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2.3 等腰三角形的性质定理（第一课时）
题型一：垂直平分线与等边对等角求角度
1．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交于点M，N，若M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质是解答的关键．先根据三角形的内角和定理求得，再根据线段垂直平分线的性质和等边对等角求得，，再利用三角形的外角性质和平角定义求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故选C．
2．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用相关的性质进行求解．根据线段垂直平分线的性质可得，则，由平分可得，，再根据三角形内角和定理，求解即可．
【详解】解：∵垂直平分，
，
，
又 ∵平分，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
3．（2025·福建漳州·模拟预测）在中，，线段的垂直平分线交点D，交点E，连接，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，能根据定理求出是解此题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出，求出，根据三角形内角和定理得出，再求解即可．
【详解】解：线段的垂直平分线交点D，交点E，
，
，
，，
，
，
故选：B．
4．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，中，，的垂直平分线交于，交于，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角性质，由垂直平分线性质可得，则，然后通过三角形外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
故选：．
5．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，线段的垂直平分线交于点C，且，，则的度数为（ ）
A．168° B．158° C．148° D．138°
【答案】C
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键．先由线段垂直平分线的性质得，，得到，，再证，得，然后由三角形内角和定理得，进而得出答案．
【详解】解：连接，如图所示：
线段，的垂直平分线交于点，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故选：．
6．（2025·广西梧州·二模）如图，在中，，，是的垂直平分线，分别交、于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质以及等边对等角的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质，运用数形结合思想是解题的关键．由等边对等角的性质和三角形内角和定理，求得的度数，又由线段垂直平分线的性质可得，继而求得的度数，继而即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
题型二：角平分线与等边对等角求角度
1．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义计算即可．
【详解】解：∵，是的中线，
∴，，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
即的度数是．
故选：A．
2．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用相关的性质进行求解．根据线段垂直平分线的性质可得，则，由平分可得，，再根据三角形内角和定理，求解即可．
【详解】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：C．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图：在中，，平分，交于点D，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的内角和与外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键．设，由条件结合等腰三角形的性质可证明，在中由三角形内角和定理列出方程可求得x，可求得．
【详解】解：设，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，即，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故选：B．
4．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，的平分线交于点，如果垂直平分，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义．由垂直平分线的性质可得，由三角形的内角和可求得，从而可求得，再由角平分线的定义得，利用三角形的外角性质，即可求的度数．
【详解】解：∵垂直平分，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴．
故选：A．
5．（2025·安徽宿州·一模）如图，在中，，垂直平分，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据，垂直平分，平分推得，代入即可得到．
【详解】解：，
，
垂直平分，
，
，
平分，
，
，
中，，
，
解得．
故选：．
6．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出是解题的关键．
先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，，再利用角平分线定义即可得出．
【详解】解：∵是的中线，，，
∴，，
∵是的角平分线，
∴，
故选：D．
题型三：三角形的外角与等边对等角相关求解
1．（24-25八年级下·山东青岛·期中）钝角等腰三角形一条腰上的高是另一条腰长的一半，则等腰三角形底角度数为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，根据题意画出图形，得出，根据等边对等角以及三角形的外角的性质，即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，取中点，连接，
依题意，，
∴，，
∵，，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
故选：．
2．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，点在边上，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
先根据等腰三角形的性质求出的度数，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】解：∵中，，，
∴，
∵，
∴．
故选：．
3．（2025·安徽六安·三模）把一副三角尺按如图所示摆放，两个三角尺有一个顶点重合，角三角尺的直角顶点恰好在另一个三角尺的直角边上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查与三角板有关的计算，等边对等角，三角形的外角，根据等边对等角求出的度数，进而求出的度数，再利用外角的性质，求出的度数即可．
【详解】解：由题意，得：，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
4．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）等腰纸片（）可按图中所示方法折成一个四边形，点与点重合．点与点重合，请问原等腰中的（　　）度．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质：两个底角相等，及三角形内角和定理．求得角之间的关系式正确解答本题的关键．把图展开后，可知，，可由三角形的内角和定理及三角形的外角与内角的关系求得的度数．
【详解】解：如图：
由题意知：，
∵，
∴，即，
∴．
故选：D．
5．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，M，N，K分别是，，上的点，且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质及三角形内角和定理，利用条件证得是解题的关键．
利用三角形内角和可求得，由条件可证明，再结合外角的性质可求得．
【详解】解：∵，，
，
在和中，
，
，
，
，
故选：C．
6．（2025·河南安阳·三模）如图，和是一副三角板，，，与交于点，与交于点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等边对等角，三角形外角性质，三角板中的角度求解，根据等边对等角求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余求出的度数，最后利用三角形外角性质即可求出结果．
【详解】解：，，
，
，
故选：B．
7．（24-25八年级下·四川雅安·期中）中，是高，E是的中点，且线段平分的周长，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质；在边上截取，由直角三角形的性质得到，再由线段平分的周长得到，进而可证明，则，再由三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：如图所示，在边上截取，
是高，
，
，
是的中点，
，
线段平分的周长，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：A．
8．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质．根据等边对等角可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，根据两直线平行，内错角相等求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
