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1.6 线段垂直平分线的性质
题型一：垂直平分线的性质中周长问题
1．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（ ）
A．62 B．52 C．42 D．32
2．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，则的长是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，DE垂直平分AC，△ABD的周长是，，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若周长为13，， ．
6．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为 ．
7．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，平分，于点E，则的周长为 ．
8．（2025·云南临沧·三模）如图，在中，为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为，，则的长为 ．
题型二：垂直平分线与尺规作图结合解题）
1．（2025·吉林白山·模拟预测）如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·贵州铜仁·三模）如图，在中，分别以点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·江苏盐城·三模）如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（ ）
A． B． C． D．
5．（2025九年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线交于点O．在直线上任取一点P（不与O重合），连接，，则下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的是（ ）．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②④
6．（2025·安徽芜湖·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ．
7．（2025·湖南长沙·二模）如图，是直线外一点，按以下步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径作弧，交直线于点，；
②分别以点、点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；
③作直线交于点．
若，，则四边形的面积为 ．
8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，5为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为 ．
9．（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为21，，则的长为 ．
题型三：垂直平分线的性质求线段长度
1．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ．
2．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点M，N，若，则的长为 ．
3．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，为边的垂直平分线，于点，交的延长线于点，若，则的长为 ．
4．（24-25九年级上·四川广安·阶段练习）如图，是的中线，于点C，，且，则的长为 ．
5．（23-24八年级上·四川凉山·期末）如图所示，在中，，平分，垂直平分，如果，，那么 ．
6．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，连接、，若，，，则 ．
题型四：垂直平分线性质中相关求解（解答题）
1．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，在中，，垂直平分，垂直平分．
(1)试说明：；
(2)若，，试说明：；
2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于.
(1)求证：.
(2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想；
(3)若，，则________.
3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，则的长为多少？
4．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，，，．在上有一点D，恰好在的垂直平分线上．
(1)求的面积；
(2)连接，求的周长．
5．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）如图，在中，是边上的一点，连接．垂直平分，垂足为，交于点，连接．
(1)若的长为6，的周长为7，求的周长．
(2)若，，求的度数．
6．（24-25八年级上·山东聊城·期末）在中，垂直平分，连接，平分．
(1)若，求的度数．
(2)若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？
7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．
(1)若，则_________；
(2)若，的周长为20，求的周长．
8．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，已知：，，点E在的延长线上．
(1)求证：垂直平分；
(2)求证：
题型五：垂直平分线的判定之选址类问题
1．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，某市的三个城镇中心构成，该市政府打算修建一个大型体育中心，使得该体育中心到三个城镇中心的距离相等，则点应设计在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条高的交点
C．三个角的角平分线的交点 D．三角形三条中线的交点
2．（24-25九年级上·山东滨州·期中）到三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三边的垂直平分线的交点 D．三边上高所在直线的交点
3．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）如图，电信部门要在某区三个乡镇的中心围成的区域内修建一个电视信号发射塔，使得该发射塔到三个乡镇中心三地的距离相等，以下选址正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）在学习了三角形的内容后，李老师为了更生动地让同学们理解所学习的知识，带领大家做实验：首先让全班所有同学手拉手围成一个锐角三角形，李老师站在三角形的内部，第一次李老师要以相同的速度和相同的时间走到三个顶点处的学生的位置，第二次李老师又要以相同的速度和相同的时间走到三条边上距离他最近的学生的位置．请大家根据所学知识，依次猜出李老师两次实验的初始位置分别在三角形的什么地方吗（ ）
①三条高的交点 ②三边中垂线的交点
③三条角平分线的交点 ④三角形内部的任意位置
A．①③ B．②③ C．①② D．①④
5．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，现要求找一点，使其到三个顶点的距离相等．
(1)该点是三条______的交点；（选填“中线”“高线”“角平分线”或“垂直平分线”）
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）．
题型六：利用垂直平分线的判定判断选项是否正确
1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，连接、，，，则有（ ）
A．与互相垂直平分 B．垂直平分
C．垂直平分 D．平分
2．（24-25八年级上·河北邢台·期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，．詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③．其中正确的结论有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，已知中，，是的平分线，是边上的高，与交于点，过点作交于点，连结交于点，则下列结论中，不一定成立的是（）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，下列条件不能判定直线为线段的垂直平分线的是（ ）
A．且 B．且
C．且平分 D．且
5．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，已知点在上，且，下列说法正确的是（ ）
A．点是的中点 B．平分
C．点在的垂直平分线上 D．点在的垂直平分线上
6．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25八年级上·山东德州·期中）下列条件中，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，平分
题型七：由垂直平分线的判定求线段长度
1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连结，则的周长为（ ）
A．7 B．10 C．11 D．12
2．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）风筝又称“纸鸢”“风鸢”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，制作这个风筝需要的布料至少为（ ）
A．1800 B．5400 C．2700 D．1200
3．（23-24八年级上·湖南益阳·期末）如图，在中，E为边的中点，过点E作交于点D，若，的周长为20，则的周长为（ ）
A．20 B．23 C．26 D．29
4．（24-25八年级上·上海静安·期中）如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点．若，则 ．

5．（24-25八年级上·湖北黄冈·期末）如图，周长为16cm，，垂直平分，则 cm．

6．（2023·黑龙江牡丹江·模拟预测）在中，，，点到的距离是，到的距离是，则等于
7．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，垂足为D，PQ是BC边的垂直平分线，交BC于点Q，交AC于点P，．若的周长是，，则的长是 ．
题型八：垂直平分线中尺规作图（解答题）
1．（2025·广西崇左·模拟预测）如图，已知．
(1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点D，交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法，标明字母）
(2)在（1）的条件下，连接．若的周长为16，，求的周长．
2．（上海市浦东区2024-2025学年下学期七年级数学期末试卷）如图，在Rt中，
(1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点
(2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）．
3．（2025·广东惠州·二模）如图，在中，是钝角．
(1)实践与操作：用尺规作图，作的垂直平分线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的大小．
4．（2025·黑龙江绥化·二模）是中边上的中线．
(1)尺规作图：作出的三等分点E、F．（要求：保留痕迹，不写作法）
(2)当点靠近点时，连接，若，则的面积为________．
5．（2025·浙江·二模）如图，在的方格中，的顶点均在格点上．试按要求画出线段（E，F均为格点），各画出一条即可．
6．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，已知中．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交边，于点D，E（不写作法、保留作图痕迹并标明字母）；
(2)连接，若，的周长是18，求的周长．
7．（24-25八年级上·河北保定·期末）某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站E，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(1)如图1，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位置（要求利用尺规作图）；
(2)如图2，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站E的位置．
9．（24-25八年级上·广西柳州·期中）电信部门要在高速公路n上修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
题型九：垂直平分线的判定中相关求解（解答题）
1．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证：
(1)；
(2)垂直平分．
2．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10．
(1)求的长；
(2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O．
(1)证明：；
(2)证明：垂直平分．
4．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)线段和线段的位置关系是 ；
