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1.3 证明
题型一：证明的相关求解
1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了举例说明假命题．熟练掌握举例说明假命题是解题的关键．
由 ，，可知是说明命题“若，则”是假命题的反例，然后作答即可．
【详解】解：∵ ，，
∴是说明命题“若，则”是假命题的反例，
故选：D．
2．（24-25八年级上·四川眉山·期末）用反证法证明“已知，．求证：”．第一步应先假设 ．
【答案】
【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与条件相反的假设即可
【详解】解： “已知，．求证：”．第一步应先假设．
故答案为：．
3．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）好久未见的A，B，C，D，E五位同学欢聚一堂，他们一见面便相互握手一次，中途统计各位同学握手次数为：A同学握手4次，B同学握手3次，C同学握手2次，D同学握手1次，请你推断一下，E同学握手 次．
【答案】2
【分析】本题考查了逻辑推理能力，根据握手次数进行推导是解题的关键．共有5个人，A同学握手4次，则A与B、C、D、E每人握手一次，则B、C握手一定不是与D握手，依此类推即可确定．
【详解】解：共有5个人，A同学握手4次，
A与B、 C、 D、 E每人握手一次，
D同学握手1次，
B、C握手一定不是与D握手，
B握手3次，D握手1次，
B握手3次一定是与A、 C、 E的握手，
C握手2次，
C是与A和B握手，
E一共握手2次，是与A和B握手．
故答案为：2．
4．（24-25八年级下·全国·课后作业）用反证法证明（填空）：两直线平行，同位角相等．
已知：如图，直线，被所截，A，B为交点，．
求证：．
证明：假设所求证的结论不成立，
即____________________．
过点A作直线，使与所成的与相等，则__________，
所以直线与直线不重合．
但（____________________），又已知，这与基本事实“____________________”产生矛盾．所以__________不成立．
所求证的结论成立．
【答案】、，，同位角相等，两直线平行，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
【分析】假设命题的结论不成立，从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾即可．
【详解】解：假设所求证的结论不成立，
即．
过点A作直线，使与所成的与相等，则，
所以直线与直线不重合．
但（同位角相等两直线平行），又已知，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”产生矛盾．所以不成立．
所求证的结论成立，
故答案为：、，，同位角相等，两直线平行，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，．
5．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知：如图，，求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行线的性质定理，进而得出，则，即可得出．
【详解】证明：过点C作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
6．（24-25八年级上·全国·课后作业）证明命题“三角形三个内角的和等于”是真命题．
【答案】见详解
【分析】先写出已知、求证，再画图，然后证明．过点A作，利用，可得，而，利用等量代换可证．
【详解】解：已知：如图，，
求证：，
证明：过点A作，
∵，
∴，
∵，
∴．
即知三角形内角和等于．
7．（24-25八年级上·全国·课后作业）命题“若n是自然数，则代数式的值是3的倍数”是真命题还是假命题？如果你认为是假命题，请说明理由：如果认为是真命题，给出证明．
【答案】真命题，证明见解析
【分析】要判断命题是真命题还是假命题，只需代数式是否能分解成含因数3的整式．
【详解】命题是真命题，理由如下：
，
由n是自然数可知，是自然数，
则是3的倍数，
即代数式的值是3的倍数，
命题是真命题．
8．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知：如图，直线、被直线所截，，B为垂足，．求证：．
证明：∵（　　），
∴___________（　　）
∴___________（　　）
∴（已知），
∴（　　）
∴，
∴（　　）
【答案】已知；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义；垂直的定义
【分析】先证明得到，根据垂直的定义得到，则，即可证明．
【详解】证明：∵（已知），
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∵（已知），
∴（垂直的定义）
∴，
∴（垂直的定义），
故答案为：已知；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；垂直的定义；垂直的定义．
题型二：三角形外角中三角板问题
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点在边上，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，三角板中角度计算，解题的关键是构建未知量和已知量之间的关系．
记交于点，利用平行线的性质得到，再根据求解，即可解题．
【详解】解：记交于点，如图所示：
，，
，
，
；
故选：C．
2．（24-25八年级下·贵州铜仁·期中）将一副三角板如图放置，使含角的三角板的一段直角边与含角的三角板的一段直角边重合，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形外角的性质，三角板中角度的计算，可证明，得到，再由三角形外角的性质可求出答案．
【详解】解：如图所示，∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
3．（2025·河北唐山·三模）将一块含角的直角三角尺和直尺如图放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质；由平行线的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解；能熟练利用平行线的性质，三角形外角的性质求角度是解题的关键．
【详解】解：如图，
由题意得：，
，
，
，
，
故选：A．
4．（2025·安徽六安·二模）如图，已知，将含角的直角三角板放在直线a，b之间，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，据此即可求出答案．
【详解】解：如图，
，
，
，
，
故选：B．
5．（24-25九年级下·山东德州·期中）一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角相等，正确记忆相关知识点是解题关键．
根据三角板得出，，根据，得出，再根据三角形外角的性质和对顶角相等即可求解．
【详解】如图；
，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
6．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，三角形是由三角形平移得到的，点D在边上，连接．若和中其中一个角是另一个角的3倍，，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查图形的平移的性质，三角形外角和性质的综合，理解图示，掌握平移的性质，平行线的性质，三角形外角和的性质等知识是解题的关键．
根据图形的平移，可知是的外角，可得，分类讨论，当时；当时；根据角的和差倍分关系即可求解．
【详解】解：如图所示，设与交于点，
∵三角形平移得到三角形，
∴，
∴，
∵是的外角，
，
当时，，
解得，；
当时，则，
∴，解得，；
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
7．（2025·江西新余·一模）如图，将一副三角尺按图中所示的位置摆放，点在上，，则的度数是 ．
【答案】/15度
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到，利用外角的性质得到，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
，
，
由三角形外角的性质可知，
．
故答案为：
题型三：三角形外角的实际应用
1．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为 （ ）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
【答案】C
【分析】本题考查三角形三角形外角的性质及角平分线的定义，起吊物体前，设，根据题意可得，则，物体被吊起后，可得，增大了，由即可解答．
【详解】解：起吊物体前，设，
，支撑臂为的平分线，
，
；
物体被吊起后，
机械臂的位置不变，，，
，
增大了，
，
，
，
的变化情况为增大．
故选：C．
2．（2025·陕西西安·模拟预测）汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成．如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后均平行于地面射出，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，由反射后的光线均平行于地面，可得，由三角形外角的性质可得，结合即可求解．
【详解】解：如图，
反射后的光线均平行于地面，
，
，，
．
故选C．
3．（24-25九年级下·河南商丘·期中）如图是一款婴儿车的平面示意图，其中，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．根据三角形的外角性质即可求出，进而根据平行线的性质得出．
【详解】解：∵
∵，
∴
故选：D．
4．（24-25七年级下·广东梅州·期中）如1图所示是一辆自动变速自行车的实物图，如2图所示是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点P，，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，三角形的外角性质．由平行线的性质得到，再由三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：∵，，
，
，，
，
故选：C．
5．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质、角形外角的性质、顶角的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
先根据平行线的性质可得，由三角形外角的性质即可求出的度数．然后根据对顶角相等即可解答．
【详解】解：如图，
∵，
，
，
∴，
∵，
∴，
．
故选A．
6．（2025·四川绵阳·二模）某物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质，根据题意结合图形可知是重力与斜面形成的三角形的外角，从而可求得的度数．
【详解】解：重力的方向竖直向下，
重力与水平方向夹角为，
摩擦力的方向与斜面平行，，
，
故答案为：．
7．（2025·广东深圳·二模）如图，一束激光射入水面，在点处发生折射，折射光线在杯底形成光斑点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点处发生折射，光斑移动到点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行四边形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
