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2.6 直角三角形（第一课时）
题型一：利用直角三角形两锐角互余求角度（有图）
1．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图所示，在中，于点，将沿折叠，使点落在点处，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，，平分．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，，于点H，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，为边上的高，平分，，相交于点F．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，，垂足为E，，，则 ．
7．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在中，平分，，，，则 ．
8．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，，垂足为E，与相交于，，，则 ．
题型二：利用直角三角形两锐角互余求角度（无图）
1．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在中，，是斜边上的中线，若，则的度数为 ．
2．（24-25八年级下·广西桂林·期末）在 中，，，则 的度数为 ．
3．（24-25七年级下·江苏常州·期末）在中，，，则 ．
4．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为 ．
5．（2025八年级下·全国·专题练习）已知等腰三角形的顶角是，则腰上的高与底边的夹角的度数是 ．
6．（24-25七年级下·重庆·期中）已知点E为中边上一点，连接，，，当为直角三角形时，则的度数是 ．
7．（24-25八年级上·海南三亚·阶段练习）在一个直角三角形中，两个锐角度数之比为，则这两个锐角的度数分别是 、 ．
题型三：平行线中直角三角形两锐角互余问题
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，直线，的直角顶点C在直线a上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级下·重庆秀山·期末）如图，直线，线段和线段垂直于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，，，，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·海南省直辖县级单位·三模）如图，在同一平面内，已知，直线平分，过点作于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，直线，，若，则
6．（2025·河南郑州·三模）如图，直线，直线，，则的度数为 ．
7．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，若，G是上一点，于点H．若，则的度数为 ．
题型四：三角板中直角三角形两锐角互余问题
1．（2025·内蒙古鄂尔多斯·一模）将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山东·二模）如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点放在直尺上，，则等于（　　）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级下·全国·期末）将三角尺按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·河南信阳·三模）一副三角板按如图方式叠合在一起，与相交于点H，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点D在边上，且．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级下·广东深圳·期中）把一块直尺与一块三角板如图放置，若 ，则 的度数为 （ ）
A． B． C． D．
7．（2025·河北邯郸·一模）将直角三角板（）按下图的方式摆放在一条直线上，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型五：直角三角形中两锐角互余实际应用
1．（2025·河南驻马店·三模）如图，在一个建筑工地有两根平行的钢梁和，它们分别固定在建筑物的不同位置，用于支撑结构．工人师傅需要在钢梁上安装两根互相垂直的支架，，以确保钢梁的稳定性和安全性．经测量发现，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25六年级下·山东济宁·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河南南阳·模拟预测）小丽的存钱罐静止在一个斜面上，如图所示，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，重力G的方向竖直向下，若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角的度数为（ ）
A．68° B．112° C．122° D．158°
4．（24-25七年级下·江西抚州·阶段练习）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从空气射入水中要发生折射．物理课上，小军手持一激光笔射入水中，如图，水面与水杯下沿平行，光线从空气射入水中，发生折射，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·河南驻马店·三模）一束平行光线经过水面后折射的光线也是平行的．如图，若杯底与水面平行，折射角，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25七年级下·江西上饶·期中）如图为一盏可调节台灯及其示意图，固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变，现调节台灯，使外侧光线，，若，则 ．
8．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向，若，则点C在点E的南偏西 方向．
题型六：直角三角形中两锐角互余折叠问题
1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，把一张长方形纸条按如图的方式折叠后，量得，则的度数是 ．
2．（24-25七年级下·重庆巫溪·阶段练习）如图所示，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在位置．若，则的度数是
3．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，中，，，沿着图中的折叠，点刚好落在边上的点处，则的度数是 ．
4．（24-25七年级下·贵州·期中）如图所示，将长方形纸片折一下，折痕为，再折，使与叠合，折痕分别为，若，则的度数为 ．
5．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，，D、E分别在、上，将三角形沿折叠得到三角形，且满足，则 °．
6．（2025·浙江宁波·一模）如图，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．如果，那么 ， ， ．
7．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，将沿折叠，使得点落在边上的点处，若，则的度数为 ．
8．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，，沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则的度数为 ．
题型七：直角三角形中两锐角互余综合（解答题）
1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，于点D，平分，，相交于点F，，，求和的度数．
2．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，AE平分，AD是BC边上的高．
(1)在图中将图形补充完整；
(2)当，时，求的度数．
3．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E．过点D作，交的延长线于点F，求的度数．
4．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）已知中，是的角平分线，于E．
(1)求的度数；
(2)若，求．
5．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，已知在中．
(1)若，求的最大内角的度数；
(2)若于点，是的平分线，，，求的度数．
6．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，与相交于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
7．（24-25七年级下·四川眉山·期末）如图，是的高，是的角平分线，点是的中点，，．
(1)求的度数；
(2)若与的周长差为5，，求的长．
8．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图所示，在Rt中，，点、、分别在、、上，连接、、，点、分别在、上，连接、．
(1)若、分别是和的中线，，，求的长度；
(2)若、分别垂直平分、，判断与是否垂直，并说明理由．
9．（24-25七年级下·四川成都·期中）中，点、分别为线段、上两点，连接、交于点．
(1)若，，如图，试说明；
(2)若平分，平分，如图所示，若，则 ，并证明：．
题型八：利用斜边上的中线等于斜边的一半求线段长度
1．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在中，为边上的高，点为的中点，连接．若的周长为24，则的周长为（　　）
A．16 B．14 C．12 D．10
2．（24-25八年级下·云南玉溪·期末）如图，在中，，，，则的长度为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
3．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱分别垂直于横梁，若，则立柱的长为 ．

4．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m．
5．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形中，，点O是对角线的中点，若，则的长为 ．
6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知中，，平分，点为的中点，连接，若，，则的面积为 ．
7．（23-24八年级下·湖南·期中）如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为 ．
题型九：利用斜边上的中线等于斜边的一半求角度
1．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，在直角三角形中，，于点D，点E为边中点，若，则 ．
2．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，，是斜边上的中线，若，则的大小为 ．
3．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则 ．
4．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，在中，为钝角，，都是这个三角形的高，为的中点，．若，则的度数为 ．
5．（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在Rt与Rt中，，点和点位于边的同侧，为边的中点．连接，若，则 ．
6．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为 ．

7．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，为对角线的中点，连接，若，则的度数为 度．
题型十：直角三角形中尺规作图问题
1．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线交于点，交于点，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·天津河西·一模）如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于E，F两点，连接，与交于点O，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在中，，，作的垂直平分线，且直线交于点，交于点，连接，则．的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连接，，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，根据步骤作图：（1）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；（2）作直线，交于点．若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（24-25八年级下·四川达州·期末） 如图，在中，，分别以点C，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E，连接相交于点P．若，则的大小为 ．
题型十一：直角三角形中综合解答题
1．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，、分别是对角线、的中点，连接，求证：．
2．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，，点在上，且满足．
(1)尺规作图：在上求作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若交于点，是的中点，连接，求证：．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，于F，于E，M为的中点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求的周长．
4．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，垂足为，，垂足为，是的中点，连接、．
(1)求证：；
(2)连接，若，．判断的形状，并说明理由．
5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，连接．
(1)请判断的形状，并说明理由．
(2)若，求的长．
6．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，于，于E，M为的中点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求的周长．
7．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，的延长线于，的延长线于，为的中点，分别连接、、．

(1)若，，求的周长；
(2)若，，求的度数．
8．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，已知锐角中，、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点．
(1)证：；
(2)若，，连接、，求的度数．
题型一：直角三角形两锐角互余需分情况讨论问题
1．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，以为斜边作等腰直角三角形，则的度数为 ．
2．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在中，，．点为射线上一点，平面内有一射线，若，则的度数是 ．
3．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，．
4．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当与的一边垂直时， ．
5．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，将一个等腰直角三角形和一个等边三角形的顶点重合放在一起（，且点在直线的上方），其中，．当两个三角形有一组边互相平行时，的度数为 ．
6．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，是射线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当的三边与的三边有一组边垂直时，则 ．
