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2.6 直角三角形（第二课时）
题型一：含30°的直角三角形与垂直平分线综合
1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图， 在中， ， ，的垂直平分线交于点D， 交于点 E，若， 则等于 （ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
4．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在中，，垂直平分为垂足，交于点E，若，则的长为（ ）
A．5 B． C．10 D．
5．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在中，垂足为点A，交于点D，过点D的直线m恰好垂直平分线段，，则的长是（ ）
A．12 B．15 C．18 D．20
6．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，中，，．、的中垂线、分别交、、于、、、．若，则的长度是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
7．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点D和E，，则的长为 ．
8．（2025·江苏扬州·二模）如图，在中，线段的垂直平分线分别交于点，连接，若，，则 ．
题型二：含30°的直角三角形与角平分线综合
1．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，的平分线交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在中，，，，平分交于点D，E为边上一点，则线段长度的最小值为 ．
3．（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图，在中，平分垂直平分，则的长为 ．
4．（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图，在中，，平分，垂直平分，，则的长为 ．
5．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，，平分，交于C．如果，那么点P到的距离等于 ．
题型三：含30°的直角三角形的实际应用
1．（24-25八年级下·广西来宾·阶段练习）如图，一辆货车为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图是某景区一段索道示意图，点A、B之间的距离为30米，，则缆车从点A到点B的过程中竖直上升的高度（的长）为（ ）
A．60米 B．45米 C．30米 D．15米
3．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图所示的是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中分别表示一楼，二楼地面的水平线，的长是．则乘电梯从点到点上升的高度是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
4．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若的长为米，则乘电梯从点到点上升的高度为 米．
5．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要 元．
6．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若，．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度应为，求出距离地面的高度是 ．
7．（2025·广东深圳·二模）某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为3米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端升高了 米．

8．（24-25八年级上·北京·期中）如图1是某市地铁入口的双闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘，且与闸机侧立而夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为 cm．

9．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图所示，有一根垂直于地面的松树在处断裂，松树顶部落在地面处，通过测量可知，且松树断裂处与地面的距离的长为6米，则松树断裂前的高为 米．
题型四：含30°的直角三角形中尺规作图问题
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
2．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线，分别交于点D和点E．若，则长为（ ）
A．8 B．10 C． D．
3．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以顶点C为圆心，的长为半径画弧，交于B，D两点；②分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E：③作射线交于点F．若，，则的长为 ．
4．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，连接，交于点D，连接，若，则的长度为 ．
5．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，连接并延长交于点D，若，则 ．
6．（2025·山东聊城·三模）如图，在中，，，，点P为上一点，点Q为上一点，且，分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，若恰好经过的中点，则的长为 ．
7．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点O；③作射线，交于点D．若，则的长为 ．
8．（2025·江西赣州·二模）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，适当的长为半径作弧，两弧相交于、两点，直线交于点，连结．若，则 ．
题型五：含30°的直角三角形中的简单证明题
1．（24-25八年级下·广东河源·期中）如图，在中，，是的中点，交于点．求证：．
2．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，点为的中点，连接，求证：是等边三角形．
3．（24-25八年级下·甘肃平凉·阶段练习）如图，中，，线段平分交于点E，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：．
4．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图， 中，，，，， 点F 是与的交点，点M 是的中点，过点 A 作 交 延长线于点 H．
(1)试判断与 的数量关系并说明理由；
(2)求证：．
5．（24-25八年级上·甘肃定西·期中）如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，，过点作，交直线于点求证：．
6．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）如图，在等边中，D、E分别是、上的点，且，与交于点F．
(1)求证：；
(2)作，垂足为G，求证：．
7．（2024八年级上·全国·专题练习）如图：在中，，，与相交于点，于．求证：
(1)；
(2)．
题型六：含30°的直角三角形中综合应用
1．（24-25九年级上·江西宜春·期末）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F．
(1)证明：是等腰三角形；
(2)若，求的长．
2．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，是中线，是角平分线，是高，，，，
(1)的长
(2)的度数．
(3)的度数．
(4)是多少？
3．（23-24八年级下·四川巴中·期中）如图，在中，，平分，于E，连接，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
4．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，交于点D，
(1)求证：．
(2)若，求的面积．
5．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．

(1)求证：；
(2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长．
6．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，，，，连接，，，与相交于点O．
(1)求证：；
(2)若，，，，求线段的长．
7．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在等边中，D是边上的一点，点E在边的延长线上．

(1)若，D为的中点，求证：．
(2)过点D作于点M，在（1）的条件下，当时，求的长．
8．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图，是等边三角形，E，F分别是边上的点，且且交于点P，且垂足为G．
(1)求证：；
(2)若求的长度．
9．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在中，，平分，于，连接，交于点．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
10．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）已知，如图，为等边三角形，，、相交于点
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)若于，，，求的长.
11．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，在右侧作等边三角形．
(1)求的度数；
(2)若，求的长度．
12．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在四边形中，，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F，点G在边上，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接，若，求的长．
题型七：含30°的直角三角形尺规作图综合应用
1．（24-25八年级下·山西运城·期末）已知：如图，中，点边上的一点，连接，点是的中点．
(1)实践与操作：过点作直线于点，交于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)推理与计算：若，且平分，，直接写出两点之间的距离（若完成（1）题有困难，可直接画草图完成（2）题）．
2．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，平分，交于点P．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线l（要求：保留作图痕迹，不写作法）．
(2)记直线l与，的交点分别是点E，F．
①求证：；
②当时，求EF的长．
3．（2025·广东珠海·三模）如图，在中，．
(1)尺规作图：过点C作斜边边上的高，垂足为D；（不写作法，只保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
4．（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，在中，．
(1)尺规作图：在边上作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若点在边上，，过点作于点，连接，求证：．
5．（2025·浙江衢州·一模）如图1，．在图1中，用无刻度的直尺和圆规作，使．
(1)若线段a长如图2所示，请作出所有满足条件的三角形；
(2)若这样的三角形只能作一个，请直接写出一个满足条件的a的值．
6．（23-24八年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，在直角中，．
(1)尺规作图：作的平分线，交于点，在上截取，连接（只保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，，求的长．
7．（2025·浙江舟山·三模）如图，在中，，．
(1)用尺规作图：在边上找一点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，求证：．
8．（2025·广东云浮·一模）如图，在中，，
(1)实践与操作：用尺规作图法在边上找一点D，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：在（1）的条件下，若平分，，求线段的长．
9．（2025·广东汕头·一模）如图，中，．
(1)实践与操作：用尺规作图法作线段的垂直平分线，交于点Q；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的长．
题型八：利用直角三角形的判定定理求角度
1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八年级上·全国·专题练习）裁剪师傅将一块长方形布料沿着折叠，使点落在边上的点处，若，则 ．
3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中，在边上，在边上，，则的大小为 度．
4．（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，使得点落在边上的点处，则的度数为 ．

题型九：利用直角三角形的判定定理判定是否为直角三角形
1．（2025七年级下·全国·专题练习）满足下列条件的不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
4．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）已知的三个角分别是、、，下列选项中：①；②；③，④，⑤，不能判断是直角三角形的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（24-25八年级上·吉林·期中）下列条件不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，
题型一：含30°的直角三角形最值问题
1．（24-25七年级下·江苏·期末）如图，在等边中，为边上的中线，．将沿着射线方向向下平移得，连接，，则的最小值为 ．
2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接．在点运动的过程中，线段的长的最小值为 ．
3．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，在中，，为上一点，且为等边三角形，．点是边上的一个动点，连结，以为边在左侧作一个等边，连结．在整个运动过程中，的最小值是 ．
4．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ．
5．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，四边形是长方形，，，若点是对角线上的一个动点，点是边上的一个动点，则的最小值 ．
6．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，，点是边上的点，，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若点是直线上的动点，则的最小值是 ．
7．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在四边形中，，，且，则的最大值为 ．
8．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为 ．
题型二：含30°的直角三角形多结论问题
1．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，，平分交于点，于点．下列结论：；；；．其中正确的有（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川南充·三模）如图，在中，，，点为的中点，以为圆心，画两条半径不相等的弧，分别与，交于点，和点，，连接与交于点，作射线，分别与，交于点，，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知和都是等边三角形（A，B，D共线）．下列结论，①；②；③；④是等边三角形；⑤；⑥平分；⑦平分；⑧．其中错误的有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，作直线分别与交于点E，F，连接；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点H，G，再分别以点H，G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线．若射线恰好经过点E，则下列四个结论，正确的个数是（ ）
①；②垂直平分线段；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，平分交于点F，平分交于点E，、相交于点G，交的延长线于点D，连接．当时，下列结论中正确的有（　　）
①若，则；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ）
①是的平分线；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线相交于点O．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④点M、N分别在线段上，且，则，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
题型三：直角三角形判定定理综合应用
1．（24-25七年级下·安徽池州·期末）把一块含角的直角三角尺（其中，）按下图所示的方式摆放在两条平行线，之间．
(1)如图1，若三角形的角的顶点落在上，且，求的度数．
(2)如图2，若把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上，与的数量如何？说明理由．
2．（24-25七年级下·四川成都·期末）在中，．
(1)当时，
①如图1，作边的垂直平分线，交于点D，交于点E．若，求的长；
②如图2，为的角平分线，在边上取一点G，使得，求的度数；
(2)如图3，作于点H，平分，交于点M，点N在边上，连接，若，，试探究与的数量关系并说明理由．
3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）在中，点是的中点，于点，与交于点，且．
(1)如图1，当点为的中点时，
①求证：是等边三角形；
②___________；
(2)如图2，判断与的数量关系，并说明理由．
4．（24-25七年级下·广东深圳·期末）几何探究：
已知：利都是等边三角形，连接，交于点．
(1)如图1，①判断与的数量关系：_______________．______________：
②连接与的数量关系是：______________；
(2)如图2，H，G分别是，的中点，
①当时，______________；
②当发生变化时，请探究的度数是否发生变化，并说明理由：
(3)连接，求的值．
5．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）在中，点为上一点，为上一点，连接、、，已知．
(1)如图1，若，求的度数．
(2)如图2，点是的中点，过点作的垂线，分别交于点，交于点，交于点．求证：．
(3)如图3，中，若，为线段上一点，为线段上一点，且，点在下方，若，，连接，当取最小值时，直接写出的长度．
6．（24-25八年级下·全国·期中）已知，是等边三角形，，将一块含有角的直角三角板如图放置，让等边三角形向右平移(只能在上移动)，如图(1)，当点E与点B重合时，点A恰好落在直角三角板的斜边上．
(1)若点C平移到与点F重合，求等边三角形平移的距离．
(2)等边三角形在向右平移过程中，，与三角板斜边的交点分别为G，H，连接交于点P，如图(2)．
①求证：．
②若，则　　_　．
③判断的长是否会发生变化．如果不会变化，请求出的长；如果会变化，请说明理由．
题型四：直角三角形判定定理中实践探究问题
1．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题提出：如图1，点为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：．