由三角形外角性质得，又，，则四边形是平行四边形，最后通过平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：．
题型四：三角形的外角与平行线的结合
1．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，直线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，灵活运用所学知识是解题的关键．
根据三角形外角的性质可得，再由平行线的性质，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C
2．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在中，，为延长线上一点，过点作．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质定理和外角的性质定理，熟记性质定理是解题关键．
根据，可得，根据外角的性质，可得－．
【详解】解：，
，
是的外角，，
－．
故选：C．
3．（2025·湖北·二模）如图，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，先由平行线的性质得到的度数，再根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和即可得到答案．
【详解】解：如图所示，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
4．（2025·山东威海·二模）如图，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识，根据平行线的性质得到再由三角形外角的性质即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴
∴,
故选：C
5．（2025·湖南怀化·三模）如图，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角的性质．根据平行线的性质可得，进而根据，即可求解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
故选：B．
6．（2025·陕西西安·模拟预测）唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
，
故选：A．
7．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，已知直线，，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，由三角形外角的性质得到，再根据平行线的性质即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
题型五：三角形的外角与角平分线的结合
1．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四边形中，，和的平分线交于点P，则的度数为 ．
【答案】/230度
【分析】本题考查角平分线的定义，四边形的内角和，三角形的外角，先根据角平分线的定义得出，根据三角形的外角得出，进而求出，根据，进而可得出答案．
【详解】解：∵和的平分线交于点P，
∴，
∵，
∴，
∴，
在四边形中，，
∴，
∴，
故答案为：．
2．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在△ABC中，平分，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】由三角形的内角和定理可求解的度数，结合角平分线的定义可得的度数，利用垂直的定义以及三角形外角性质得，最后运用三角形内角和性质列式计算，即可作答．本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角性质，角平分线的定义，垂直的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：
3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，平分，于点M，交的延长线于点N，已知，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形内角和定理和外角的性质，角平分线的定义，找出已知角和未知角的关系是解题的关键．
通过角平分线和垂直关系，找出未知角和已知角和的关系，代入即可．
【详解】解：平分，
，
∵，
，
，，
，
，，，
，
，
∵
．
故答案为：．
4．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在△ABC中，已知的平分线与交于点D，，，则的度数为 ．

【答案】
【分析】由三角形内角和定理求出，由角平分线定义得到，由三角形的外角性质推出，本题考查三角形的外角性质，三角形内角和定理，关键是由三角形内角和定理求出的度数，由三角形的外角性质得到
【详解】解：，，
，
平分，
，
故答案为：
5．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，是△ABC的外角的平分线，若，，则的度数是 ．
【答案】/94度
【分析】本题考查的是三角形的外角性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形外角等于其不相邻两个内角之和是解题关键．
根据角平分线的定义求出，根据三角形的外角性质计算，得到答案．
【详解】解：是△ABC的外角的平分线，，
，
是△ABC的外角，，
，
故答案为：．
6．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在△ABC中，是边上的高，，平分交于点E，，则的度数为 ．
【答案】/58度
【分析】本题考查了三角形角平分线、中线和高，三角形内角和定理与三角形外角的性质，由三角形外角的性质，得到，进而得到，再根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
题型六：三角形的内角等分线和外角等分线综合
1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，点是△ABC的外角内部一点，满足，．若，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了外角的性质，解题的关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．设，，根据，，得，，根据外角的性质列式解答即可．
【详解】解：设，，
∵，，
∴，，
∵，，
∴①，②，
∵，
∴由①②得
解得．
故答案为：．
2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图，若平分平分，则 ．
【答案】/20度
【分析】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，根据角平分线定义求出，，根据三角形外角性质求出，，推出，得出，即可求出答案．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
3．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，在△ABC中，延长到D，的角平分线相交于点点．与的外角平分线交于点，与的外角平分线交于点，依次类推，与的外角平分线交于点，如果，那么 °．（用含m、n的表示）．
【答案】/
【分析】此题考查了三角形外角的性质、角平分线的相关计算等知识．根据三角形外角的性质得到，，由角平分线的性质得到，，即可得到，同理可得，进一步得到答案即可．
【详解】解：∵是的外角，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
同理可得：，
…，
∴，
故答案为：．
4．（24-25九年级下·山东济宁·期中）如图，在△ABC中，，与的平分线交于点，得，与的平分线相交于点，得；…；与的平分线交于点，要使的度数为整数，则n的最大值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟记性质与定义并求出后一个角是前一个角的是解题的关键．
利用外角等于不相邻的两个内角之和，以及角平分线的性质求，再依此类推得，,……，，即可求解．
【详解】解：∵与的平分线交于点，
∴，，
由三角形的外角性质，，，
∴，
整理得：，
同理可得，
……
其规律为：．
要使的度数为整数，的最大值为4．
故答案为：4．
5．（24-25七年级下·山东威海·期中）如图，在△ABC中，，和外角的平分线交于，得；和外角的平分线交于，得；……依次类推，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线的定义，找出角度的变化规律是解题的关键．
根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出的度数，同理求出，可以发现后一个角等于前一个角的，根据发现后一个角等于前一个角的的规律即可得解，把代入解答即可．
【详解】解：平分，平分，
，，
，，
，
，
同理可得，
……
，
，
故答案为：2．
6．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在△ABC中，，点E、F分别在边上，，，的角平分线与的角平分线交于点P，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
根据题意可知，设，表示出，根据角平分线的定义，可得的度数，根据列方程，即可求出的度数．
【详解】解：∵，平分，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
7．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，的平分线与的平分线交于点E，且，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平行线的性质，平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是关键．
过点F作，由得，，即可解答．
【详解】解：过点F作，如图
∴，
∵，的平分线与的平分线交于点E
∴，，，
∴，，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故选B．
题型七：三角形外角中特殊多边形的角度和
1．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
由三角形外角的性质得到，，继而得到，即可得到答案．
【详解】解：如图，
，，
，
故选：C．
2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图， ．
【答案】
【分析】本题考查求角度，涉及三角形外角性质、四边形内角和为等知识，先由是的一个外角，是的一个外角，得到，在四边形中，由，将代入即可得到答案．熟记三角形外角性质、四边形内角和为等知识，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：如图所示：
是的一个外角，
，
是的一个外角，
，
在四边形中，，
，
故答案为：．
3．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图， 度．
【答案】360
【分析】本题考查了三角形外角性质和四边形内角和定理，解题关键是利用三角形外角性质将所求的六个角转化为四边形的四个内角．
首先根据三角形外角的性质可知，这几个角是一个四边形的四个内角，再根据四边形的内角和即可求解．
【详解】解：设与交点为，与交点为，
在中，；
在中，．
∵，