7．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，M，N分别是边上的动点，沿着直线将对折，点A、的对称点是点．若，则的度数为 ．
题型二：直角三角形两锐角互余多结论问题
1．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，，点在同一条直线上，则有下列4个结论：①；②；③与互补；④为等腰直角三角形．其中成立的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，，为上一点，，过点作于点，且平分，．有下列结论：①；②平分；③．其中正确的结论为（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，在四边形中，，平分交于点E，连接，点F为上方一点，连接，点M、N分别是延长线上的点，已知，．下列结论错误的是（ ）
A．与为内错角 B．
C． D．平分
4．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法中正确的序号是 ．
①的面积等于的面积；②；③．
5．（24-25七年级下·河南许昌·期中）如图，，点在直线上，点在直线上，，平分，，则下列结论：
①；②；
③；④平分，
其中不一定正确的是 ．（填序号）
6．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）如图，已知，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，．则下列结论正确的有 （写序号）．
①；：平分；．
7．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列结论中正确的有 ．
①是的平分线；②；③；④点在的垂直平分线上；
⑤；⑥若，则到点到的距离是．
8．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①；②；③；④．正确的是 ．（填序号）
题型三：直角三角形综合应用压轴题
1．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如图，为直角三角形，，，点D为上一点，将沿翻折后得到．
(1)如图1，当点E落在上时，求的度数；
(2)如图2，当点E落在下方时，与相交于点F，且，试说明：；
(3)如图3，当点E落在下方时，与相交于点F，连结，的平分线交的延长线于点G，交于点H．若，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1，是的角平分线，E为射线上一点，过点E作，垂足为点F．
(1)若，且点E在线段上．
①_______，理由是________；
②若平分交于点H，求证：；
(2)如图2，若点E在线段的延长线上，平分交的延长线于点I，用等式表示与的数量关系，并证明．
3．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接、，与交于点．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)如图2，连接，若，求四边形的面积．
4．（24-25七年级下·四川成都·期中）中，点、分别为线段、上两点，连接、交于点．
(1)若，，如图，试说明；
(2)若平分，平分，如图所示，若，则 ，并证明：．
5．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，在直角三角形中，，点，分别是，边上一点，将沿翻折至，使得于点，点为延长线上一点，设．
(1)若，求的度数；
(2)①尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）
②在①的条件下，求证：．
6．（24-25七年级下·河南漯河·期中）已知．点为直线上的动点（点不与点重合），交直线于点．
(1)如图，当点在上时，若，则__________；
(2)如图，当点在的延长线上时，与有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由；
(3)当点在的延长线上时，与有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由．
7．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图：已知和一块含角的直角三角尺．
(1)如图，三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数；
(2)如图，三角尺的两个锐角的顶点、分别放在和上，若，求的度数．
8．（2025·浙江杭州·模拟预测）在中，，点在上，过点作于，过点作于，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点作的垂线交于，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中四个与全等的三角形（除外）．
题型四：直角三角形综合中动点问题
1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，为高，，点E为上的一点，，连接，交于O，若．
(1)求的度数；
(2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为秒，
①设的面积为．请用含的式子表示，并直接写出相应的的取值范围；
②点是直线上一点，且．当与全等时，求的值．
2．（24-25七年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，，，，垂足分别为，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．
(1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；
(2)如图②，若“，”改为“”，点的运动速度为，其他条件不变，当点运动到某处时有与全等，求出相应的的值．
(3)在（）成立的条件下且两点的运动速度相同时，_____（直接写出结果）
3．（24-25九年级下·河北沧州·期中）如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于点，于点．设点的运动时间为．
(1)用含的代数式表示的长；
(2)当点在边上时，求证：；
(3)当与全等时，直接写出的值．
4．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点．点是边上的一个动点，过点作交边于点．设的度数为．
(1)如图，当点在线段上运动时（不与重合），作的外角的平分线，交的延长线于点．
①_____；（用含的代数式表示）
②当时，求的度数；
(2)类比（1）的思路，当点在线段上运动时（不与重合），作的外角的平分线，交直线于点（点不与点重合），求的度数．（用含的代数式表示）
5．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，是边长是的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿，方向匀速移动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点P到达点B时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题：
(1)在点P与点Q的运动过程中，当t为何值时，是等边三角形？
(2)在点P与点Q的运动过程中，当t为何值时，是直角？
6．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，的两条高与交于点O，，．
(1)若，则______；
(2)求的长；
(3)点F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t（秒），当与全等时，直接写出t的值．
7．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，直线，平分，过点作交于点C．动点D，E同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为．
(1)的度数为________；
(2)当点D沿射线运动时，若，求t的值；
(3)当动点D在直线上运动时，是否存在某个时间t，使得与全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．
1．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）在中，，是的中点，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，中，点D在边上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）某乡村旅居示范点计划在村内池塘上搭建小桥，如图所示，两条村内道路、互相垂直，道路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为2400，则M、C两点间的距离为（ ）

A．3600 B．2400 C．1200 D．600
4．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图，中，，是高，则与（ ）
A．互余 B．互补 C．相等 D．没有关系
5．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
7．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）中，，，则的度数为 ．
8．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，是高，是角平分线，若，，则的度数为 ．
9．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，是边上的高，是边上的高，点F是两条高线的交点，若，，则 °
10．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）生活情境·滑滑梯 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，且左边滑梯水平方向的长度与右边滑梯的高度相等，若，则 ．
11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，直角顶点在直线上，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、求证：．
12．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，是的边上的高．
(1)利用尺规作图作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求的度数．
13．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图1，在中，，D是上一点，且．
(1)请说明；
(2)如图2，若平分，交于点F，交于点E，与相等吗？请说明理由．
14．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，中，，垂足为D，点E在边上，连接，且
(1)求证：；
在括号内填写相应的依据．
证明：，垂足为D，
（___________），
在中，（___________），
，
（___________），
（___________）；
(2)若，，求，的度数．
15．（24-25七年级下·北京·期末）乐乐与爸爸、妈妈在操场上荡秋千．乐乐坐在秋千上的起始位置是A处，起始位置与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1.2 m 高的处接住她，妈妈用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离分别为 和．
(1)与全等吗？ 请说明理由；
(2)爸爸在距离地面多高的地方接住乐乐？
16．（24-25七年级下·山东济南·期中）已知中，，为边上的高，平分，分别交于点F、E．
(1)试说明；
(2)若，试着求出的度数；
(3)猜想与的数量关系：______（填“>”、“<”或“=”）．
17．（24-25七年级下·北京·期中）已知：如图，直线，直线与分别交于E、F两点．过F作射线交于点G，且，射线上有一动点P，过P作，交直线于点Q，作的角平分线，交射线于点M．
(1)如图1，求证：平分．
(2)如图2，当时，求的度数．
(3)当点P在运动过程中，试探究与的数量关系，请直接写出你的结论．中小学教育资源及组卷应用平台
2.6 直角三角形（第一课时）
题型一：利用直角三角形两锐角互余求角度（有图）
1．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵， E是斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
2．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图所示，在中，于点，将沿折叠，使点落在点处，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余，折叠的性质，先得出，根据折叠的性质得，再结合，然后代入数值计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵将沿折叠，使点落在点处，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
3．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，在中，，平分．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直定义．先由垂直的定义得出，求出，由平分线的定义得出，求出，最后根据三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
4．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，，于点H，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余，掌握以上知识，结合图形分析是解题的关键．
根据平行线的性质得到，由直角三角形两锐角互余得到，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A ．
5．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，为边上的高，平分，，相交于点F．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．
先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据垂直的定义可得，最后根据直角三角形两锐角互余的即可得．
【详解】解：在中，，，
，
平分，
，
为边上的高，
，
．
故选：C．
6．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，，垂足为E，，，则 ．
【答案】22
【分析】此题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据三角形内角和定理求出，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
∵
∴
∴．
故答案为：22．
7．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，在中，平分，，，，则 ．
【答案】/75度
【分析】此题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、直角三角形的性质，熟练掌握三角形内角和定理、角平分线的定义，直角三角形两锐角互余的性质是解题的关键．由三角形内角和定理得到，由平分，，得到，，即可得到，即可得到，最后根据直角三角形两锐角互余求出结果即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
8．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图，，垂足为E，与相交于，，，则 ．
【答案】/80度
【分析】此题主要考查三角形的角度计算，三角形内角和定理，根据，可得，则，再根据三角形内角和为180度可求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
题型二：利用直角三角形两锐角互余求角度（无图）
1．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期末）在中，，是斜边上的中线，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，得到，结合解答即可．
【详解】解：∵，是斜边上的中线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
2．（24-25八年级下·广西桂林·期末）在 中，，，则 的度数为 ．
【答案】/20度
【分析】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，根据直角三角形的两锐角互余可得答案.