(2)求证：；
(3)在“筝形”中，已知，求“筝形”的面积．
5．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．已知筝形的对角线，相交于点．
(1)请判断与之间的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求四边形的面积．
6．（24-25八年级上·天津东丽·期中）如图，与相交于点O，，，．
(1)求证；
(2)求证：垂直平分．
7．（24-25八年级上·山东德州·期中）已知：如图，在中，，，点是的中点，，垂足为点，交的延长线于点，
(1)求证：；
(2)连接，求证：垂直平分．
8．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，平分，于点，于点，连接．
(1)试说明；
(2)与相等吗？请说明理由；
(3)是否垂直平分，请说明理由．
9．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点．
(1)若，求的周长；
(2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由；
题型一：垂直平分线的性质中最值问题
1．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是、上的动点，若，当的值最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小，此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则的周长的最小值为 ．
4．（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图，等腰的底边，面积为18，直线是腰的垂直平分线，若点D在上运动，点F在边上运动，则的最小值为 ．
5．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，是的垂直平分线，点P是直线上的任意一点，则的最小值是
6．（24-25八年级上·吉林延边·期末）如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为 ．
7．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ．
8．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，垂直平分边，交于点D，交于点E，动点P在线段上，连接，，则周长的最小值为 ．
题型二：垂直平分线的性质和判定中多结论问题
1．（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，是的角平分线，分别是和的高，得到下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　）
A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④
2．（24-25八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
3．（24-25八年级上·山西大同·期中）如图，在四边形中，与交于点O，其中，．下列结论：①；②垂直平分；③平分；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，在中，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，于点H，交于点G．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
5．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的有 ．（填序号）
6．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，以为边，作，满足，点E为上一点，连接，，下列结论：①；②；③若，则；④．正确的有 ．（填序号）
7．（23-24八年级上·江苏·期中）如图，四边形的对角线、相交于点，，下列结论：①；②；③；④．其中不正确结论的序号是 ．
8．（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论：；；；若，则周长等于的长其中正确的有 写出所有正确结论的序号
题型三：垂直平分线的性质和判定综合压轴题
1．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．
2．线段垂直平分线
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：．
AI
分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明．
（1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________．
（3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________．
2．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们利用两个全等的直角三角形的纸片进行图形变换的操作探究．如图，，，．将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中点E与点A重合，边与边重合．

初步思考：（1）小丽在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将沿着射线的方向平移，边与边交于点H，边与直线交于点G．如图2，当点H为边的中点时，判断线段与线段的数量关系，并说明理由；
问题探究：（2）请在图2的基础上进行如下操作：连接，．求证：垂直平分；
拓展延伸：（3）小颖在图1的基础上进行如下操作：，保持不动，将沿着射线的方向平移，如图2，在平移的过程中，当点F平移到的边所在的直线上时，请直接写出平移的距离．
3．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答：
（1）①由已知和作图能得到，依据是____________．
A． B． C． D．
②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是____________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
类比探究：（2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积．
（3）拓展延伸：如图3，四边形中，，E是的中点，
①若四边形的面积为m，求证：的面积为．
②若，则、、三者之间的数量关系为______．
4．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？
【自主研究】（1）如图①，直线l是线段 的垂直平分线，点P在直线l的左侧，经测量， 请证明这个结论；
【迁移研究】（2）如图②，直线l是线段的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线l的同测，点D 是直线l上的任意一点，连结，试判断和之间的大小关系，并说明理由．
5．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）【问题探究】
（1）如图1，在中，点是上一点，点是的中点，连接并延长到点，过点作交于点，连接，求证：；
【问题解决】
（2）如图2，四边形是一个工业区，点是一个入口，是两个仓库，点分别是粗加工厂和精密加工厂，点分别在上，是两条小路，是两条运输公路，为方便从粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道与运输公路之间的数量关系．已知，．请你帮助管理人员探索线段之间的数量关系，并加以证明．
6．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）【教材呈现】如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．
【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，请完成证明“”的推理过程．
（1）求证：．
（2）求的取值范围．
【问题解决】
（3）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长．
7．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）在等腰直角三角形中，，，点在射线上，点在直线上，垂直平分线段交直线于点．
(1)如图1，若点在线段的延长线上，点在线段上．求证：；
(2)如图2，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时．
①请写出，，之间的数量关系并证明；
②若，，求的长．
1．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
2．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ）
A．的三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边的垂直平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为12，则的周长为（ ）
A．17 B．22 C．29 D．30
4．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点，连接、，若，，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若平分，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级上·河北保定·期中）在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点．若，则的周长为（　　）
A．8 B．10 C．14 D．10或14
7．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交，于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点与点重合，已知，，则 ．
9．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线l是线段的垂直平分线，交于点O，P为直线l上一点，则下列说法：①点O是线段的中点；②直线l是线段的对称轴；③线段是的垂线，其中正确的有 ．
10．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点F．若，则 ．
11．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，，则的周长为 ．
12．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在中、、于点、是的垂直平分线，求证：平分．
13．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，A，B，C三点表示三个居民区，为了方便居民就近购物，计划新建一个综合超市，要使超市到三个居民区距离相等，请你在图中用尺规确定超市位置．
14．（24-25八年级上·安徽池州·期末）【问题提出】
数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
【问题探究】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程．
（1）求证：；
证明：延长到点E，使
是的中点（已知）
（中点定义）
在和中
∴（________）
（2）探究得出的取值范围是_______；
【问题解决】
（3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．
15．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）在等腰直角三角形中，，，点在射线上，点在直线上，垂直平分线段交直线于点．
(1)如图1，若点在线段的延长线上，点在线段上．求证：；
(2)如图2，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时．
①请写出，，之间的数量关系并证明；
②若，，求的长．
16．（24-25八年级上·四川广元·期末）（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接，这样就把，，集中在中，则中线的取值范围是______．
（2）如图2，在中，D是边的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接．试判断与之间的大小关系，并说明理由．
（3）如图3，在四边形ABCD中，，，，以C为顶点作，边，分别交，于点E，F，连接．试判断，与之间的数量关系，并说明理由．中小学教育资源及组卷应用平台
1.6 线段垂直平分线的性质
题型一：垂直平分线的性质中周长问题
1．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，中，，直线垂直平分，分别交、于点E、D，若的周长为32，则的周长是（ ）
A．62 B．52 C．42 D．32
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端距离相等是解题关键．由垂直平分线可得，再结合的周长得到，即可求出的周长．
【详解】解：中，，直线垂直平分，
，
的周长为32，
，
的周长是，
故选：B．
2．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，已知，的垂直平分线交于点，交于点，的周长等于，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得到，得到，即，求出，即可得到答案．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