∴．
故答案为：360．
4．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了四边形内角和定理，三角形内角和定理．由，推出，即可得到答案．
【详解】解：连接，
，
．
故答案为：．
5．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在多边形中，，，则 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了多边形的内角和定理：边形的内角和为，掌握以上知识是解题的关键；
本题连接，根据多边形的内角和公式可得五边形的内角和，进而得出，由可得的度数，然后即可求解．
【详解】解：连接，如图：
，
∵五边形的内角和为：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
6．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图所示，把一个四边形纸片的四个顶角分别向内折叠，折叠之后，4个顶点不重合，那么图中的度数是 ．
【答案】/720度
【分析】本题考查三角形外角定理、折叠的性质和四角形内角和定理，熟知图形翻折变换的性质是解题的关键．根据三角形外角定理得，，，，由折叠可知，，，，则等于四边形的内角和的2倍即可求解．
【详解】解：连接，如图，
则
∴，
同理，，，，
那么，
由折叠知，，，，，
．
题型八：三角形外角中折叠问题
1．（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，三角形纸片中，，将沿对折，使点落在△ABC外的点处，若，则的度数为 ．

【答案】
【分析】本题考查的是三角形内角和定理、折叠的性质，掌握三角形内角和等于是解题的关键．
根据三角形内角和定理求出，根据折叠的性质求出，根据三角形的外角的性质计算，得到答案．
【详解】解：如图：

，，
，
由折叠的性质可知，，
，
，
故答案是：．
2．（24-25七年级下·重庆·期中）折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，交于点．若，则当 度时，．
【答案】
【分析】本题考查了三角形内角性质以及外角性质，平行线的性质，折叠的性质，先由，得出，再结合两直线平行，同位角相等得，根据折叠性质得，最后由三角形外角性质得，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴
∵折叠，
∴，
则，
故答案为：
3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在 △ABC中， D是上一点，将沿翻折后得到边交于点F．若 中有两个角相等，则 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，折叠的性质，根据分三种情况列方程是解题的关键．由三角形的内角和定理可求解，设，则，，由折叠可知：，，可分三种情况：当时；当时；当时，根据列方程，解方程可求解x值，即可求解．
【详解】解：在中，，
∴，
∵，
∴，
设，则
∴，，
由折叠可知：，
当时，
∵，
∴，
∴，
解得（不符合题意）；
当时，
∴，
解得，
即；
当时，
∵，
∴，
∴，
解得，
即，
综上，或，
故答案为：或．
4．（24-25九年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在△ABC中，点是边上一点，连接，点关于的对称点恰好在边上，连接，若，，则的度数为 ．
【答案】80
【分析】本题考查了轴对称性质，三角形外角性质和三角形内角和定理．熟练掌握轴对称性质，三角形外角性质是解题的关键．
由三角形外角性质得，由轴对称得，由三角形内角和定理即可得答案．
【详解】解：∵，，
∴
由折叠得，
∴．
故答案为：80．
5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在三角形纸片中，，将三角形纸片沿折叠，使点C落在所在平面内的点处．若，则的度数为 ．
【答案】/50度
【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，三角形外角的性质．
首先根据折叠的性质和平角的概念得到，然后利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵将三角形纸片沿折叠，使点C落在所在平面内的点处
∴
∵
∴
∴
∵
∴．
故答案为：．
题型九：三角形外角解答题综合
1．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图，，，且．若，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形外角的定义及性质，由三角形外角的定义及性质得出，根据平行线的判定与性质证明出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
2．（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，在四边形中，E是延长线的一点，连接交于点F，若，．
(1)若，，求的度数；
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)，理由见解析．
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系．
（1）先根据对顶角的性质和已知条件证明，再根据平行线的性质证明，然后利用三角形外角的定义及性质求出即可；
（2）先根据（1）中证明的，然利用平行线的性质求证，最后利用已知条件证明，最后根据平行线的性质证明即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
由（1）可知，
∴，
∵，
∴，
∴．
3．（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)116°
【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握平行线的性质和三线八角是解题的关键．
（1）根据同位角相等得到，从而利用两直线平行同位角相等得到，继而等量代换证明，即可利用内错角相等两直线平行得到；
（2）利用三角形的外角的性质先求出，再利用平行线的性质求出即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴∠，
∴．
4．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在△ABC中，为边上的高，点D为边上的一点，连接．
(1)若点为边的中点，，△ABC的面积为30，求的长；
(2)若平分，，，求的度数．
【答案】(1)6
(2)
【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，角平分线的定义，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据三角形面积计算公式求出，再根据三角形中线的定义即可得到的长；
（2）由三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义得到的度数，接着求出的度数，最后根据三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】（1）解：，
，
∵，
，
是的中点，
；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
，
，
．
5．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由．
(2)若比大25°，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
（1）先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质可得，然后根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得；
（2）设，从而可得，再根据三角形的外角性质可求出x的值，然后根据平行线的性质即可得．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，
，
，
又，
，
；
（2）设，则，
由三角形的外角性质得：，即，
解得，
即，
由（1）已证：，
．
6．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在△ABC中，，分别是△ABC的中线和高，是的角平分线．
(1)若△ABC的面积为，，求的长；
(2)若，，求的大小．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了三角形的中线、高和角平分线，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．
（1）由三角形的中线定理可得：，，再结合，即可求解；
（2）根据三角形的外角性质可求出，根据角平分线的定义可得，最后根据三角形的内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：是的中线，的面积为，
，，
，
，
；
（2），，
，
是的角平分线，
，
是△ABC的高，
，
，
．
7．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图，点，分别在三角形的边，上，点在线段上，且，．
(1)试说明：；
(2)试说明：；
(3)若平分，，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【分析】本题考查平行线的性质、邻补角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
（1）利用平行线性质可得，从而可求得，可判定；
（2）由平行线的性质得，解和三角形
（3）利用角平分线及邻补角的定义、平行线的性质求解即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
．
（2）解：∵，
∴．
∵
∴
（3）解：平分，
，
，
，
，
，，
，
解得：，
由（1）得，
．
题型一：三角形外角中多结论问题
1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，平分，，下列结论：
①；②；③；④；⑤若，则，
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等．由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，故①正确；
∴，
∴，，
∴，
又∵平分，
∴，即，故②正确；
∵与不一定相等，
∴不一定成立，故③错误；
∵，
∴
，
∵，
∴，
即，
故④正确；
∵
，
∴为定值，故⑤正确．
综上所述，正确的选项①②④⑤共4个，
故选：C．
2．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，D是△ABC的边上点，连接，平分交于点H，交于点M．△ABC的外角的平分线所在直线与的延长线交于点G．当时，有下列四个结论：
①与互余；
②；
③；
④．
其中正确的结论是（　　）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
【答案】D
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由角平分线的定义可得，，，求出，从而得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可得出，从而判断①；求出得到，即可判断②；由以及结合三角形内角和定理计算即可得出，即可判断③；由结合③即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∴，