题型四：三角形内角和与等边对等角相关求解
1．（2025·辽宁大连·一模）如图，在四边形中，，，，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，“两直线平行，内错角相等”，三角形内角和定理，
先根据三角形内角和定理求出，再根据“两直线平行，内错角相等”求出，然后根据等腰三角形的性质得出答案．
【详解】解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故选：C．
2．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，点在上，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，以及等腰三角形的性质．解题的关键是分析各角之间关系的能力，运用所学的三角形知识求解．根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得，由可得，从而即可求解．
【详解】解：∵，，
，，
∴，
又，
．
故选：．
3．（2025·陕西汉中·一模）如图，点A，B在直线m上，点C，D在直线n上，连接、、，，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查平行线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，得出，再根据平行线的性质得出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
又，
∴，
∴。
∵，
∴，
∴，
故选：C．
4．（2025·安徽宿州·三模）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点在上，点，在上，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】该题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理求出，结合平行线性质即可求解．
【详解】解：，
，，
．
，
，
即，
故选：B．
5．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，，M、N为直线上的两点，连接，于点E，点F在上，连接，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线的性质，三角形的内角和定理，等边对等角，根据三角形的内角和定理求出的度数，平行线的性质，得到的度数，等边对等角，得到的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
故选A．
6．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的平分线交于点，则的度数为 ．
【答案】/30度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和三角形的内角和定理，属于常见题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．根据三角形内角和定理得出，根据等腰三角形的性质的性质和线段垂直平分线的性质可得，从而得，然后根据角平分线即得答案．
【详解】解：∵，，
，
∵垂直平分，
，
，
，
∵平分，
∴，
故答案为：．
7．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知线段、的垂直平分线交于点，连接、、、，若，，那么的度数是 ．
【答案】/42度
【分析】如图，连接，根据线段垂直平分线性质得出，即可得，三角形内角和定理得出，则，根据，求出，证明，即可求出．
【详解】解：如图，连接，
∵线段、的垂直平分线交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
8．（24-25七年级下·上海普陀·期末）在中，边的垂直平分线相交于点，如果点在边上，那么 °．
【答案】90
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理．由线段垂直平分线的性质，得到，，由等边对等角，得到，，再根据三角形内角和定理列式计算即可求解．
【详解】解：连接，
∵边的垂直平分线相交于点，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：90．
9．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，直线，直线EF分别交AB，CD于点E，F，点G，H分别在射线FC，射线FD上，且．若，则的度数为 ．

【答案】
【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质得，，从而可求，再求出，然后利用平行线的性质即可求解．
【详解】，
，
，
，
．
，
．
∵，
，
．
10．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，点O是各边垂直平分线的交点，连接．如果，那么 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，连接，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角可得，利用三角形内角和定理可得，则可求出，进而得到，即．
【详解】解：如图所示，连接，
∵点O是各边垂直平分线的交点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
故答案为；．
题型五：等边对等角与尺规作图的结合
1．（24-25九年级下·山东烟台·期中）如图，以点为圆心作弧，使弧与直线相交于点和点，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点，直线与直线相交于点，若，则的度数 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的作法和性质，三角形内角和定理，由作图可知，直线是线段的垂直平分线，即得，，进而得到，再根据三角形内角和定理求出即可求解，掌握线段垂直平分线的作法和性质是解题的关键．
【详解】解：由作图可知，，直线是线段的垂直平分线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
2．（2025·贵州遵义·三模）如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，则的度数为 °．
【答案】30
【分析】本题考查作图－基本作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用三角形内角和定理求出，再求出，可得结论．
【详解】解：根据题意可知，垂直平分线的，
，
，
，
，
，
故答案为：30．
3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的度数是 ．
【答案】
【分析】设，则，，利用三角形内角和定理构建方程求解．
【详解】解：∵，
∴，
设，则，，
由作图可知，
∴,
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
4．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，以点A为圆心作弧，使弧与直线l相交于点B和点C，再分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点E和点F，直线与直线l相交于点D，若，则的度数是 ．
【答案】/33度
【分析】本题考查了尺规作图，等腰三角形的作法和线段垂直平分线的作法，根据作图步骤可知，是线段的垂直平分线，结合等腰三角形的性质即可求出答案．
【详解】解：由题意得，，是线段的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
5．（2025·湖南·模拟预测）如图，在已知的中，按如下步骤作图：
①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点；
②作直线，交于点，连接．
若，则的度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题主要考查了垂直平分线，等角对等边，三角形外角和内角的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
由题中作图方法可知，为线段的垂直平分线，则，根据等角对等边，可得，再结合三角形外角和内角可得，即可求得．
【详解】解：∵，
∴，
由题中作图方法可知，为线段的垂直平分线，
则，
∴，
∴．
故答案为：．
6．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如图，依据尺规作图的痕迹，若，则的度数为 ．
【答案】/130度
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据尺规作图得到是线段的垂直平分线，平分，得到，，根据三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：由作图可知：是线段的垂直平分线，平分，
则，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
7．（2025·湖南常德·一模）如图，直线，直线分别交，于点，，，以点为圆心，长为半径画弧，若在弧上存在点使，则的度数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质，首先根据平行线的性质可得：，因为点在以点为圆心，长为半径的弧上，所以，根据等腰三角形的性质可知，再根据三角形外角的性质可求的度数．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
8．（2025·湖南·一模）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，交于点E，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，先求解，结合，再进一步的解答即可.
