资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
1.4 全等三角形
题型一：全等图形的判断
1．（24-25八年级上·江西上饶·期中）2024年巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚金牌，金牌数与美国队并列第一，创造了参加境外奥运会的最佳战绩．下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等形“能够完全重合的两个图形叫做全等形”，熟练掌握全等形的定义是解题关键．根据全等形的定义即可得．
【详解】解：A、不是全等形，则此项不符合题意；
B、不是全等形，则此项不符合题意；
C、是全等形，则此项符合题意；
D、不是全等形，则此项不符合题意；
故选：C．
2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）下图是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”，它的座右铭是“独行快，众行远”，下列与该图片是全等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了全等图形的定义，根据全等图形定义直接选择即可．
【详解】解：由题意得，与题中图片形状、大小都相同的全等图形的是D，
故选：D．
3．（2024八年级上·江苏·专题练习）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是全等形的识别．利用全等图形的概念（两个图形能够完全重合，就是全等图形）可得答案．
【详解】解：A、两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意；
C、两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
D、两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选：B．
4．（24-25八年级上·山西运城·期末）下列各组图形中，属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等图形的定义，全等图形：大小相等且形状相同的图形，据此逐个选项分析，即可作答．
【详解】解：A、这两幅图大小不相等，故该选项不符合题意；
B、这两幅图大小不相等，故该选项不符合题意；
C、这两幅图大小相等且形状相同，故该选项符合题意；
D、这两幅图大小相等但形状不同，故该选项不符合题意；
故选：C．
5．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是全等形的识别，根据全等形是能够完全重合的两个图形进行分析判断．
【详解】解：A、两个图形不能够完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
C、两个图形可以完全重合，是全等图形，符合题意；
D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意．
故选：C．
6．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）下列各组图形中，是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查全等图形，能完全重合的两个平面图形是全等图形．据此进行判断即可．
【详解】观察发现：B，C，D选项中两个图形不能完全重合，不是全等形；
A选项中两个图形能完全重合，是全等形，
故选：A．
7．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）下列各个选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是全等图形，掌握全等图形的概念是解决问题的关键．
利用全等图形的概念可得答案．
【详解】解∶ A．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
B．两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意；
C．两个图形大小不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
D．两个图形形状不同，不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；
故选∶B．
题型二：利用全等三角形性质判断语句是否正确
1．（24-25七年级下·重庆·期中）有下列说法：
①在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线；
②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
④全等三角形的周长相等；
⑤面积相等的两个三角形全等；
⑥如果两个角互为邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直．
其中正确的有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了平行线的定义全等三角形的周长，平行线的性质．根据平行线的性质和定义，全等三角形的周长，逐项进行判断即可．
【详解】解：①在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，原说法正确；
②两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原说法错误；
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，原说法正确；
④全等三角形的周长相等，原说法正确；
⑤面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误；
⑥如果两个角互为邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直，原说法正确．
综上分析可知，正确的有①③④⑥，共4个．
故选：C．
2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）下列说法中，正确的个数有（ ）
①同位角相等；
②三角形的三条高线的交于三角形内部一点；
③全等三角形的面积一定相等；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了几何的相关概念，掌握同位角、三角形的高、全等三角形的性质、平行公理，角平分线交点等知识是关键．
根据同位角、三角形的高、全等三角形的性质、平行公理，角平分线交点等知识进行判定即可．
【详解】解：①两直线平行，同位角相等，故原说法错误；
②锐角三角形的三条高线不一定交于三角形内部一点，故原说法错误；
③全等三角形的面积一定相等，正确；
④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误；
⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内，正确；
综上所述，正确的有2个，
故选：A ．
3．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）下列说法正确的是（ ）
A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．面积相等的两个三角形全等
D．三角形的三条高线交于一点
【答案】A
【分析】本题考查平行公理，垂线的性质、全等三角形的判定、三角形的高的定义，熟练掌握相关性质是解题的关键．根据平行公理，垂线的性质、全等三角形的判定、三角形的高的定义进行判断即可．
【详解】解：A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项正确，符合题意；
B. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该选项不正确，不符合题意；
C. 面积相等的两个三角形不一定全等，故该选项不正确，不符合题意；
D. 三角形的三条高线所在的直线交于一点，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
4．（24-25八年级上·广东河源·期末）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．内错角相等
B．有理数和数轴上的点一一对应
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．全等三角形对应边上的中线相等
【答案】D
【分析】利用平行线的性质、实数的性质、三角形的外角的性质及全等三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，原命题是假命题，故A选项不符合题意；
B、实数与数轴上的点一一对应，原命题是假命题，故B选项不符合题意；
C、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，原命题是假命题，故C选项不符合题意；
D、全等三角形对应边上的中线相等，原命题是真命题，故D选项符合题意；
故选：D．
5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．面积相等的两个三角形全等