即，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴与互余，
故①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故②错误；
∵，，
，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
故④错误；
综上所述，正确的是①③，
故选：D．
3．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，、分别是△ABC的高和角平分线，F是延长线上的一点，过点F作交于点G、交于点H，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题考查角平分线的计算及三角形外角的性质，解题的关键是掌握角度之间关系的证明方法．
根据等角的余角相等证明结论①；根据角平分线的定义和三角形的外角证明结论②，根据直角三角形的两锐角互余再结合②的结论可得结论③，根据三角形的外角和等角的余角相等可以证明结论④．
【详解】解：∵是△ABC的高，，
∴，
∴，故①正确；
∵是△ABC的角平分线，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，故③正确；
∵是△ABC的角平分线，
∴，
∵是△ABC的高，，
∴，故④正确；
故选D
4．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知，P为下方一点，G，H分别为，上的点，，（，且，均为锐角），与的角平分线交于点F，平分，交直线于点E，下列结论：①；②；③若，则．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③ C．③ D．②
【答案】A
【分析】①设与相交于点，与交于点，由得，再由三角形的外角定理得，由此出，据此可对结论①进行判断；
②由得，再由三角形的外角定理得，进而得，再证，则，据此可对结论②进行判断；
③先求出，，然后根据已知条件得，据此可求出，进而可求出的度数，于是可对结论③进行判断．
【详解】解：①设与相交于点，与交于点，如图所示：
与的角平分线交于点，平分，，，
，，，
，
，
，
，
，
结论①正确；
②，
，
又，
，
即：，
，
，
即：，
，
，
整理得：，
结论②正确；
③，，
，
由②可知：，
，
又，
，
，
，
结论③正确．
综上所述：正确的结论是①②③．
故选：A．
5．（24-25七年级下·四川广元·期中）如图，，交于点P，平分，平分，交的反向延长线于Q，，则：①若，则；②；③；④，其中正确的是 ．
【答案】①②④
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，根据平行线的性质证得是解题的关键．，根据角平分线的定义得到，则可证明，若，则可证明，据此可判断①；根据角平分线的定义得到，，根据外角的性质得到，等量代换得到，根据平行线的性质得到，等量代换得到，据此可判断②；由于，而，于是得到，据此可判断③；根据，即可判断④．
【详解】解：∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∵，
∴，故③错误；
∵，
∴，故④正确；
故答案为：①②④．
6．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在△ABC中，，是边上的高，是边上的中线，平分，交于点，交于点，给出下面四个结论：
①的面积与的面积相等；
②；
③；
④．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高的定义，根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义即可判断③；根据现有条件无法证明可判断④．
【详解】解：是中线，
的面积的面积(等底等高的三角形的面积相等)，故①正确；
是角平分线，
，
为高，
，
，
，
∵，
，
，
，
，故②正确；
为高，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
，故③正确；
根据已知条件不能推出，故④错误；
因此正确的有：①②③，
故答案为：①②③．
7．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，E是线段上一点，F是线段的延长线上一点，的平分线交于点，交线段的延长线于点，过点作于点，且．下列结论：
①；
②；
③；
④若，则．
正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，三角形外角的性质，掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题的关键．
根据平行线的性质及三角形外角的性质，垂直的定义，角平分线的定义对每一项判断即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
故①结论正确；
如图，延长交于点，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴②结论正确；
∵是的外角，
∴，
∴，
∵，是的外角，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴③结论正确；
若，则，
∵是的外角，
∴，
而与不一定相等，
∴不一定成立，
∴④不正确；
综上所述，正确结论的序号是①②③，
故答案为：①②③．
题型二：解答题压轴之三角板中探究问题
1．（24-25七年级下·山东泰安·期中）材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．
解决问题：
(1)观察“规形图”，试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图②，把一块三角尺放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B，C，若，则______；
②如图③，平分，平分，若，求的度数；
③如图③，平分，平分，若，则______．
【答案】(1)，理由见解析
(2)①50；②85；③
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．
（1）根据题意过点A，D作射线，利用三角形外角性质即可得出答案．
（2）①由（1）得：，即可得出答案；②由（1）得： ，再结合角平分线的定义，可得，即可得出答案；③由（1）得： ，再结合角平分线的定义，可得，即可得出答案．
【详解】（1）解：，理由如下：
如图，过点A，D作射线，
由三角形外角的性质得：，
∵，
∴；
（2）解：①由（1）得：，
∵，，
∴；
故答案为：50
②由（1）得：，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
③由（1）得：，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
2．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图1，将一把含角的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．

【特例初探】
（1）在图1中，______，______．
【技能提升】
（2）把三角板如图2放置，线段与相交于点H，当时，求的值．
【综合运用】
（3）将三角板如图3放置，使点恰好落在边上，现将射线绕点B以的速度逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以的速度顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线，均停止转动，设旋转时间为．
①在旋转过程中，若射线与射线相交于点P．当时，求的度数．
②在旋转过程中，当时，求出此时的值．

【答案】（1），；（2）；（3）①；②存在，9或45
【分析】本题主要考查了平行线的性质、邻补角的定义、三角形外角的性质、一元一次方程的应用等知识点，掌握平行线的性质定理并能熟练应用是解题的关键．
（1）根据邻补角的定义和平行线的性质以及三角形的外角性质求解即可；
（2）先求得，同（1）的方法求解即可；
（3）①设，得到，，由角的和差和三角形的外角性质可得答案；②分两种情况，根据平行线的性质列方程可解得答案．
【详解】解：（1）∵且，
∴，
又∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：，；
（2）三角板是一块含的直角三角板
，
，
，
∵，
，
，
，
是的外角，
，
；
（3）①如图，根据题意得：，，
设，
，，
∵，
，，
，
；
②存在，理由如下：
依题意得，，
情况一：如图
，，
，
，
，
解得，
情况二：如图
，
，
，
解得，
综上所述，的值为9或45．
3．（24-25七年级下·福建三明·期中）在综合与实践课上，某班开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的数学活动．
【初步感知】
（1）如图1，若三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数；
【自主探究】
（2）将一副三角板如图2所示摆放，直线．若三角板不动，而三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，求当旋转到时，的值是多少？
【探究拓展】
（3）现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设时间为秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边）平行，直接写出满足条件的值．
【答案】（1）；（2）40或100；（3）15或60或105
【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，三角形外角的性质，三角形内角和定理：
（1）先由平角的定义得到，再由平行线的性质即可得到；
（2）当在上方时，延长交于T，先由平行线的性质得到，则，当在下方时，只需要在旋转秒的基础上再旋转180度即有，据此求解即可；
（3）分解析中三种情况，画出对应的图形，根据角之间的关系，建立方程求解即可．
【详解】解：（1），
．
，
，
（2）①如图所示，当在上方时，延长交于，
，
，
，
，
；
②当在下方时，只需要在旋转40秒的基础上再旋转180度即有，；
综上所述，当旋转到时，的值是40或100；
（3）①如图，当时，
设直线与分别交于，
此时，
，
，
，
，
，即，解得：；
②如图，当时，延长，分别与交于，
此时，，
，
，
，即，
，
，
解得：；
③如图所示，当时，
设直线分别交、于、，
此时，，
，
，
，，
，
．
解得．
综上：所有满足条件的的值为15或60或105．
4．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）【问题情境】
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（其中，）”为背景开展数学活动．将三角尺角的顶点B放在直线上，直线与直线相交于点E．
【操作探究】
（1）聪聪同学将三角尺按图1所示放置，若，求的度数；
（2）明明同学将三角尺绕点B旋转至图2位置时，与有什么数量关系，猜想并证明；
【深入探究】
（3）如图3，如果直线不动，慧慧同学加大了平行线与之间的距离，使平行线之间的距离大于．绕点B旋转三角尺，点A始终在平行线之间，请直接写出与所有可能的数量关系．
【答案】（1） ；（2） ，证明见解析；（3）或或
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）延长交于，由平行线的性质可得，再由三角形内角和定理计算即可得解；
（2）延长交于，由平行线的性质结合对顶角相等可得，再由三角形外角的定义及性质计算即可得解；