【详解】解：，，
, ∴
垂直平分
∴
∴．
故答案为：．
题型六：等边对等角的简单证明
1．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，平分，，，垂足分别为，．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等边对等角，先由角平分线的性质得到，再证明得到，则可证明．
【详解】证明：∵平分，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，点E，B，C，F在一条直线上，，，与相交于点，求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析．
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、“等角对等边”等知识，推导出，进而证明是解题的关键．
（1）由，推导出，而，即可根据“”证明，则；
（2）由全等三角形的性质得，即可根据“等角对等边”证明．
【详解】（1）证明：∵点E，B，C，F在一条直线上，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）得，
∴，
∴．
3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知，在中，点D是上一点，过点D的直线交于点E，交延长线于点F，点G是上一点，连接并延长交延长线于点H，，．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题主要查了三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质：
（1）根据，以及三角形外角的性质，可得，，再由，可得，，即可求解；
（2）根据，以及三角形外角的性质，可得，可证明，可得，，即可求证．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，
即．
4．（24-25八年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，，，点在边上，，交于点．
(1)求证：．
(2)求证：平分．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（）由得，进而由可证；
（）由得，，得，即得，即可求证；
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴平分．
5．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，是上一点，连接，是的平分线，且，是上一点，过点分别作、交于点．求证：．

【答案】见解析
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，先证明，，结合可得，从而可得结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
6．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，中，，点为的中点，过点分别作于于．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质：
（1）由等边对等角得，再证，即可得出；
（2）由得，结合，可得．
【详解】（1）证明：，
，
为中点，
，
又，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：由（1）得：，
，
又，
，
．
7．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，，点在上．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．
（1）根据即可证明；
（2）由角平分线的定义得，由全等三角形的性质得，，从而，进而可求出．
【详解】（1）证明：
（2）解：平分
，
8．（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在中，是高线，是角平分线，．
(1)求的大小．
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查角平分线和等腰三角形，熟练掌握角平分线的性质和等腰三角形的判定是解题的关键，
（1）根据角平分线的性质即可得到答案；
（2）根据题意可求出的度数，再根据三角形内角和定理得到的度数，然后再根据等腰三角形等角对等边的性质即可得到答案．
【详解】（1）解：∵是角平分线，，
∴．
（2）证明：∵是高线，
∴，
∵，
∴，
∵是角平分线，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
题型七：等边对等角中的尺规作图（解答题）
1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，．
(1)用尺规作的垂直平分线，交于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】本题考查了作已知线段的垂直平分线，垂直平分线的性质，三角形内角和性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，则作的垂直平分线，连接，即可作答．
（2）先运用三角形内角和性质以及等边对等角得，结合垂直平分线的性质，故，则，即可作答．
【详解】（1）解：作的垂直平分线，连接，如图所示：
（2）解：∵，．
∴，
由（1）得是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
2．（24-25八年级上·青海西宁·期中）如图，已知，点在边上，且．
(1)尺规作图：作出点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，且，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了作图复杂作图，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
（1）作线段的垂直平分线，交于点即可；
（2）由，且，，可得，再由垂直平分，可得，从而得出，再求解即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：∵，且，，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知，，利用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，尺规作图---角平分线，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
作出的角平分线即可，由于，则，那么时，即，故作出的角平分线即可．
【详解】解：如图所示，点即为所求．
4．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在中，．
(1)在AC上求作点，使（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查作图—复杂作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）结合线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，交于点D，则点D即为所求．
（2）由等腰三角形的性质可得，则．
【详解】（1）如图，作线段的垂直平分线，交于点D，
则点D即为所求．
（2）解：，
，
5．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，O是直线上一点，平分，点M是射线上一点．
(1)在直线上方画一条射线，使得．在射线上找一点N，使得．
(2)在（1）的条件下，判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析；
(2)，理由见解析．
【分析】（1）作的垂线即可得到，在射线上找一点N，连接，使得，即可得到；
（2）先证明，再根据内错角相等两直线平行证明即可．
【详解】（1）解：作图如下：
（2）解：．理由如下：
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴.