B．相等的角是对顶角
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形的一个外角等于两个内角的和
【答案】C
【分析】此题考查真命题的定义：正确的命题是真命题，根据全等三角形的性质，对顶角的定义，平行线的性质及三角形外角性质分别判断即可．
【详解】解：A.面积相等的两个三角形不一定全等，原说法错误，不是真命题；
B.相等的角不一定是对顶角，但对顶角一定相等，原命题不是真命题；
C.两直线平行，内错角相等，是真命题；
D.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，原命题不是真命题；
故选：C．
题型三：利用全等三角形的性质求角度的大小
1．（24-25七年级下·四川雅安·期中）如图，，且，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
利用全等三角形的性质结合三角形内角和定理以及三角形外角的性质得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
2．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，根据全等三角形对应角相等可得，进而可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选C．
3．（2025·山东济南·二模）如图，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．由全等三角形的对应角相等得到，再由三角形内角和定理即可求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
4．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，那么的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质可得，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
5．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，点B，C，D在同一直线上．若，且，则 ．
【答案】/48度
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．
根据全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，最后根据等量代换即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴．
故答案为：．
6．（2025·广东深圳·二模）如图，已知，，，则的度数为 度．
【答案】30
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和性质，先由，得，再结合三角形内角和进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：30．
7．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，已知，如果，，那么 ．
【答案】75
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由全等三角形的性质得到，再证明，据此利用三角形内角和定理求出的度数即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
8．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，，，点在上，若．则 ．
【答案】
【分析】本题考查求角度，涉及全等的性质、三角形内角和定理等知识，先由两个三角形全等得到，在中，由三角形内角和定理可得，最后数形结合表示出求解即可得到答案．熟记全等的性质、三角形内角和定理等知识，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：，，
，
在中，，，则由三角形内角和定理可得，
，
，
故答案为：．
题型四：利用全等三角形的性质求线段的长度
1．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，，若，，则的长度为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质“对应边相等”是关键．
根据全等三角形的性质得到，由即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴，
故选：D ．
2．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，点，在线段上，，若，，则的长为（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的性质，到局全等三角形的对应边相等得出，进而得出，结合已知条件可得出，求出，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
3．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，，若，则等于（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，结合，得，再结合线段的和差关系列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：C
4．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在△ABC中，于点，是上的一点．若，，，则△BDE的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，是解题的关键．由全等三角形的性质可得，，即可得的周长，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
∴△BDE的周长，
∵，，
∴△BDE的周长为．
故答案为：．
5．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知△ABC≌△DEB，点、、的对应点分别是点、、，点在边上，与交于点．如果，，则线段的长是 ．
【答案】20
【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，根据，得出，，根据，得出，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：20．
6．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，且点在上．若，则的长为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据三角形全等的性质，对应边相等可得，则有，即，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为：2 ．
7．（24-25九年级上·广东清远·期中）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将△ABC分割后拼接成长方形．已知，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的面积等知识点，读懂图形中的信息是解题的关键．
由题意可知，，于是可得，，，，进而可得，，然后根据△ABC的面积=长方形面积即可得解．
【详解】解：由题意可知：
，，
，，，，△ABC的面积=四边形面积
，
四边形是长方形，
，
，
故答案为：．
题型五：全等三角形与二元一次方程组的综合
1．（23-24八年级上·广西玉林·期中）已知△ABC的三边长为3，5，7，△DEF的三边长为5，，，若△ABC与△DEF全等，则x等于
【答案】3
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．
根据全等三角形的性质，分两种情况列方程求解即可．
【详解】解：∵△ABC的三边长为3，5，7，△DEF的三边长为5，，，若△ABC与△DEF全等，
∴当时，，则，符合题意；
当时，，则，不符合题意；
∴．
故答案为：3．
2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）一个三角形三条边的长分别是8，11，16，另一个三角形三条边的长分别是8，，，其中，若这两个三角形全等，则的值是 ．
【答案】20
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．
根据全等三角形的对应边相等即可得到结论．
【详解】解：∵两个三角形全等，
或，
解得：或，
∵，
∴，
，
故答案为：20．
3．（24-25八年级上·浙江·期中）一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，，若这两个三角形全等，则的值是 ．
【答案】14或12.5
【分析】本题考查的是全等三角形的性质及解二元一次方程组、求代数式的值，掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．
根据全等三角形的对应边相等，分与7对应和与7对应两种情况计算，得到答案．