【详解】解：在 中，，，
∴，
故答案为：
3．（24-25七年级下·江苏常州·期末）在中，，，则 ．
【答案】55
【分析】本题考查直角三角形中求角度问题，涉及直角三角形两锐角互余等知识，根据题意得到，再由消去即可得到答案．熟记直角三角形两锐角互余是解决问题的关键．
【详解】解：在中，，则，
，
，即，
解得，
故答案为：．
4．（24-25七年级下·山西太原·开学考试）在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为 ．
【答案】/15度
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，关键步骤是正确设定变量并准确列方程，最终求出较小的锐角度数．本题设定未知数，根据直角三角形两锐角互余的性质，建立方程求解较小的锐角度数．
【详解】解：设较小的锐角为，则较大的锐角为，
根据直角三角形两锐角之和为，得：
，
解得：，
所以较小锐角的度数为．
故答案为：．
5．（2025八年级下·全国·专题练习）已知等腰三角形的顶角是，则腰上的高与底边的夹角的度数是 ．
【答案】/55度
【分析】这道题主要是考查等腰三角形和直角三角形．熟练掌握三角形内角和定理，等腰三角形性质，直角三角形性质，是解题的关键．
首先根据顶角的度数求出等腰三角形的底角,然后根据腰上的高与底的夹角与等腰三角形的底角互余，解答即可．
【详解】解：∵等腰三角形的顶角为，
∴底角为，
∵一腰上的高与腰垂直，成角，
∴一腰上的高与底边的夹角为．
故答案为：．
6．（24-25七年级下·重庆·期中）已知点E为中边上一点，连接，，，当为直角三角形时，则的度数是 ．
【答案】或
【分析】本题考查三角形内角和，直角三角形的两个锐角互余，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
分情况讨论：当或当时，根据三角形内角和，和直角三角形的两个锐角互余分别求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
当时，为直角三角形,
此时，
当时，为直角三角形,
此时
∵
∴，
故答案为：或．
7．（24-25八年级上·海南三亚·阶段练习）在一个直角三角形中，两个锐角度数之比为，则这两个锐角的度数分别是 、 ．
【答案】
【分析】该题考查了直角三角形的性质，根据在直角三角形中，两个锐角的和是，求解即可．
【详解】解：在直角三角形中，两个锐角的和是，
又已知两个锐角的度数比是，
故两个锐角的度数分别是：．
故答案为：，．
题型三：平行线中直角三角形两锐角互余问题
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，直线，的直角顶点C在直线a上，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角定理，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
由平行结合三角形的外角得到，求出的度数，再由直角三角形锐角互余求出．
【详解】解：如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：D．
2．（24-25七年级下·重庆秀山·期末）如图，直线，线段和线段垂直于点，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，直角三角形的性质，由平行线的性质得，由垂线的定义得，进而根据直角三角形的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，，，，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂直的定义及平行线的性质，直角三角形中两个锐角互余等．如图所示标注字母，然后利用垂直及平行线的性质即可得出结果．
【详解】解：如图所示标注字母，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
4．（2025·海南省直辖县级单位·三模）如图，在同一平面内，已知，直线平分，过点作于点，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先对顶角定义得到，再由平行线的性质得到，然后由角平分线定义、对顶角相等得到，最后由直角三角形两锐角互余确定，再数形结合表示出求解即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
,
直线平分，
,
则，
，
,
,
故选：B．
5．（24-25七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，直线，，若，则
【答案】55
【分析】本题考查了平行线的性质以及垂直的定义，属于中考常考题．掌握平行线性质是解题关键．
根据垂直的定义和余角的定义计算得到，再根据两直线平行，内错角相等可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：55
6．（2025·河南郑州·三模）如图，直线，直线，，则的度数为 ．
【答案】/40度
【分析】此题考查了平行线的性质，邻补角，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点．
首先得出，然后求出的邻补角，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】因为，，
所以，
则的邻补角为，
所以．
故答案为：．
7．（24-25七年级下·河南新乡·期末）如图，若，G是上一点，于点H．若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了对顶角相等，两直线平行同旁内角互补，直角三角形两个锐角互余，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解．
先利用对顶角相等，求得，再利用平行线的性质求得，然后利用直角三角形两个锐角互余，求得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，解得：，
∵，
∴，
∴，解得：，
故答案为：．
题型四：三角板中直角三角形两锐角互余问题
1．（2025·内蒙古鄂尔多斯·一模）将一副三角板按照如图方式摆放，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据自己三角形的性质求出，，根据三角形内角和定理求出，得到，即可得到答案．
【详解】解：根据题意得，，
，
，
故选：B．
2．（2025·山东·二模）如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点放在直尺上，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．根据三角板可得，根据平行线的性质和三角形外角的性质，得到，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，
故选：C．
3．（24-25七年级下·全国·期末）将三角尺按如图位置摆放，顶点落在直线上，顶点落在直线上．若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，掌握平行线的性质求角度的计算是关键．
根据题意，得到，根据平行线的性质得到，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，
，
∴，
∵，
∴，
故选：C ．
4．（2025·河南信阳·三模）一副三角板按如图方式叠合在一起，与相交于点H，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角板中的角度计算，对顶角相等，以及直角三角形两锐角互余，由三角板可知，与角的和差可得出，再根据对顶角相等以及直角三角形两锐角互余．
【详解】解：根据题意可知，
则，
故选∶A
5．（24-25七年级下·四川达州·期中）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点D在边上，且．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余、平行线的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用三角形外角的性质成为解题的关键．
由直角三角形两锐角互余可得，再根据平行线的性质可得，最后根据三角形外角的性质即可解答．
【详解】解：∵．，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴．
故选C．
6．（24-25七年级下·广东深圳·期中）把一块直尺与一块三角板如图放置，若 ，则 的度数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，得，结合，得，求得，结合解答即可．
本题考查了直角三角形的互余性质，对顶角相等，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
故，
又，
故，
故，
又，
故，
故选：B．
7．（2025·河北邯郸·一模）将直角三角板（）按下图的方式摆放在一条直线上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查对顶角相等，直角三角形两锐角互余．根据对顶角相等得到，再由直角三角形两锐角互余求出，进而即可解答．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
．
故选：B．
题型五：直角三角形中两锐角互余实际应用
1．（2025·河南驻马店·三模）如图，在一个建筑工地有两根平行的钢梁和，它们分别固定在建筑物的不同位置，用于支撑结构．工人师傅需要在钢梁上安装两根互相垂直的支架，，以确保钢梁的稳定性和安全性．经测量发现，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，先根据垂直的定义得到，再根据平行线的性质即可得解．熟记性质是解题的关键．
【详解】解：如图，
，，
，
，
，
故选：B．
2．（24-25六年级下·山东济宁·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，则此时扶手与靠背的夹角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
根据题意求出，继而得到，推出，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
3．（2025·河南南阳·模拟预测）小丽的存钱罐静止在一个斜面上，如图所示，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行，重力G的方向竖直向下，若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角的度数为（ ）
A．68° B．112° C．122° D．158°
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的两个锐角互余，
先对图形标注，三个力的交点为E，再求出，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”得出答案．
【详解】解：对图形标注，三个力的交点为E，
根据题意可知，
在中，，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：B．
4．（24-25七年级下·江西抚州·阶段练习）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从空气射入水中要发生折射．物理课上，小军手持一激光笔射入水中，如图，水面与水杯下沿平行，光线从空气射入水中，发生折射，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查直角三角形的性质、角的和差计算，根据直角三角形的性质求得，再利用角的和差计算求解即可．
【详解】解：如图，∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
5．（24-25八年级下·浙江·阶段练习）如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出角的大小，需将转化为与它相等的角，则图中与相等的角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查直角三角形的性质的应用，根据直角三角形的两锐角互余，同角的余角相等可得结论．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选：A．
6．（2025·河南驻马店·三模）一束平行光线经过水面后折射的光线也是平行的．如图，若杯底与水面平行，折射角，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；根据互余及平行线的性质即可求解．
【详解】解：由题意可知，法线与杯底垂直，的余角为，
由平行线的性质可知：．
故选C．
7．（24-25七年级下·江西上饶·期中）如图为一盏可调节台灯及其示意图，固定支撑杆垂直底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变，现调节台灯，使外侧光线，，若，则 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了平行线的性质，延长交于，延长交于，根据平行线的性质推出，再推出，进而可求解，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：延长交于，延长交于，如图：
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
8．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，点在点的北偏东方向，点在点的北偏西方向，若，则点C在点E的南偏西 方向．
【答案】
【分析】本题考查了方位角的概念，平行线的性质，直角三角形两个锐角互余，解题关键是掌握平行线的性质．
先利用平行线的性质证得，再利用平行线的性质证得，从而可得，求得，再利用求得，从而可得，再求得即可．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