的周长等于，
，
，即，
，
故选：B．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，DE垂直平分AC，△ABD的周长是，，则的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
根据线段垂直平分线的性质定理，可得，从而得到，再由的周长为，可得到，即可求解．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴
∵，
∴．
故选：D．
4．（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴的周长为，
故选：C．
5．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若周长为13，， ．
【答案】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，
先根据线段垂直平分线的性质和判定得，再根据的周长为，，求出，然后等量代换可得答案．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴．
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴．
∵的周长为，，
∴，
∴，
则，
∴，
即．
故答案为：．
6．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别与边，交于D，E两点，边的垂直平分线分别与边，交于F，G两点，连接，．若的周长为32，，则的长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，然后根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，
，，
的周长为32，
，
，即，
，
．
故答案为：5．
7．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，，平分，于点E，则的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，先根据角角边证明，继而得出，再根据勾股定理求出的长度，根据的周长为求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：∵平分，
∴,
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
8．（2025·云南临沧·三模）如图，在中，为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，先由线段垂直平分线的性质得，结合的周长为，，即可得出
【详解】解：∵为线段的垂直平分线，
∴，
∵，，的周长为，
∴
∴，
故答案为：．
题型二：垂直平分线与尺规作图结合解题）
1．（2025·吉林白山·模拟预测）如图，在中，，分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，由作图可知：平分，由线段垂直平分线的性质得出，最后由三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】解：由作图可知：平分，
∴，
∴，
∴，
故选：B
2．（2025·贵州铜仁·三模）如图，在中，分别以点B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M、N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据基本作图，得到，继而得到，根据三角形外角性质得解答即可．
本题考查了线段垂直平分线的基本作图，三角形外角性质，熟练掌握作图的性质是解题的关键．
【详解】解：根据基本作图，得到，
故，
根据三角形外角性质得，
故选：C．
3．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，由作图可知直线是线段的垂直平分线，进而由线段垂直平分线的性质即可求解，掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键．
【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线，
∴，
故选：．
4．（2025·江苏盐城·三模）如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由作图痕迹可知直线是的垂直平分线，射线是的平分线．先由线段垂直平分线知，再用三角形外角性质求出，再用三角形内角和求出，然后用角平分线求出，最后根据三角形的内角和求出．本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】解：由作图痕迹可知直线是的垂直平分线，射线是的平分线．
，
，
，
∵中，，，
，
，
．
故选：B
5．（2025九年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线交于点O．在直线上任取一点P（不与O重合），连接，，则下列结论：①；②；③；④．其中一定成立的是（ ）．
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②④
【答案】C
【分析】根据基本作图，得到直线是线段的垂直平分线，解答即可．
本题考查了线段垂直平分线的基本作图和性质，熟练掌握作图和性质是解题的关键．
【详解】解：根据基本作图，得直线是线段的垂直平分线，
故①成立；②成立；③不成立；④成立．
故选：C．
6．（2025·安徽芜湖·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ．
【答案】14
【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，推出的周长等于，即可得出结果．
【详解】解：由作图可知：垂直平分，
∴，
∴的周长为:；
故答案为：14．
7．（2025·湖南长沙·二模）如图，是直线外一点，按以下步骤作图：
①以点为圆心，适当长为半径作弧，交直线于点，；
②分别以点、点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；
③作直线交于点．
若，，则四边形的面积为 ．
【答案】12
【分析】本题考查线段垂直平分线的尺规作图性质以及对角线垂直的四边形面积计算，解题关键是依据作图步骤明确线段关系，运用对应面积公式求解．
先依据作图步骤得出，垂直平分，进而得到的长度，再推导出对角线垂直的四边形面积公式对角线之积，计算出结果．
【详解】解：由作图步骤可知：
步骤①中，以点为圆心作弧交直线于、，
∴．
步骤②中，分别以、为圆心，大于长为半径作弧相交于，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，．
∴．
∵四边形的对角线与互相垂直，
．
故答案为：12．
8．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，5为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为 ．
【答案】14
【分析】本题考查基本作图-作线段垂直平分线，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是读懂图象信息．利用线段的垂直平分线的性质证明，可得结论．
【详解】解：由作图可知垂直平分线段，
∴，
∴的周长．
故答案为：14．
9．（24-25九年级下·吉林松原·阶段练习）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若的周长为21，，则的长为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
根据尺规作图可知，垂直平分线段，利用线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式进行求解即可
【详解】解：根据尺规作图可知，垂直平分线段
∵的周长为21，
故答案为：12．
题型三：垂直平分线的性质求线段长度
1．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）如图中、，点D是的中点，过点D作交的延长线于点E，连接，若，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂直平分线的判定与性质，根据点D是的中点，，推出是的垂直平分线，得到，再根据点D是的中点，得到，进而得到，即可求解．
【详解】解：∵在中，点D是的中点，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵点D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
2．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，在中，，线段的垂直平分线交，于点M，N，若，则的长为 ．
【答案】1
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，进而解答即可．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
故答案为：1．
3．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，在中，为边的垂直平分线，于点，交的延长线于点，若，则的长为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形全等的判定与性质、平行线的性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．先求出，再根据线段垂直平分线的性质可得，，根据平行线的性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质可得，根据线段和差可得的长，由此即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵为边的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：9．
4．（24-25九年级上·四川广安·阶段练习）如图，是的中线，于点C，，且，则的长为 ．
【答案】8
【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
延长交的延长线于点F，证明，可得，再由，可得，即可求解．
【详解】解：如图，延长交的延长线于点F，
∵，
∴，
∵是的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：8
5．（23-24八年级上·四川凉山·期末）如图所示，在中，，平分，垂直平分，如果，，那么 ．
【答案】5
【分析】本题考查了角平分线的性质和垂直平分线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
根据角平分线的性质和垂直平分线的性质可得，，然后求出即可．
【详解】解：∵，平分，垂直平分，，
∴，
∴．
故答案为：5．
6．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，连接、，若，，，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出，，再根据或者计算即可．
【详解】解：两种情况讨：
①如图，
、分别是线段、的垂直平分线，
，，
，，，
，，
；
②如图，
、分别是线段、的垂直平分线，
，，
，，，
，，
；
故答案为：或
题型四：垂直平分线性质中相关求解（解答题）
1．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，在中，，垂直平分，垂直平分．
(1)试说明：；
(2)若，，试说明：；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是：
（1）利用线段垂直平分线的性质得出，，利用等边对等角得出，，然后利用三角形内角和定理，等量代换可得出，即可得证；
（2）结合（1）中结论可得出，，，利用证明即可；
【详解】（1）证明∶ ∵垂直平分，垂直平分，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：由（1） 知，，，
∵，，
∴，，
∴在和中，
∴
2．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于.
(1)求证：.
(2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想；
(3)若，，则________.
【答案】(1)见解析
(2)，见解析
(3)2
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．
（1）连接、，先根据线段垂直平分线的性质的性质得，再根据角平分线的性质得，然后根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）证明得，再结合（1）的结论，得；
（3）根据（2）的结论得，再根据可得答案.
【详解】（1）证明：如图，连接、，
∵，D为中点，
∴，
∵，，且平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）知，
∴．
即；
（3）解：由（2）知，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接．
(1)求证：；
(2)若的周长为，，则的长为多少？
【答案】(1)见解析
(2)的长为
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确记忆线段垂直平分线的性质是解题关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论；