【详解】解∶两个三角形全等，
，或，，
解得∶，或，，
或12.5．
故答案为∶14或12.5．
4．（24-25八年级上·广东惠州·期中）已知△ABC三边的长分别为，，，△DEF三边的长分别为，，，若这两个三角形全等，则 ．
【答案】5
【分析】本题主要考查三角形全等的性质，能够通过全等得到对应边相等并列式是解题关键．利用全等的性质列式计算即可．
【详解】解：∵与全等，
∴或，
当时，，故不符合题意，
当时，，故符合题意，
故答案为：．
5．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，．若这两个三角形全等，则x的值是 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解一元一次方程等知识点，根据全等三角形的对应边相等即可得到答案，熟练掌握全等三角形对应边相等是解决此题的关键．
【详解】解：两个三角形全等，
，，
解得：，
故答案为：．
6．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）一个三角形的三条边长分别为6，5，x，另一个三角形的三条边长分别为y，6，4，若这两个三角形全等，则的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查全等三角形的性质，求代数式的算术平方根，根据全等三角形的对应边相等，可得x和y的值，代入计算即可得出答案．
【详解】解：边长分别为6，5，x的三角形和边长分别为y，6，4的三角形全等，
，，
，
故答案为：1．
题型六：全等三角形中性质综合
1．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F．
(1)若，求线段的长；
(2)若，求的度数
【答案】(1)6
(2)
【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．
（1）由全等三角形的性质可得，再由进行计算即可得到答案；
（2）由全等三角形的性质可得，再由三角形内角和定理可得，最后由进行计算即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
．
2．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图所示，已知于D．
(1)判断与的位置关系，并说明理由．
(2)已知，求的长．
【答案】(1)，理由见解析
(2)3
【分析】本题考查全等三角形的性质和三角形内角和定理，熟练应用全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据垂线的定义得到，由全等三角形的性质得到，据此可利用三角形内角和定理证明，据此可得结论；
（2）根据全等三角形的性质可得，，从而求得，即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，即。
（2）解：∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴．
3．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，△ADC≌△AFB，连接，与交于点，，，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．
（1）先根据全等三角形的性质可得，再根据角的和差可得，由此即可得；
（2）先根据平行线的性质可得，，再根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的内角和定理可得，最后根据求解即可得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由（1）已得：，
∴．
4．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，，点，，，在一条直线上．
(1)求证：；
(2)连接．若，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，正确理解全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据得出,根据，问题得证；
（2）根据全等三角形的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）解：，
，即，
；
（2），
，
，
，
平分，
，
设，则
在中，根据三角形内角和定理，得
，
5．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，，，
(1)求的度数
(2)若，，求四边形的周长
【答案】(1)
(2)20
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解答本题的关键．
（1）由全等三角形的性质得，求出，，然后根据三角形内角和即可求出的度数．
（2）由全等三角形的性质得，，然后根据周长公式求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴四边形的周长．
6．（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知△ABD≌△EBC，，，且点在线段上．
(1)求的长．
(2)求证：．
(3)猜想与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)证明见解析；
(3)直线与直线垂直，理由见解析．
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，垂直的定义，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）根据全等三角形的性质得出，，然后通过线段和差即可求解；
（）根据全等三角形的性质得出， 然后由平角定义即可求证；
（）延长交于点，根据全等三角形的性质得出，最后由三角形内角和即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵点在线段上，
∴
∴，
∴；
（3）解：直线与直线垂直，理由：
如图，延长交于点，
∵，
∴，
∵中，，
∴，
∴，
∴．
7．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点在边上（不与点，重合），与交于点．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求与的周长和；
【答案】(1)
(2)33.5
【分析】本题考查了全等三角形的性质等知识，解题的关键是：
（1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可；
（2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可．
【详解】（1）解∶∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，，
与的周长和为
．
8．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在△ABC中，点、分别在边、上，连接、交于点，且△ABD≌△CFD．
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)若，，求四边形的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)6
【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质可知，，结合，即可证明；
（2）根据题意可知，再由全等三角形的性质可得到，最后由四边形的面积即可求得答案．
【详解】（1）证明：，
，，
，
，
是等腰直角三角形；
（2）解：，，
，
，
，
四边形的面积．
题型一：全等三角形性质中动点问题（选填）
1．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，，，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使与△BPQ全等，则点Q的运动速度为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查全等三角形的性质，设点Q的运动速度是，有两种情况：①；②，列出方程，然后求出方程的解即可．
【详解】解：设点Q的运动速度是，
∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，
又∵，
∴，
∵，
∴当与全等时，有两种情况：
①，
∴，
解得：；
②，
则：，
解得：；
∴当与全等时，点Q的运动速度为或．
故选D．
2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有△ABM与全等，则此时的长度为（ ）．
A．1或 B．2或 C．2或 D．1或
【答案】D
【分析】本题考查了全等三角形的性质，分类讨论是解答本题的性质．
根据题意分两种全等情况：①，②，然后利用全等的性质求解即可
【详解】解：①若，则，，
∴，，
解得：，；
②若，则，，
∴，，
解得：，
∴AB的长度为或．
故选：D．