（2）尝试应用：如图2，点为等腰外一点，，，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点、，与交于点，，，求证：．
（3）问题拓展：如图3，中，，点，分别在边，上，，，交于点，等边的边与相交于点．若，，请直接写出的长度．
2．（24-25九年级下·北京·阶段练习）在中，，，点在边上，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在边上．
(1)如图1，点与点重合，，求证：是的中点；
(2)如图2，点在的延长线上时，作交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
3．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那么我们称这个三角形为“近直角三角形”．
(1)在中，，则___________“近直角三角形”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，若是“近直角三角形”，，，则___________；
(3)如图②，在中，，在的延长线上是否存在点，使得是“近直角三角形”？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
4．（24-25八年级下·山东青岛·期中）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用，分别表示和的面积．
则，，
∴
【性质应用】
(1)如图②，是的边上的一点．若，，则
______；
(2)如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______，______；
(3)如图③，在中，，分别是和边上的点，若，，，则______．
(4)在中，，，是边上的高．
求：①与的面积之比；
②若，求和的具体值．
5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）回归教材
教材上通过对两个含角的三角板的摆放，得到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质．小涵受此启发，给出如下不完整的证明过程．
已知：如图，在中，．求证：． 证明：如图，延长至点，使，连接． ， 垂直平分， ． ……
（1）请补全剩余的证明过程．
知识应用
（2）如图1，用两个大小不等的直角三角板作拼图，小三角板的斜边与大三角板的直角边正好重合．若，，则的长为________．
（3）如图2，在（2）的条件下，若将小三角板沿着射线方向平移，设平移的距离为，当点平移到大三角板的边上时，求出的值．
6．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题情境】
在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线，为背景开展数学活动．如图，已知两直线且，在中，，．
【解决问题】
（1）如图1，若，求的度数；
【深入探究】
（2）如图2，当的度数不变时，创新小组的同学把直线向上平移，求的度数；
【拓展应用】
（3）创意小组将图形继续变化得到图3，若平分，求的度数．
7．（24-25七年级下·广东深圳·期末）综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课．
【活动一】情境再现，明晰原理
示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？
作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短．
示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
【活动二】感悟方法，尝试应用
如图2，在等边三角形中，是的中线．
①直接写出与的数量关系__________________：
②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值；
【活动三】迁移拓展，综合应用
如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值．
8．（2025·江西新余·一模）【课本再现】
（1）课本上通过对两个含角的三角板的摆放，得到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质．小涵受此启发给出如下不完整的证明过程：
已知：如图，在中，，．求证：．
证明：如图，延长至点，使，连接，，垂直平分，……
请补充上述证明过程．
【知识应用】
（2）如图1，用两个大小不等的直角三角板作拼图，小三角板的斜边与大三角板的短直角边正好重合，已知：，．
①的长为_____；
②如图2，若将小三角板沿着射线方向平移，设平移的距离为（平移距离指点沿方向所经过的线段长度）．当点平移到大三角板的边上时，直接写出相应的的值．
9．（24-25八年级下·山西运城·期中）综合与探究
【问题情境】如图1，已知是等边三角形，，D是边的中点，以为边，在外部作等边三角形．
【操作探究】将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点A，D，E的对应点分别为点，，．
（1）如图2，善思小组的同学画出了时的情形，求此时平移的距离；
（2）如图3，F是的中点，在线段上（不与点C重合），连接交于点O，敏学小组的同学发现始终成立，请你证明这一结论；
【拓展延伸】
（3）在平移的过程中，当以F，，为顶点的三角形成为直角三角形时，直接写出平移的距离．
10．（24-25八年级下·山西晋中·期中）阅读与思考
下面是果果同学的数学日记片段，请认真阅读并完成相应的任务．
3月28日 星期五 晴 对含角的三角形的进一步探索 在复习第一章《三角形的证明》时，我发现在基本的几何图形中，通过增加新的几何元素，会出现新的结论．下面是我对含角的三角形进行的一些探究．如图1，在中，，． 【初步探究】 如图2，在图1的基础上，作的角平分线，可以得到． 如图3，在图1的基础上，作边的垂直平分线分别交边于点D，E，也可以得到． 【深入探究】 如图4，在图1的基础上，作的高线，发现了线段与的数量关系． 【拓展延伸】 如图5，在中，，，我发现利用上面的探究结论可以用尺规作图找到边的三等分点．
任务：
(1)求证：（从图2、图3中选择一个进行证明即可）；
(2)请直接写出图4中线段与的数量关系；
(3)请在图5中找到边的一个三等分点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，过点作，分别交、于点，若，则的长为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
2．（24-25八年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，，．以点C为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点H．，Q是边上一动点，则点之间的最小距离为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
3．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，交于点．若，，则长为（ ）
A． B． C．5 D．4
4．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，小丽在荷塘边观看荷花，她把一株竖直的荷花拉到岸边，花柄正好与水面成夹角，测得长，则长为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，点D在上，，延长至点E，使，过点E作于点F，交于点G，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，中，，是的角平分线，点在的垂直平分线上，若，则 ．
7．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，．平分，交于点，，垂足为点；平分，交于点，，垂足为点．若，则 ．
8．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，正三角形的面积是2，O为三角形的中心（三条中线的交点），点D、E分别在边、上，且，则阴影部分的面积为 ．
9．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期中）如图，是等边三角形，于点D，于点E，若，则的长度为 ．
10．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，点为等边内一点，过点分别向，，边作垂线，垂足分别为，，；若，，，则的值为 ．
11．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，．用尺规作图法，在边上求作一点，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）．
12．（24-25八年级下·全国·期中）已知在中，的平分线交于点D，．
(1)如图1，求证：是等腰三角形；
(2)如图2，若平分交于E，，在边上取点F使，若，求的长．
13．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是边的垂直平分线，点O在上，．
(1)求证：是等边三角形；
(2)若，求的长．
14．（24-25七年级下·河南驻马店·期中）一艘客轮由西向东行驶，在A点处测得距灯塔的距离为，前进方向与直线夹角为．
(1)分别用方向和距离描述灯塔相对于客轮的位置和客轮相对于灯塔的位置？
(2)如果在灯塔的周围的范围内有暗礁，客轮若不改变方向有没有触礁的危险．（温馨提示：按照适当的比例画图测量换算）
15．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，是等边三角形，，点从点开始以的速度向点运动，点从点开始以的速度向点运动，两点同时出发，当有一点到达目标点时另一点也随之停止运动，连接，设运动的时间为，请解答下面的问题：
(1)用含的代数式表示：_____，_____；
(2)当为何值时，是直角三角形？
16．（24-25八年级下·广东深圳·期中）已知：中，，点为上一点，连接并延长至点，连接，使．
(1)【初步探究】如图，当时，求证：．为了解决这一问题，八年级班数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：“在上截取，连接，如图，通过证明可推出，再证出为等边三角形，从而顺利得到这一结论”，请你按照该思路写全证明过程；
(2)【深入领会】如图，当时，（）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出结论： ；
(3)【问题解决】如图，在（）的条件下，在上截取，连接，点在上，连接，且，，，求的长．中小学教育资源及组卷应用平台
2.6 直角三角形（第二课时）
题型一：含30°的直角三角形与垂直平分线综合
1．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，已知在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质等知识，根据线段垂直平分线的性质，得出，根据等边对等角得出，根据三角形外角的性质求出，然后根据含角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：连接，