，解得：，
，
，
，
∴点C在点E的南偏西方向．
故答案为：．
题型六：直角三角形中两锐角互余折叠问题
1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，把一张长方形纸条按如图的方式折叠后，量得，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查折叠的性质、直角三角形的性质，由折叠的性质得，，，再根据直角三角形的性质求得即可．
【详解】解：由折叠的性质得，，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
2．（24-25七年级下·重庆巫溪·阶段练习）如图所示，把一个长方形纸片沿折叠后，点分别落在位置．若，则的度数是
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，邻补角和对顶角的性质，直角三角形的性质，由邻补角性质得，由折叠得，，进而得，即得，再根据对顶角的性质即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，
∵，
∴，
由折叠得，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图，中，，，沿着图中的折叠，点刚好落在边上的点处，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握折叠前后图形的对应线段和对应角相等是解题的关键．
由直角三角形的性质得到，由折叠的性质可求得，，得到，即可得到答案．
【详解】解：中，，，
，
由折叠可得，，
，
故答案为： ．
4．（24-25七年级下·贵州·期中）如图所示，将长方形纸片折一下，折痕为，再折，使与叠合，折痕分别为，若，则的度数为 ．
【答案】/110度
【分析】本题考查了折叠的性质、角的和差，平行线的性质，直角三角形的性质，掌握理解折叠的性质是解题关键．
由折叠的性质得，，求出，得到，根据平行线的性质得到，即可得到答案．
【详解】解：由折叠的性质得，，
长方形纸片，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
5．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，，D、E分别在、上，将三角形沿折叠得到三角形，且满足，则 °．
【答案】76
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，直角三角形的性质．首先根据平行的性质可得，根据直角三角形的两个锐角互余可得，根据邻补角的定义可得，根据折叠的性质可得，最后由得到
．
【详解】解：如下图所示，
，
，
，
，
，
根据折叠的性质可知，
，
，
．
故答案为：．
6．（2025·浙江宁波·一模）如图，长方形沿折叠，使点D落在边上的点F处．如果，那么 ， ， ．
【答案】 /55度
【分析】此题考查了折叠的性质，全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点．
先根据矩形的性质得到，进而根据角的运算得到，再根据折叠的性质得到，根据三角形全等的性质得到，从而结合题意进行角的运算即可求解．
【详解】解：∵四边形是长方形，
∴，
∵，
∴，
由折叠得，
；
又∵，
∴，，
∴．
故答案为：，，．
7．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，将沿折叠，使得点落在边上的点处，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查翻折变换，先确定，利用直角三角形两锐角互余，求出，再求出可得结论．解题的关键是掌握翻折变换的性质．
【详解】解：∵将沿折叠，使得点落在边上的点处，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的度数为．
故答案为：．
8．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，，沿折叠，使点恰好落在边上的点处．若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理，由直角三角形两锐角互余可得，由折叠可得，再利用三角形内角和定理即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
由折叠得，，，
∴，
故答案为：．
题型七：直角三角形中两锐角互余综合（解答题）
1．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，在中，于点D，平分，，相交于点F，，，求和的度数．
【答案】；
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质．根据直角三角形两锐角互余，可求出；再根据三角形内角和定理可得，再结合角平分线的定义可得，即可求解
【详解】解：，
，
，
．
，
，
平分，
，
．
2．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，AE平分，AD是BC边上的高．
(1)在图中将图形补充完整；
(2)当，时，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据高的定义补充图形；
（2）根据角平分线性质求出，最后结合直角三角形的性质求出．
【详解】（1）（1）解：如图所示：
（2）解：∵在中，平分，
，
是边上的高，
，
，
．
3．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E．过点D作，交的延长线于点F，求的度数．
【答案】
【分析】此题考查三角形外角的性质，角平分线定义，平行线的性质，根据三角形外角性质求出的度数，由角平分线得到的度数，进而求出，再根据平行线的性质即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴．
4．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）已知中，是的角平分线，于E．
(1)求的度数；
(2)若，求．
【答案】(1)60度
(2)18
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，角平分线的性质的应用；
（1）先求解，结合角平分线可得，再进一步求解即可；
（2）过点作于点．结合是的角平分线，，可得，再进一步求解即可.
【详解】（1）解：，
∴，
是的角平分线，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作于点．
是的角平分线，，
，
又，
.
5．（24-25七年级下·山东烟台·期中）如图，已知在中．
(1)若，求的最大内角的度数；
(2)若于点，是的平分线，，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）由题意可设，，，根据三角形内角和定理列出方程，解出的值，即可求解；
（2）根据垂直的性质得到，利用直角三角形的性质得出，利用角平分线的定义得到，再利用三角形外角的性质即可求出的度数．
【详解】（1）
解：，设，，，
，
，解得：，
，
的最大内角的度数；
（2）
解：，
，，
，
是的平分线，
，
，
．
6．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，与相交于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查“手拉手”模型证全等，涉及三角形全等判定与性质、直角三角形性的判定与性质等知识，准确识别“手拉手”模型，掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．
（1）由“手拉手”模型，结合两个三角形全等的判定定理即可得证；
（2）由（1）中三角形全等得到，在中，，从而在中，求得即可得证．
【详解】（1）证明：，
，
，
即，
在和中，
，
，
；.
（2）证明：由（1）知，，
，
在中，，
在中，，
．
7．（24-25七年级下·四川眉山·期末）如图，是的高，是的角平分线，点是的中点，，．
(1)求的度数；
(2)若与的周长差为5，，求的长．
【答案】(1)79°
(2)12
【分析】本题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义、三角形的外角的性质和三角形的周长的计算，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
（1）根据直角三角形的性质、角平分线的定义和三角形的外角的性质即可得到结论；
（2）根据三角形的周长公式和已知条件即可得到结论．
【详解】（1）解：∵是的高，
∴，
，
．
平分，
．
；
（2）解：点为的中点，
．
与的周长差为5，
，
，
，
．
8．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）如图所示，在Rt中，，点、、分别在、、上，连接、、，点、分别在、上，连接、．
(1)若、分别是和的中线，，，求的长度；
(2)若、分别垂直平分、，判断与是否垂直，并说明理由．
【答案】(1)20
(2)，理由见解析
【分析】此题考查了三角形中线的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据中线的性质得到，，进而求解即可；
（2）由垂直平分线的性质得到，，推出，，然后结合得到，即可证明．
【详解】（1）因为、分别是和的中线，
所以，，
所以．
（2），理由如下：
因为垂直平分，垂直平分，
所以，，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以．
9．（24-25七年级下·四川成都·期中）中，点、分别为线段、上两点，连接、交于点．
(1)若，，如图，试说明；
(2)若平分，平分，如图所示，若，则 ，并证明：．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据余角的性质得到，由于，即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质得到，，于是得到结论；作的平分线交于，由，得到，求得，根据角平分线的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，同理，即可得到结论．
【详解】（1）解：，，
，
，，
；
（2）平分，平分，
，，
；
，
；
作的平分线交于，
，
，
，
平分，
，
在与中，
，
，
，
同理，
．
故答案为：
题型八：利用斜边上的中线等于斜边的一半求线段长度
1．（24-25八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在中，为边上的高，点为的中点，连接．若的周长为24，则的周长为（　　）
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】C
【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．根据等腰三角形的三线合一得到，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：为边上的高，
，
的周长为24，
，
，
在中，点为的中点，
的周长．
故选：C．
2．（24-25八年级下·云南玉溪·期末）如图，在中，，，，则的长度为（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
【答案】A
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：，，，
故，
故选：A．
3．（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱分别垂直于横梁，若，则立柱的长为 ．

【答案】2
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
先根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得，再利用等腰三角形的性质得，然后由含度的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：2．
4．（2025·福建·中考真题）某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为 m．
【答案】4
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得出．
【详解】解：∵，
∴为直角三角形，
∵E是斜梁的中点，
∴．
故答案为：4．
5．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在四边形中，，点O是对角线的中点，若，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
在和，由斜边上中线等于斜边的一半得到，即可求解．
【详解】解：∵，点O是对角线的中点，
∴，
故答案为：3．
6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，已知中，，平分，点为的中点，连接，若，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形的性质，三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键．
过作于点，由角平分线性质可得，然后通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，最后通过面积公式即可求解．
【详解】解：如图，过作于点，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵点为的中点，，
∴，
∴的面积为，
故答案为：．
7．（23-24八年级下·湖南·期中）如图，在中，，是边上的中线，且，则的长为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，掌握直角三角形的性质是解题的关键，根据直角三角形的性质可知，再根据已知条件即可解答．