6．（24-25八年级下·福建宁德·期中）如图，中，，．
(1)求的度数；
(2)在边上求作一点，使（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；圆规仅用一次得3分，圆规使用多次得2分）．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题考查作图—复杂作图、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）由等腰三角形的性质可得．
（2）作线段的垂直平分线，交于点D，则点D即为所求．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解；如图，
∴点D即为所求．
7．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在中，，．
(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的 ，射线是的 ；
(2)在（1）所作的图中，求的度数．
【答案】(1)垂直平分线，角平分线
(2)．
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．
（1）根据图形结合垂直平分线、角平分线的作法即可得到答案；
（2）根据垂直平分线的性质及等腰三角形的性质即可得到，再结合三角形的内角和便能求得，进而可得，再根据角平分线的定义即可得到答案．
【详解】（1）解：由图可知：直线是线段的垂直平分线，射线是的角平分线，
故答案为：垂直平分线，角平分线；
（2）解：∵是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵射线是的平分线，
∴．
题型八：利用等边三角形的性质求角度
1．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．由等边三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质即可求解．
【详解】解：与都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
2．（24-25八年级下·河南·期末）已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，找出全等三角形是解题关键．根据等边三角形的性质证明，得到，再结合三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，
，
故选：B．
3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在等边中，为边上的中线，点E在边上，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，
先根据等边三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质求出，然后根据得出答案．
【详解】解：∵是等边三角形，且是边上的中线，
∴．
∵，
∴，
∴．
故选：D．
4．（2025·浙江温州·三模）如图，点，分别在等边三角形的边，上，，若，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，根据等边三角形的性质得到，则可证明得到，据此根据三角形内角和定理可得答案．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
5．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为 ．
【答案】/82度
【分析】本题主要考查了平行线的性质，等边三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．利用平行线的性质和等边三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
，
故答案为：．
6．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，和均为等边三角形，点在同一直线上，若，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，由等边三角形的性质得到，则可证明，得到．
【详解】解：∵和均为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
7．（2025·重庆·模拟预测）如图，和都是等边三角形，点分别在边上，若的周长为，则的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．根据和都是等边三角形，证明，，得到，根据解答即可．
【详解】解：∵和都是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
同理可证，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
故答案为：3．
8．（2025·湖南常德·二模）如图，为等边三角形，点D是边的中点，过点D的直线与相交于点E，与的延长线相交于点F，当时，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形和三角形外角的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，由可得，再利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：为等边三角形，点D是边的中点，
，
，
，
．
故答案为：．
题型九：利用等边三角形的性质求线段长度
1．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如果等边三角形的边长为3，则等边三角形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，根据三边相等得出等边三角形的周长，即可作答．
【详解】解：∵等边三角形的边长为3，
∴，
∴等边三角形的周长为，
故答案为：9
2．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）如图，已知在等边中，，点D在边BC上，连接AD，线段AD的垂直平分线分别交边、于点E、F，如果的周长比的周长小，那么 ．
【答案】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据的周长比的周长小得出，再结合可求出．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵垂直平分，
∴．
∴
．
则，
又∵，
∴，
∴，
故答案为：．
3．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，将边长为4个单位的等边沿边向右平移2个单位得到，则四边形的周长为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了平移的性质，等边三角形的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质，等边三角形的性质计算即可．
【详解】将边长为4个单位的等边沿边向右平移2个单位得到，
，，，
四边形的周长
故答案为：16
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知是等边三角形，且边长为3，点分别在边上，将沿所在的直线折叠．若点C落在点处，分别交边于点，则阴影部分图形的周长等于 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，利用折叠的性质可得，，利用等量代换和等式的性质解答即可，由折叠的性质得，是解题的关键．