（2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案．
【详解】（1）证明：∵垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵的周长为，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
4．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，在中，，，，．在上有一点D，恰好在的垂直平分线上．
(1)求的面积；
(2)连接，求的周长．
【答案】(1)16
(2)12
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据三角形的面积公式计算即可得解；
（2）由线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式计算即可得解．
【详解】（1）解：；
（2）解：如图：
∵点D在线段的垂直平分线上，
，
的周长为．
5．（24-25八年级下·河北保定·阶段练习）如图，在中，是边上的一点，连接．垂直平分，垂足为，交于点，连接．
(1)若的长为6，的周长为7，求的周长．
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，，由的周长为7可得，于是可得的周长，于是得解；
（2）由三角形的内角和定理可得，利用可证得，于是可得，由三角形外角的性质可得，由此即可求出的度数．
【详解】（1）解：是线段的垂直平分线，
，，
的周长为7，
，
的周长
；
（2）解：，，
，
∵在和中，
，
，
，
．
6．（24-25八年级上·山东聊城·期末）在中，垂直平分，连接，平分．
(1)若，求的度数．
(2)若，的周长比的周长多8，的面积为6，则三角形的面积为多少？
【答案】(1)
(2)12
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟知相关性质是解题的关键．
（1）利用垂直平分线的性质得到，再得到，利用三角形内角和即可解答；
（2）过点作交的延长线于点，根据题意求得的长即可解答．
【详解】（1）解： 垂直平分，
，
，
，
为角平分线
；
（2）解：如图，过点作交的延长线于点
，，为角分平线，
，
，
，
，，且，
，
的面积为12．
7．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．
(1)若，则_________；
(2)若，的周长为20，求的周长．
【答案】(1)3
(2)32
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，
对于（1），根据是的垂直平分线，得，可得答案；
对于（2），先求出，再根据线段垂直平分线的性质定理得，然后根据的周长等于求出，进而得出答案．
【详解】（1）解：∵是的垂直平分线，
∴．
故答案为：3；
（2）解：∵，是的垂直平分线，
∴，，
∴的周长，
解得，
∴的周长．
8．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，已知：，，点E在的延长线上．
(1)求证：垂直平分；
(2)求证：
【答案】(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定，线段垂直平分线的性质性质．
（1）由线段垂直平分线性质定理的逆定理，即可证明问题;
（2）由线段垂直平分线的性质定理推出，即可证明．
【详解】（1）证明：∵，，
∴点A和D都在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分；
（2）证明：由（1）知垂直平分，
∴，
在和中，
，
∴．
题型五：垂直平分线的判定之选址类问题
1．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图，某市的三个城镇中心构成，该市政府打算修建一个大型体育中心，使得该体育中心到三个城镇中心的距离相等，则点应设计在（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三角形三条高的交点
C．三个角的角平分线的交点 D．三角形三条中线的交点
【答案】A
【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据垂直平分线的判定即可求解，掌握垂直平分线的判定是解题的关键．
【详解】解：∵体育中心到城镇中心的距离相等，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
同理，点在线段，的垂直平分线上，
∴点应设计在三条边的垂直平分线的交点，
故选：．
2．（24-25九年级上·山东滨州·期中）到三角形三个顶点的距离相等的点是（ ）
A．三条角平分线的交点 B．三边中线的交点
C．三边的垂直平分线的交点 D．三边上高所在直线的交点
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，掌握到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题关键．根据线段垂直平分线的判定求解．
【详解】解：∵到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，
∴到三角形各顶点距离相等的点是三条边垂直平分线交点．
故选：C．
3．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）如图，电信部门要在某区三个乡镇的中心围成的区域内修建一个电视信号发射塔，使得该发射塔到三个乡镇中心三地的距离相等，以下选址正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质解答即可．
【详解】解：发射塔到三个乡镇中心三地的距离相等，
则，
∴点在线段、的垂直平分线上，
即线段、的垂直平分线的交点即为发射塔，
选项B符合题意．
故选：B．
4．（23-24八年级上·湖南湘西·阶段练习）在学习了三角形的内容后，李老师为了更生动地让同学们理解所学习的知识，带领大家做实验：首先让全班所有同学手拉手围成一个锐角三角形，李老师站在三角形的内部，第一次李老师要以相同的速度和相同的时间走到三个顶点处的学生的位置，第二次李老师又要以相同的速度和相同的时间走到三条边上距离他最近的学生的位置．请大家根据所学知识，依次猜出李老师两次实验的初始位置分别在三角形的什么地方吗（ ）
①三条高的交点 ②三边中垂线的交点
③三条角平分线的交点 ④三角形内部的任意位置
A．①③ B．②③ C．①② D．①④
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质及线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
【详解】解：∵第一次李老师要以相同的速度和相同的时间走到三个顶点处的学生的位置，
∴初始位置应在三角形三边中垂线的交点上．
∵第一次李老师要以相同的速度和相同的时间走到三个顶点处的学生的位置，
∴初始位置应在三角形三条角平分线的交点上．
∴应当是②③
故选：B．
5．（24-25八年级上·河南商丘·期中）如图，现要求找一点，使其到三个顶点的距离相等．
(1)该点是三条______的交点；（选填“中线”“高线”“角平分线”或“垂直平分线”）
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出点的位置（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)垂直平分线
(2)见解析
【分析】本题考查了垂直平分线的作法及性质．
（1）由点到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可解答．
（2）作线段的垂直平分线交于点P即可．
【详解】（1）解：内一点，到三个顶点的距离相等，即，
点是三条垂直平分线的交点；
（2）解：如图所示，点P为所求：
题型六：利用垂直平分线的判定判断选项是否正确
1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在四边形中，连接、，，，则有（ ）
A．与互相垂直平分 B．垂直平分
C．垂直平分 D．平分
【答案】B
【分析】本题主要考查线段垂直平分线的判定，由，，得A与C在的垂直平分线上，进而解决此题．
【详解】解：∵，，
∴A与C在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，
∴垂直平分，
故B选项符合题意；
由已知条件无法证明平分，平分，
故A、C、D选项不符合题意；
故选：B．
2．（24-25八年级上·河北邢台·期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，．詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③．其中正确的结论有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，通过证明三角形全等来验证筝形的性质．
根据全等三角形的判定和性质逐个证明即可得到结果．
【详解】在和中
，
故③正确；
在与中，
，
，
故①②正确，
综上①②③正确，正确的结论共3个，
故选：D．
3．（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，已知中，，是的平分线，是边上的高，与交于点，过点作交于点，连结交于点，则下列结论中，不一定成立的是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据角平分线的性质可判断，根据全等三角形的性质及线段垂直平分线的判定可判断，进而可得出答案．
【详解】解：是边上的高，
，
，
，
，是的平分线，
，故A结论正确，不符合题意；
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
，
，，
，
，，故C、D结论正确，不符合题意；
假设，
，
，
是等腰直角三角形，
但题目条件没有是等腰直角三角形，且推导不出其结论，
结论不一定正确．
故选：B．
4．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，下列条件不能判定直线为线段的垂直平分线的是（ ）
A．且 B．且
C．且平分 D．且
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定，掌握线段垂直平分线的判定定理是解题的关键．结合全等三角形的判定与性质，根据线段垂直平分线的判定定理进行判断即可．
【详解】解：A、∵且，
∴直线是线段的垂直平分线，故A符合题意；
B、∵且，
∴直线是线段的垂直平分线，故B不符合题意；
C、∵且平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴直线是线段的垂直平分线，故C不符合题意；
D、∵且，
∴直线是线段的垂直平分线，故D不符合题意；
故选：A．
5．（24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，已知点在上，且，下列说法正确的是（ ）
A．点是的中点 B．平分
C．点在的垂直平分线上 D．点在的垂直平分线上
【答案】C
【分析】此题考查线段垂直平分线的判定：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，根据题意得到，判定点在的垂直平分线上，由此判断．
【详解】解：∵，，
∴，
∴点D在线段的垂直平分线上，
故选C．
6．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，是的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要是综合运用了角平分线的性质定理和线段垂直平分线性质定理的逆定理，根据角平分线的性质，得，根据线段垂直平分线性质定理的逆定理，得点在的垂直平分线上；根据等角对等边，，则点在的垂直平分线上，从而可证是的垂直平分线，由此即可判断出结果．
【详解】解：∵为的角平分线，于，于，
∴，故选项A成立，不符合题意；
∴点在的垂直平分线上，，
∵，
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，
∴，故选项B，C成立，不符合题意；
∵不一定相等，
∴不能确定是否相等，
∴不一定成立，故选项D不一定成立，符合题意；
故选：D．
7．（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的判定，先根据线段垂直平分线的性质得出是的垂直平分线，可判断A，B；再根据“边边边”证明C；能否确定三者之间的关系判断D．
【详解】∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
所以A，B正确；
∵，
∴，
所以C正确；
不能确定之间的关系，所以D不正确．
故选：D．
8．（24-25八年级上·山东德州·期中）下列条件中，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，平分
【答案】C
【分析】根据垂直平分线的概念与判定逐个判断即可．
【详解】解：A、，，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意；
B、，，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意；
C、如图，
，，不能判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，符合题意；
D、，平分，可以判定直线是线段（C，D不在线段上）的垂直平分线，不符合题意．
故选：C．
题型七：由垂直平分线的判定求线段长度
1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，过点，作直线交于点，连结，则的周长为（ ）
A．7 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，线段垂直平分线的性质，线段的和与差等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的判定与性质是解题的关键．