（3）分三种情况：根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：（1）如图，延长交于，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2），证明如下：
如图，延长交于，
∵，，
∴，
∵，，
∴；
（3）如图，当的延长线与交于点时，延长交于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，当的延长线交于，点在上方时，延长交于，
∵，
∴，
∵，，
∴；
如图：当的延长线交于，点在下方时，令交于，
∵，
∴，
∵
∴，
综上所述，与所有可能的数量关系为或或．
4．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）如图（a）所示，将一把含角的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．
(1)填空：______°，______°
(2)如图（b）所示，现把三角板绕点B逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，①_______，_______°：（结果用含n的代数式表示）
②若恰好是的倍，求n的值．
(3)如图（a）所示放置的三角板，现将射线绕点B以的速度逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以的速度顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．
①在旋转过程中，若射线与射线相交，设交点为P．当时，则______．
②在旋转过程中，是否存在？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)120，90
(2)①，；②36
(3)①30；②t的值为12或48．
【分析】本题主要考查了平行线的性质、邻补角的定义、三角形外角的性质、一元一次方程的应用等知识点，掌握平行线的性质定理并能熟练应用是解题的关键．
（1）根据邻补角的定义和平行线的性质以及三角形的外角性质求解即可；
（2）①根据两直线平行，内错角相等求出，再用三角形外角等于不相邻的两个内角和可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后根据周角等于计算即可得到；②根据恰好是的倍列方程求解即可；
（3）①画出图形，由角的和差和三角形的外角性质可得答案；②分两种情况，根据平行线的性质列方程可解得答案．
【详解】（1）解：∵且，
∴，
又∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案为：120，90．
（2）解：①如图：
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：，；
②当时，，解得：．
∴n的值是36．
（3）解：①如图：
根据题意得：，
，
，
又∵，
．
故答案为：30；
②存在，理由如下：
如图：
∵，
∴，
∴，解得：．
如图：
∵，
∴，
∴，解得：．
综上所述，t的值为12或48．
5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）将一副三角板如图放置，，，，，．（温馨提示：三角形的内角和为）
(1)若三角板如图1摆放时，则______°，______°；
(2)现固定三角板的位置不变，将三角板沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，与交于点G，作和的角平分线交于点H，求的度数；
(3)将三角板如图2摆放，将三角板绕点E逆时针旋转，速度为，同时将三角板绕点A顺时针旋转，速度为，当与直线首次重合时停止旋转，运动时间为，当线段与三角板的一条边平行时，请直接写出旋转的时间t的值______．
【答案】(1)，
(2)
(3)或或或．
【分析】（）如图，延长交于点，由平角的定义可得和，根据平行线的性质可，进而根据三内角和可求出；
（）根据平行线的性质可得，根据三角形内角和和平角定义可得，，即得，再根据角平分线的定义及三角形内角和即可求解；
（）分、、三种情况，分别画出图形，利用平行线的性质及三角形内角和，三角形外角性质进行解答即可．
【详解】（1）解：如图，延长交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵将三角板如图2摆放，将三角板绕点E逆时针旋转，速度为，同时将三角板绕点A顺时针旋转，速度为，
∴，，
当时，如图，延长，分别交直线于点，
则，
∴
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
解得
当时，如图，延长交于点，则，
连接交于一点，如图所示，
将三角板如图2摆放，将三角板绕点E逆时针旋转，速度为，同时将三角板绕点A顺时针旋转，速度为，
∴，，
∵，
∴，
则，
∵，
∴
∴
则，
当时，如图，延长分别交于点，设与交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
由题意得，
∵，
∴，解得：；
如图，当时，如图，设与交于点，与交于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，解得：；
综上，当线段与三角板的一条边平行时，旋转的时间t的值为或或或，
故答案为：或或或．
题型三：解答题压轴之其他探究问题
1．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)如图1，若，点P在、内部，，，求的度数．
(2)如图2，将点P移到、外部，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论．
(3)如图3，直接写出、、、之间的数量关系．（不需证明）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过P作，利用平行线的性质，等量代换证明即可；
（2）利用平行线的性质，三角形外角性质，等量代换证明即可；
（3）利用三角形外角性质，等量代换证明即可．
本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，过P作，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（2）解：如图，
∵，
∴，
∴．
（3）解：、、、之间的数量关系为：．
连接并延长到点G，
根据题意，得，，，，
故．
2．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）【问题提出】
如图，已知，直线分别交于点E，F，平分交于点G．
（1）如图1．若，则的度数是 ．
【问题探究】
（2）作平分，交于点M．
①如图2，过点G作，交直线于点N，试说明：；
②如图3．点P是延长线上的一点，连接，若，探究与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】①；（2）①见解析；②，理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线性质和判定、角平分线得定义等知识点，结合图形进行分析是解题的关键．
（1）利用平行线性质得到，利用角平分线性质得到，再利用平行线性质即可得到，进而完成解答；
（2）①利用角平分线性质得到，根据平行线的性质可得，进而证明结论；②直接根据平行线的性质、角平分线定义、角的和差进行分析计算即可解答．
【详解】解：（1）：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
（2）①∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
②，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴
∴．
2．（24-25七年级下·山东淄博·期中）如图，在四边形中，，，延长到点，是的平分线，是的平分线．
(1)如图，当时，求证：；
(2)如图，当时，直线交直线于点，问 与，之间有何数量关系？写出你的结论并证明；
(3)如果将（）中的条件 改为，那么与，之间又有何数量关系？请直接写出结论，不用证明．
【答案】(1)见解析；
(2)，证明见解析；
(3)．
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的性质，解决本题的关键是根据三角形内角和定理与三角形外角的性质找到角之间的关系．
（1）根据角平分线的定义可知，，根据平行线的性质可知，所以可证，根据同位角相等，两直线平行可证结论成立；
（2）根据角平分线的性质可知，根据三角形外角的性质可证，再根据三角形内角和定理可证；
（3）根据角平分线的定义可证，根据三角形内角和定理可证．
【详解】（1）证明：是的平分线，是的平分线，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
证明：如下图所示，延长、相交于点，
是的平分线，是的平分线，
，，
，
在中，，
，
，
，
，，
，
；
（3）解：，
证明：如下图所示，延长、交于点，
，，
，
，
，
，
，
．
3．（2025七年级下·山东·专题练习）【初步认识】
（1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______；
【继续探索】
（2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系．
【答案】（1），；（2）
【分析】本题考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
（1）如图①，由角平分线可得，由三角形内角和可求，根据，计算求解即可；如图②，由角平分线与外角可得，整理即可；
（2）由角平分线可得，由，可得，则根据，计算求解即可；
【详解】解：（1）如图①，∵平分，平分，
∴，
∵，
∴；
如图②，∵平分，平分外角，
∴，
∵，，
∴，
整理得，，
故答案为：；．
（2）∵平分外角，平分外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
4．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）综合与实践
(1)如图1，在△ABC中，与的平分线交于点，如果，那么 ．
(2)如图2，作△ABC外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系．
(3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数．
【答案】(1)(2)(3)或或或
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵．
∴，
∵点P是和的平分线的交点，
∴，
（2）解：∵外角，的角平分线交于点Q，
∴
，
∴；
（3）解：延长至F，
∵为的外角的角平分线，
∴是的外角的平分线，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，即；
∵
，
∴；
如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况：
①，则，；
②，则，；
③，则，解得；
④，则，解得．
综上所述，的度数是或或或．
5．（24-25七年级下·广东广州·期中）（1）如图1，，点P在，之间，连接，．易证：．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小强：如图2，过点P作．
小菲：如图3，延长交于点M．
请你选择一位同学的方法进行证明．
（2）如图4，E，F分别是射线，上一点，G是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：．