【详解】解：利用折叠的性质可得：，．
阴影部分图形的周长
，
是边长为3的等边三角形，
，
，
阴影部分图形的周长等于9，
故答案为：9．
5．（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，在等边中，，点D在上，点F在上，且，，，则的长为
【答案】5
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．
根据全等三角形的性质求出，根据三角形内角和定理、平角定义求出， 利用证明，根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
6．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图，是等边三角形的中线，且，延长至E，使，连接，则的长是 ．
【答案】4
【分析】本题考查了等边三角形的性质和等腰三角形的判定；熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的判定是解决问题的关键．
先求出，再求出，证出，得出．
【详解】解：是等边三角形，
∴．
∵是中线，
（等腰三角形三线合一）．
又，
．
又，
，
，
（等角对等边）．
故答案为4．
题型一：等边对等角中折叠问题
1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则是度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题主要考查的是等腰三角形的性质、折叠变换的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．分、、三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】解：当时，则，
由折叠的性质可得，
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
当时，则，
∴，
∴，
∴，
当时，则，
∵，
∴不存在；
综上所述，或，
故选：D．
2．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与，边分别交于点、点，如果折叠后与 均为等腰三角形，则的度数为（ ）度．
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理，掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键．
先确定是等腰三角形，得出，因为不确定是以那两条边为腰的等腰三角形，故需讨论，，，，然后分别利用角的关系得出答案即可．
【详解】解：∵中，，且是等腰三角形，
∴，
∴，
设，由对称性可知，，，
∴，，
如图，当时，，
∵，
∴，
解得：，
此时；
如图，当时，则，
∵，
∴，
解得，
此时；
时，则，
由得，，
此方程无解，
∴不成立，
综上所述，或，
故选：．
3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）把一个等腰三角形纸片折叠，使其底角的顶点与顶角的顶点重合，折痕所在的直线与腰所在直线的夹角为则这个等腰三角形纸片的底角的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，掌握折叠中折痕是对称点连线段的垂直平分线是解题的关键，注意分类讨论．
由折叠得折痕垂直平分三角形的一腰，当的中垂线与线段相交时，则可得，由直角三角形锐角互余求出，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可求解；当的中垂线与线段的延长线相交时，同理可求．
【详解】解：由折叠得折痕垂直平分三角形的一腰，
如图①,当的中垂线与线段相交时，则可得，

∵,
∴,
∵,
；
如图②，当的中垂线与线段的延长线相交时, 则可得，
∵,
∴,
∴,
∵，
，
∴底角为或.
故答案为：或．
4．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，，点是边上一动点（点不与点和点重合），将沿所在直线折叠得到，若是等腰三角形，则的度数为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了等腰三角形的定义和性质，折叠的性质，三角形内角和定理，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据等边对等角的性质可得，进而得到，分三种情况讨论，利用折叠的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．
【详解】解： ，
，
，
由折叠的性质可知，，，，
①如图，当时，则，
，
；
②如图，当时，则，
，
；
③当时，则，
点不与点和点重合，
此种情况不存在，
综上可知，的度数为或，
故答案为：或．
5．（24-25八年级下·河南·阶段练习）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线相交于点，点、分别在、上，点沿折叠后与点重合，则的度数为 ．
【答案】
【分析】连接，设的平分线与交于点E，求出， ，根据垂直平分，得到，即，进一步可得，利用垂直平分，得到，由折叠的性质可知：，所以，进一步可得．
【详解】解：连接，设的平分线与交于点E，如图
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，即，
∴，
∵，平分，
由三线合一的性质可得：垂直平分，
∴，即，
由折叠的性质可知：，
∴，
∴，
故答案为：
6．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，点是上一点，连接，将沿折叠，点落在上的点处，若，则的度数 ．
【答案】/54度
【分析】本题主要考查折叠问题，三角形的内角和定理，等腰三角形的定义及性质；根据等腰三角形的性质得到，利用折叠得到，再根据三角形的内角和定理计算求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵将沿折叠，点落在上的点处，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
7．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）已知一张三角形纸片（如图甲），其中，先将纸片折叠，使点A落到点B点处，折痕为（如图乙），再将纸片沿过点B的直线折叠，点C恰好与点D重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的度数为 ．
【答案】/36度
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，外角定理，把握折叠的不变性是解题的关键．
由折叠得，，而，则，设，则，在中，由三角形内角和定理得，即可求解．
【详解】解：由折叠得，，∵，
∴，
设，
则，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
8．（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于点，再将沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，那么的度数是 ．
【答案】/36度