由题意可知是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，因而可得的周长，据此即可得出答案．
【详解】解：分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，，
是线段的垂直平分线，
，
的周长
，
故选：．
2．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）风筝又称“纸鸢”“风鸢”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，制作这个风筝需要的布料至少为（ ）
A．1800 B．5400 C．2700 D．1200
【答案】C
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的判定，利用线段垂直平分线的判定定理判定垂直平分，再利用四边形面积公式计算即可．
【详解】解：∵，
∴点A在的垂直平分线上，
∵，
∴点C在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，
∴，
故选：C．
3．（23-24八年级上·湖南益阳·期末）如图，在中，E为边的中点，过点E作交于点D，若，的周长为20，则的周长为（ ）
A．20 B．23 C．26 D．29
【答案】C
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，根据题意可得垂直平分，，进而得到，再由的周长为20，推出，据此可得答案．
【详解】解；∵E为边的中点，，
∴垂直平分，，
∴，
∵的周长为20
∴，
∴，
∴，
∴的周长，
故选；C．
4．（24-25八年级上·上海静安·期中）如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点．若，则 ．

【答案】2
【分析】根据可知，再根据是的中点可求出，利用可得， 可得，，结合已知可得是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质判断出即可证得，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
5．（24-25八年级上·湖北黄冈·期末）如图，周长为16cm，，垂直平分，则 cm．

【答案】5
【分析】由三角形的周长求出，根据线段垂直平分线的性质得出，，推出，由此求出，由此求出．
【详解】解：∵周长为16cm，，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴
∵垂直平分，
∴
∴
∴，
∴
故答案为：5．
6．（2023·黑龙江牡丹江·模拟预测）在中，，，点到的距离是，到的距离是，则等于
【答案】2或10
【分析】根据可判断点都在的垂直平分线上，然后分两种情况讨论：①当点在的内部时，②当点O在的外部时，分别计算即可．
【详解】解：∵，
∴点都在的垂直平分线上，
由题意知，分两种情况：
①当点在的内部时，；
②当点O在的外部时，；
故答案为：2或10．
7．（24-25八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，垂足为D，PQ是BC边的垂直平分线，交BC于点Q，交AC于点P，．若的周长是，，则的长是 ．
【答案】/8厘米
【分析】先根据垂直平分线的性质得到，，，再求出，，即可求出．
【详解】解：∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵PQ是BC边的垂直平分线，
∴，，
∴，
∵的周长是，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴．
故答案为：
题型八：垂直平分线中尺规作图（解答题）
1．（2025·广西崇左·模拟预测）如图，已知．
(1)尺规作图：作边的垂直平分线，交于点D，交于点E；（保留作图痕迹，不要求写作法，标明字母）
(2)在（1）的条件下，连接．若的周长为16，，求的周长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】此题考查垂直平分线的作图和性质．
（1）利用基本作图作出的垂直平分线；
（2）根据线段垂直平分线的性质得，，再利用三角形的周长的定义和等线段代换得到，然后计算的周长．
【详解】（1）解：如图，为所作；
（2）解：垂直平分，
，，
∴
的周长为，
即，
，
即，
的周长为．
2．（上海市浦东区2024-2025学年下学期七年级数学期末试卷）如图，在Rt中，
(1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点
(2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解决问题的关键．
（1）基本作图，作线段的垂直平分线，分别交线段于点，点即为所求作；
（2）根据线段垂直平分线的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：如图，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于两点，作直线，分别交线段、与点，点即为所求作；
（2）解：是线段的垂直平分线，
．
3．（2025·广东惠州·二模）如图，在中，是钝角．
(1)实践与操作：用尺规作图，作的垂直平分线交于点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
(2)应用与计算：在（1）的条件下，连接，若，，求的大小．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题主要考查了作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线的做法以及性质是解题的关键．
（1）分别以点A、C为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线交于D．
（2）由线段垂直平分线的性质得出，由三角形内角和定理得出，再根据角的和差关系即可得出答案．
【详解】（1）解：垂直平分线即为所求：
（2）解：∵为的垂直平分线
∴,
∴，
∵，
∴，
∴
4．（2025·黑龙江绥化·二模）是中边上的中线．
(1)尺规作图：作出的三等分点E、F．（要求：保留痕迹，不写作法）
(2)当点靠近点时，连接，若，则的面积为________．
【答案】(1)作图见解析；
(2)
【分析】本题考查了三角形的重心，中线的性质及尺规作图，解题的关键是熟练掌握三角形的重心是三条中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．
（1）先作线段的垂直平分线，确定线段的中点，作边上的中线交于点，以点为圆心，为半径作圆交于点，点、点即为所求；
（2）连接、，由题意得，由、为线段的三等分点，得，由已知条件得，通过即可求解．
【详解】（1）解：如图所示，点、点即为线段的三等分点；
（2）连接、，如图所示：
是中边上的中线，
，
，
点、点为线段的三等分点，
，
，
，
；
故答案为：．
5．（2025·浙江·二模）如图，在的方格中，的顶点均在格点上．试按要求画出线段（E，F均为格点），各画出一条即可．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查平行线，垂线，垂直平分线；根据网格的特点，画出符合相应条件的图形即可．
【详解】解：线段如下图所示：
6．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，已知中．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线，分别交边，于点D，E（不写作法、保留作图痕迹并标明字母）；
(2)连接，若，的周长是18，求的周长．
【答案】(1)见解析
(2)10
【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质．
（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可；
（2）由题意得，由线段垂直平分线的性质可得，则可得的周长为．
【详解】（1）解：如图，直线即为所求．
（2）解：连接，
∵的周长是18，
∴，
∴，
∵直线为线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长为．
7．（24-25八年级上·河北保定·期末）某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站E，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(1)如图1，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位置（要求利用尺规作图）；
(2)如图2，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站E的位置．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查作图一应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、轴对称一最短路线问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质、轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）结合线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，交直线m于点D，则点D即为所求．
（2）取点C关于直线m的对称点，连接交直线m于点E，则点E即为所求．
【详解】（1）解∶如图1作线段的垂直平分线，交直线m于点D，则点D即为所求．
（2）解：如图， 取点C关于直线m的对称点，连接交直线m于点E．此时，为最小值，则点E即为所求，
9．（24-25八年级上·广西柳州·期中）电信部门要在高速公路n上修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质，作线段垂直平分线交n于点P即可．
【详解】解：如图，点P即为所求，
题型九：垂直平分线的判定中相关求解（解答题）
1．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在四边形中，，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，点在线段上，且，连接．求证：
(1)；
(2)垂直平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质．熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．
（1）由平行线的性质可得出，再根据点E是的中点，即得出，由对顶角相等得出，即证明，得出；
（2）由，得出．根据题意又易证，结合，可证，即得出，即，从而可得结论．
【详解】（1）证明：∵，即，
∴．
∵点E是的中点，
∴．
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，即．
∴垂直平分．
2．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O，的周长为10．
(1)求的长；
(2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)点在边的垂直平分线上，理由见解析
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）根据线段垂直平分线的性质得到，同理，于是得到结论；
（2）连接，，，根据线段垂直平分线的性质与判定即可得到结论．
【详解】（1）垂直平分，
，
同理，
；
（2）点在边的垂直平分线上，
理由：连接，，，
与是，的垂直平分线，
，，
，
点在边的垂直平分线上．
3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，是的角平分线，分别是和的高，连接、交于点O．
(1)证明：；
(2)证明：垂直平分．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．
（1）用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质，得出，，说明点、在线段的垂直平分线上，即可证明结论．
【详解】（1）证明：是的角平分线，
，
，分别是和的高，
，
在和中，
，
；
（2）证明：，
，，
点、在线段的垂直平分线上，
垂直平分．
4．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）如图，四边形中，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．
(1)线段和线段的位置关系是 ；
(2)求证：；
(3)在“筝形”中，已知，求“筝形”的面积．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分的判定；
（1）根据垂直平分线的判定即可得出证明；
（2）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可；
（3）根据进行计算即可．
【详解】（1）是线段的垂直平分线，理由如下：
∵，，
∴在的垂直平分线上，
则线段和线段的位置关系是
故答案为：．
（2）证明：在和中，
，
∴；
（3）∵
∴
∴“筝形”的面积为：．
5．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．已知筝形的对角线，相交于点．
(1)请判断与之间的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)，理由见解析
(2)24
【分析】本题考查线段垂直平分线的判定、四边形的面积等知识点，掌握垂直平分线的判定方法是解题的关键．
（1）先说明点B、点D都在线段的垂直平分线上即可证明结论；