【详解】解：∵在中，，
∴是直角三角形，
∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的长为，
故答案为：．
题型九：利用斜边上的中线等于斜边的一半求角度
1．（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，在直角三角形中，，于点D，点E为边中点，若，则 ．
【答案】38
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质、等边对等角、直角三角形两锐角互余等知识点，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解题的关键．
根据三角形内角和定理求出，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求出，再根据等腰三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，点E为边中点，
∴，
∴．
故答案为：38．
2．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，在中，，是斜边上的中线，若，则的大小为 ．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据直角三角形的性质得到，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，得出，即可得到答案．
【详解】解：，，
，
是斜边上的中线，
，
，
故答案为：．
3．（24-25八年级下·云南昆明·期中）如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则 ．
【答案】45
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，三角形外角的性质等知识，先求出，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据等边对等角得出，最后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，是斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：45．
4．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，在中，为钝角，，都是这个三角形的高，为的中点，．若，则的度数为 ．
【答案】/110度
【分析】本题考查了三角形外角的性质，直角三角形斜边中线的性质．
利用三角形外角性质求出，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半得到，证得，，求出，利用四边形内角和求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴P为的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
5．（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在Rt与Rt中，，点和点位于边的同侧，为边的中点．连接，若，则 ．
【答案】77
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出．
由直角三角形斜边中线的性质推出，，得到，推出．
【详解】解：，为边的中点，
，，
，
，
．
故答案为：77．
6．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期中）如图，一根木杆斜靠在竖直的墙上，，木杆的顶端沿墙面下滑至位置，此时，，分别是斜边，上的中线，则的度数为 ．

【答案】/26度
【分析】本题主要查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质．根据直角三角形斜边中线的性质，可得，从而得到，，即可求解．
【详解】解：∵，分别是斜边，上的中线，
∴，
∴，，
∵，
∴．
故答案为：
7．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，为对角线的中点，连接，若，则的度数为 度．
【答案】34
【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，由直角三角形斜边中线的性质得到，推出，，得到，由三角形外角的性质得到，，即可推出，然后利用三角形内角和定理和等边对等角求解即可．
【详解】解：，是的中点，
，，，
，
，，
，
，，
，
∵
∴．
故答案为：．
题型十：直角三角形中尺规作图问题
1．（24-25八年级下·北京·期中）如图，在中，，分别以点、点为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线交于点，交于点，连接，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了线段垂直平分线的作图方法，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，等边对等角，三角形的内角和定理，由作图可知垂直平分，则，，由直角三角形斜边中线等于斜边一半的可知，再求出，最后通过等边对等角和三角形内角和定理即可求解，正确理解线段垂直平分线的作图是解题的关键．
【详解】解：由作图可知垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：．
2．（2025·天津河西·一模）如图，中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于E，F两点，连接，与交于点O，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角和线段垂直平分线的定义，直角三角形的性质等等，由作图方法可得垂直平分，则点是的中点，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半推出，则，据此可得答案．
【详解】解；由作图方法可得垂直平分，
∴点是的中点，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
3．（24-25八年级下·广东江门·期中）如图，在中，，，作的垂直平分线，且直线交于点，交于点，连接，则．的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的内角和定理得到，根据直角三角形的性质得到，求得，进而即可得解．
【详解】解：由题意可知：为的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
故选：．
4．（24-25八年级下·河南焦作·阶段练习）如图，在中，，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连接，，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，逐项判断即可．
【详解】解：根据题意得，是的垂直平分线，
，
，
，
选项A结论正确，不符合题意；
是的垂直平分线，
，，
，
，
选项B结论正确，不符合题意；
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
选项D结论正确，不符合题意；
，
选项C结论错误，符合题意；
故选：C．
5．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，根据步骤作图：（1）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，；（2）作直线，交于点．若，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【分析】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．根据作图可知，是的垂直平分线，得出点是的中点，再根据直角三角形的性质得到，即可求出的长．
【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线，
直线交于点，
点是的中点，
，
，
．
故选：D．
6．（24-25八年级下·四川达州·期末） 如图，在中，，分别以点C，B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线分别交于点D，E，连接相交于点P．若，则的大小为 ．
【答案】/69度
【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．由作图可知，可得，根据直角三角形斜边上中线的性质可得，然后由角的和差关系可得答案．
【详解】解：由作图可知是的垂直平分线，
，
，
，
，，，
∴，
，
，
，
故答案为：．
题型十一：直角三角形中综合解答题
1．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，、分别是对角线、的中点，连接，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．
【详解】证明：如图，连接、，
，是的中点，
，
点是的中点，
．
2．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，，点在上，且满足．
(1)尺规作图：在上求作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若交于点，是的中点，连接，求证：．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）过点A作于点G，故，则点G即为所求．
（2）由（1）可知，由平行线的性质可得，，结合直角三角形斜边上的中线的性质可得，则，可得，进而可得，则可得．
【详解】（1）解：如图，点G即为所求．
（2）证明：由（1）可知，．
∵，
∴，，
∴为直角三角形．
∵F是的中点，
∴
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，于F，于E，M为的中点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)19
【分析】（1）根据直角三角形的性质得出，，进而利用等腰三角形的判定解答即可；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，然后根据三角形的周长的定义列式计算即可得解．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质和判定是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵于F，于E，M为的中点，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形．
（2）解：∵于F，于E，M为的中点，
∴，，
∴，
∴的周长为：．
4．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，垂足为，，垂足为，是的中点，连接、．
(1)求证：；
(2)连接，若，．判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)是等边三角形，见解析
【分析】本题考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由直角三角形的性质可得，，即可得证；
（2）由（1）知，，再结合，即可得解．
【详解】（1）证明：，，
，
在中，，是中点，
，
在中，，是中点，
，
．
（2）解：等边三角形，
理由如下：如图，
由（1）知，，
，
，
是等边三角形．
5．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点，，连接．
(1)请判断的形状，并说明理由．
(2)若，求的长．
【答案】(1)是等边三角形，理由见解析
(2)
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的定义，含角的直角三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键．
（1）利用线段垂直平分线的定义得为中点，再利用直角三角形斜边中线的性质得，结合，即可证明；
（2）利用线段垂直平分线的定义得，结合，则，，再求得，再证明，得出，则可求出，即可求解．
【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下：
∵垂直平分，
∴为中点，
∵，
∴，
∵，，
∵，
∴是等边三角形；
（2）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
6．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在中，于，于E，M为的中点．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)的周长
【分析】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定：
（1）利用斜边上的中线得到，，进而得到，即可得证；
（2）利用三角形的周长公式进行计算即可．
【详解】（1）解：证明：，，M为的中点，
，，
，
是等腰三角形；
（2）由（1）得：，
又，
的周长．
7．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在中，的延长线于，的延长线于，为的中点，分别连接、、．

(1)若，，求的周长；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)10
(2)
【分析】（1）根据，，为的中点，得，结合，求的周长即可．
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解答即可．
本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，为的中点，，
∴，
∵，
∴的周长为．
（2）解：，为的中点，
，
，
，
，为的中点，