3．（24-25七年级下·江西抚州·阶段练习）如图，在△ABC中，，直线经过点且与边相交，动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动，点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束，在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则△PEC与△QFC全等时，的值为 ．
【答案】2或或6
【分析】本题考查全等三角形的性质，分，且点在上、点在上运动，，且点与点重合，当，且点在上、点在上运动三种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴与全等分三种情况讨论：
①如图①，当，且点在上、点在上运动时，
．
此时，
∴，
解得；
②如图②，当，且点与点重合时，
．
此时，
∴，
解得；
③当，且点在上、点在上运动时，．
此时．
当点未到达终点时，
，
解得，
不符合题意，舍去．
当点到达终点时，继续运动，如图③，
此时点与点重合，，
∴，
解得．
综上所述，当的值为2或或6时，与全等．
故答案为：2或或6
4．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，已知长方形的边长，点E在边上，．如果点P从点B出发在线段上以的速度向点C运动，同时，点Q在线段上由点D向点C运动，那么当△BPE与△CQP全等时，运动时间t的值为 ．
【答案】1或3
【分析】本题考查全等三角形的性质，属于全等三角形的动点问题，解题关键是分和两种情况分别计算．
首先根据题意得到，然后分两种情况讨论求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
当时，则有，即，
解得，
当时，则，即，
解得，
故答案为：1或3．
5．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，，动点P从点A出发（不含点A），以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，Q为射线上一动点，点P的运动时间为t秒，若以点P，Q，C为顶点的三角形与△ABC全等，则t的值为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查直角三角形全等的判定，关键是找到所有符合题意的情况．根据已知条件分，，两种情况，根据和列方程求出t值即可．
【详解】解：∵，
∵，
∴当时，，，
∴点重合，点在点右侧，
此时，，
∴，
解得：；
当时，，
当点在点左侧时，
此时，，
∴，
解得：；
当点在点右侧时，
此时，，
∴，
解得：；
综上：则t的值为或或时，与以点，，为顶点的三角形全等，
故答案为：或或．
6．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为 米．
【答案】或/24或45
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
根据题意，分类讨论：当；当；根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：根据题意，设运动时间为，则，，
①点是中点，时，，，
∵，
∴，
∴，
∴；
②时，，，
∴，即，
解得，，
∴；
综上所述，线段的长度为或，
故答案为：或．
7．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若△ADB与△BEC全等，则的值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键．
分当在线段上时，，当在线段上时，，当在线段延长线上时，，当在线段延长线上时，四种情况，然后根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵ ，平分，
∴，
∴当在线段上时，，
∴，
∵，，
∴ ， 解得：，
当在线段上时，，
∴，
∵，，
∴ ， 解得：，
当在线段延长线上时，，
∴，
∵，，
∴ ， 解得：，
当在线段延长线上时，，
∴，
∵，，
∴ ， 解得：，
∴若与全等，则的值为或，
故答案为：或．
题型二：全等三角形性质中完全平方问题
1．（24-25八年级上·江西赣州·期末）综合与探究
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1可以得到，基于此，请解答下列问题．
【直接应用】（1）若，，求的值．
【类比应用】（2）若，则 ．
【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图2所示的方式放置，其中点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．
（4）如图3，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为a的大正方形，两块是边长都为b的小正方形，五块是长为a，宽为b的全等小矩形，且．观察图形，分解因式 ．
【答案】（1）3.5；（2）12；（3）16；（4）
【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）根据完全平方公式变形即可求解．
（2）将看成，进而根据，即可求解；
（3）设，，根据可得，而，进而根据完全平方公式变形即可求解．
（4）结合图形由长方形的面积为，即可得出结果．
【详解】解：（1）
又
，
；
（2）∵，则
故答案为：；
（3）∵两块直角三角板全等，
，，
点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，
，．
设，．
，
又，
，
，
，
，
答：一块直角三角板的面积为16．
（4）根据图形长方形的面积为：，
则分解因式．
2．（24-25八年级上·吉林白城·期末）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，请解答下列问题：
(1)若，求的值：
(2)填空：
①若，则______；
②若______；
(3)两块形状和大小完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中在一直线上，连接．若，求一块直角三角板的面积．
【答案】(1)7
(2)①7；②5
(3)17
【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，熟练的运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键．
（1）把，代入 从而可得答案；
（2）①由完全平方公式的变形可得，再代入求值即可；
②利用完全平方公式变形可得，再求值即可；
（3）先证明三点共线，，可得，结合已知条件可得，，再利用，求解2ab，从而可得答案．
【详解】（1）解： ，，而
解得：；
（2）解：①，
；
故答案为：7；
②，，
；
故答案为：5；
（3）解：三点共线，且
三点共线，
∵两块形状和大小完全相同的特制直角三角板
∴，
，
，，
， ，
，
，
，
，
．
3．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图1，将一个边长为的大正方形拆分为边长分别为a，b的两个小正方形，以及两个长方形，通过计算几何图形的面积可以得到一个完全平方的代数恒等式．
(1)【直接应用】①这个完全平方的代数恒等式是_____________；
②如果，，则_______；如果，，则_______；
(2)【类比应用】①若，则______；
②若x满足，则_____；
(3)【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连结．若，，求一块直角三角板的面积．
【答案】(1)①；②，5
(2)①31，②1010
(3)30
【分析】本题考查的是完全平方公式及其变形的应用，全等三角形的性质，三角形面积的计算，完全平方公式在几何图形中的应用，熟练的运用完全平方公式的几个变形是解本题的关键．
（1）①根据大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积列出等式即可解答；②利用完全平方公式，再代入已知数据计算即可；
（2）①先求出，根据求出结果即可；②同理①，根据求出结果即可；
（3）先证明 三点共线，，可得 结合已知条件可得，再利用求出，从而可得答案．
【详解】（1）解：①根据题意：；
②，
若，，
，
；
若，，
，
；
（2）解：①，，
；
②，，
；
（3）解：三点共线，且，
，
∴，
∴三点共线，
∴，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即一块直角三角板的面积为30．
4．（24-25八年级上·海南海口·期末）知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
(1)直接应用：若，，直接写出的值为 ；
(2)类比应用：若，则 ；（直接写结果）
(3)知识迁移：两块全等的直角三角形，，其中．如图2所示放置，其中C，B，D在一直线上，连接，，若，，求四边形的面积的大小．
【答案】(1)19
(2)7
(3)28
【分析】本题考查了全等三角形的性质、完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
（1）根据代入计算即可得；
（2）根据和代入计算即可得；
（3）先根据全等三角形的性质可得，，设，，从而可得，，再根据四边形的面积，利用完全平方公式变形运算即可得．