（3）如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与相交于点H，与相交于点T，若，，，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】本题考查了三角形外角的定义、平行线的判定与性质、角平分线的有关计算等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）小强的方法：先证，根据平行线的性质得，，据此即可得出结论；
小菲的方法：先由得，再根据三角形的外角定理得，据此即可得出结论；
（2）先根据三角形的外角定理得，再根据得，然后根据平行线的判定可得出结论．
（3）设，则，进而可得，根据在（2）的条件下，得，由此解出，设，则，再根据得，进而得，然后根据在（2）的条件下得，则，由此得，据此求出即可得到的度数．
【详解】解：（1）小强的证明如下：
过点作，
，
，
，
，
即；
小菲的证明如下：
延长交于点，
，
，
是的一个外角，
，
即；
（2）是的一个外角，
，
，
，
；
（3）平分，，
，
设，
，
，
在（2）的条件下，
，
，
解得：，
，
设，
平分，
，
，
，
，
，
在（2）的条件下，
，
，
即，
解得：，
．
1．（2024八年级上·全国·专题练习）某餐馆有M、N、P、Q、R等特色菜，因人手不足和食材调配原因，顾客需根据如下规则点菜：
①不能同时点M和N；
②如果点了P，就要点Q或R；
③在Q和S中必须点一个，且只能点一个．
则以下组合中，符合点菜规则的是（　　）
A．Q、M、N B．S、N、P C．P、N、Q D．M、P、R
【答案】C
【分析】本题考查数学逻辑的知识，解题的关键是掌握数学逻辑推理．根据点菜规则，依次对各选项分析即可．
【详解】解：A、∵不能同时点M和N，
∴选项A不符合点菜规则；
B、∵如果点了P，就要点Q或R，在Q和S中必须点一个，且只能点一个，
∴还需要点R，
∴选项B不符合点菜规则；
C、∵如果点了P，就要点Q或R，在Q和S中必须点一个，且只能点一个，
∴选项C符合点菜规则；
D、∵在Q和S中必须点一个，且只能点一个，
∴还需点S．
∴选项D不符合点菜规则；
故选：C．
2．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在△ABC中，，点E，F分别在边上，，的角平分线与的角平分线交于点P，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
根据题意可知，设，表示出，根据角平分线的定义，可得的度数，根据列方程，即可求出的度数．
【详解】解：∵，平分，
∴，
设，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知，点A、B分别在射线上移动，平分，交于点E，平分，的反向延长线与交于点C．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：若，则；
结论Ⅱ：无论点A、B在射线，射线（均不与点O重合）上怎样移动，的度数都不变
A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确
C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
【答案】C
【分析】本题考查角平分线的定义，三角形外角的性质的应用等知识，熟练掌握以上知识并会利用数形结合的思想是解题关键．根据题意可求出，再根据角平分线的定义和三角形外角性质即可求出；根据角平分线的定义和三角形外角性质求解的度数即可；
【详解】解：，为 的平分线，
，
，
为 的平分线，
,
故结论Ⅰ正确；
，
又 为 的平分线，
，
为 的平分线，
，
，
故结论Ⅱ正确；
故选：C．
4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质可得，再由三角形外角的定义及性质可得，，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
5．（2025·陕西·模拟预测）如图是某款铲子的侧面示意图，已知，，．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质．利用平行线的性质求得，，，再利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：延长交于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点D．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形的外角的定义，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键；
根据角平分线的定义可得，，可得，进而求解；
【详解】解：平分，平分，
，，
，
；
故选：B
7．（24-25九年级下·河南郑州·阶段练习）如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点（折射光线的反向延长线与主光轴线的交点）．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
先利用平行线的性质可得，从而利用平角定义可得，然后利用三角形的外角性质可得，再利用对顶角相等即可解答．
【详解】解：如图：
，
，
，
是的一个外角，
，
，
故选：A．
8．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，，垂足为，与相交于点，，，则的度数为 ．
【答案】/100度
【分析】本题考查了垂直定义，三角形的内角和定理，三角形外角性质，由，则，再通过三角形内角和定理可得，最后由三角形外角性质即可求解，熟记性质并准确识图是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（2025·四川绵阳·三模）如图，，，点G为直线上点，交的平分线于F，，则 ．
【答案】/度
【分析】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补，内错角相等．也考查了三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 先根据平行线的性质求出与的度数，再由角平分线的性质求出的度数，进而可得出的度数，再根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，．
∵交的平分线于F，
∴，
∴．
∵，
∴．
故答案为：
10．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知△ABC的内角，分别作内角与外角的平分线，两条角平分线交于点；作和的平分线交于点；以此类推得到点，则的大小为 ．
【答案】/
【分析】本题考查三角形的外角性质，规律型：图形的变化类，应用三角形的外角性质，由特殊情况总结出一般规律，即可得到答案．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
同理：，
∴．
故答案为：．
11．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）将直角三角板和长方形直尺按如图方式叠放在一起，交于点，连接，．下列三个结论：①若，则平分；②；③若平分，平分，则④其中正确的结论有
【答案】①②③
【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理，三角形外角的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，根据平行线的性质和三角形外角的性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：①∵，，
∴，
∴，
∴，
∴平分，故①正确；
②过点E作，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，故②正确；
④∴，故④错误，
③∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：，故③正确；
综上分析可知，正确的有①②③．
故答案为：①②③．
12．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，点、、、分别在线段、、上，，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、平角的定义，根据平角的定义可得：，又因为，可证，根据，可得，根据外角的性质可得：，从而可证结论成立．
【详解】证明：，，
，
，
，
是的外角，
，
．
13．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知直线、，点A、B为分别在直线、上，点C为平面内一点，连接、，且．
(1)求证：；
(2)如图2，射线、分别平分和，交直线于点E，与内部的一条射线交于点D，若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）过作，证明，从而得到；
（2）连接并延长交于点，由已知可以得到，再由及平角的意义可以得到解答．
【详解】（1）证明：过作，如图所示，
，
，
，
，
，
；
（2）如图所示，连接并延长交于点，
∵射线、分别平分和，
∴，，
∵ ，，，
∴，
而，
，
，
与（1）同理可得：，
，
，
即，
，
，
，
，
．
14．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知在△ABC中，．
(1)请在图中画出△ABC的边上的高；
(2)已知E为边上一点．
①若是中线，，则与的周长差为_____________；
②若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①；②
【分析】本题主要考查了画三角形的高，三角形中线的定义，三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟知三角形的相关知识是解题的关键．
（1）过点A作交延长线于D，则即为所求；
（2）①由三角形中线的定义得到，再根据三角形周长计算公式列式求解即可；②由三角形外角的性质可得，再由三角形内角和定理可得答案．
【详解】（1）解：如图所示，过点A作交延长线于D，则即为所求；
（2）解：①∵是中线，
∴，
∴
，
∴与的周长差为；
②∵，
∴，
∴，
∴．
15．（24-25七年级下·重庆渝北·阶段练习）已知点，分别在和上，且．
(1)如图，若，，则的度数为______；
(2)如图，若平分，平分，的反向延长线交于点M，探究与的数量关系，并说明理由；
(3)如图，若转动与使其交于点G，若，且平分，平分，的反向延长线交于点M，试探究与的数量关系，并说明理由．（已知：任意四边形的四个内角之和为）
【答案】(1)；
(2)，见解析；
(3)，见解析
【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的相关计算、多边形内角和等知识，添加适当的辅助线和熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）过点E作，得出，根据平行线的性质得出，，根据，求出结果即可；
（2）设，，由平分，平分，得到，，过点E作，求出，，即可得到，即可得到结论；
（3）设，，平分，平分，
则，，求出，，则，即可得到结论．
【详解】（1）解：过点E作，如图，
∵，
∴，
∴，，
∵，，，
∴；
故答案为：；
（2）解：设，，
∵平分，平分，
∴，，
过点E作，如图，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
即．中小学教育资源及组卷应用平台
1.3 证明
题型一：证明的相关求解
1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·四川眉山·期末）用反证法证明“已知，．求证：”．第一步应先假设 ．
3．（24-25九年级下·湖南长沙·期中）好久未见的A，B，C，D，E五位同学欢聚一堂，他们一见面便相互握手一次，中途统计各位同学握手次数为：A同学握手4次，B同学握手3次，C同学握手2次，D同学握手1次，请你推断一下，E同学握手 次．