，
，
，
，
的度数为．
8．（23-24八年级上·江苏盐城·期中）如图，已知锐角中，、分别是、边上的高，M、N分别是线段、的中点．
(1)证：；
(2)若，，连接、，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
（1）连接、，根据直角三角形斜边中线的性质得到，，则，然后根据等腰三角形的性质得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，结合平角的定义求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接、，
∵、分别是、边上的高，M是的中点，
∴，
∴都是直角三角形，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形，
又∵N为中点，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴．
题型一：直角三角形两锐角互余需分情况讨论问题
1．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，以为斜边作等腰直角三角形，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查的是直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质，根据直角三角形的性质求出，分与在斜边的两侧、同侧两种情况计算，得到答案．掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
当与在斜边的两侧时，，
，
当与在斜边的同侧时，，
，
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
2．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图，在中，，．点为射线上一点，平面内有一射线，若，则的度数是 ．
【答案】或
【分析】本题考查平行线求角度，涉及直角三角形两锐角互余、平行线性质和邻补角等知识，根据题意，分两种情况，利用平行线的性质求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，分两种情况：
如图所示：
在中，，，则，
，
；
如图所示：
在中，，，则，
，
，
；
综上所述，的度数是或，
故答案为：或．
3．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 时，．
【答案】6或2
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法．设点E运动的时间为，分两种情况讨论，一是点E从点B出发沿射线方向运动，可证明，则，而，且，所以，求得；二是点E从点B出发沿射线方向运动，可证明，则，此时，所以，求得，于是得到问题的答案．
【详解】解：设点E运动的时间为，
如图1，点E从点B出发沿射线方向运动，
∵为边上的高，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
解得；
如图2，点E从点B出发沿射线方向运动，则，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，且，
∴，
解得，
综上所述，当点E运动或时，，
故答案为：6或2．
4．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当与的一边垂直时， ．
【答案】或或
【分析】本题主要考查了三角形折叠中的角度问题，直角三角形两锐角互余，正确进行计算是解题关键，分当D点在线段上时，当点D点在线段延长线上讨论，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可．
【详解】解：当D点在线段上且时，
由折叠可知：，
，
，
，
；
当D点在线段上且时，
由折叠的性质可得，
；
当D点在线段延长线上且时，
同理可得；
当D点在线段延长线上且时，
，
，
，
，
故答案为：或或．
5．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，将一个等腰直角三角形和一个等边三角形的顶点重合放在一起（，且点在直线的上方），其中，．当两个三角形有一组边互相平行时，的度数为 ．
【答案】或或
【分析】分三种情况讨论，当时，如图1，直接利用平行线的性质得到；当时，如图2，先利用平行线的性质得到，然后利用，可计算出的度数；当时，如图3，根据平行线的性质得到，则利用互余计算出，然后计算得到的度数．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
当时，如图1，
；
当时，如图2，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
当时，如图3，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，∠BAE的度数为或或．
故答案为：或或．
6．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，是射线上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当的三边与的三边有一组边垂直时，则 ．
【答案】70或45或25
【分析】本题主要考查了折叠中的角度问题，直角三角形想性质，垂直的定义，掌握折叠的性质和进行分类讨论是解题的关键．分当时，当时，当时，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可．
【详解】解：当时，如图，
，
由折叠性质，知，
，
；
当时，如图，
由折叠性质，知，
；
当时，如图，
由折叠性质，知，
；
当时与当时相同，
综上所述，的度数为或或．
故答案为：45或25或70．
7．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，M，N分别是边上的动点，沿着直线将对折，点A、的对称点是点．若，则的度数为 ．
【答案】150或60
【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形外角的性质，解题的关键是根据题意画出图形，并注意分类讨论．分两种情况：当在下方时，当在下方时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：当在下方时，如图所示：
，
，
根据折叠可知，，
，
；
当在下方时，如图所示：
，
，
根据折叠可知，，
；
综上分析可知，此时或；
故答案为：150或60．
题型二：直角三角形两锐角互余多结论问题
1．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，，点在同一条直线上，则有下列4个结论：①；②；③与互补；④为等腰直角三角形．其中成立的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合同旁内角互补得出，根据对应边相等，故，再结合得对应角相等以及直角三角形的两个锐角互余，则与互余，，即可作答．
【详解】解：∵，
即，
∴，
故①符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
故②符合题意；
∵
∴
∵
∴
∴
即与互余；
故③不符合题意；
∵
∴，
∵
∴
∴
则
故④符合题意；
故选：C
2．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，，为上一点，，过点作于点，且平分，．有下列结论：①；②平分；③．其中正确的结论为（ ）
A．①③ B．①② C．②③ D．①②③
【答案】A
【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的性质，直角三角形的性质，由垂直可得，由平行线的性质得，，进而可得，即得，即可判断①；由平分可得，由已知无法得知，即可判断②；由，可得，进而由，可判断③，综上即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
若平分，则，
∴，
∴，
显然，无法得知，故无法确定是否平分，故②错误；
∵，，
∴，
∵，，
∴，故③正确；
综上，正确的结论为①③，
故选：．
3．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，在四边形中，，平分交于点E，连接，点F为上方一点，连接，点M、N分别是延长线上的点，已知，．下列结论错误的是（ ）
A．与为内错角 B．
C． D．平分
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的判定和性质．根据三角形内角和定理，平行线的判定和性质，逐项判断，即可求解．
【详解】解：根据题意得：与为内错角，故A选项正确，不符合题意；
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故C选项正确，不符合题意；
∴，
∵，
∴，故B选项错误，符合题意；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即平分，故D选项正确，不符合题意；
故选：B
4．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法中正确的序号是 ．
①的面积等于的面积；②；③．
【答案】①②③
【分析】根据中线的性质，高线的性质，角的平分线定义，余角的性质，对等角相等解答即可．
【详解】解：∵是中线，
∴的面积等于的面积；
故①正确；
∵，是高，
∴，
∴，
故②正确；
∵，是高，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确；
故答案为：①②③．
5．（24-25七年级下·河南许昌·期中）如图，，点在直线上，点在直线上，，平分，，则下列结论：
①；②；
③；④平分，
其中不一定正确的是 ．（填序号）
【答案】③
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据平行线的判定和性质，角平分线的定义，直角三角形的性质逐项判断即可．
【详解】解：平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，故②正确；
，
，
，
平分，故④正确；
不一定等于，
故③不一定正确，
故答案为：③．
6．（24-25七年级下·湖北宜昌·期中）如图，已知，，，四点共线，，，，四点共线，，，，四点共线，，，．则下列结论正确的有 （写序号）．
①；：平分；．
【答案】①④/④①
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，垂直定义等，根据平行线的判定即可判断结论①；利用直角三角形的性质和判定可判断结论④；再由直角三角形性质可得：，，可判断结论②；再根据，，可判断结论③．
【详解】解：∵，
∴，
故结论①正确；
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故结论④正确；
∵，，
∴，，
故结论②错误；
∵，，
∴与不一定相等，
故结论③错误．
综上分析可知：正确的结论有：①④．
故答案为：①④．
7．（24-25八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列结论中正确的有 ．
①是的平分线；②；③；④点在的垂直平分线上；
⑤；⑥若，则到点到的距离是．
【答案】①②③④⑥
【分析】由作图可知平分，判断①，三角形的内角和定理，结合角平分线求出，进而求出，判断②，等角对等边判断③和④，根据含度角的直角三角形的性质，推出，根据同高三角形的面积比等于底边比，判断⑤，根据含度角的直角三角形的性质可判断⑥．
【详解】解：由作图可知：平分，故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，，，故②③正确；
∴点D在的垂直平分线上，，故④正确，⑤错误；
如图，过点作于点，
∵，
∴，故⑥正确
故答案为：①②③④⑥．
8．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点．下面说法中：①；②；③；④．正确的是 ．（填序号）
【答案】①②③
【分析】本题主要考查了三角形的中线，高线，角平分线，直角三角形两个锐角互余，
先根据等底等高的三角形面积相等可判断①；再根据直角三角形的性质求出，再根据三角形外角的性质推导②；然后根据直角三角形的性质求出，根据角平分线定义判断③；最后根据已知条件无法判断④，可得答案．
【详解】解：∵是中线，
∴，
∴．
∴①正确；
∵是角平分线，
∴．
∵为高线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴②正确；
∵为高，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴．
∴③正确；
根据条件不能说明，
∴④不正确．
故答案为：①②③．
题型三：直角三角形综合应用压轴题
1．（24-25七年级下·四川宜宾·期末）如图，为直角三角形，，，点D为上一点，将沿翻折后得到．
(1)如图1，当点E落在上时，求的度数；
(2)如图2，当点E落在下方时，与相交于点F，且，试说明：；
(3)如图3，当点E落在下方时，与相交于点F，连结，的平分线交的延长线于点G，交于点H．若，试判断与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）由直角三角形的性质求得，再由折叠的性质得，最后根据三角形外角的性质求解即可；
（2）由折叠的性质得，根据直角三角形的性质求得，再根据平行线的判定即可得证；
（3）设，由平行线的性质得，再由角平分线的定义和三角形外角的性质得，根据折叠的性质得，再利用三角形内角和定理求得，进而求得即可．
【详解】（1）解：，，
．
∵将沿翻折后得到，
．
．
（2）解：根据翻折可得，
，
．
．
，
．
．
（3）解：，理由如下：
设，
，
．
平分，
．
．
，
．
，
，
，
．
．
．
2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1，是的角平分线，E为射线上一点，过点E作，垂足为点F．
(1)若，且点E在线段上．
①_______，理由是________；