【详解】（1）解：∵，，
∴
，
故答案为：19．
（2）解：∵，，
∴
，
故答案为：7．
（3）解：∵，
∴，，
设，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，即，
∴四边形的面积
，
所以四边形的面积的大小为28．
题型三：全等三角形中解答题压轴
1．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当____时，的面积等于△ABC面积的一半；
(2)如图②，在△DEF中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，根据运动时间，分类解答即可．
（2）根据直角三角形的全等，分类解答即可．
【详解】（1）解：根据题意，，动点的速度为，设运动时间为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，在上运动的时长为，
当时，点P在上运动，此时不存在；
当时，点P在上运动，此时存在，如图所示，
根据题意，，此时，
∵的面积等于面积的一半，
∴，
解得；
当时，点P在上运动，此时存在，如图所示，
根据题意，运动总路程长为，此时，
∵的面积等于面积的一半，
∴，
∴,
解得；
故当或时，的面积等于面积的一半，
故答案为：或．
（2）解：当点P在上运动，点Q在上运动，且满足，
∵，，，．
∴，，
∵动点P的速度为，
∴动点P的运动时间为，
∴动点Q的运动时间为，
∴动点Q的运动速度为；
当点P在上运动，点Q在上运动，不满足，不存在；
当点P在上运动，点Q在上运动，满足，存在；
∵，，，．
∴，，
∵动点P的速度为，
∴动点P的运动时间为，
∴动点Q的运动时间为，
点Q的运动路程为，
∴动点Q的运动速度为；
综上所述，点Q的速度为或．
2．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图，当时，_____．
(2)如图，当______时，的面积等于△ABC面积的一半；
(3)如图，在△DEF中，，，，，在△ABC的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度．
【答案】(1)
(2)或
(3)运动的速度为或或或
【分析】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积、一元一次方程的几何应用，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键．
（1）当时，点P在线段上，根据点P速度表示的长即可；
（2）分两种情况讨论：①点P在上；②点P在上，利用三角形面积分别求解即可；
（3）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度路程时间求解即可．
【详解】（1）解：当时，点P在线段上，
∵点P速度为，
∴．
故答案为：；
（2）∵，，
∴，
∵的面积等于面积的一半，
∴．
①当点P在上时，
，
∴，
．
②当点P在上时，
过点C作于点D，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
．
故答案为：或
（3）设点的运动速度为，
①当点在上，点在上，时，
，
∴；
②当点在上，点在上，时，
，
∴；
③当点P在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴；
④当点P在上，点Q在上，时
，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴．
∴运动的速度为或或或
3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当______时，的面积等于△ABC面积的三分之二；
(2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】本题主要考查了三角形面积的计算，全等三角形的的性质，分类讨论，是正确解答的关键．
（1）分两种情况，当点P在上时，， 得到点P移动路程为，移动时间为；当点P在上时，， 得到得到点P移动路程为，移动时间为；
（2）分两种情况讨论：当点在上，当点在上，分别画出图形进行求解即可．
【详解】（1）解：当点P在上时，
∵的面积等于面积的三分之二，
∴，
∴点P移动的距离为，
∴移动的时间为：；
当点P在上时，
∵的面积等于面积的三分之二；
∴，
∴点P移动的距离为，
∴移动的时间为：；
故答案为：或；
（2）解：∵，
∴对应顶点为与，与，与；
①当点在上，如图所示：

此时，，，
点移动的速度为，
②当点在上，如图所示：

此时，，，
即，点移动的路程为，点移动的路程为，
点移动的速度为，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好，点的运动速度为或．
4．（24-25七年级上·海南儋州·期中）在中，，动点P从点A出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点A停止，设运动时间为．
(1)如图1，当时， ，当时， （用含t的式子表示）；
(2)如图1，当 s时，△ABC的周长被线段平分为相等的两部分；
(3)如图1，若的面积等于△ABC面积的一半，求t的值；
(4)如图2，在△DEF中，．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和△DEF全等，求点Q的运动速度．
【答案】(1)，
(2)6
(3)或
(4)点的速度为或或或
【分析】本题考查三角形中的动点问题，全等三角形的性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想求解，是解题的关键：
（1）根据路程等于速度乘以时间，列出代数式即可；
（2）根据题意，易得，即点的路程等于三角形周长的一半，列出方程进行计算即可；
（3）分点为的中点和点为的中点两种情况，进行求解即可；
（4）分，两种情况，再分点在上和点在上，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：当时，；
当时，此时点在边上，；
故答案为：，；
（2）解：由题意，得：，
∴，
解得：；
故答案为：6；
（3）解：①当点为的中点时，为的中线，则：，
；
②当点为的中点时，为的中线，则：，
；
综上：或；
（4）解：①当，则：，
当点在上时，，解得：，
∴点的速度为：；
当点在上时，则：，
∴点的速度为：；
②当时，则：，
当点在上时，，解得：，
∴点的速度为：；
当点在上时，则：，
∴点的速度为：；
综上：点的速度为或或或．
5．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以的速度沿向终点C运动，设点P的运动时间为．
(1)_________．（用含x的代数式表示）
(2)当x为何值时，
(3)当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以的速度沿折线向终点A运动．当时，直接写出x的值．
【答案】(1)(2)1(3)或
【分析】本题考查了列代数式、全等三角形的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
（1）由题意可得，再由计算即可得解；
（2）由全等三角形的性质可得，即，求解即可；
（3）分两种情况：当点在上时，当点在上时，分别列出一元一次方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：∵点P从点B出发，以的速度沿向终点C运动，设点P的运动时间为，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
解得：，
∴当x为时，；
（3）解：如图，当点在上时，，则，
∵，
∴，
解得：；
如图，当点在上时，，则，
∵，
∴，
解得：；
综上所述，当时，x的值为或．
1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为17，则小正方形的面积为（ ）

A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】D
【分析】本题考查了完全平方公式与几何的应用，全等的性质，利用完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
由题意，，由面积法得到，则，由求出，即小正方形的面积．
【详解】解：如图所示，由题意，，

∵大正方形的面积为17，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴小正方形的面积为，
故选：D．
2．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，，，从而可得，再根据图中阴影部分的面积等于的面积求解即可得．
【详解】解：∵，，
∴，，，
∴，即，
∵，
∴，
又∵，
∴图中阴影部分的面积等于，
故选：B．
3．（2025·江西·模拟预测）小明用4个全等且面积为4的直角三角形和1个小正方形刚好能拼成一个大正方形（如图①所示），且他用这些还能拼成图②所示的长方形， 则长方形的面积为（ ）
A．8 B．16 C．20 D．24
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，整式的运算的应用，设直角三角形的较长直角边长为a， 较短直角边长为b，利用两个图中面积关系和线段之间的关系求得，即可解答，熟练运用整式表示相关面积和线段长度是解题的关键．