∵是垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
故选：A．
2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，，的垂直平分线交于点D，交于点E，若，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质．连接，根据线段垂直平分线的性质可得，从而得到，再结合直角三角形的性质可得，，从而得到，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
∵垂直平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A
3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图， 在中， ， ，的垂直平分线交于点D， 交于点 E，若， 则等于 （ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
【答案】B
【分析】本题考查垂直平分线的性质，由垂直平分线的性质得为等腰三角形是解决本题的关键 ．
根据为的垂直平分线，即线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等，可得为等腰三角形，即可求解的度数，再结合的直角三角形的性质即可求解 ．
【详解】解：因为的垂直平分线交于点D，
所以可得，即为等腰三角形，
所以，
又因为 ，
所以，
又因为，
所以，
所以，
则在中，，
所以 ．
故选：B ．
4．（24-25八年级下·辽宁本溪·期末）如图，在中，，垂直平分为垂足，交于点E，若，则的长为（ ）
A．5 B． C．10 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的外角定理，含角的直角三角形的性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
先利用线段垂直平分线的性质和外角定理得出，再利用含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
5．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在中，垂足为点A，交于点D，过点D的直线m恰好垂直平分线段，，则的长是（ ）
A．12 B．15 C．18 D．20
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，含的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．直线恰好垂直平分线段，得到，由，，利用三角形的内角和定理求出，再根据含的直角三角形的性质，求出，最后根据即可得解．
【详解】解：直线恰好垂直平分线段，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
6．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，中，，．、的中垂线、分别交、、于、、、．若，则的长度是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边对等角，连接，，根据线段垂直平分线的性质可知，，，故可得出，即，再由三角形外角的性质求出的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：如图所示，连接，，
中，，，
．
是的垂直平分线，，
，
∴，
，即．
是的垂直平分线，
，
，
，
在中，，
，即．
故选：B．
7．（24-25八年级下·全国·期中）如图，在中，，线段的垂直平分线交于点D和E，，则的长为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得，，则有，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
故答案为：6．
8．（2025·江苏扬州·二模）如图，在中，线段的垂直平分线分别交于点，连接，若，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、等边对等角、直角三角形的性质等知识点，掌握30度角所对的直角边是斜边的一半成为解题的关键．
设，由垂直平分线的性质以及等边对等角可得，再根据三角形外角的性质可得，然后由直角三角形两锐角互余可得，解得：，即；最后根据30度角所对的直角边是斜边的一半即可解答．
【详解】解：设，
∵线段的垂直平分线分别交于点，连接，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，解得：，
∴，
∴．
故答案为：．
题型二：含30°的直角三角形与角平分线综合
1．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，在中，，，的平分线交于点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，由三角形内角和定理可得，又平分，则，通过直角三角形性质可得，最后通过等角对等边即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在中，，，，平分交于点D，E为边上一点，则线段长度的最小值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，垂线段最短，含30度直角三角形的性质等知识；过D作于点F，则当E与F重合时，最小，最小值为线段的长，再由角平分线性质定理、含30度直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图，过D作于点F，
则当E与F重合时，最小，最小值为线段的长；
∵，，
∴，
∵平分，
∴，，
∴；
∵，
∴，
即，
∴，
即的最小值为2．
故答案为：2．
3．（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图，在中，平分垂直平分，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质得到，则可得到，据此可得．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
4．（24-25八年级下·江西上饶·期末）如图，在中，，平分，垂直平分，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质得到，则可得到，据此可得．
【详解】解：∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，，平分，交于C．如果，那么点P到的距离等于 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相关定理是解题的关键．过点P作于点D，于点E，根据角平分线性质定理可得，然后证明，即得，再根据直角三角形的性质可得，即得答案．
【详解】解∶ 过点P作于点D，于点E，
平分，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
即点到的距离等于3．
故答案为：3．
题型三：含30°的直角三角形的实际应用
1．（24-25八年级下·广西来宾·阶段练习）如图，一辆货车为了方便装运货物，使用了三角形钢架，已知，，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据所对直角边是斜边的一半即可求解，熟练掌握所对直角边是斜边的一半是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：．
2．（24-25八年级下·湖南郴州·期末）如图是某景区一段索道示意图，点A、B之间的距离为30米，，则缆车从点A到点B的过程中竖直上升的高度（的长）为（ ）
A．60米 B．45米 C．30米 D．15米
【答案】D
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，根据 30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可．
【详解】解：在中，，米，
则米，
故选：D．
3．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图所示的是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中分别表示一楼，二楼地面的水平线，的长是．则乘电梯从点到点上升的高度是（ ）
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
【分析】本题考查的是直角三角形性质，熟练掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键，先求出，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半求出即可解决．
【详解】解：作，交延长线于点E，
，
，
的长是，
，
则乘电梯从点到点上升的高度是，
故选：B．
4．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）如图是某商场一部手扶电梯的示意图，若的长为米，则乘电梯从点到点上升的高度为 米．
【答案】
【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，掌握添加合理的辅助线，构造直角三角形，运用含角的直角三角形的性质是解题的关键．根据题意，过点作延长线于点，则，可得，运用含角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作延长线于点，则，
∵，
∴，
∴在中，（米），
∴点到点上升的高度米，
故答案为： ．
5．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要 元．
【答案】
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到三角形的面积公式，含30度角的直角三角形的性质，关键在于作出边上的高，根据相关的性质推出高的长度，正确的计算出的面积．作边的高，设与的延长线交于点，则，由，即可求出，然后根据三角形的面积公式即可推出的面积为，最后根据每平方米的售价即可推出结果．
【详解】解：如图，作边的高，设与的延长线交于点，
，
，
，，
，
，
，
每平方米售价元，
购买这种草皮的价格：元．
故答案为：．
6．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若，．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度应为，求出距离地面的高度是 ．
【答案】40
【分析】本题主要考查了等边对等角、三角形内角和、直角三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
如图：作于E，根据等腰直角三角形的性质可得，再求得，再运用所对的直角边等于斜边的一半即可解答．
【详解】解：如图：作于E，
∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为40．
7．（2025·广东深圳·二模）某停车场采用先进的车辆识别系统，车辆进出时被系统自动识别后栏杆抬起（如图1）．已知停车场入口的栏杆的长度为3米（如图2所示），栏杆从水平位置绕点顺时针旋转到的位置，在旋转过程中，当栏杆的旋转角为时，栏杆端升高了 米．

