈N*，且m≤n)；
②(n，m∈N*，且m≤n)；
③＝1.
2．区分一个问题是排列问题还是组合问题的关键是什么？
关键是看它有无顺序，有顺序的是排列问题，无顺序的是组合问题．
3．写组合时可采取什么方法？
可采用“顺序后移法”或“树状图法”．
阅读材料
把相同物品分给不同对象的分法种数
把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人，共有多少种不同的分法？
由于每个篮球都相同，因此只要指出每人所得篮球的个数即可，比如，甲得2个、乙得3个、丙得3个、丁得0个，就是一种满足条件的分法．可能有人会想到通过列举来求解上述问题，但是，经过简单的尝试之后，你就会发现，这个问题可能比想象中的难．
注意到每一种满足条件的分法本质上就是把8个球分为了4堆，为此可借助3块隔板来实现．例如，上述满足条件的分法可以用图1表示，其中第一块隔板前的篮球是分给甲的，第一块和第二块隔板之间的篮球是分给乙的，第二块和第三块隔板之间的篮球是分给丙的，第三块隔板后的篮球是分给丁的．
容易知道，任何一种类似图1的排列都对应一种分法，例如，图2对应的分法为：甲得1个，乙得0个，丙得0个，丁得7个．
这样一来，问题就转化为8个相同的篮球和3块相同的隔板，可以有多少种不同的排列方法．
因为总共有8＋3＝11(个)位置，而且我们只需要从这11个位置中选出3个放置隔板(其余放置篮球)即可，因此不同的方法种数为＝165(种)．
也就是说，我们有165种不同的分法．
有意思的是，如果设甲、乙、丙、丁4人所得篮球个数分别为x1，x2，x3，x4，则不难看出，我们得到了方程x1＋x2＋x3＋x4＝8的非负整数解(x1，x2，x3，x4)个数为165.
类似地，可以得到把n个相同的物品分给r个不同对象的方法数(其中r和n均为正整数)就是方程x1＋x2＋…＋xr＝n的非负整数解(x1，x2，…，xr)的个数，请自己尝试一下吧！
包头市第九十五中学（包钢一中）
课时分层作业(六)　组合及组合数的定义
1．(多选)下列问题中是组合问题的是(　　 )
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B．平面上有2 025个不同点,它们中任意三点不共线,连接任意两点可以构成多少条直线
C．集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三个元素的子集有多少个
D．从高二(6)班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
　
ABC

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