【详解】解：设直角三角形的较长直角边长为a， 较短直角边长为b，
4个全等且面积为4的直角三角形和1个小正方形刚好能拼成一个大正方形
中间的小正方形边长为，
由直角三角形的面积为4，可得，
由图②长方形可得，
，
可得
解得（负值舍去），
则，
所以长方形的面积为20．
故选：C．
4．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，已知，下列结论中正确的个数是（　　）
；；；；；．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据全等三角形的性质判断即可．
【详解】解：，
，故正确；
，即，故正确；
，
，
，即，故正确；
，
，
，故正确；
，
，故正确；
与不一定相等，故错误；
故选：C．
5．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，锐角△ABC中，，分别是，边上的点，，，且，，交于点，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形的性质，此题利用了“全等三角形的对应角相等”和“两直线平行，内错角相等”进行推理的．由全等三角形的对应角相等、三角形外角定理以及三角形内角和定理进行解答．
【详解】解：设，，
∵，，
∴，，，
∴，．
∵，
∴，，
∴，即．
则．
∵，，
∴．
故选：A．
6．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，将△ABC沿折叠，的对应边恰好经过顶点，，设，，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查全等三角形的性质和三角形内角和定理和外角的性质，根据全等三角形的性质可得，，由三角形外角的性质得，根据三角形定理可得结论．
【详解】解：∵，
∴，
由翻折得，，
∴，
而,
∴,
∴，
故选：B．
7．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在长方形中，，．点从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿向点匀速运动，连接、，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【分析】本题考查了全等三角形性质，分当时，当时两种情况分析，然后根据全等三角形的性质即可求解，解题的关键是注意分类讨论，利用对应边相等列方程求解．
【详解】解：设秒后，与全等，
由题意可得：，，，，
由与全等，，
当时，
∴，，
∴，，
∴，；
当时，
∴，，
∴，，
∴，；
∴的值为或，
故选：．
8．（24-25八年级上·河南安阳·期末）三个全等三角形按如图所示摆放，则的度数为 °．
【答案】180
【分析】本题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角和等知识点，利用三角形的外角和为得出，根据全等三角形的性质得出，，然后结合三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：三角形的外角和是，
．
三个全等三角形，
，，
又，
，
的度数是，
故答案为：180．
9．（24-25八年级上·江西新余·期末）如图，，B，E，在一直线上，则的度数为 ．
【答案】/30度
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的性质是解决问题的关键；
根据全等三角形对应角相等可得，，再根据平角等于求出，然后根据直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：∵，
，，
，
，
∵，
即，
解得．
故答案为：．
10．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）2024年9月10日是第40个教师节．数学老师用与教师节年月日相关的数字，编拟了一道运用全等三角形的性质和解方程等知识求解的题目：一个三角形的三边长分别是4，9，10，另一个三角形三边的长分别是4，，．若这两个三角形全等，则的值为 ．
【答案】2或
【分析】本题考查的是全等三角形的性质，二元一次方程组的应用；由全等三角形的性质可得或，再解方程组即可．
【详解】解：由题意得或，
当，
②①得：，
把代入②得：，
∴方程组的解为：，
∴，
当，
同理解得：
∴；
的值为2或．
故答案为：2或
11．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了全等图形的性质、正方形面积公式等知识，理解全等图形的性质是解题关键．设，则，易得，故有，结合全等图形的性质可得，易得，然后可求得，即可获得答案．
【详解】解：如下图，
∵，
可设，，
∴，
∴，
由全等三角形的性质可得，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
12．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，．
(1)求m，n的值；
(2)当边长小于边长时，以，，为三角形的三边长，求边长a取值范围．
【答案】(1)，或；
(2)，
【分析】本题考查了全等三角形的性质及三角形三边关系，
（1）有两种情况：与8、与10分别是对应边；与10、与8分别是对应边；分别求出m与n即可；
（2）根据（1）中结果，确定，；再根据三角形三边关系分析即可．
熟练掌握全等三角形的性质及三角形三边关系是解题关键．
【详解】（1）解：当与8、与10分别是对应边时，则，
∴；
当与10、与8分别是对应边时，则，
∴；
综上，或；
（2）因为边长小于边长，所以取，；
当时，以a，m，n为三角形的三边长，
则边长a取值范围为．
∴．
13．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，，．
(1)求的度数与的长；
(2)求证：．
【答案】(1)，6
(2)见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线的判定的应用，解此题的关键是能根据全等三角形的性质得出，，，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，难度适中．
（1）根据三角形内角和定理求出，根据全等三角形的性质得出，，即可得出答案；
（2）根据全等三角形的性质得出，根据平行线的判定得出即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴．
14．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知于点，点在上，交于点F，．
(1)若，，求的长．
(2)试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
（1）由全等三角形的性质可得，，进而可得，然后根据线段之间的和差关系可得，由此即可求出的长；
（2）由可得，由全等三角形的性质可得，，由对顶角相等可得，进而可得，由三角形的内角和定理可得，因而可得，于是结论得证．
【详解】（1）解：，
，，
，，
，
；
（2）解：，且，理由如下：
，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
，且．
15．（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，在△ABC中，，，点在上，且；点从出发以每秒 的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、．
(1)用含的式子表示、；
(2)若点的运动速度也为每秒，为何值时，；
(3)若点的运动速度和点的速度不相等，要使，则点的运动速度为多少 全等时为多少
【答案】(1)，；
(2)；
(3)每秒；．
【分析】（）根据题意列代数式即可；
（）由点的运动速度也为每秒，则，，再由，则，所以，然后求解即可；
（）由点的运动速度和点的速度不相等，则，，则，，即为中点，所以，然后求解即可；
本题考查了全等三角形的性质，解一元一次方程，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得：，；
（2）解：∵点的运动速度也为每秒，
∴，，
∵；
∴，
∴，解得，
∴时，；
（3）解：由点的运动速度和点的速度不相等，则，
∵，
∴，，
∴为中点，
∴，解得：，
∴点的速度为每秒．中小学教育资源及组卷应用平台
1.4 全等三角形
题型一：全等图形的判断
1．（24-25八年级上·江西上饶·期中）2024年巴黎奥运会上中国体育代表团获得40枚金牌，金牌数与美国队并列第一，创造了参加境外奥运会的最佳战绩．下列各组巴黎奥运会的项目图标中，是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25八年级上·江苏南京·期中）下图是2024年巴黎奥运会和残奥会的吉祥物“弗里热”，它的座右铭是“独行快，众行远”，下列与该图片是全等的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024八年级上·江苏·专题练习）下列各选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25八年级上·山西运城·期末）下列各组图形中，属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）下列各选项中的两个图形属于全等图形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）下列各组图形中，是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）下列各个选项中的两个图形属于全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：利用全等三角形性质判断语句是否正确