（2）根据以及三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）解：．理由如下：
，
点在线段的垂直平分线上．
，
点在线段的垂直平分线上，
是线段的垂直平分线，
．
（2）解：由（1）得，，
．
6．（24-25八年级上·天津东丽·期中）如图，与相交于点O，，，．
(1)求证；
(2)求证：垂直平分．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
（1）证明，可得结论；
（2）根据线段的垂直平分线的判定解决问题即可．
【详解】（1）证明：在与中，
，
∴，
∴．
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴点O在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
7．（24-25八年级上·山东德州·期中）已知：如图，在中，，，点是的中点，，垂足为点，交的延长线于点，
(1)求证：；
(2)连接，求证：垂直平分．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
（1）根据平行的性质证，即可证明，可得，易证，即可解题；
（2）连接交于点，易，，根据，可求得，即可证明，可得，，即可求得，即可解题．
【详解】（1），
，
，，
，
在和中，
，
，
点是的中点，
，
；
（2）连接交于点，
,点是的中点，
，
，
，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
，，
，
，
垂直平分．
8．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，平分，于点，于点，连接．
(1)试说明；
(2)与相等吗？请说明理由；
(3)是否垂直平分，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)，理由见解析
(3)垂直平分，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，线段垂直平分线的判定：
（1）利用证明，即可证明结论；
（2）设交于H，证明得到，再利用平角的定义即可证明结论；
（3）根据全等三角形的性质得到，再由线段垂直平分线的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：，理由如下：
设交于H，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：垂直平分，理由如下：、
∵，
∴，
∴点O和点E都在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分．
9．（24-25八年级上·山东日照·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点．
(1)若，求的周长；
(2)试判断点是否在的垂直平分线上，并说明理由；
【答案】(1)12
(2)点在的垂直平分线上，理由见解析
【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定，解题关键是熟练运用垂直平分线的性质与判定进行推理证明与计算；
（1）根据垂直平分线的性质得出，，再根据，求出的周长即可；
（2）连接，，，证明即可．
【详解】（1）解：，的垂直平分线分别交于点，，
，，
的周长；
（2）解：点在的垂直平分线上，理由如下：
连接，，，
，分别是，的垂直平分线，
，，
，
点在的垂直平分线上；
题型一：垂直平分线的性质中最值问题
1．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是、上的动点，若，当的值最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，证明垂直平分，推出，由三角形三边关系可知，，即的值最小为，通过证明，推出，因此利用三角形外角的性质求出即可．
【详解】解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，如图：
∵是的角平分线，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵两点之间线段最短，且垂线段最短，
∴当点E在点处时，最小，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即当的值最小时，的度数为．
故选：C．
2．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形中，，，在直线，上分别找一点，，使得的周长最小，此时的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查中垂线的判定和性质，等边对等角，延长至点，延长至点，连接，推出垂直平分，垂直平分，得到，进而得到的周长，得到当四点共线时，的周长最小，根据等边对等角，三角形的内角和定理，求出的度数即可．
【详解】解：延长至点，延长至点，连接，
则：，
∵，
∴垂直平分，垂直平分，
∴，
∴的周长，
∴当四点共线时，的周长最小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A．
3．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，直线m是中边的垂直平分线，P是直线m上的一动点，则的周长的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，两点间线段最短原理，熟练掌握线段最短原理是解题的关键．根据直线m是中边的垂直平分线，得到点B与点C关于直线m对称，故当点P位于直线m与的交点处时，取得最小值，此时的周长的最小值为，代入计算即可．
【详解】解∶ 因为直线m是中边的垂直平分线，
所以点B与点C关于直线m对称，
故当点P位于直线m与的交点处时，取得最小值，
所以的周长的最小值为，
因为，
所以的周长的最小值为．
故答案为：4．
4．（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图，等腰的底边，面积为18，直线是腰的垂直平分线，若点D在上运动，点F在边上运动，则的最小值为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．连接，由线段垂直平分线的性质可得，得到，可知当点A、D、F三点共线且时，的值最小，即等于的长，利用三角形的面积求出的长即可求解．
【详解】解：在等腰中，直线是腰的垂直平分线，如图1，连接，
∴，
∴，
当点A、D、F三点共线且时，的值最小，即等于的长，如图2，
∵，等腰的面积为18，
∴，
∴，
∴的最小值为9，
故答案为：9．
5．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，在中，，，是的垂直平分线，点P是直线上的任意一点，则的最小值是
【答案】6
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，根据线段的垂直平分线的性质可得，根据两点之间线段最短即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵是的垂直平分线，
∴，
根据两点之间线段最短知，，其值最小，
所以的最小值即为的长，
所以的最小值为6．
故答案为：6．
6．（24-25八年级上·吉林延边·期末）如图，中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值为 ．
【答案】14
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题的应用、垂直平分线的性质、三角形周长，解答本题的关键是准确找出动点的位置．由图形可得：周长，因为，所以求出的最小值即可求出周长的最小值，根据题意知点A关于直线EF的对称点为点B，故当点P与点E重合时，的值最小，即可得到结论．
【详解】解：如图所示，连接，，
∵直线垂直平分，
∴A，B关于直线对称，
∴，，
在中，
，
∴当P和E重合时，C、P、B三点共线，
此时，的值最小，最小值等于的长，
∴周长的最小值，
故答案为：14．
7．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，，的周长为18．若点在直线上，连接、，则 ，的最大值为 ．
【答案】 8 8
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，掌握相关图形的性质是解题的关键．
先找出的长，再确定的取得最大值为的长即可．
【详解】解：∵的垂直平分线交于点F，交于点E，
∴，
∵的周长是18，，
∴的周长，
点P在直线上，如图，连接，

∵点P在的垂直平分线上，
∴，
∴，
故的最大值为8，此时点P是直线与直线的交点．
故答案为：8，8．
8．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，，垂直平分边，交于点D，交于点E，动点P在线段上，连接，，则周长的最小值为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
如图：连接，先根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的周长为，再根据两点之间线段最短可得当点P与点E重合时，取得最小值，最小值为的长，据此即可解答．
【详解】解：如图：连接，
∵垂直平分边，
∴，
∵，
∴的周长为，
由两点之间线段最短可知，当点P与点E重合时，取得最小值，最小值为的长，
∵，
∴的周长最小值．
故答案为：12．
题型二：垂直平分线的性质和判定中多结论问题
1．（24-25八年级下·宁夏银川·阶段练习）如图，是的角平分线，分别是和的高，得到下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　）
A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④
【答案】D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，可证明得到，进而可证明垂直平分，据此逐一分析判断即可．
【详解】解：∵是的角平分线，分别是和的高，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
根据现有条件无法证明，
∴正确的有②③④，
故选：D．
2．（24-25八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．如图所示，延长到点，使得，连接，设交于点，可证，根据全等三角形的性质可判定①②④，根据角平分线的性质定理可判定③；由此即可求解．
【详解】解：如图所示，延长到点，使得，连接，设交于点，
∵，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，故①正确；
∴，故②正确；
∴，即，故④正确；
∵，
∴平分，
当时，，即，
∵无法确定与的数量关系，
∴无法确定，故③错误；
综上所述，正确的有①②④，
故选：C ．
3．（24-25八年级上·山西大同·期中）如图，在四边形中，与交于点O，其中，．下列结论：①；②垂直平分；③平分；④．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质和判定．①由证明；②根据垂直平分线性质即可判断；③根据垂直平分线性质即可判断；④根据三角形面积公式得到四边形的面积四边形的面积即可判断．
【详解】在与中，
，
∴，故①正确；
，，
垂直平分，故②正确；
∵不一定等于，不一定等于，
∴不一定垂直平分
∴不一定平分，故③错误；
∴四边形的面积，故④正确；
综上所述，①②④正确，共3个正确．
故选：C．
4．（24-25八年级上·河北张家口·期末）如图，在中，于点D，平分，且于点E，与相交于点F，于点H，交于点G．以下结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据可得出，利用判定，从而得出，．则，即；再利用判定，得出，又因为所以，连接，由是等腰直角三角形，即．又因为，得垂直平分．即．在中，是斜边，是直角边，所以．即．
【详解】解：∵，
∴是等腰直角三角形．
∴．故①正确；
在和中，
∵，，且，
∴．
又∵，
∴．
∴；．
∵，
∴；故②正确；
在和中，
∵平分，
∴．
又∵
∴．
∴．
又由（2）知，
∴；故③正确；
连接．
∵是等腰直角三角形，
∴
又，
∴垂直平分．
∴
在中，是斜边，是直角边，
∴．
∵，
∴．故④错误．
综上，正确的是①②③，
故选：C．
5．（24-25八年级下·内蒙古包头·期中）如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是的高；②是的中线；③；④．其中正确的有 ．（填序号）
【答案】①②③④
【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、平行线的性质及角平分线的性质是解题的关键．由角平分线的定义及平行线的性质可得，然后可证，，进而问题可求解．
【详解】解：∵平分，恰好平分，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，即是的高，故①正确；
∵，，
∴，
∴，，即是的中线，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，故③正确；
∵，，，
∴，故④正确；
故答案为：①②③④．
6．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，在中，，以为边，作，满足，点E为上一点，连接，，下列结论：①；②；③若，则；④．正确的有 ．（填序号）
【答案】①③④
【分析】因为，且，所以需要构造2倍的，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以①是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，故③是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故②是错误的．
【详解】解：如图，延长至G，使，设与交于点M，