②若平分交于点H，求证：；
(2)如图2，若点E在线段的延长线上，平分交的延长线于点I，用等式表示与的数量关系，并证明．
【答案】(1)①90，直角三角形的两个锐角互余 ②证明见解析
(2)；证明见解析
【分析】（1）①根据直角三角形的两个锐角互余即可得到结论；
②先证明，再利用三角形外角的性质证明，进而可证；
（2）设，，由三角形外角的性质得出，，消去x，y即可求解．
【详解】（1）①∵，
∴，理由是直角三角形的两个锐角互余．
故答案为：90，直角三角形的两个锐角互余；
②证明：平分，
，
，，
，，
，
又，
，
．
平分，
，
，
．
（2），理由如下：
，分别平分，，
设，，
，
即，①
，
即，②
由①②，得，
即．
3．（24-25七年级下·四川巴中·期末）如图1，在中，分别以，为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接、，与交于点．
(1)求证：；
(2)判断与的位置关系，并说明理由；
(3)如图2，连接，若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)50
【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义得到，，，再利用证明，由全等三角形的性质即可得出结论；
（2）由（1）的三角形全等，得到，，利用等式的性质求得，再由垂直定义得到结论；
（3）根据，求解即可．
【详解】（1）证明：等腰直角三角形和等腰直角三角形，
，，，
，
即，
在和中，，
，
∴；
（2）解：，理由如下：
设与交于点，如图，
∵等腰直角三角形，
∴，
∵，
，，
∵，
，
；
（3）解：由（1）得，由（2）知：，
，
，
，
；
4．（24-25七年级下·四川成都·期中）中，点、分别为线段、上两点，连接、交于点．
(1)若，，如图，试说明；
(2)若平分，平分，如图所示，若，则 ，并证明：．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据余角的性质得到，由于，即可得到结论；
（2）根据角平分线的性质得到，，于是得到结论；作的平分线交于，由，得到，求得，根据角平分线的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，同理，即可得到结论．
【详解】（1）解：，，
，
，，
；
（2）平分，平分，
，，
；
，
；
作的平分线交于，
，
，
，
平分，
，
在与中，
，
，
，
同理，
．
故答案为：
5．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，在直角三角形中，，点，分别是，边上一点，将沿翻折至，使得于点，点为延长线上一点，设．
(1)若，求的度数；
(2)①尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹）
②在①的条件下，求证：．
【答案】(1)
(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）根据折叠得出，，根据垂线定义求出，根据直角三角形两锐角互余得出，
，最后求出结果即可；
（2）①根据作一个角的平分线的基本作图方法，作图即可；
②作的平分线，根据角平分线定义得出，证明，根据直角三角形两锐角互余得出，根据余角性质得出，最后根据平行线的判定得出结论即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
根据折叠可知：，，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①即为所求作的角平分线，如图所示：
②作的平分线，如图所示：
则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
根据折叠可知：，
∴，
∵，
∴，
∴；
6．（24-25七年级下·河南漯河·期中）已知．点为直线上的动点（点不与点重合），交直线于点．
(1)如图，当点在上时，若，则__________；
(2)如图，当点在的延长线上时，与有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由；
(3)当点在的延长线上时，与有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（）由平行线的性质得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解；
（）由直角三角形两锐角互余得，进而由平行线的性质得，再根据邻补角的性质即可求证；
（）先根据题意画出图形，再根据平行线的性质及直角三角形两锐角互余即可求证；
本题考查了直角三角形的两锐角互余，平行线的性质，邻补角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即；
（3）解：，理由如下：
如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
7．（24-25七年级下·湖北荆州·期中）如图：已知和一块含角的直角三角尺．
(1)如图，三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数；
(2)如图，三角尺的两个锐角的顶点、分别放在和上，若，求的度数．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了平行线的性质、直角三角形的两个锐角互余．解决本题的关键是根据平行线的性质和直角三角形的两个锐角互余找角之间的关系．
（1）设，则，根据平行线的性质可知，根据平角的定义可知，解方程即可求出的度数．
（2）根据两直线平行同旁内角互补可得：，根据直角三角形的两个锐角互余可得：，所以可得：，又因为，可以求出．
【详解】（1）解：设，则，
，
，
由已知可得：，
，
解得：，
；
（2）解：，
，
即，
又，
，
．
8．（2025·浙江杭州·模拟预测）在中，，点在上，过点作于，过点作于，连接，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过点作的垂线交于，连接，若，在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图中四个与全等的三角形（除外）．
【答案】(1)见解析
(2)，，，
【分析】（1）先证明，得，，再通过四边形内角和以及角之间的转换求出．
（2）由（）得，，，，根据，得是等边三角形，是等边三角形，进而利用三角形全等的判定方法即可得解．
【详解】（1）证明：，，，
，．
∴，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
；
（2）解：由（1）得，，，，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
综上可得，与全等的三角形有，，，．
题型四：直角三角形综合中动点问题
1．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，为高，，点E为上的一点，，连接，交于O，若．
(1)求的度数；
(2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，设点的运动时间为秒，
①设的面积为．请用含的式子表示，并直接写出相应的的取值范围；
②点是直线上一点，且．当与全等时，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质可得，进而根据直角三角形的两个锐角互余，得出，进而等量代换，即可得证；
（2）①分两种情况，当时，当时，分别利用三角形面积公式即可求解；
②两种情况，点在线段延长线上，当时，，得，解得 ；点在线段上，当时，，得，解得即可．
【详解】（1）解：∵在中，为高，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①∵，
∴，
∵，，
∴，
当点Q运动到点E时，，当点运动到点时，，
当时，
如图，；
当时，如图，
．
综上所述，；
②∵，
∴，
当点F在线段延长线上时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴当时，，
∴，
解得：；
当点在线段上时，如图，
∵，
∴，
∴当时，，
∴，
解得：．
综上所述，当与全等时，t的值为或．
2．（24-25七年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，，，，垂足分别为，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．
(1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；
(2)如图②，若“，”改为“”，点的运动速度为，其他条件不变，当点运动到某处时有与全等，求出相应的的值．
(3)在（）成立的条件下且两点的运动速度相同时，_____（直接写出结果）
【答案】(1)，，理由见解析
(2)当时，，；当时，，
(3)
【分析】（）由题意可得，，进而得，即可证，由全等三角形的性质得，即可由得，即可求证；
（）分和两种情况，根据全等三角形的性质列出方程解答即可求解；
（）由得，即得，进而可得，得到，即可求解；
本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：，，理由如下：
∵，，
∴，
∵点的运动速度与点的运动速度相等，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
（2）解：①若时，则，，
∴，，
解得，；
②若，则，，
∴，，
解，；
综上，当时，，；当时，，；
（3）解：∵两点的运动速度相同，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3．（24-25九年级下·河北沧州·期中）如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于点，于点．设点的运动时间为．
(1)用含的代数式表示的长；
(2)当点在边上时，求证：；
(3)当与全等时，直接写出的值．
【答案】(1)或
(2)见解析
(3)1或或8
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程等知识点，学会用分类讨论的思想思考问题是解题的关键．
（1）由题意分和两种情况列出代数式即可；
（2）由直角三角形的性质以及平角的性质即可解答；
（3）由全等三角形的性质分三种情况，分别列出方程求解即可．
【详解】（1）解：当点到点时，；
当点到点时，；
当时，在上，则，
；
当时，点在上，
，
．
的长为或；
（2）证明：，
，
，
，
，
．
（3）解：当点到点时，，
当点P到点C时，，
当点Q到点B时，，
当点Q到点A时，，
当时，点P在边上，点Q在边上，，
此时，则有，
，
，解得：；
当时，点P、Q都在边上时，，
此时，
，
，解得：；
当时，点Q到终点A停止不动，点P在边上此时两个三角形不全等；
当时，点Q到终点A停止不动，点P在边上，，
此时，
，
，解得：．
综上，当与全等时，的值为1或或8．
4．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，在中，的平分线交于点．点是边上的一个动点，过点作交边于点．设的度数为．
(1)如图，当点在线段上运动时（不与重合），作的外角的平分线，交的延长线于点．
①_____；（用含的代数式表示）
②当时，求的度数；
(2)类比（1）的思路，当点在线段上运动时（不与重合），作的外角的平分线，交直线于点（点不与点重合），求的度数．（用含的代数式表示）
【答案】(1)①；②
(2)或
【分析】本题主要考查了直角三角形两锐角互余、平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
（1）①直接根据直角三角形两锐角互余即可解答；②先求出，根据交平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质可求得、，再根据角平分线的定义求得，最后根据三角形外角的性质即可解答；
（2）当点P在线段上和点P在线段的延长线上两种情况，先求出，根据交平分线的定义可得，再根据平行线的性质可得，再根据三角形外角的性质可求得、或，再根据角平分线的定义求得，进而求得，最后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）解：①∵在中，，设的度数为，
∴；
②：∵，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵是的平分线，
∴，
∴．
（2）解：如图：当点P在线段上时，
∵在中，，设的度数为，
∴；
∵的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵是的平分线，
∴，
∴
∴．
如图：当点P在线段的延长线上时，
∵在中，，设的度数为，
∴；
∵的平分线交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵是的平分线，
∴，
∴
∴．
综上，的度数为或．
5．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，是边长是的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿，方向匀速移动，其中点P运动的速度是，点Q运动的速度是，当点P到达点B时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为，解答下列问题：
(1)在点P与点Q的运动过程中，当t为何值时，是等边三角形？
(2)在点P与点Q的运动过程中，当t为何值时，是直角？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握含的直角三角形的性质是解题关键．
（1）由等边三角形的性质列方程即可求解；
（2）结合是直角，由直角三角形的性质列方程即可求解．
【详解】（1）解：∵为等边三角形，
根据题意得，，
，
．
时，为等边三角形，
，
解得；
（2）解：根据题意得，，
，
∵，，
，
，
即，
解得；
当时，是直角．
6．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，的两条高与交于点O，，．
(1)若，则______；