【答案】/1.5
【分析】本题考查了含角的直角三角形定义，熟悉掌握此定义是解题的关键．
过点作于点，即可根据含角的直角三角形中，角所对的边是斜边的一半解答．
【详解】解：过点作于点，如图所示：

∵，，
∴，
故答案为：．
8．（24-25八年级上·北京·期中）如图1是某市地铁入口的双闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘，且与闸机侧立而夹角，求当双翼收起时，两机箱之间的最大宽度为 cm．

【答案】55
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、线段的和差等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键．
如图：过点A作，垂足为E，过点B作，垂足为F，根据垂直定义可得：，然后分别在和中，利用含30度角的直角三角形的性质求出和的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：如图：过点A作，垂足为E，过点B作，垂足为F，

∴，
∵，
∴，
∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为，
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体最大宽度．
故答案为：55．
9．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图所示，有一根垂直于地面的松树在处断裂，松树顶部落在地面处，通过测量可知，且松树断裂处与地面的距离的长为6米，则松树断裂前的高为 米．
【答案】18
【分析】本题考查了直角三角形的性质，由题意可得，米，，由直角三角形的性质可得米，即可得解．
【详解】解：由题意可得，，米，，
∴米，
∴松树断裂前的高为米，
故答案为：．
题型四：含30°的直角三角形中尺规作图问题
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，，，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，直角三角形的性质，熟练掌握30度所对直角边等于斜边的一半是解题的关键．根据题意可知，根据30度所对直角边等于斜边的一半得出，由作图可得，即，再根据30度所对直角边等于斜边的一半得出，最后由即可得解．
【详解】解：∵在中，，，．
∴，
∴；
由作图可得，，即，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
2．（24-25八年级下·山西晋中·期末）如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线，分别交于点D和点E．若，则长为（ ）
A．8 B．10 C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，连接，如图，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，再由作法得垂直平分，所以， 所以， 从而得到， 然后根据含度角的直角三角形三边的关系求的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
由作法得垂直平分，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故选：B.
3．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，按以下步骤作图：①以顶点C为圆心，的长为半径画弧，交于B，D两点；②分别以点B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E：③作射线交于点F．若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，得到，，根据直角三角形的性质求出，再根据含30度角的直角三角形的性质计算即可．
【详解】解：由尺规作图可知：是线段的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
4．（23-24八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，连接，交于点D，连接，若，则的长度为 ．
【答案】20
【分析】本题主要考查垂直平分线的定义和含角的直角三角形性质，根据题意知为的中垂线，得到，结合题干给定的角度可求得，进而求得，即可求得答案．
【详解】解：由题意得为的中垂线，则，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
则，
故答案为：20．
5．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，连接并延长交于点D，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查基本作图—作角平分线，含30度角的直角三角形，等角对等边.
根据题意，得到平分，进而得到，利用含30度角的直角三角形的性质以及等角对等边得到，即可．
【详解】解：∵，
∴，
由题意，得：平分，
∴，
∴，
在中，，
∴.
故答案为：．
6．（2025·山东聊城·三模）如图，在中，，，，点P为上一点，点Q为上一点，且，分别以点P，Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线，若恰好经过的中点，则的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形、垂直平分线的性质、等边三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设的中点为，连接，由，得到，根据中点的定义得到，由作图可得直线是的垂直平分线，则有，通过计算可得，推出是等边三角形，得到，即可求出的长．
【详解】解：如图，设的中点为，连接，
，，
，
的中点为，
，
由作图可得，直线是的垂直平分线，
恰好经过的中点，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
．
故答案为：2．
7．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点O；③作射线，交于点D．若，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、角平分线的尺规作图、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
如图：过D点作于H点，由题中作法得平分，根据得，根据含直角三角形的性质，再根据线段的和差即可解答．
【详解】解：如图：过D点作于H点，
由题中作法得平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
8．（2025·江西赣州·二模）如图，在中，，，分别以点和点为圆心，适当的长为半径作弧，两弧相交于、两点，直线交于点，连结．若，则 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形外角定理，等边三角形的判断和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质．
根据尺规作图可知，垂直平分线段，然后根据角的度数确定为等边三角形，即可得出答案．
【详解】解：根据尺规作图可知，垂直平分线段，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
故答案为：2．
题型五：含30°的直角三角形中的简单证明题
1．（24-25八年级下·广东河源·期中）如图，在中，，是的中点，交于点．求证：．
【答案】见详解
【分析】本题考查了三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，等边对等角，度角的直角三角形，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边对等角，得，根据三角形内角和性质得，再结合交于点．是的中点，得是的垂直平分线，则，，运用度角所对的直角边是斜边的一半，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，，
∵交于点．是的中点，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
在中，，
则，
∵，
∴．
2．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图，在中，，点为的中点，连接，求证：是等边三角形．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形的性质，由三角形内角和定理可得，由含30度角的直角三角形的性质可得，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，则，据此可证明结论．
【详解】证明：∵在中，，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形．
3．（24-25八年级下·甘肃平凉·阶段练习）如图，中，，线段平分交于点E，连接，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据三角形的内角和定理，角平分线定义可求出，然后根据等角对等边即可得证；
（2）根据平行线的性质可得出，根据含角的直角三角形的性质可得出，，结合（1）中即可得证．
【详解】（1）证明：
，
平分，
，
，
．
（2）证明：，
，
，
，
，
又，
．
4．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图， 中，，，，， 点F 是与的交点，点M 是的中点，过点 A 作 交 延长线于点 H．
(1)试判断与 的数量关系并说明理由；
(2)求证：．
【答案】(1)，见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接，证明垂直平分，得出，证明，得出，即可证明结论；
（2）由（1）可得，根据直角三角形的性质得出，即可得出答案．
【详解】（1）解：；理由如下：
连接，如图所示：
∵，，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵M为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
．
（2）证明：由（1）可得，
∵在中，，
∴，
∵，
∴．
5．（24-25八年级上·甘肃定西·期中）如图，在等边三角形中，点，分别在边，上，，过点作，交直线于点求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，直角三角形角所对直角边等于斜边一半，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据等边三角形的性质得到，再根据平行线的性质得到，因为，所以可得到，即可证明．
【详解】证明：∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
6．（24-25八年级上·四川绵阳·期中）如图，在等边中，D、E分别是、上的点，且，与交于点F．
(1)求证：；
(2)作，垂足为G，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直角三角形的性质以及等边三角形的性质等知识，
（1）由等边三角形的性质得，，再证出，进而即可得解；
（2）由，可得，由，可得，再由直角三角形的性质即可得解；
熟练利用全等三角形的判定得出是解题关键．
【详解】（1）解：是等边三角形，
，，
在和中
，
，
；
（2）证明：，垂足为，
，
．
，
，
∴．
7．（2024八年级上·全国·专题练习）如图：在中，，，与相交于点，于．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定及性质及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
（1）由已知可得是等边三角形，从而得到，根据即可判定；
（2）根据全等三角形的性质可得到，再根据外角的性质即可求得，即可得出，根据含30°角的直角三角形的性质即可得结论
【详解】（1）证明：∵，
∴是等边三角形，
∴，
在和中，，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
题型六：含30°的直角三角形中综合应用
1．（24-25九年级上·江西宜春·期末）如图，是等腰三角形，，点D是上一点，过点D作交于点E，交的延长线于点F．
(1)证明：是等腰三角形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)13
【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）等边对等角，结合等角的余角相等，对顶角相等，得到即可；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，证明为等边三角形，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，，，
∴，为等边三角形，
∴，
∴．
2．（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在中，是中线，是角平分线，是高，，，，
(1)的长
(2)的度数．
(3)的度数．
(4)是多少？
【答案】(1)6
(2)
(3)
(4)3
【分析】本题考查三角形的中线，角平分线，和高线，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关定义和性质，是解题的关键：
（1）根据含30度角的直角三角形的性质，求解即可；
（2）根据三角形的内角和定理，求出的度数，角平分线求出的度数；
（3）根据三角形的外角结合三角形的内角和定理进行求解即可；
（4）直接利用三角形的面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵是高，
∴，
∵，，
∴；
（2）∵在中，是角平分线，，，
∴，
∴；
（3）由（1）（2）知：，，
∴，
∴；
（4）∵在中，是中线，是高，，
∴，
∴．
3．（23-24八年级下·四川巴中·期中）如图，在中，，平分，于E，连接，交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握30度角所对的直角边等于斜边一半是解题关键．
（1）利用“”证明出，即可得出结论；
（2）证明是等边三角形，根据等边三角形三线合一的性质，得到，，再利用30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可．
【详解】（1）证明：，，
，
平分，
，
在和中，
，
，
（2）解：，，
是等边三角形，
，
平分，
，，
，，
，
在中，，
．
4．（23-24八年级上·广东汕头·期中）如图，中，交于点D，
(1)求证：．
(2)若，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)18
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，直角三角形的性质，
（1）根据等腰三角形的性质得，再求出，进而得出，然后根据直角三角形的性质得，则答案可得；
（2）作，根据直角三角形的性质得，再由（1）得，然后根据得出答案．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵交于点D，
∴，
∴．
∵在中，，
∴，
∴；
（2）解：过点A作于点E，
∴．
∵，
∴，
由（1）可知，
∴．
5．（24-25八年级上·广东汕头·期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．

(1)求证：；
(2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)36
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质、含的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据等边三角形的性质得到，，再根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可证明；
（2）由，，得出为直角三角形，，再根据，得出，进而求出的长，进而求解．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，是中线，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴为直角三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴的周长为：．
6．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，点A、F、C、D在同一条直线上，，，，连接，，，与相交于点O．
(1)求证：；
(2)若，，，，求线段的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由，易得，由，易得，又根据，即可推出；
（2）先证明，得，所以，再根据，，易得，所以，即可求出线段的长．
【详解】（1）证明：，
，
，，
，即，
；
（2）解：由（1）可知，，
，，
，
，
，
，
又，，
，
，
，，
，
．
7．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在等边中，D是边上的一点，点E在边的延长线上．

(1)若，D为的中点，求证：．
(2)过点D作于点M，在（1）的条件下，当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质，是解题的关键：
（1）三线合一，等边对等角，得到，三角形的外角求出，即可得证；
（2）作于点，三线合一结合含度角的直角三角形的性质推出，即可得解．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）作于点，如图，