【分析】此题考查了角的运算，角平分线的定义，折叠的性质，等边对等角，三角形外角性质，根据折叠可得，，由角平分线的定义可得，证明，得到，然后根据可得答案，正确掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：由折叠可知，，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，中，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为 ．
【答案】或或
【分析】本题主要考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可得出答案．
【详解】解：如图，当时，
，
；
如图，当时，
由折叠的性质可得：，，
，
，
；
如图，当时，
由折叠的性质可得：，，
，
，
，
，
；
综上所述，的度数为或或，
故答案为：或或．
题型二：等边对等角中最值问题
1．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在四边形中，，在上分别找一点M、N，当周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短的关键．
延长到使得，延长到使得，连接与分别交于点，此时周长最小，推出，进而得出的度数．
【详解】解：如图，延长到使得，延长到使得，连接与分别交于点．
，
∴关于对称，关于对称，
，
，
同理：，
此时的周长，的周长最小，
∵，，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知，点P是内部一点，点M、N分别是、上的动点．当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题重点考查线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称-最短路线问题等知识．分别作点P关于的对称点E，关于的对称点F，连接分别交于点L、I，连接，由，可知当当点M与点L重合，同时点N与点I重合时，，此时的周长最小，因为，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：分别作点P关于的对称点E，关于的对称点F，连接分别交于点L、I，连接，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴当点M与点L重合，同时点N与点I重合时，，此时的周长最小，
连接，则，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
3．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，，，点D为上一定点，点E、F分别为边上的动点，当的周长最小时，则度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作D关于的对称点，D关于的对称点，连接交于E交于F，则此时的周长最小，然后根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形内角和的性质，正确的作出图形是解题的关键
【详解】解：作D关于的对称点，D关于的对称点，连接交于E交于F，则，，
则此时的周长最小（三点共线），
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴在中，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
4．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）在中，，，、分别为边、上的动点，且满足，当最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过点A作于点A，且，连接，设与的交点为G，证明，得到，根据，得到当三点共线时，取得最小值即取得最小值，解答即可．
【详解】解：过点A作于点A，且，连接，设与的交点为G，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当三点共线时，取得最小值即取得最小值，
故当点D与点G重合时，取得最小值，
根据题意，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
5．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了最短路线问题,垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理的应用．延长至，使，延长至，使，则垂直平分，垂直平分，所以，，的周长为，要使其周长最小，即使最小，设，则，设，则，在中，利用三角形内角和定理，可以求出，进一步可以求出的值．
【详解】解：如图，延长至，使，

延长至，使，
则垂直平分，垂直平分，
，，
根据两点之间，线段最短，
当，，，四点在一条直线时，最小，
则的值最小，
即的周长最小，
，，
可设，，
在中，，
，，
，
故选：A．
6．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）如图，点P在内，，的垂线相交于点P，E、F分别是上的动点，连接，当的周长最小时，的度数为 ．
【答案】120
【分析】作点O关于的对称点，关于的对称点，由轴对称的性质可得点E和点F在线段上时，的周长最小，再利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得，再由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，作点O关于的对称点，连接，作点O关于的对称点，连接，

则，，
的周长，
即点E和点F在线段上时，的周长最小，如图：
，，
，，
，
∴
故答案为：．
7．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，等腰，，，于点D，点P、Q分别为上的动点，联结，当最小时， ．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂线段最短，三角形的内角和定理，理解等腰三角形的性质和垂线段最短是解题的关键．过点C作，垂足为Q，根据等腰三角形的性质可得垂直平分，因此，故当最小时，即最小，此时C、P、Q共线，且，根据三角形的内角和与等腰三角形的两底角相等可求得，，从而．
【详解】解：如图，过点C作，垂足为Q，
∵等腰，，于点D，
∴垂直平分，
∴，
当最小时，即最小，
∴此时C、P、Q共线，且，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：20．
8．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，点M，N为边上的两个定点，点P，Q为边上的两个动点．在点P，Q运动过程中，当四边形的周长最小时，的大小为 ．
【答案】/100度
【分析】本题主要考查轴对称—最短路径的运用，掌握最短路径的计算方法，等腰三角形的性质，三角形的内角和、外角和的综合运用是解题的关键．
根据题意，作点N关于的对称点D，作点M关于的对称点E，连接交于，点，则，根据两点之间线段最短可得，的值最小，从而得到四边形的周长最小值为：，根据三角形内角和定理可得，从而得到，再根据三角形的外角的性质可得，即可求解．
【详解】解：如图，作点N关于的对称点D，作点M关于的对称点E，连接交于，点，则，
∴根据两点之间线段最短可得，的值是的最小值，
∴四边形的周长为，
∴四边形的周长最小值为：，
在中，∵，，
∴，
在中，，
∴，
由对称的性质得：，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
即当四边形的周长最小时，的大小为．
故答案为：
9．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰中，，，点D，E分别为边上的动点，且，连接，当的值最小时，的大小是 ．