(2)求的长；
(3)点F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t（秒），当与全等时，直接写出t的值．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）由三角形的高的概念可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，，由对顶角相等可得，进而可得，于是得解；
（2）由（1）得，，利用可证得，于是可得，由此即可求出的长；
（3）由三角形外角的性质可得，，进而可得，依题意得，，然后分两种情况讨论：①当点在线段上时；②当点在线段的延长线上时；分别利用全等三角形的性质列方程求解即可．
【详解】（1）解：的两条高与交于点O，
，
，，
又，
，
故答案为：；
（2）解：由（1）得：，，
在和中，
，
，
；
（3）解：，
，
，
依题意得：，，
点F是射线上一点，且，
分以下两种情况讨论：
①当点在线段上时，
，
当与全等时，点在的延长线上，如图所示：
此时，
，，
，
，
解得：；
②当点在线段的延长线上时，
，
当与全等时，点在线段上，如图所示：
此时，
，，
，
，
解得：；
综上，当与全等时，的值为或．
7．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，直线，平分，过点作交于点C．动点D，E同时从点A出发，其中动点E以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为．
(1)的度数为________；
(2)当点D沿射线运动时，若，求t的值；
(3)当动点D在直线上运动时，是否存在某个时间t，使得与全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．
【答案】(1)
(2)或4
(3)2或6
【分析】（1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题；
（2）作于，于．由平分，推出，由，，，可得，解方程即可解决问题．
（3）存在．由，，可知当时，，列出方程即可解决问题．
【详解】（1）解：如图1中，
，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：如图2中，
①当在线段上时，作于，于．
平分，
，
，，，
，
；
②当点运动到延长线上，同法可得时，也满足条件，
当或4时，满足；
（3）解：存在某个时间，使得与全等；理由如下：
由（1）知，，
是等腰直角三角形，
，，
当时，，
，
，
时，
当在延长线上时，，
解得：，
综上所述，满足条件的的值为2或6，
故答案为：2或6
1．（24-25八年级下·甘肃兰州·期末）在中，，是的中点，若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．据此解答即可．
【详解】解：∵在中，，是的中点，且，
∴，
即的长为．
故选：C．
2．（24-25八年级下·安徽六安·阶段练习）如图，中，点D在边上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．取的中点E，连接，根据直角三角形的性质可得，从而得到，，结合三角形外角的性质可得，然后三角形内角和定理可得的度数，即可求解．
【详解】解：如图，取的中点E，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B
3．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）某乡村旅居示范点计划在村内池塘上搭建小桥，如图所示，两条村内道路、互相垂直，道路的中点M与点C被湖隔开．若测得的长为2400，则M、C两点间的距离为（ ）

A．3600 B．2400 C．1200 D．600
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推出，即可解题．
【详解】解：、互相垂直，M为的中点，的长为2400，
，
故选：C．
4．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图，中，，是高，则与（ ）
A．互余 B．互补 C．相等 D．没有关系
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角的关系写出即可．
根据直角等于写出关系式，然后根据同角的余角相等即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵是高，
∴，
∴．
故选：C．
5．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键．
由题意易得三角形全等，然后根据全等三角形的性质可进行求解．
【详解】解：如图所示，
和为直角三角形，且，
∴，
，
∵，
∴，
故选：C．
6．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，直角三角形的性质，熟练掌握30度所对直角边等于斜边的一半是解题的关键．根据题意可知，根据30度所对直角边等于斜边的一半得出，由作图可得，即，再根据30度所对直角边等于斜边的一半得出，最后由即可得解．
【详解】解：∵在中，，，．
∴，
∴；
由作图可得，，即，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
7．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）中，，，则的度数为 ．
【答案】60
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余，结合已知构造方程组解得即可．
本题考查了直角三角形的性质，解方程组，熟练掌握解方程组是解题的关键．
【详解】解：根据题意，，
，
故，
两式相加，得，
解得，
故答案为：60．
8．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）如图，在中，是高，是角平分线，若，，则的度数为 ．
【答案】18
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的角平分线、直角三角形的两个锐角互余等知识．先根据三角形的内角和求出，再根据角平分线的定义求出，根据直角三角形的性质求出，进而求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴．
故答案为：18．
9．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，是边上的高，是边上的高，点F是两条高线的交点，若，，则 °
【答案】55
【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形的高等知识点，灵活运用三角形的内角和定理成为解题的关键．先根据三角形内角和定理求得，根据求解即可．
【详解】解：∵是边上的高，是边上的高，
，
，
，
，
故答案为：55．
10．（2025七年级下·河南郑州·专题练习）生活情境·滑滑梯 如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等，且左边滑梯水平方向的长度与右边滑梯的高度相等，若，则 ．
【答案】/58度
【分析】此题考查了全等三角形的应用，做题时要注意找已知条件，根据已知选择方法得出全等三角形是解题关键．
由已知可根据判定，再根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∵
∴
∴．
故答案为：．
11．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，直角顶点在直线上，过点、分别作直线的垂线，垂足分别为、求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了余角的性质，直角三角形两锐角互余：根据，可得，再利用垂直定义可得，从而可得，然后利用同角的余角相等即可求证．
【详解】证明：，
，
，
，
，
．
12．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，是的边上的高．
(1)利用尺规作图作的角平分线；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作图—基本作图，以及三角形内角和定理的应用．
（1）（1）利用尺规根据要求作出图形即可；
（2）利用三角形内角和定理可得，，再结合角平分线的定义可得，即可求解．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求；
（2）解：是的边上的高，
，
，
，，
，，
平分，
，
．
13．（24-25七年级下·河南驻马店·阶段练习）如图1，在中，，D是上一点，且．
(1)请说明；
(2)如图2，若平分，交于点F，交于点E，与相等吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了垂直的定义、对顶角相等、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．
（1）先求出，再根据等量代换可得，从而可得，由此即可得；
（2）先根据角平分线的定义可得，再求出，然后根据对顶角相等可得，由此即可得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
由（1）已得：，
∴，
∴，
由对顶角相等得：，
∴．
14．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）如图，中，，垂足为D，点E在边上，连接，且
(1)求证：；
在括号内填写相应的依据．
证明：，垂足为D，
（___________），
在中，（___________），
，
（___________），
（___________）；
(2)若，，求，的度数．
【答案】(1)垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，内错角相等，两直线平行
(2)，
【分析】（1）由垂直的定义，直角三角形的两个锐角互余，同角的余角相等，内错角相等，两直线平行求证即可得到答案；
（2）由平行线的性质得到，数形结合即可得到，再由代值求解即可得到，在中，由三角形内角和定理代值求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：，垂足为D，
（垂直的定义），
在中，（直角三角形的两个锐角互余），
，
（同角的余角相等），
（内错角相等，两直线平行）；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
在中，，
．
15．（24-25七年级下·北京·期末）乐乐与爸爸、妈妈在操场上荡秋千．乐乐坐在秋千上的起始位置是A处，起始位置与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面 1.2 m 高的处接住她，妈妈用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸到秋千起始位置的水平距离分别为 和．
(1)与全等吗？ 请说明理由；
(2)爸爸在距离地面多高的地方接住乐乐？
【答案】(1)，见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明是解答本题的关键．
（1）由直角三角形的性质得出，根据可证明；
（2）由全等三角形的性质得出，求出的长则可得出答案；
【详解】（1）解：．理由如下：
，
，
；
，
；
（2）解：∵，
；
∵分别为和，
，
；
∵妈妈在距地面 高的处，且，
∴爸爸在距离地面高的地方接住乐乐．
16．（24-25七年级下·山东济南·期中）已知中，，为边上的高，平分，分别交于点F、E．
(1)试说明；
(2)若，试着求出的度数；
(3)猜想与的数量关系：______（填“>”、“<”或“=”）．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)=
【分析】（1），为边上的高，得 ，，即得；
（2）根据， ，平分，可得；
（3）根据. . ，，即得．
【详解】（1）解：∵中，，
∴，
∵为边上的高，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴.
∵，
∴.
∵平分，
∴，
∴.
∵，
∴，
即．
故答案为：=．
17．（24-25七年级下·北京·期中）已知：如图，直线，直线与分别交于E、F两点．过F作射线交于点G，且，射线上有一动点P，过P作，交直线于点Q，作的角平分线，交射线于点M．
(1)如图1，求证：平分．
(2)如图2，当时，求的度数．
(3)当点P在运动过程中，试探究与的数量关系，请直接写出你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)或，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质定理、角平分线、直角三角形两锐角互余等知识点，熟练运用平行线的性质并进行等量代换是解题的关键．
（1）根据平行线的性质得出，再结合以及角平分线的定义即可解答；
（2）根据平行线的性质及直角三角形的性质求解即可；
（3）根据平行线的性质和角平分线的定义分点Q在线段的延长线上和点Q在线段上两种情况分别根据平行线的性质及直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）证明：如图1：∵，
∴，
∵，
∴，即平分．
（2）解：如图2：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴．
（3）解：或，理由如下：
如图2：当点Q在线段的延长线上时，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，即；
如图，当点Q在线段上，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
即，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，整理得：，
∴．
综上，与的数量关系为或．

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