∵，
，
，，
，
，
，
．
8．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）如图，是等边三角形，E，F分别是边上的点，且且交于点P，且垂足为G．
(1)求证：；
(2)若求的长度．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由等边三角形的性质得到，再证明，即可得出结论；
（2）求出，得到，即可求解．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
在与中，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴在中， ，
∵，
∴．
9．（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在中，，平分，于，连接，交于点．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，含度角的直角三角形，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及含度角的直角三角形的性质是解决此题的关键．
（1）根据证明，即可得到结论；
（2）根据题意得到，即可得到，进而证明是等边三角形，得到，根据的直角三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解∶∵平分，，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
10．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）已知，如图，为等边三角形，，、相交于点
(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)若于，，，求的长.
【答案】(1)见解析；
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以，含角直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形性质和全等三角形判定与性质是解题的关键．
（1）要证明，根据等边三角形性质可知，，又已知，利用全等三角形判定定理（SAS）来证明．
（2）利用（1）中全等三角形的性质，得到，再结合三角形外角性质，将转化为与等边三角形内角相关的角来求解．
（3）先由（1）知，再根据（2）中以及，得出，利用含直角三角形的性质求出，进而求出（即）的长．
【详解】（1）证明：是等边三角形，
，，
又，
．
（2）解：，
，
是的外角，
，
，
是等边三角形，，
．
（3）解：，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
由（1）知，
．
11．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，在右侧作等边三角形．
(1)求的度数；
(2)若，求的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定和性质是关键．
（1）根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质进行解答即可；
（2）作于点E．，得到，即可得到答案．
【详解】（1）解：，，
．
为等边三角形，
，
，
，
（2）如图，作于点E．
，，，
．
，
．
，
，
．
12．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在四边形中，，E是的中点，连接并延长交的延长线于点F，点G在边上，且．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)连接，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线性质，等腰三角形性质和判定，直角三角形性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）结合平行线性质得到，即可证明是等腰三角形；
（2）连接，根据等腰三角形性质得到，利用平行线性质推出，再结合直角三角形性质求解，即可解题．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
即是等腰三角形；
（2）解：连接，
，E是的中点，
，
，
，
，
，
，
．
题型七：含30°的直角三角形尺规作图综合应用
1．（24-25八年级下·山西运城·期末）已知：如图，中，点边上的一点，连接，点是的中点．
(1)实践与操作：过点作直线于点，交于点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）；
(2)推理与计算：若，且平分，，直接写出两点之间的距离（若完成（1）题有困难，可直接画草图完成（2）题）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查复杂作图---作垂线，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，正确作图是解答本题的关键．
（1）以点为圆心，任意升为半径画弧，交于点，分别以为圆心大于的长为半径画弧，两弧交于点，过作直线，则直线即为所求；
（2）设直线与交于点，证明是等边三角形，得，点为的中点，，连接，则为的中位线，由中位线定理可求出．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求；
；
（2）解：设直线与交于点，
∵平分，且，
∴，
∵，即，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，即为的中点，
连接，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴．
2．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，，，平分，交于点P．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线l（要求：保留作图痕迹，不写作法）．
(2)记直线l与，的交点分别是点E，F．
①求证：；
②当时，求EF的长．
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）①根据含30度角的直角三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，则．
②连接，由题意可得为等边三角形，则，．由线段垂直平分线的性质可得，则，由角平分线的定义可得和角度的计算可得，根据等角对等边即可得到结果．
【详解】（1）解：如图，直线l即为所求．
（2）解：①证明：∵，，
∴．
∵直线l垂直平分线段，
∴，
∴．
②连接，
∵，，
∴．
由①知，，
∴为等边三角形，
∴，．
∵直线l垂直平分线段，
∴，
∴．
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．（2025·广东珠海·三模）如图，在中，．
(1)尺规作图：过点C作斜边边上的高，垂足为D；（不写作法，只保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
【答案】(1)图见解析
(2)3
【分析】本题考查尺规作图—作垂线，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，是解题的关键：
（1）根据尺规作垂线的方法，作图即可；
（2）根据同角的余角相等，结合含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
4．（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，在中，．
(1)尺规作图：在边上作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若点在边上，，过点作于点，连接，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】题目主要考查基本作图，作垂直平分线及角平分线，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，掌握相应的作图方法是解题关键．
（1）方法一：作线段的垂直平分线，结合含30度角的直角三角形的性质即可得出结果；方法二：作的角平分线，结合角平分线的性质及含30度角的直角三角形的性质即可得出结果；
（2）设，则，根据角平分线的性质及含30度角的直角三角形的性质即可证明．
【详解】（1）解：方法一： 方法二：
∴如图所示，点为所求作的点．
（2）解：设，则．
∵，
∴，
∵，
∴
又∵，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴．
5．（2025·浙江衢州·一模）如图1，．在图1中，用无刻度的直尺和圆规作，使．
(1)若线段a长如图2所示，请作出所有满足条件的三角形；
(2)若这样的三角形只能作一个，请直接写出一个满足条件的a的值．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）以为圆心，为半径作弧，交的另一边于，，连接，即可；
（2）当时，唯一，此时，
【详解】（1）如图，，即为所求；
（2）解：当时，唯一，此时，
．
6．（23-24八年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，在直角中，．
(1)尺规作图：作的平分线，交于点，在上截取，连接（只保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】本题考查作角平分线，作线段，涉及含的直角三角形的性质，等角对等边等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据尺规作一个角的平分线，作线段的方法，进行作图即可；
（2）求出，再由是的平分线，可得，继而得， ，即可解答．
【详解】（1）解：作图如图所示：
（2）∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴， ，
∴，
∴．
7．（2025·浙江舟山·三模）如图，在中，，．
(1)用尺规作图：在边上找一点，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与证明：在（1）的条件下，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作图-复杂作图：作线段的垂直平分线．也考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形三边的关系．
（1）作的垂直平分线得到；
（2）由得到，所以，利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，所以．
【详解】（1）解：如图，点P为所作；
（2）解：由作图可得，，
而，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
8．（2025·广东云浮·一模）如图，在中，，
(1)实践与操作：用尺规作图法在边上找一点D，使得；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：在（1）的条件下，若平分，，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查尺规作图—作垂线，中垂线的性质，含30度角的直角三角形，熟练掌握中垂线的性质和含30度角的直角三角形的性质，是解题的关键：
（1）根据，得到点在线段的中垂线上，利用尺规作图作线段的中垂线，交于点即可；
（2）根据角平分线平分角，结合三角形的内角和定理，三角形的外角，求出，根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
（2）∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴．
9．（2025·广东汕头·一模）如图，中，．
(1)实践与操作：用尺规作图法作线段的垂直平分线，交于点Q；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了线段垂直平分线的性质和含30度角的直角三角形三边的关系．
（1）利用基本作图，作的垂直平分线即可；
（2）先根据线段垂直平分线的性质得到，再证明为等边三角形，然后根据含30度角的直角三角形三边的关系得到的长．
【详解】（1）解：如图，直线l、点Q即为所作．
；
（2）解：∵点Q在线段的垂直平分线上，
∴，
又，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
题型八：利用直角三角形的判定定理求角度
1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，理解等腰三角形底边上的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解题的关键．首先根据三角形“三线合一”的性质得到，，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可．
【详解】解：∵，为边上的中线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
2．（2024八年级上·全国·专题练习）裁剪师傅将一块长方形布料沿着折叠，使点落在边上的点处，若，则 ．
【答案】70
【分析】本题主要考查了折叠的性质，直角三角形的性质，掌握折叠的性质，直角三角形两锐角互余是解题的关键．
根据长方形的性质可求出，由折叠可得对应角相等可得，，由直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵，
，
由折叠的性质知，，
∴在中，，
故答案为：．
3．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图中，在边上，在边上，，则的大小为 度．
【答案】
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，等腰三角形的定义，角度的和差计算，掌握等边对角，直角三角形两锐角互余是解题的关键．
根据题意，设，则，可得，根据等边对等角可得，再由，即可求解．
【详解】解：设，
在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为： ．
4．（24-25八年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，，，点在边上，将沿折叠，使得点落在边上的点处，则的度数为 ．

【答案】/度
【分析】本题考查了折叠的性质、直角三角形的特征及三角形外角的性质，根据直角三角形的特征得，再根据折叠的性质得，再根据三角形的外角的性质即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解：，，
，
沿折叠得到，
，
是的一个外角，
，
故答案为：．
题型九：利用直角三角形的判定定理判定是否为直角三角形
1．（2025七年级下·全国·专题练习）满足下列条件的不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查直角三角形的识别，根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到结论．
【详解】解：A，，是直角三角形，不合题意；
B，时，最大的角，不是直角三角形，符合题意；
C，，则，是直角三角形，不合题意；
D，，则，是直角三角形，不合题意；
故选B．
2．（24-25八年级上·贵州毕节·阶段练习）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
故本小题符合题意；
②∵，，
∴最大角为，
∴是直角三角形，
故本小题符合题意；
③∵，，
∴，
∴，
∴，
∴是锐角三角形，
故本小题不符合题意；
④∵，，
∴最大角为，
∴是直角三角形，
故本小题符合题意；
⑤∵，，
∴最大角为，
∴是直角三角形，
故本小题符合题意．
综上所述，是直角三角形的是①②④⑤共4个．
故选：B．
3．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）在下列条件；①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的定义，利用三角形的内角和定理求出角的度数，即可分别进行判断．
【详解】解：①由得到，即，是直角三角形；
②由题可得，是直角三角形；
③由得到2，解得，，不是直角三角形；
④由得到，解得，，，是直角三角形；
⑤由得到，解得，不是直角三角形；
故选：C．
4．（23-24八年级上·山东日照·阶段练习）已知的三个角分别是、、，下列选项中：①；②；③，④，⑤，不能判断是直角三角形的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和是和有两个角互余的三角形是直角三角形是解题的关键；根据直角三角形的判定，三角形的内角和定理逐项计算判定即可．
【详解】解；①，，
，
，
是直角三角形；
②，，
，
是直角三角形；
③，，
，
不是直角三角形；
④，，
，
，
不是直角三角；
⑤，
设，则，
，
，
解得：，
，
不是直角三角形；
综上所述，不能判断是直角三角形的有3个，
故选：．
5．（24-25八年级上·吉林·期中）下列条件不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．，
【答案】C
【分析】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，根据三角形内角和定理，直角三角形的判定逐项判断即可，掌握三角形内角和定理及直角三角形的定义是解题的关键．
【详解】、由题意可设三角形的三个内角度数分别为、、，
∴，
∴，故三角形三个内角的度数分别为、、，
∴此选项中是直角三角形，不符合题意；
、∵，
∴，
∴，
∴此选项中是直角三角形，不符合题意；
、设，，（为正数），
∵，
∵，
∴，
∴，，，
∴此选项中不是直角三角形，符合题意；
、∵，，
∴，
∴此选项中是直角三角形，不符合题意；
故选：．
题型一：含30°的直角三角形最值问题
1．（24-25七年级下·江苏·期末）如图，在等边中，为边上的中线，．将沿着射线方向向下平移得，连接，，则的最小值为 ．
【答案】6
【分析】本题考查了等边三角形的性质，平移的性质，含度角直角三角形的性质等知识，关键是把求的最小值转化为求的最小值．过作于G，则，从而有，当三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长，从而取得最小值为长度的2倍；利用等边三角形的性质，得，则可求得的最小值．
【详解】解：由平移性质知：；
如图，过作于G，
∵是等边三角形，为边上的中线，
∴；
∵，
∴，
∴，
当三点共线时，此时，取得最小值，最小值为线段的长，
∴取得最小值，最小值为长度的2倍；
∵是等边三角形，，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：6．
2．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接．在点运动的过程中，线段的长的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，线段最短问题，解题的关键是掌握相关知识，并正确作出辅助线．延长到点，使得，连接，，由，，，可得：，，证明是等边三角形，得到，结合是等边三角形，可证明，得到，推出，得到点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，得到，由可得，即可求解．
【详解】解：延长到点，使得，连接，，
，，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
3．（2025·辽宁铁岭·三模）如图，在中，，为上一点，且为等边三角形，．点是边上的一个动点，连结，以为边在左侧作一个等边，连结．在整个运动过程中，的最小值是 ．
【答案】1
【分析】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等，理解题意，作出辅助线，确定运动轨迹是解题关键．
连接，证明，可得，由此得出在整个运动过程中，最小时，最小，根据点到直线，垂线段最短，可知，当时，最短，进一步证明当时，、、三点共线，求出此时，，即最小值为1，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∴，即，
∵、为等边三角形，
∴，
∴
∴，
∴在整个运动过程中，最小时，最小，
根据点到直线，垂线段最短，
当时，最短，如图3所示，

∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴当时，、、三点共线，
∵，
∴，
∴，即最小值为1，故最小值为1．
故答案为：．
4．（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，的平分线交于点，、分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形，垂线段最短，解题的关键是正确作出辅助线．
作于点，根据垂线段最短可知，的最小值是线段的长度，根据解含角的直角三角形即可．
【详解】解：如图，作于点，
∵平分，
作点关于的对称点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴的最小值是，
故答案为：．
5．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，四边形是长方形，，，若点是对角线上的一个动点，点是边上的一个动点，则的最小值 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，轴对称的性质，线段和最小值问题，垂线段最短，等面积法求线段等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用．
作点关于的对称点，交于点，连接，根据轴对称的性质和勾股定理求出相关线段，依据垂线段最短，利用等面积法即可求出线段最小值．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，交于点，连接，
由轴对称的性质得：，
，
由两点之间线段最短得：当点共线时，取最小值，最小值为，
由垂线段最短得：当时，取得最小值，
在矩形中，，，
，
在中，，
，
又，
，
故的最小值为12,
故答案为：12．
6．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，，点是边上的点，，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若点是直线上的动点，则的最小值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定，角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
根据折叠得到，，则，那么当点三点共线时，取得最小值为，导角得到，再根据角直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接，
∵将沿直线翻折，使点落在边上的点处，
∴，
∴，
∴当点三点共线时，取得最小值为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：9．
7．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）如图，在四边形中，，，且，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和三角形三边关系，取的中点O，连接，根据斜边中线的性质结合三角形性质得出当且仅当A、O、C三点共线时，取最大值求得答案即可；
【详解】解：∵，，，
∴，
，
解得：，
取的中点O，连接，
在中，，
在中，，
当且仅当A、O、C三点共线时，取最大值，
此时，，
故答案为：．
8．（24-25八年级下·山东济南·期中）如图，为等边三角形，，，点为线段上的动点，连接，以为边作等边，连接，则线段的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质等，连接，可证，得到，，可知当时，线段的值最小，进而解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
∵为等边三角形，，，
∴，，，，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴当时，线段的值最小，
此时，，
∴，
故答案为：．
题型二：含30°的直角三角形多结论问题
1．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，，平分交于点，于点．下列结论：；；；．其中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，含度角的直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，先求出，根据平分得，进而得，由此得，据此可对结论进行判断；过点作于点，证明和全等得，再根据，得，则，由此得，据此可对结论进行判断；根据三角形外角性质得，再根据得，由此可对结论进行判断；在中，根据得，再根据和全等得，然后根据，得，据此可对结论进行判断，综上所述即可得出答案；熟练掌握相关知识的应用是解题的关键．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，故结论正确；
过点作于点，如图所示，
∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故结论正确；
∵是的外角，，
∴，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，故结论正确；
在中，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，故结论不正确；
综上所述：结论正确的序号有，
故选：．
2．（2025·四川南充·三模）如图，在中，，，点为的中点，以为圆心，画两条半径不相等的弧，分别与，交于点，和点，，连接与交于点，作射线，分别与，交于点，，则下列说法不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．证明是等边三角形，再根据直角三角形30度角的性质，角平分线的判定一一判断即可．
【详解】解：∵，D是的中点，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，故选项A正确，不符合题意，
由作图可知，
，即，
，
即平分，故选项B正确，不符合题意；
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故选项C正确，不符合题意．
则，故选项D错误．
故选：D．
3．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，已知和都是等边三角形（A，B，D共线）．下列结论，①；②；③；④是等边三角形；⑤；⑥平分；⑦平分；⑧．其中错误的有（ ）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键是
正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．由题中条件可得，得出，，，，求出，得出，进而得出，，从而证明是等边三角形，根据等边三角形的性质证明，得出，过B作于M，于N，得出，根据角平分线的判定得出平分，求出，，根据直角三角形的性质得出，，证明，得出，进而证明，从而证明；根据已知条件，不能证明平分，从而得出答案．
【详解】解：∵与为等边三角形，
∴，，，
∴，即，，，
∴，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，故①②③④⑤正确；
过B作于M，于N，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∴平分，⑦正确；
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
，
即，故⑧错误；
根据已知条件，不能证明平分，故⑥错误；
综上分析可知：错误的有2个．
故选：C．
4．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，在中，，分别以顶点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N，作直线分别与交于点E，F，连接；以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点H，G，再分别以点H，G为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线．若射线恰好经过点E，则下列四个结论，正确的个数是（ ）
①；②垂直平分线段；③；④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查作图-复杂作图、角平分线的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
由作图可知垂直平分线段、平分，进而证明，可判定①；再说明可得垂直平分线段，可判定②；根据，可判定③，根据三角形的面积公式即可判定④．
【详解】解：由作图可知垂直平分线段，
，
，
由作图可知平分，
，
，
，故①正确；
，
，
，
又平分，
垂直平分线段，故②正确；
，
，故③错误；
，，
，
，
，
，
，故④正确；
综上可知，正确的有① ② ④，共3个，
故选C．
5．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，平分交于点F，平分交于点E，、相交于点G，交的延长线于点D，连接．当时，下列结论中正确的有（　　）
①若，则；②；③；④．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
① 先利用角平分线的定义求出，再由三角形内角和定理求出，然后在直角三角形中，求；
② 利用角平分线的定义，三角形内角和定理，推出，接着由三角形外角知识可得，然后在直角三角形中求解；
③在上截取，先后证明，，推出，
又由可得，从而得出结论；
④ 在③的解答基础上，过点作于，作于，利用角平分线的性质得，进一步可得，再利用全等三角形的面积相等进行等量代换．
【详解】解：平分，，
，
又，
，
，
，故①正确；
在中，，，
平分，平分，
，，
，
，
，
，，
，故②正确；
在上截取，如图1所示：
又，，
，
，
，，
，
又，，
，
，
，
又，
，故③不正确；
在③的解答基础上，过点作于，作于，如图2所示：
又，
，
，
又，，
，，
，故④正确；
综上可知，①②④正确．
故选：C．
6．（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点和，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ）
①是的平分线；②；③；④
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的性质、含30度角的直角三角形，由作图过程可知，射线为的平分线，即是的平分线；由题意得，由角平分线的定义得，则；根据，可得；过点D作于点E，由角平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，进而可得，则，即可得出答案．
【详解】解：由作图过程可知，射线为的平分线，
即是的平分线，
故①正确，符合题意；
∵，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴，
故②正确，符合题意；
∵，
∴，
故③正确，符合题意；
过点D作于点E，
∵是的平分线，，
∴．
∵，
∴．
∴，
∴，
故④不正确，不符合题意．
综上所述，正确的个数是3．
故选：C．
7．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，在四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线相交于点O．已知，，小婵同学得到如下结论：①是等边三角形；②；③；④点M、N分别在线段上，且，则，其中正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④
【答案】C
【分析】由可证明是等边三角形，故可判定①；证明 ，根据全等三角形的性质得到，由多边形内角和定理求出，由直角三角形的性质即可得出，故可判定②；
由面积关系可求出四边形的面积，故可判定③；证明，，可得到，故可判断④．
【详解】解：,
是等边三角形，
故结论①正确；
,
,
,,
,
,
,
故结论②正确；
是等边三角形，，
垂直平分,
,
故结论③错误；
如图，延长到，使，连接，
,
,
,
在和中,
,
,,
,
,
在和中,
,
,
,
故结论④正确；
综上所述，正确的结论有①②④，
故选：C．
题型三：直角三角形判定定理综合应用
1．（24-25七年级下·安徽池州·期末）把一块含角的直角三角尺（其中，）按下图所示的方式摆放在两条平行线，之间．
(1)如图1，若三角形的角的顶点落在上，且，求的度数．
(2)如图2，若把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点落在上，与的数量如何？说明理由．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补，是解题的关键．
（1）由平行线的性质可得，从而可得，再，进行计算即可得到答案；
（2）由平行的性质可得，从而得到，再由，从而得到，进而即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
．
（2）．
理由如下：
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
．
2．（24-25七年级下·四川成都·期末）在中，．
(1)当时，
①如图1，作边的垂直平分线，交于点D，交于点E．若，求的长；
②如图2，为的角平分线，在边上取一点G，使得，求的度数；
(2)如图3，作于点H，平分，交于点M，点N在边上，连接，若，，试探究与的数量关系并说明理由．
【答案】(1)①6；②
(2)，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．
（1）①直接根据含30度角的直角三角形的性质可得答案；②过点F作于E，求出；证明，得到，再证明，得到，则；
（2）过点C作交的延长线于T，则，根据，可证明；过点M作交于D，则，，证明，得到，由三线合一定理得到；证明，得到，则，据此可得．
【详解】（1）解：①∵在中，，，
∴；
②如图所示，过点F作于E，
∴，
∵在中，，，
∴；
∵为的角平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
如图所示，过点C作交的延长线于T，
∴，
∴，
∴
∵，
∴；
如图所示，过点M作交于D，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）在中，点是的中点，于点，与交于点，且．
(1)如图1，当点为的中点时，
①求证：是等边三角形；
②___________；
(2)如图2，判断与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)①见解析；②；
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识，掌握等边三角形和直角三角形的性质是解题关键．
（1）①根据线段中点得到，根据垂直平分线的性质，得到，即可证明结论；
②连接并延长交于点，根据等边三角形的性质，得到，，，进而得到，推出，再根据求解即可；
（2）连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，根据等边对等对等角和三角形外角的性质得到，，再利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）解：①点是的中点，点为的中点，
，，
，
，
，点为的中点，
是的垂直平分线，
，
，
是等边三角形；
②如图，连接并延长交于点，
由①可知，是等边三角形，
点是的中点，点为的中点，，
，，，
在中，，
，
，
，
故答案为：
（2）解：，理由如下：
如图，连接，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
即．
4．（24-25七年级下·广东深圳·期末）几何探究：
已知：利都是等边三角形，连接，交于点．
(1)如图1，①判断与的数量关系：_______________．______________：
②连接与的数量关系是：______________；
(2)如图2，H，G分别是，的中点，
①当时，______________；
②当发生变化时，请探究的度数是否发生变化，并说明理由：
(3)连接，求的值．
【答案】(1)①；60；②
(2)①60；②不变；理由见解析
(3)
【分析】（1）①证明，得出，，，根据，得出；
②过点A作于点M，于点N，根据，，得出，证明，即可得出答案；
（2）①连接，证明，得出，，证明为等边三角形，得出；
②连接，当发生变化时，同理可证明，得出，，证明为等边三角形，得出；
（3）过点A作于点M，作于点N，证明，得出，求出，，根据，即可得出．
【详解】（1）解：①∵利都是等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴；
②过点A作于点M，于点N，如图所示：
∵，，
∴，
∴，
∴点A在的角平分线上，
∴；
（2）解：①连接，如图所示：
∵H，G分别是，的中点，
∴，，
∴，
根据解析（1）可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
②当发生变化时，的度数不变；理由如下：
连接，如图所示：
当发生改变时，同理可证，
∴，，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴；
（3）解：过点A作于点M，作于点N，如图所示：
根据解析（1）可知：，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
，
，
∵，
∴，
∴．
5．（24-25八年级上·重庆秀山·期末）在中，点为上一点，为上一点，连接、、，已知．
(1)如图1，若，求的度数．
(2)如图2，点是的中点，过点作的垂线，分别交于点，交于点，交于点．求证：．
(3)如图3，中，若，为线段上一点，为线段上一点，且，点在下方，若，，连接，当取最小值时，直接写出的长度．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)4
【分析】（1）先证明，则，再由等边对等角得到，然后通过即可求解；
（2）过点作的平行线交的延长线于点，先证明，则，再证明，则，得到，由可知，则，故；
（3）连接，可得为等边三角形，然后证明，则，故当时，最短，再根据角直角三角形性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）证明：过点作的平行线交的延长线于点，
由（1）得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：连接，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当时，最短，
∴，
∴，
∴．
6．（24-25八年级下·全国·期中）已知，是等边三角形，，将一块含有角的直角三角板如图放置，让等边三角形向右平移(只能在上移动)，如图(1)，当点E与点B重合时，点A恰好落在直角三角板的斜边上．
(1)若点C平移到与点F重合，求等边三角形平移的距离．
(2)等边三角形在向右平移过程中，，与三角板斜边的交点分别为G，H，连接交于点P，如图(2)．
①求证：．
②若，则　　_　．
③判断的长是否会发生变化．如果不会变化，请求出的长；如果会变化，请说明理由．
【答案】(1)6
(2)①见解析；②4；③不会发生变化，3
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出．进而得出，求出即可；
（2）①作于点，于点，证明即可；
②此时是等腰三角形，作于点，由（1）知，，从而，自然求出；
③由于前面已经证明了，从而有，则，．
【详解】（1）解：∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴等边三角形平移的距离为6．
（2）证明：①证明：∵是等边三角形，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴．
②如图3，作于点，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴；
③不会发生变化，
如图，过点H作，交于点M，
∴，，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
∵是等边三角形，，
∴，
∴．
题型四：直角三角形判定定理中实践探究问题
1．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）（1）问题提出：如图1，点为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：．