∵，
∴，
∴垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，，故①是正确的；
∵，
∴，
∴平分，
当时，，则，
当时，，则无法说明，故②是不正确的；
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故③是正确的；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故④是正确的，
故答案为①③④．
7．（23-24八年级上·江苏·期中）如图，四边形的对角线、相交于点，，下列结论：①；②；③；④．其中不正确结论的序号是 ．
【答案】④
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质等知识，由全等三角形的性质得出，，，，再由全等三角形的判定定理得出，进而得出其它结论，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】，
，，，，
，故①正确，不符合题意；
四边形的对角线、相交于点，
，
在和中，
，
，故③正确，不符合题意；
，故②正确，不符合题意；
，
，
故④不正确，符合题意；
故答案为：④．
8．（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在中，，，分别为，边上的高，，相交于点，连接，则下列结论：；；；若，则周长等于的长其中正确的有 写出所有正确结论的序号
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，外角的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键．
延长交于，先利用“”证明，得出，，可判断①符合题意；由，得出，再由三角形外角的性质，可判断②不符合题意；由，，得出，得出，可判断③符合题意；由，，可证明垂直平分，得出，，得出的周长，可判断④符合题意；即可得出答案．
【详解】解：如图，延长交于，
，分别为，边上的高，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，故①符合题意；
，
，
，
，故②不符合题意；
，，
，
，故③符合题意；
，，
，
，
，
垂直平分，
，，
的周长
，故④符合题意．
故答案为：．
题型三：垂直平分线的性质和判定综合压轴题
1．（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．
2．线段垂直平分线
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：．
AI
分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明．
（1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________．
（3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________．
【答案】（1）见解析；（2）24；（3）
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、最短路径等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质是关键．
（1）证明即可得证；
（2）利用线段垂直平分线的性质得出，，然后根据三角形的周长和线段的和差关系即可求解；
（3）在上取点F，使，过点B作于H，证明得出，证明得出，则，故当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为，然后根据三角形面积求出即可．
【详解】（1）证明：在和中
，
∴，
∴；
（2）解：∵、的垂直平分线分别交于点、，
∴，
∴，
∵，
∴，即的周长为24．
故答案为：24；
（3）解：在上取点F，使，过点B作于H，
在和中
，
∴，
∴，，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为，
∵，的面积为30，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
2．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）综合与实践
问题情境：数学课上，同学们利用两个全等的直角三角形的纸片进行图形变换的操作探究．如图，，，．将和按如图1的方式在同一平面内放置，其中点E与点A重合，边与边重合．

初步思考：（1）小丽在图1的基础上进行了如下操作：保持不动，将沿着射线的方向平移，边与边交于点H，边与直线交于点G．如图2，当点H为边的中点时，判断线段与线段的数量关系，并说明理由；
问题探究：（2）请在图2的基础上进行如下操作：连接，．求证：垂直平分；
拓展延伸：（3）小颖在图1的基础上进行如下操作：，保持不动，将沿着射线的方向平移，如图2，在平移的过程中，当点F平移到的边所在的直线上时，请直接写出平移的距离．
【答案】（1），理由见解析（2）详见解析（3）或
【分析】（1）利用中点的含义与含的直角三角形的性质可得结论；
（2）如图，连接，证明，再利用线段的垂直平分线的判定即可得到答案；
（3）①当点F落在边所在直线上时，如图，②当点F落在边所在直线上时，如图，再进一步利用全等三角形的性质，结合勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）．理由：在中，，，，
点H为边的中点，
，
．
（2）证明：如图，连接，
由平移可知：，
，
，
，
在与中：
，
，
，
点G在的垂直平分线上，
，
点D在的垂直平分线上，
垂直平分．
（3）或．理由如下：
①当点F落在边所在直线上时，如图，
由平移可知：，
，，
∴，而，，
，
，
在中，，，，
∴，
，
，
在中，，，
，
；
②当点F落在边所在直线上时，如图，
过点E向边所在直线作垂线，交边所在直线于点H，
由平移可知：，
，
，
，
在中，，，
同理：，
．
综上，平移距离为或．
3．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答：
（1）①由已知和作图能得到，依据是____________．
A． B． C． D．
②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是____________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
类比探究：（2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，，求的面积．
（3）拓展延伸：如图3，四边形中，，E是的中点，
①若四边形的面积为m，求证：的面积为．
②若，则、、三者之间的数量关系为______．
【答案】（1）①B；②（2）27（3）
【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，平行线的性质，垂直平分线的性质．
（1）①由是中线得到，又，，通过“”可证．据此可解答；
②由，，根据三角形的三边关系有，即，又，因此；
（2）延长至，使得，可证得，得，，，可知，得，结合，可证，即可证得，再由即可求解；
（3）①延长交于，证明，得，，可知，再结合，即可证明结论；
②由①可知，则，，结合题意可知，可得垂直平分，进而可得．
【详解】解：（1）①∵是中线，
∴，
在和中，
，
∴．
故选：B；
②解：∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）延长至，使得，
∵是中线，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）①延长交于，
∵，
∴，，
又∵是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为；
②由①可知，则，，
∵，
∴，即，
∴垂直平分，
∴，
故答案为：．
4．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？
【自主研究】（1）如图①，直线l是线段 的垂直平分线，点P在直线l的左侧，经测量， 请证明这个结论；
【迁移研究】（2）如图②，直线l是线段的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线l的同测，点D 是直线l上的任意一点，连结，试判断和之间的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）理由见解析；（2），理由见解析
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形三边的关系，关键是掌握线段垂直平分线上的任意一点，到线段两端点的距离相等．
（1）如图①，连接，由线段垂直平分线的性质推出，由三角形三边关系定理得到，推出；
（2）如图②，当D不在线段上时，连接，由线段垂直平分线的性质推出，由三角形三边关系定理得到，当D在线段上时，，于是．
【详解】（1）证明：如图①，连接，
∵直线l是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图②，，理由如下：
当D不在线段上时，连接，
∵直线l是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
当D在线段上时，，
综上可知，．
5．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）【问题探究】
（1）如图1，在中，点是上一点，点是的中点，连接并延长到点，过点作交于点，连接，求证：；
【问题解决】
（2）如图2，四边形是一个工业区，点是一个入口，是两个仓库，点分别是粗加工厂和精密加工厂，点分别在上，是两条小路，是两条运输公路，为方便从粗加工厂运输到精密加工厂，现要沿修建一个运输轨道，为了估计成本，现管理人员需要知道运输轨道与运输公路之间的数量关系．已知，．请你帮助管理人员探索线段之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）见解析；（2），见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，线段垂直平分线的判定以及性质以及三角形三边关系的应用．构造全等三角形是解题的关键．
（1）先证明，由全等三角形的性质得出，再根据线段垂直平分线的判定以及性质得出，根据三角形三边关系可得出 ，等量代换可得出．
（2）延长至点，使，连接，先证明，再证明，由全等三角形的性质以及线段的和差等量代换可证明．
【详解】证明：（1）点是的中点，
，
，
，
．
，
垂直平分 ，
，
在 中，
，
．
（2），
证明如下：
如图，延长至点，使 ，连接 ，
，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
6．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）【教材呈现】如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．
【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，请完成证明“”的推理过程．
（1）求证：．
（2）求的取值范围．
【问题解决】
（3）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）6
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
（1）延长到点，使，连接，先根据线段中点的定义可得，再利用定理即可得证；
（2）先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，由此即可得；
（3）延长，交的延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再证出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质即可得．
【详解】（1）证明：如图，延长到点，使，连接，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：由（1）已证：，
∴，
在中，，即，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（3）解：如图，延长，交的延长线于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
又∵，，即，
∴垂直平分，
∴．
7．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）在等腰直角三角形中，，，点在射线上，点在直线上，垂直平分线段交直线于点．
(1)如图1，若点在线段的延长线上，点在线段上．求证：；
(2)如图2，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时．
①请写出，，之间的数量关系并证明；
②若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①，证明见解析；②
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的综合问题，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）根据垂直平分线得到，再由即可证明全等；
（2）①同理可证明：，那么，由可得；②先证明，则，故，那么，而，因此得到．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵垂直平分
∴
在和中，

∴；
（2）①解：，理由如下：
证明：∵垂直平分
∴，
同（1）可证明：
∴
∵
∴；
②解：∵垂直平分
∴，
又
∴
∴
∴
∴
又∵
∴．
1．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质以及全等三角形的判定与性质等知识；
根据线段垂直平分线的判定和性质可判断A选项，证明可判断B、C选项，由，不能判断，即可判断D选项，进而可得答案.