1．（24-25七年级下·重庆·期中）有下列说法：
①在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线；
②两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；
④全等三角形的周长相等；
⑤面积相等的两个三角形全等；
⑥如果两个角互为邻补角，那么这两个角的角平分线互相垂直．
其中正确的有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（24-25七年级下·陕西西安·期中）下列说法中，正确的个数有（ ）
①同位角相等；
②三角形的三条高线的交于三角形内部一点；
③全等三角形的面积一定相等；
④过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
⑤三角形的三条角平分线交于一点，且这点在三角形内
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（24-25七年级下·辽宁阜新·期中）下列说法正确的是（ ）
A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．面积相等的两个三角形全等
D．三角形的三条高线交于一点
4．（24-25八年级上·广东河源·期末）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．内错角相等
B．有理数和数轴上的点一一对应
C．三角形的一个外角大于任何一个内角
D．全等三角形对应边上的中线相等
5．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）下列命题是真命题的是（ ）
A．面积相等的两个三角形全等
B．相等的角是对顶角
C．两直线平行，内错角相等
D．三角形的一个外角等于两个内角的和
题型三：利用全等三角形的性质求角度的大小
1．（24-25七年级下·四川雅安·期中）如图，，且，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，已知，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·山东济南·二模）如图，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，那么的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，点B，C，D在同一直线上．若，且，则 ．
6．（2025·广东深圳·二模）如图，已知，，，则的度数为 度．
7．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图，已知，如果，，那么 ．
8．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，，，点在上，若．则 ．
题型四：利用全等三角形的性质求线段的长度
1．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，，若，，则的长度为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，点，在线段上，，若，，则的长为（ ）
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
3．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，，若，则等于（ ）
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
4．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，在△ABC中，于点，是上的一点．若，，，则△BDE的周长为 ．
5．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知△ABC≌△DEB，点、、的对应点分别是点、、，点在边上，与交于点．如果，，则线段的长是 ．
6．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，且点在上．若，则的长为 ．
7．（24-25九年级上·广东清远·期中）中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在△ABC中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将△ABC分割后拼接成长方形．已知，，则的面积为 ．
题型五：全等三角形与二元一次方程组的综合
1．（23-24八年级上·广西玉林·期中）已知△ABC的三边长为3，5，7，△DEF的三边长为5，，，若△ABC与△DEF全等，则x等于
2．（24-25八年级上·福建厦门·期中）一个三角形三条边的长分别是8，11，16，另一个三角形三条边的长分别是8，，，其中，若这两个三角形全等，则的值是 ．
3．（24-25八年级上·浙江·期中）一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，，若这两个三角形全等，则的值是 ．
4．（24-25八年级上·广东惠州·期中）已知△ABC三边的长分别为，，，△DEF三边的长分别为，，，若这两个三角形全等，则 ．
5．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，．若这两个三角形全等，则x的值是 ．
6．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）一个三角形的三条边长分别为6，5，x，另一个三角形的三条边长分别为y，6，4，若这两个三角形全等，则的值为 ．
题型六：全等三角形中性质综合
1．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，，顶点A、C分别与顶点D、B对应，点E在边上，边与边相交于点F．
(1)若，求线段的长；
(2)若，求的度数
2．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）如图所示，已知于D．
(1)判断与的位置关系，并说明理由．
(2)已知，求的长．
3．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，△ADC≌△AFB，连接，与交于点，，，．
(1)求的度数；
(2)求的度数．
4．（24-25八年级上·河北保定·期中）如图，，点，，，在一条直线上．
(1)求证：；
(2)连接．若，求的度数．
5．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，，，
(1)求的度数
(2)若，，求四边形的周长
6．（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知△ABD≌△EBC，，，且点在线段上．
(1)求的长．
(2)求证：．
(3)猜想与的位置关系，并说明理由．
7．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点在边上（不与点，重合），与交于点．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求与的周长和；
8．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在△ABC中，点、分别在边、上，连接、交于点，且△ABD≌△CFD．
(1)求证：是等腰直角三角形；
(2)若，，求四边形的面积．
题型一：全等三角形性质中动点问题（选填）
1．（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，，，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使与△BPQ全等，则点Q的运动速度为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有△ABM与全等，则此时的长度为（ ）．
A．1或 B．2或 C．2或 D．1或
3．（24-25七年级下·江西抚州·阶段练习）如图，在△ABC中，，直线经过点且与边相交，动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动，点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束，在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为，则△PEC与△QFC全等时，的值为 ．