（2）尝试应用：如图2，点为等腰外一点，，，过点的直线分别交的延长线和的延长线于点、，与交于点，，，求证：．
（3）问题拓展：如图3，中，，点，分别在边，上，，，交于点，等边的边与相交于点．若，，请直接写出的长度．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）由等腰三角形的性质可证得，，进而得证，即可利用证明．
（2）延长至G，使 ，连 接，设 交于K，如图：证明，，可得，再进一步可得结论；
（3）过作于，连接，证明，进而证明，可得，则，证明，可得，再进一步可得答案．
【详解】（1）证明：是以、为腰的等腰三角形，
，
，
，
在和中，
，
∴；
（2）证明：延长至，使，连接，如图：
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
；
（3）过作于，连接．
为等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．
2．（24-25九年级下·北京·阶段练习）在中，，，点在边上，点在射线上，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点在边上．
(1)如图1，点与点重合，，求证：是的中点；
(2)如图2，点在的延长线上时，作交于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】(1)见解析
(2)，理由见解析
【分析】本题考查30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）根据直角三角形的两锐角互余求出，再根据30°角的直角三角形的性质解答即可；
（2）在于取一点M，使得，连，取的中点N，连接，即可得到，，然后证明，得到，，即可得到，解答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
解得，
∴，
∴点是的中点；
（2）解：，理由为：
在于取一点M，使得，连，取的中点N，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
3．（24-25八年级下·河北邯郸·期中）定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那么我们称这个三角形为“近直角三角形”．
(1)在中，，则___________“近直角三角形”（填“是”或“不是”）；
(2)如图①，若是“近直角三角形”，，，则___________；
(3)如图②，在中，，在的延长线上是否存在点，使得是“近直角三角形”？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)是
(2)
(3)存在，的长为3
【分析】本题是三角形的综合题，主要考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定和性质等知识，正确的理解“近直角三角形”是解题的关键．
（1）先根据三角形的内角和定理可得，再根据“近直角三角形”即可作判断；
（2）根据“近直角三角形”的定义列等式即可解答；
（3）根据是“近直角三角形”，由新定义可得两种情况：或，即可求解．
【详解】（1）解： ，，
，
，
三角形是“近直角三角形”；
故答案为：是；
（2）解：，
不可能是或，
当时，，，不成立；
当时，，，则，
；
故答案为：；
（3）解：存在，
如图，
，，，
，，，
是“近直角三角形”，
或，
①当时，，
，
，
，
；
②当时，，
，
，
，
；
综上，．
4．（24-25八年级下·山东青岛·期中）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在和中，，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用，分别表示和的面积．
则，，
∴
【性质应用】
(1)如图②，是的边上的一点．若，，则
______；
(2)如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______，______；
(3)如图③，在中，，分别是和边上的点，若，，，则______．
(4)在中，，，是边上的高．
求：①与的面积之比；
②若，求和的具体值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
(4)①；②，
【分析】本题主要考查了等高三角形的定义、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键．
（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案；
（2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得；
（3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得．
（4）①设，利用含30度角的直角三角形的性质分别求得，，然后根据“等高三角形”的面积关系可得结论；
②根据①中面积关系求解即可．
【详解】（1）解：如图，过点A作于E，
则，，
∴；
（2）解：∵和是等高三角形，
∴，
∴；
∵和是等高三角形，
∴，
∴；
（3）解：∵和是等高三角形，
∴，
∴；
∵和是等高三角形，
∴，
∴．
（4）解：如图，设，
∵在中，，，是边上的高，
∴，，
∴，
∴，则，
∵与是等高三角形，
∴；
②∵，，
∴，
．
5．（24-25八年级下·陕西西安·期中）回归教材
教材上通过对两个含角的三角板的摆放，得到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质．小涵受此启发，给出如下不完整的证明过程．
已知：如图，在中，．求证：． 证明：如图，延长至点，使，连接． ， 垂直平分， ． ……
（1）请补全剩余的证明过程．
知识应用
（2）如图1，用两个大小不等的直角三角板作拼图，小三角板的斜边与大三角板的直角边正好重合．若，，则的长为________．
（3）如图2，在（2）的条件下，若将小三角板沿着射线方向平移，设平移的距离为，当点平移到大三角板的边上时，求出的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或
【分析】本题题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，平移的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）由线段垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可求，可证是等边三角形，可得，可求解；
（2）由在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半可求，，即可求解；
（3）由等边三角形的性质和直角三角形的性质可求，的长，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，延长至点，使，连接．
，
垂直平分，
．
又，
，
，
是等边三角形，
，
即；
（2）解：，，，
，
，，
，
故答案为：；
（3）解：作交于，交于．
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
当点平移到线段大三角板的边上时，或
6．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题情境】
在综合与实践课上，同学们以“一个含30°的直角三角尺和两条平行线，为背景开展数学活动．如图，已知两直线且，在中，，．
【解决问题】
（1）如图1，若，求的度数；
【深入探究】
（2）如图2，当的度数不变时，创新小组的同学把直线向上平移，求的度数；
【拓展应用】
（3）创意小组将图形继续变化得到图3，若平分，求的度数．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，直角三角形的性质，角平分线的定义，
对于（1），根据平角定义求出，再根据“两直线平行，同位角相等”得出答案；
对于（2），作，先根据平行线的性质求出，进而求出，再根据“两直线平行同旁内角互补”得出答案；
对于（3），先根据角平分线的定义求出，再作，根据“两直线平行内错角相等”得，进而求出，然后根据平行线的性质得出答案．
【详解】解：（1）∵，，
∴．
∵，
∴；
（2）如图，过点B作，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴；
（3）∵，平分，
∴．
如图所示，作，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
7．（24-25七年级下·广东深圳·期末）综合实践：数学课上，王老师以“两条线段和的最小值”为题，把“两点之间，线段最短”以及“垂线段最短”两个知识融合在一起展开一节探究活动课．
【活动一】情境再现，明晰原理
示例1：将最短路径问题（有人称“将军饮马”问题）转化为数学问题．如图①，用直线表示河岸，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后回到点宿营，怎样走使他每天所走路程的和最短？
作法是：如图1②，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点即为饮马的地方，此时将军从点走到点，再回到点所走的总路程最短．
示例2，如图1③，要在河岸上建一座水泵房，修建引水渠PQ，使得到村庄的跑离最短．施工人员的做法是：过点作于点，将水泵房建在处，这样修建引水渠PQ最短，即省人力又省物力．示例1中所经含的数学原理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
【活动二】感悟方法，尝试应用
如图2，在等边三角形中，是的中线．
①直接写出与的数量关系__________________：
②若．点为边的中点，点为上一点，当的值最小时，在图2上标注点的位置，并求出的最小值；
【活动三】迁移拓展，综合应用
如图3，在中，，点在斜边上，且，是的角平分线，点，点分别为，上一点，求的最小值．
【答案】活动一：A；活动二：①；②见解析，4；活动三：的最小值为．
【分析】活动一：根据两点之间，线段最短求解即可；
活动二：①根据三线合一得到，，即可得到；
②连接交于点F，连接，得到当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度，然后根据等边三角形三线合一性质求解即可；
活动三：如图所示，在上取点使，，连接，证明出，得到，然后得到当时，最小，求出，进而求解即可．
【详解】活动一：示例1中所经含的数学原理是两点之间，线段最短
故选：A；
活动二：①∵在等边三角形中，是的中线
∴，
∴；
②如图所示，点F即为所求；
∵点为上一点
∴
∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度
∵在等边三角形中，是的中线，点为边的中点，
∴；
活动三：如图所示，在上取点使，，连接
∵是的角平分线
∴
∵
∴
∴
∴
∴当点，G，D三点共线时，有最小值，即的长度
∴当时，最小
∵
∴
∴
∵
∴．
∴的最小值为．
8．（2025·江西新余·一模）【课本再现】
（1）课本上通过对两个含角的三角板的摆放，得到“在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”这一性质．小涵受此启发给出如下不完整的证明过程：
已知：如图，在中，，．求证：．
证明：如图，延长至点，使，连接，，垂直平分，……
请补充上述证明过程．
【知识应用】
（2）如图1，用两个大小不等的直角三角板作拼图，小三角板的斜边与大三角板的短直角边正好重合，已知：，．
①的长为_____；
②如图2，若将小三角板沿着射线方向平移，设平移的距离为（平移距离指点沿方向所经过的线段长度）．当点平移到大三角板的边上时，直接写出相应的的值．
【答案】（1）见解析；（2）①8；②2或6
【分析】（1）根据题干思路，根据，，得出，即可得是等边三角形．得出，即．
（2）①在中，根据，，得出，在中，根据，，得出．
②如图，作交于点，交于点．证明是等边三角形，得出，根据，得出，即可得，，当点平移到三角板的边上时，的值为，当点平移到三角板的边上时，的值为．
【详解】解：（1）如图，延长至点，使，连接，
，
垂直平分，
，
，，
，
是等边三角形．
，
即．
（2）①在中，
，，
，
在中，
，，
．
②如图，作交于点，交于点．
，
是等边三角形，
，
∵，
，
，
，
，
，
当点平移到三角板的边上时，的值为，
当点平移到三角板的边上时，的值为，
当点平移到三角板的边上时，相应的的值为2或6．
9．（24-25八年级下·山西运城·期中）综合与探究
【问题情境】如图1，已知是等边三角形，，D是边的中点，以为边，在外部作等边三角形．
【操作探究】将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点A，D，E的对应点分别为点，，．
（1）如图2，善思小组的同学画出了时的情形，求此时平移的距离；
（2）如图3，F是的中点，在线段上（不与点C重合），连接交于点O，敏学小组的同学发现始终成立，请你证明这一结论；
【拓展延伸】
（3）在平移的过程中，当以F，，为顶点的三角形成为直角三角形时，直接写出平移的距离．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）或
【分析】（1）连接，由是等边三角形，，点是边的中点，得，，根据平移可得，即可得，即可得到平移的距离；
（2）证明，即可得；
（3）分两种情况：当与重合时，可得，即以，，为顶点的三角形成为直角三角形，此时，即平移的距离是6；当时，可得，即可得到平移的距离．
【详解】（1）解：连接，如图：
是等边三角形，，点是边的中点，
，，
将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点、、的对应点分别为点、、；
；
，，
，
平移的距离为；
（2）证明：如图：
是等边三角形，，
，，
将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点，，的对应点分别为点，，；
，；
是等边三角形，，点是边的中点，
，，
，，
，
，
；
（3）当时，如图4：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
平移的距离是；
当时，如图：