4．（24-25八年级下·全国·课后作业）用反证法证明（填空）：两直线平行，同位角相等．
已知：如图，直线，被所截，A，B为交点，．
求证：．
证明：假设所求证的结论不成立，
即____________________．
过点A作直线，使与所成的与相等，则__________，
所以直线与直线不重合．
但（____________________），又已知，这与基本事实“____________________”产生矛盾．所以__________不成立．
所求证的结论成立．
5．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知：如图，，求证：．
6．（24-25八年级上·全国·课后作业）证明命题“三角形三个内角的和等于”是真命题．
7．（24-25八年级上·全国·课后作业）命题“若n是自然数，则代数式的值是3的倍数”是真命题还是假命题？如果你认为是假命题，请说明理由：如果认为是真命题，给出证明．
8．（24-25八年级上·全国·课后作业）已知：如图，直线、被直线所截，，B为垂足，．求证：．
证明：∵（　　），
∴___________（　　）
∴___________（　　）
∴（已知），
∴（　　）
∴，
∴（　　）
题型二：三角形外角中三角板问题
1．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点在边上，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·贵州铜仁·期中）将一副三角板如图放置，使含角的三角板的一段直角边与含角的三角板的一段直角边重合，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河北唐山·三模）将一块含角的直角三角尺和直尺如图放置，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·安徽六安·二模）如图，已知，将含角的直角三角板放在直线a，b之间，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级下·山东德州·期中）一副三角板按如图所示的方式摆放，，，，若，则的度数为 ．
6．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，三角形是由三角形平移得到的，点D在边上，连接．若和中其中一个角是另一个角的3倍，，则的度数为 ．
7．（2025·江西新余·一模）如图，将一副三角尺按图中所示的位置摆放，点在上，，则的度数是 ．
题型三：三角形外角的实际应用
1．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点B旋转一定的角度并缩短，此时，增大了，则的变化情况为 （ ）
A．增大 B．减小 C．增大 D．减小
2．（2025·陕西西安·模拟预测）汽车前照灯通常由光源、反光镜和配光镜等部件组成．如图，光源位于焦点处，光线经反光镜反射后均平行于地面射出，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级下·河南商丘·期中）如图是一款婴儿车的平面示意图，其中，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年级下·广东梅州·期中）如1图所示是一辆自动变速自行车的实物图，如2图所示是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点P，，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·四川绵阳·二模）某物体静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力G方向的夹角的度数为 ．
7．（2025·广东深圳·二模）如图，一束激光射入水面，在点处发生折射，折射光线在杯底形成光斑点．水位下降时，光线保持不变，此时光线在点处发生折射，光斑移动到点．因水面始终与杯底平行，则折射光线．若，，则的度数为 ．
题型四：三角形的外角与平行线的结合
1．（24-25九年级下·云南昆明·阶段练习）如图，直线，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在中，，为延长线上一点，过点作．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·湖北·二模）如图，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山东威海·二模）如图，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·湖南怀化·三模）如图，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·陕西西安·模拟预测）唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图所示，已知直线，，，则的度数为 ．
题型五：三角形的外角与角平分线的结合
1．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在四边形中，，和的平分线交于点P，则的度数为 ．
2．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，在△ABC中，平分，若，则的度数为 ．
3．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在△ABC中，平分，于点M，交的延长线于点N，已知，则的度数为 ．
4．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，在△ABC中，已知的平分线与交于点D，，，则的度数为 ．

5．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，是△ABC的外角的平分线，若，，则的度数是 ．
6．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，在△ABC中，是边上的高，，平分交于点E，，则的度数为 ．
题型六：三角形的内角等分线和外角等分线综合
1．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，点是△ABC的外角内部一点，满足，．若，则的度数是 ．
2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图，若平分平分，则 ．
3．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，在△ABC中，延长到D，的角平分线相交于点点．与的外角平分线交于点，与的外角平分线交于点，依次类推，与的外角平分线交于点，如果，那么 °．（用含m、n的表示）．
4．（24-25九年级下·山东济宁·期中）如图，在△ABC中，，与的平分线交于点，得，与的平分线相交于点，得；…；与的平分线交于点，要使的度数为整数，则n的最大值为 ．
5．（24-25七年级下·山东威海·期中）如图，在△ABC中，，和外角的平分线交于，得；和外角的平分线交于，得；……依次类推，则 ．
6．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，在△ABC中，，点E、F分别在边上，，，的角平分线与的角平分线交于点P，则的度数为 ．
7．（24-25七年级下·湖南怀化·阶段练习）如图，的平分线与的平分线交于点E，且，则=（ ）
A． B． C． D．
题型七：三角形外角中特殊多边形的角度和
1．（24-25七年级下·河北秦皇岛·阶段练习）如图，等于（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图， ．
3．（24-25八年级上·河南新乡·期末）如图， 度．
4．（24-25八年级上·山东德州·阶段练习）如图，的度数为 ．
5．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，在多边形中，，，则 ．
6．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图所示，把一个四边形纸片的四个顶角分别向内折叠，折叠之后，4个顶点不重合，那么图中的度数是 ．
题型八：三角形外角中折叠问题
1．（24-25七年级下·山东泰安·期中）如图，三角形纸片中，，将沿对折，使点落在△ABC外的点处，若，则的度数为 ．

2．（24-25七年级下·重庆·期中）折纸是几何学习中的一种重要操作．如图，将纸片沿折叠，使点落在点处，交于点．若，则当 度时，．
3．（24-25七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在 △ABC中， D是上一点，将沿翻折后得到边交于点F．若 中有两个角相等，则 ．
4．（24-25九年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在△ABC中，点是边上一点，连接，点关于的对称点恰好在边上，连接，若，，则的度数为 ．
5．（24-25七年级下·全国·随堂练习）如图，在三角形纸片中，，将三角形纸片沿折叠，使点C落在所在平面内的点处．若，则的度数为 ．
题型九：三角形外角解答题综合
1．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）如图，，，且．若，求的度数．
2．（24-25七年级下·广东江门·期中）如图，在四边形中，E是延长线的一点，连接交于点F，若，．
(1)若，，求的度数；
(2)判断与的位置关系，并说明理由．
3．（24-25七年级下·重庆铜梁·期中）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，与交于点H，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
4．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，在△ABC中，为边上的高，点D为边上的一点，连接．
(1)若点为边的中点，，△ABC的面积为30，求的长；
(2)若平分，，，求的度数．
5．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由．
(2)若比大25°，求的度数．
6．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在△ABC中，，分别是△ABC的中线和高，是的角平分线．
(1)若△ABC的面积为，，求的长；
(2)若，，求的大小．
7．（23-24七年级下·四川南充·期中）如图，点，分别在三角形的边，上，点在线段上，且，．
(1)试说明：；
(2)试说明：；
(3)若平分，，求的度数．
题型一：三角形外角中多结论问题
1．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，平分，，下列结论：
①；②；③；④；⑤若，则，
其中正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（23-24八年级上·山东济宁·期末）如图，D是△ABC的边上点，连接，平分交于点H，交于点M．△ABC的外角的平分线所在直线与的延长线交于点G．当时，有下列四个结论：
①与互余；
②；
③；
④．
其中正确的结论是（　　）
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
3．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，、分别是△ABC的高和角平分线，F是延长线上的一点，过点F作交于点G、交于点H，下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知，P为下方一点，G，H分别为，上的点，，（，且，均为锐角），与的角平分线交于点F，平分，交直线于点E，下列结论：①；②；③若，则．其中正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③ C．③ D．②