【答案】/132度
【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．将拼接到，连接交于点，推出，当点与点重合时，的值最小，据此求解即可．
【详解】解：如图，将拼接到，连接交于点，
则，
，，，
，
当A，，三点共线，即点与点重合时，的值最小，
，，
，
，，
，
即最小时，的度数为．
故答案为：．
题型三：等边三角形的性质中多结论问题
1．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形、与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤是正三角形．其中正确的结论有（ ）
A．①②③⑤ B．①③④⑤ C．①②⑤ D．②③④
【答案】A
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；由于和是等边三角形，可知，，，从而证出，可推知，①正确；由得，加之，，得到，再根据推出为等边三角形，⑤正确；同理得：，即可得出②正确；根据，，可知，可知④错误；利用等边三角形的性质，，再根据平行线的性质得到，于是可知③正确．
【详解】解：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，①正确；
，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，⑤正确；
同理得：，
∴，②正确；
∵，，
∴
∴，
∵，
∴，故④错误；
∵，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴③正确；
综上，正确的有①②③⑤；
故选：A．
2．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图，的三条边相等，三个内角也相等，且，连接，，，与交于H点，以下结论：①；②与的面积相等；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③④
【答案】D
【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角的性质，全等三角形的判定与性质.
根据等边三角形的性质以及根据即可证明；再证，可得与的面积相等和，也得到，由外角与内角的关系就可以得出结论．
【详解】证明：∵为等边三角形，，
∴，
∵，
∴（），所以①正确；
∴，，
∴，
∵
∴，
∴与的面积相等，（故②正确）；，（故③正确）；，
∴
，故④正确；
故选：D．
3．（24-25七年级下·上海·期末）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论不正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过证明，得到可判断A正确，通过证明，得到，可判断B错误；证明，得到，故判定结论C正确；利用可判断D正确．
【详解】解：由于和是等边三角形，
可知，，，
∴，，
∴，
∴，，
可判断A正确；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，可判断B错误；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，故结论C正确；
∵可判断D正确．
故选： B．
4．（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期末）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，连接，，与交于点，与交于点，与交于点，连接．给出下列结论：①；②；③．其中正确的有 ．（填序号）
【答案】①③
【分析】根据等边三角形的三边都相等，三个角都是，可以证明与全等，根据全等三角形对应边相等可得，所以①正确，对应角相等可得，运用三角形内角和性质列式，即可得出，然后证明与全等，本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形内角和性质，难度不是很大，是热点题目，仔细分析图形是解题的关键．
【详解】解：∵在同侧分别作等边三角形和等边三角形，
∴，，，
∴
即，
在与中，
，
∴
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴
即，
故②是错误的；
∵（已证），
∴，
∴，
在与中，
，
∴
故③小题正确；
故答案为：①③．
5．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，A，C，B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，，分别与，交于点，，有如下结论：①；②；③；④其中正确结论的是（填序号） ．
【答案】①②④
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质；灵活运用相关判定定理和性质定理是解题的关键．
根据等边三角形的性质可得、，，再说明，即可证明，即可判断①；然后可得，再分别表示出和，即可判定②正确；求出，证明可判定③；由可得，然后结合可得，可判定④．
【详解】解：∵和均为等边三角形，
∴，
∴，即，
∴，故①正确；
∴，
∵，，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴即③错误；
∵，
∴，
∴，即，则④正确．
综上，正确结论的是①②④．
故答案为：①②④．
6．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，和都是等边三角形，连接、交于点P，、与、分别交于M、N，则下列说法中：①；②；③当A、C、E三点共线时，；④点C在的角平分线上．正确的有 ．
【答案】①②③④
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定定理、三角形外角的定义及性质，证明即可判断①；由三角形外角的定义及性质即可判断②；证明即可判断③；根据全等三角形的性质结合三角形面积公式得出，再由角平分线的判定定理即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
∴，
∴，，故①正确；
∴，故②正确；
当A、C、E三点共线时，，
∵，，
∴，
∴，故③正确；
如图：作于，于，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴点C在的角平分线上，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④；
故答案为：①②③④．
7．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，中，，平分，分别是的两外角的平分线，下列结论中：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论是 （直接填写序号）．
【答案】①②④⑤
【分析】根据邻补角平分线性质可判断①；根据三角形外角与角平分线定义列出等式，可判断②，根据外角性质与角平分线定义，结合三角形内角和可判断④，利用等腰三角形性质与外角性质，可得，可得，得出，当时，成立，可判断③，根据，利用平行线判定定理可判断⑤．
【详解】解：∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确；
延长，如图所示：
∵平分，，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
即：，故②正确；
假设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
而中，，