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
平移的距离是；
综上所述，以，，为顶点的三角形成为直角三角形时，平移的距离是或．
10．（24-25八年级下·山西晋中·期中）阅读与思考
下面是果果同学的数学日记片段，请认真阅读并完成相应的任务．
3月28日 星期五 晴 对含角的三角形的进一步探索 在复习第一章《三角形的证明》时，我发现在基本的几何图形中，通过增加新的几何元素，会出现新的结论．下面是我对含角的三角形进行的一些探究．如图1，在中，，． 【初步探究】 如图2，在图1的基础上，作的角平分线，可以得到． 如图3，在图1的基础上，作边的垂直平分线分别交边于点D，E，也可以得到． 【深入探究】 如图4，在图1的基础上，作的高线，发现了线段与的数量关系． 【拓展延伸】 如图5，在中，，，我发现利用上面的探究结论可以用尺规作图找到边的三等分点．
任务：
(1)求证：（从图2、图3中选择一个进行证明即可）；
(2)请直接写出图4中线段与的数量关系；
(3)请在图5中找到边的一个三等分点（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂直平分线线的性质；
（1）选择图2，过点D作，垂足为点E，根据角平分线的性质得到，然后根据的直角三角形的性质解答即可；选择图3，连接，根据垂直平分线的性质得到，然后根据的直角三角形的性质解答即可；
（2）根据的直角三角形的性质解答即可；
（3）作边的垂直平分线或过点A作交于点P，根据的直角三角形的性质即可得到．
【详解】（1）选择图2
证明：过点D作，垂足为点E．
在中，，
．
又是的角平分线，，
．
在中，，
．
．
，
．
选择图3
证明：连接．
在中，，
．
是的垂直平分线，
．
．
．
在中，，
．
．
．
．
（2）解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）如图所示，点即为所求．
1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，，过点作，分别交、于点，若，则的长为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，先证明为等边三角形，，为等边三角形，再进一步求解即可.
【详解】解：∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
故选：D
2．（24-25八年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，，．以点C为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，作射线交于点H．，Q是边上一动点，则点之间的最小距离为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．8
【答案】C
【分析】过点H作于点Q，则当时，最小，由角平分线的定义得，再由直角三角形的性质得，最后根据角平分线的性质求解即可．
【详解】解：过点H作于点Q，则当时，最小，
由题意得，平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
3．（24-25八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，交于点．若，，则长为（ ）
A． B． C．5 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，熟练掌握30度角所对直角边等于斜边的一半是解题的关键．
先求出，连用两次30度角的性质即可求出长．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
4．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图，小丽在荷塘边观看荷花，她把一株竖直的荷花拉到岸边，花柄正好与水面成夹角，测得长，则长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形角所对的直角边为斜边的一半是解题的关键．由题意可得的度数，根据直角三角形的性质可得．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵，
则，
故选B．
5．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，中，，点D在上，，延长至点E，使，过点E作于点F，交于点G，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，由“”可证，可得，由直角三角形的性质可得，，由线段的数量关系可求解，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
故选：D．
6．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，中，，是的角平分线，点在的垂直平分线上，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等边对等角、直角三角形的性质，由角平分线的定义可得，由线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再结合三角形内角和定理求出，最后由直角三角形的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵是的角平分线，
∴，
∵点在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
7．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，在中，，．平分，交于点，，垂足为点；平分，交于点，，垂足为点．若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，解题时注意，在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．先根据，，平分，，求得，，再根据平分，，求得，，设，根据，列出方程求解即可．
【详解】解：，，平分，，
，，
又平分，，
，，
设，则，，，
中，
，即，
解得，
即．
故答案为：
8．（24-25七年级下·河南洛阳·期末）如图，正三角形的面积是2，O为三角形的中心（三条中线的交点），点D、E分别在边、上，且，则阴影部分的面积为 ．
【答案】
【分析】连接， ，延长交于Ｆ点，则可得，
且，，由四边形内角和等于可得
，进而可得，由可得，进而可得．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的做辅助线，将阴影部分的面积转化成的面积是解题的关键．
【详解】解：如图，连接， ，延长交于Ｆ点
∵O为正三角形的中心，
，，
且，，
，
∵四边形中，，
，
，
又，
，
在和中
，
，
，
，
∵，，
，
，
．
故答案为：
9．（24-25八年级上·内蒙古乌海·期中）如图，是等边三角形，于点D，于点E，若，则的长度为 ．
【答案】1.5
【分析】本题考查等边三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质，先根据等边三角形的性质得到，然后利用含30度角的直角三角形的性质得到，进而可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：1.5．
10．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，点为等边内一点，过点分别向，，边作垂线，垂足分别为，，；若，，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质与判定，以及含30度角的直角三角形的性质是解题的关键；延长分别交的延长线于点，交于点，证明，进而根据含30度角的直角三角形的性质，得出，得出，再求得，最后根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图，延长分别交的延长线于点，交于点，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴
∵点分别向，，边作垂线，垂足分别为，，；
∵
∴
∴
∴
∵,
∴
∴，，
∴，，
∵，
∴
又∵
∴
∴
∴
∴
在中，
∴，
故答案为：．
11．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，．用尺规作图法，在边上求作一点，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）．
【答案】见解析
【分析】本题考查作图—复杂作图、含30度角的直角三角形、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所

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