4．（24-25七年级下·辽宁辽阳·期中）如图，已知长方形的边长，点E在边上，．如果点P从点B出发在线段上以的速度向点C运动，同时，点Q在线段上由点D向点C运动，那么当△BPE与△CQP全等时，运动时间t的值为 ．
5．（24-25七年级下·江西赣州·阶段练习）如图，，动点P从点A出发（不含点A），以2个单位长度/秒的速度沿射线运动，Q为射线上一动点，点P的运动时间为t秒，若以点P，Q，C为顶点的三角形与△ABC全等，则t的值为 ．
6．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知线段米，射线于点，射线于，点从点向运动，每秒走2米，点从点向运动，每秒走3米，、同时从出发，若射线上有一点，使得某时刻和全等，则线段的长度为 米．
7．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，直线，平分，过点作交于点．动点，同时从点出发，其中动点以的速度沿射线运动，动点以的速度在直线上运动．已知，设动点，的运动时间为．当动点在直线上运动时，若△ADB与△BEC全等，则的值为 ．
题型二：全等三角形性质中完全平方问题
1．（24-25八年级上·江西赣州·期末）综合与探究
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1可以得到，基于此，请解答下列问题．
【直接应用】（1）若，，求的值．
【类比应用】（2）若，则 ．
【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图2所示的方式放置，其中点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．
（4）如图3，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为a的大正方形，两块是边长都为b的小正方形，五块是长为a，宽为b的全等小矩形，且．观察图形，分解因式 ．
2．（24-25八年级上·吉林白城·期末）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，请解答下列问题：
(1)若，求的值：
(2)填空：
①若，则______；
②若______；
(3)两块形状和大小完全相同的特制直角三角板如图2所示放置，其中在一直线上，连接．若，求一块直角三角板的面积．
3．（24-25八年级上·四川眉山·期末）如图1，将一个边长为的大正方形拆分为边长分别为a，b的两个小正方形，以及两个长方形，通过计算几何图形的面积可以得到一个完全平方的代数恒等式．
(1)【直接应用】①这个完全平方的代数恒等式是_____________；
②如果，，则_______；如果，，则_______；
(2)【类比应用】①若，则______；
②若x满足，则_____；
(3)【知识迁移】两块全等的特制直角三角板（）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连结．若，，求一块直角三角板的面积．
4．（24-25八年级上·海南海口·期末）知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．如图1可以得到，基于此，请解答下列问题：
(1)直接应用：若，，直接写出的值为 ；
(2)类比应用：若，则 ；（直接写结果）
(3)知识迁移：两块全等的直角三角形，，其中．如图2所示放置，其中C，B，D在一直线上，连接，，若，，求四边形的面积的大小．
题型三：全等三角形中解答题压轴
1．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当____时，的面积等于△ABC面积的一半；
(2)如图②，在△DEF中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度．
2．（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在中，，，，，现有一动点从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图，当时，_____．
(2)如图，当______时，的面积等于△ABC面积的一半；
(3)如图，在△DEF中，，，，，在△ABC的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止在两点运动过程中的某一时刻，恰好≌，求点中的运动速度．
3．（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当______时，的面积等于△ABC面积的三分之二；
(2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点的运动速度．
4．（24-25七年级上·海南儋州·期中）在中，，动点P从点A出发，以的速度沿着三角形的边运动，回到点A停止，设运动时间为．
(1)如图1，当时， ，当时， （用含t的式子表示）；
(2)如图1，当 s时，△ABC的周长被线段平分为相等的两部分；
(3)如图1，若的面积等于△ABC面积的一半，求t的值；
(4)如图2，在△DEF中，．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止；在两点运动过程中的某一时刻，恰好和△DEF全等，求点Q的运动速度．
5．（24-25八年级上·吉林·期中）如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以的速度沿向终点C运动，设点P的运动时间为．
(1)_________．（用含x的代数式表示）
(2)当x为何值时，
(3)当点P从点B开始运动的同时，点Q从点C出发，以的速度沿折线向终点A运动．当时，直接写出x的值．
1．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为17，则小正方形的面积为（ ）

A．5 B．7 C．9 D．11
2．（24-25七年级下·陕西渭南·期中）如图，，连接，若，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2025·江西·模拟预测）小明用4个全等且面积为4的直角三角形和1个小正方形刚好能拼成一个大正方形（如图①所示），且他用这些还能拼成图②所示的长方形， 则长方形的面积为（ ）
A．8 B．16 C．20 D．24
4．（24-25八年级上·河北邢台·期中）如图，已知，下列结论中正确的个数是（　　）
；；；；；．
A．个 B．个 C．个 D．个
5．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，锐角△ABC中，，分别是，边上的点，，，且，，交于点，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，将△ABC沿折叠，的对应边恰好经过顶点，，设，，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在长方形中，，．点从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向点匀速运动，点从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿向点匀速运动，连接、，三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其它点也停止运动．若在某一时刻，与全等，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
8．（24-25八年级上·河南安阳·期末）三个全等三角形按如图所示摆放，则的度数为 °．
9．（24-25八年级上·江西新余·期末）如图，，B，E，在一直线上，则的度数为 ．
10．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）2024年9月10日是第40个教师节．数学老师用与教师节年月日相关的数字，编拟了一道运用全等三角形的性质和解方程等知识求解的题目：一个三角形的三边长分别是4，9，10，另一个三角形三边的长分别是4，，．若这两个三角形全等，则的值为 ．
11．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图1，正方形被分割成五部分，其中①②③④为四个全等的四边形，⑤为正方形，且①②③④恰好可以拼成图2的正方形．若在正方形中，恰有，则 ．
12．（23-24八年级上·广西河池·期末）已知两个三角形全等，其中一个三角形的三边长分别为6，8，10，另一个三角形的三边长分别为6，．
(1)求m，n的值；
(2)当边长小于边长时，以，，为三角形的三边长，求边长a取值范围．
13．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，，．
(1)求的度数与的长；
(2)求证：．
14．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，已知于点，点在上，交于点F，．
(1)若，，求的长．
(2)试判断和的数量关系和位置关系，并说明理由．
15．（24-25八年级上·青海海东·期末）如图，在△ABC中，，，点在上，且；点从出发以每秒 的速度向点运动，同时，点从出发向点运动，设运动时间为秒，连接、．
(1)用含的式子表示、；
(2)若点的运动速度也为每秒，为何值时，；
(3)若点的运动速度和点的速度不相等，要使，则点的运动速度为多少 全等时为多少

展开更多......

收起↑