【详解】解：A、∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴四边形是筝形；
B、∵，，，
∴，
∴，
∴四边形是筝形；
C、∵，，，
∴，
∴，，
∴四边形是筝形；
D、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形；
故选：D.
2．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ）
A．的三条中线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三边的垂直平分线的交点
D．三条高所在直线的交点
【答案】C
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解三角形三条中线的交点、三条角平分线的交点、三边的垂直平分线的交点、三条高所在直线的交点之间的区别．根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等即可求解．
【详解】解：凉亭到草坪三个顶点的距离相等，
凉亭应选的位置是三边的垂直平分线的交点，
故选：C．
3．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为12，则的周长为（ ）
A．17 B．22 C．29 D．30
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的性质．先根据垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式即可得．
【详解】解：是的垂直平分线，
，
的周长为，，
的周长为
，
故选：B．
4．（24-25八年级上·陕西渭南·期中）如图，在中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点，连接、，若，，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键．
连接，由直线是线段的垂直平分线，则，又周长为，则当点三点共线时，周长最小，为，然后代入即可求解．
【详解】解：连接，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴周长为，
则当点三点共线时，周长最小，
∴周长的最小值为，
故选：．
5．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交于点D、E，连接．若平分，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查中垂线的性质，与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形的内角和定理求出的度数，中垂线的性质，角平分线的定义，推出，进而求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵的垂直平分线分别交于点D、E，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
6．（24-25八年级上·河北保定·期中）在中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点．若，则的周长为（　　）
A．8 B．10 C．14 D．10或14
【答案】D
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得：，分两种情况：当点在点左侧时，当点在点的右侧时，根据三角形的周长公式求解即可得到答案．熟练掌握垂直平分线性质，数形结合，分类讨论是解决问题的关键．
【详解】解：当点在点左侧时，如图所示：
由垂直平分线性质可知，
∴；
当点在点的右侧时，如图所示：
由垂直平分线性质可知，
∴；
综上所述，的周长为10或14，
故选：D．
7．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交，于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．由，可得，根据线段垂直平分线的性质可得：，，推出，，再结合三角形的外角性质可得，最后根据，即可求解．
【详解】解：，
，
在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，
，，
，，
，，，
，
，
故选：B．
8．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，将三角形纸片的一角沿的垂直平分线翻折，折痕为，点与点重合，已知，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了垂直平分线性质，根据垂直平分线性质得到，再结合求解，即可解题．
【详解】解：为的垂直平分线，，
，
，
则
；
故答案为：．
9．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线l是线段的垂直平分线，交于点O，P为直线l上一点，则下列说法：①点O是线段的中点；②直线l是线段的对称轴；③线段是的垂线，其中正确的有 ．
【答案】①②/②①
【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．根据垂直平分线的性质进行判断即可．
【详解】解：直线是的垂直平分线，
点为的中点，故①正确，
直线是的垂直平分线，
直线l是线段的对称轴，故②正确，
直线是的垂直平分线，
直线是的垂线，故③不正确
故答案为：①②．
10．（24-25八年级上·上海嘉定·期中）如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点F．若，则 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握线段的垂直平分线的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．
根据可知，再根据是的中点可求出，利用可得， 可得，，结合已知可得是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质判断出即可证得，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
又∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
11．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作圆弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，连接交于点．若，，，则的周长为 ．
【答案】17
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，由作图可得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长．
【详解】解：由作图可得垂直平分，
∴，
∴的周长为，
故答案为：17．
12．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，在中、、于点、是的垂直平分线，求证：平分．
【答案】详见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的性质等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，得到，即可得到结论．
【详解】证明：，
．
又是的垂直平分线，
，
在和中，
，
，
平分．
13．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，A，B，C三点表示三个居民区，为了方便居民就近购物，计划新建一个综合超市，要使超市到三个居民区距离相等，请你在图中用尺规确定超市位置．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质的应用，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等知，作出的中垂线相交于点P即为所求．
【详解】解：如图，点P即为超市位置．
14．（24-25八年级上·安徽池州·期末）【问题提出】
数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
【问题探究】
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程．
（1）求证：；
证明：延长到点E，使
是的中点（已知）
（中点定义）
在和中
∴（________）
（2）探究得出的取值范围是_______；
【问题解决】
（3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长．
【答案】（1）对顶角相等，SAS；（2）；（3）
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是作辅助线．
（1）根据对顶角相等可得理由，再结合三角形的判定方法可得答案；
（2）根据全等三角形的性质可得，再结合三角形的三边关系可得答案；
（3）延长交于点，证明，根据全等性质得，，利用，结合线段的垂直平分线的性质即可求得答案．
【详解】证明：延长到点E，使
是的中点（已知）
（中点定义）
在和中
∴（）；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）延长交于点，如图

∵，，
∴
在和中
∴
∴，，
∵，
∴，
∴．
15．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）在等腰直角三角形中，，，点在射线上，点在直线上，垂直平分线段交直线于点．
(1)如图1，若点在线段的延长线上，点在线段上．求证：；
(2)如图2，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时．
①请写出，，之间的数量关系并证明；
②若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)①，证明见解析；②
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的综合问题，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
（1）根据垂直平分线得到，再由即可证明全等；
（2）①同理可证明：，那么，由可得；②先证明，则，故，那么，而，因此得到．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵垂直平分 ，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：①，理由如下：
证明：∵垂直平分，
∴，
同理可证明：，
∴ ，
∵ ，
∴；
②∵垂直平分 ，
∴， ，
又，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴ ，
又∵
∴．
16．（24-25八年级上·四川广元·期末）（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接，这样就把，，集中在中，则中线的取值范围是______．
（2）如图2，在中，D是边的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接．试判断与之间的大小关系，并说明理由．
（3）如图3，在四边形ABCD中，，，，以C为顶点作，边，分别交，于点E，F，连接．试判断，与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）；（2），见解析；（3）
【分析】本题考查全等三角形的综合应用，涉及三角形全等的判定及性质，三角形三边关系，线段垂直平分线的性质，添加常用辅助线构造全等三角形是解题的关键．
（1）延长到点使，再连接，证明，可得，再由三角形三角关系可得；
（2）延长至，使，连接，证明，可得，连接，可知是等腰三角形，则，在中，利用三角形的三边关系可求解；
（3）延长至使，连接，证明，可推导出，再证明，则，能推导出．
【详解】解：（1）延长到点使，再连接，
，，，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案为：；
（2）．
理由：延长至，使，连接，
，，，
，
，
，，
∴是的垂直平分线，
，
在中，，即；
（3）延长至使，连接，
，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
．

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