5．（24-25七年级下·四川广元·期中）如图，，交于点P，平分，平分，交的反向延长线于Q，，则：①若，则；②；③；④，其中正确的是 ．
6．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，在△ABC中，，是边上的高，是边上的中线，平分，交于点，交于点，给出下面四个结论：
①的面积与的面积相等；
②；
③；
④．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
7．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，E是线段上一点，F是线段的延长线上一点，的平分线交于点，交线段的延长线于点，过点作于点，且．下列结论：
①；
②；
③；
④若，则．
正确结论的序号是 ．
题型二：解答题压轴之三角板中探究问题
1．（24-25七年级下·山东泰安·期中）材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”．
解决问题：
(1)观察“规形图”，试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：
①如图②，把一块三角尺放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B，C，若，则______；
②如图③，平分，平分，若，求的度数；
③如图③，平分，平分，若，则______．
2．（24-25七年级下·广东佛山·期中）如图1，将一把含角的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．

【特例初探】
（1）在图1中，______，______．
【技能提升】
（2）把三角板如图2放置，线段与相交于点H，当时，求的值．
【综合运用】
（3）将三角板如图3放置，使点恰好落在边上，现将射线绕点B以的速度逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以的速度顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线，均停止转动，设旋转时间为．
①在旋转过程中，若射线与射线相交于点P．当时，求的度数．
②在旋转过程中，当时，求出此时的值．

3．（24-25七年级下·福建三明·期中）在综合与实践课上，某班开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的数学活动．
【初步感知】
（1）如图1，若三角尺的角的顶点放在上，若，求的度数；
【自主探究】
（2）将一副三角板如图2所示摆放，直线．若三角板不动，而三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，求当旋转到时，的值是多少？
【探究拓展】
（3）现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设时间为秒，当时，若边与三角板的一条直角边（边）平行，直接写出满足条件的值．
4．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）【问题情境】
在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺（其中，）”为背景开展数学活动．将三角尺角的顶点B放在直线上，直线与直线相交于点E．
【操作探究】
（1）聪聪同学将三角尺按图1所示放置，若，求的度数；
（2）明明同学将三角尺绕点B旋转至图2位置时，与有什么数量关系，猜想并证明；
【深入探究】
（3）如图3，如果直线不动，慧慧同学加大了平行线与之间的距离，使平行线之间的距离大于．绕点B旋转三角尺，点A始终在平行线之间，请直接写出与所有可能的数量关系．
4．（24-25七年级下·四川南充·阶段练习）如图（a）所示，将一把含角的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上．
(1)填空：______°，______°
(2)如图（b）所示，现把三角板绕点B逆时针旋转，当，且点C恰好落在边上时，①_______，_______°：（结果用含n的代数式表示）
②若恰好是的倍，求n的值．
(3)如图（a）所示放置的三角板，现将射线绕点B以的速度逆时针旋转得到射线，同时射线绕点Q以的速度顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线均停止转动，设旋转时间为．
①在旋转过程中，若射线与射线相交，设交点为P．当时，则______．
②在旋转过程中，是否存在？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
5．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）将一副三角板如图放置，，，，，．（温馨提示：三角形的内角和为）
(1)若三角板如图1摆放时，则______°，______°；
(2)现固定三角板的位置不变，将三角板沿方向平移至点E正好落在上，如图2所示，与交于点G，作和的角平分线交于点H，求的度数；
(3)将三角板如图2摆放，将三角板绕点E逆时针旋转，速度为，同时将三角板绕点A顺时针旋转，速度为，当与直线首次重合时停止旋转，运动时间为，当线段与三角板的一条边平行时，请直接写出旋转的时间t的值______．
题型三：解答题压轴之其他探究问题
1．（24-25七年级下·广东肇庆·期中）平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．
(1)如图1，若，点P在、内部，，，求的度数．
(2)如图2，将点P移到、外部，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论．
(3)如图3，直接写出、、、之间的数量关系．（不需证明）
2．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）【问题提出】
如图，已知，直线分别交于点E，F，平分交于点G．
（1）如图1．若，则的度数是 ．
【问题探究】
（2）作平分，交于点M．
①如图2，过点G作，交直线于点N，试说明：；
②如图3．点P是延长线上的一点，连接，若，探究与之间的数量关系，并说明理由．
2．（24-25七年级下·山东淄博·期中）如图，在四边形中，，，延长到点，是的平分线，是的平分线．
(1)如图，当时，求证：；
(2)如图，当时，直线交直线于点，问 与，之间有何数量关系？写出你的结论并证明；
(3)如果将（）中的条件 改为，那么与，之间又有何数量关系？请直接写出结论，不用证明．
3．（2025七年级下·山东·专题练习）【初步认识】
（1）如图①，在中，平分，平分．若，则______；如图②，平分，平分外角，则与的数量关系是______；
【继续探索】
（2）如图③，平分外角，平分外角．请探索与之间的数量关系．
4．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）综合与实践
(1)如图1，在△ABC中，与的平分线交于点，如果，那么 ．
(2)如图2，作△ABC外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系．
(3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请直接写出的度数．
5．（24-25七年级下·广东广州·期中）（1）如图1，，点P在，之间，连接，．易证：．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小强：如图2，过点P作．
小菲：如图3，延长交于点M．
请你选择一位同学的方法进行证明．
（2）如图4，E，F分别是射线，上一点，G是线段上一点，连接并延长，交直线于点，连接，，若，求证：．
（3）如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与相交于点H，与相交于点T，若，，，求的度数．
1．（2024八年级上·全国·专题练习）某餐馆有M、N、P、Q、R等特色菜，因人手不足和食材调配原因，顾客需根据如下规则点菜：
①不能同时点M和N；
②如果点了P，就要点Q或R；
③在Q和S中必须点一个，且只能点一个．
则以下组合中，符合点菜规则的是（　　）
A．Q、M、N B．S、N、P C．P、N、Q D．M、P、R
2．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在△ABC中，，点E，F分别在边上，，的角平分线与的角平分线交于点P，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知，点A、B分别在射线上移动，平分，交于点E，平分，的反向延长线与交于点C．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（ ）
结论Ⅰ：若，则；
结论Ⅱ：无论点A、B在射线，射线（均不与点O重合）上怎样移动，的度数都不变
A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确
C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确
4．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·陕西·模拟预测）如图是某款铲子的侧面示意图，已知，，．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的外角，平分，平分，且，相交于点D．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25九年级下·河南郑州·阶段练习）如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点（折射光线的反向延长线与主光轴线的交点）．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如图，，垂足为，与相交于点，，，则的度数为 ．
9．（2025·四川绵阳·三模）如图，，，点G为直线上点，交的平分线于F，，则 ．
10．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，已知△ABC的内角，分别作内角与外角的平分线，两条角平分线交于点；作和的平分线交于点；以此类推得到点，则的大小为 ．
11．（24-25七年级下·湖北十堰·期中）将直角三角板和长方形直尺按如图方式叠放在一起，交于点，连接，．下列三个结论：①若，则平分；②；③若平分，平分，则④其中正确的结论有
12．（24-25七年级下·山东德州·期中）如图，点、、、分别在线段、、上，，．求证：．
13．（24-25七年级下·四川成都·期中）已知直线、，点A、B为分别在直线、上，点C为平面内一点，连接、，且．
(1)求证：；
(2)如图2，射线、分别平分和，交直线于点E，与内部的一条射线交于点D，若，求的度数．
14．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，已知在△ABC中，．
(1)请在图中画出△ABC的边上的高；
(2)已知E为边上一点．
①若是中线，，则与的周长差为_____________；
②若，求的度数．
15．（24-25七年级下·重庆渝北·阶段练习）已知点，分别在和上，且．
(1)如图，若，，则的度数为______；
(2)如图，若平分，平分，的反向延长线交于点M，探究与的数量关系，并说明理由；
(3)如图，若转动与使其交于点G，若，且平分，平分，的反向延长线交于点M，试探究与的数量关系，并说明理由．（已知：任意四边形的四个内角之和为）

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