∴是等腰三角形，
∴假设不成立，故③错误；
∵分别是的两个外角的平分线，
∴，
∴，
∴，
而，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故⑤正确；
综上分析可知，确的结论是①②④⑤．
故答案为：①②④⑤．
题型四：等边对等角中综合证明题型
1．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）如图，在中，，点是直线上一点（不与，重合），以为一边在的右边作，使，连接．
(1)如图1，当点在线段上时，如果，
①求证：；
②的度数为___________；
(2)设．
①如图2，当点在线段上移动时，之间有怎样的数量关系？请说明理由：
②当点在线段的反向延长线上移动时，，之间有怎样的数量关系？请直接写出结论．
【答案】(1)①见解析；②
(2)①，理由见解析；②
【分析】（1）①由“”可证，
②根据全等三角形的性质可得，可求的度数；
（2）①由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论；
②由“”可证得出，再用三角形的内角和即可得出结论．
【详解】（1）①证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，

在和中，
，
∴，
②∵
∴，
∴，
（2）①，
理由如下：∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
②如图，当点D在的反向延长线上时，，

理由如下：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
2．（2025·山东济宁·一模）（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____；
（2）如图②，在中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：；
（3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析
【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、角的和差等知识点，通过作辅助线，构造两个全等三角形是解题关键．
（1）延长至，使，连接，证明，得出，再利用三角形三边关系即可得出答案；
（2）延长至点，使，连接，，同（1）得，，得出再证明，得出，最后再利用三角形三边关系即可得出答案；
（3）延长至点，使，连接，证明得出，再证明，得出，即可得证．
【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1所示：
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
∴，
∴，
在中，由三角形的三边关系得：，
∴，即，
∴；
故答案为：；
（2）证明：延长至点，使，连接，，如图所示，
同（1）得，，
，，
∴，
在中，由三角形的三边关系得，
；
（3），
证明如下：延长至点，使，连接，如图所示，
，，
在和中，
，
∴，
，
，
，
在和中，
∴，
．
，
．
3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）（1）已知：如图1，等腰中，，，，P为边上一点，过点P作，交直线于点E．求证：；
（2）如图2，等腰中，，，P为边上一点，过点P作，交直线于点E．求证：；
（3）如图3，中，直线过点C，平分，P为边上一点，连接，若的度数为，的度数为，且，则直线上必有一点E，使得，请计算 ．（用的代数式表示）
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或
【分析】（1）过点P作交于点F，证明，根据全等三角形的性质得出答案即可；
（2）以点P为圆心，为半径画弧，交于点F，得出，证明，根据全等三角形的性质得出答案即可；
（3）分两种情况讨论：当点E在射线上时，当点E在射线上时，分别画出图形求出结果即可．
【详解】（1）证明：过点P作交于点F，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴；
（2）以点P为圆心，为半径画弧，交于点F，如图所示：
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）当点E在射线上时，作，交于点，作，交于点E，如图所示：
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
根据解析（2）可知：，
∴此时；
当点E在射线上时，过点P，作于点G，作于点H，如图所示：
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
∴；
综上分析可知：或．
4．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）已知中，，点D为直线上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边作，，连接．
(1)发现问题
如图1，当点D在边上时．
①请写出和之间的数量关系为______，位置关系为______；
②求证：
(2)尝试探究
如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，请写出、、之间存在的数量关系并说明理由．
(3)拓展延伸
如图3，当点D在的延长线上且其他条件不变时，若，，求线段的长．
【答案】(1)①，；②证明见解析
(2)，理由见解析
(3)8
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质，正确找出两个全等三角形是解题关键．
（1）①先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，，根据角的和差可得，则，由此即可得；
②根据和即可得证；
（2）先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据即可得出结论；
（3）先证出，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据求解即可得．
【详解】（1）解：①∵在中，，在中，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：，．
②由（1）①已证：，
∵，
∴．
（2）解：，理由如下：
∵在中，，在中，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴．
（3）解：∵在中，，在中，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
5．（24-25八年级上·广西崇左·期末）如图，中，，，点是上的一动点，，，连接．
(1)求证：；
(2)当点在什么的位置时，是直角三角形？请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)当点在的中点时，是直角三角形，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，等边对等角等等：
（1）先由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，再证明得到．据此求出的度数即可证明结论；
（2）根据题意可证明，则可推出，由三线合一定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵中，，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：当点在的中点时，是直角三角形，理由如下
∵，
∴是直角三角形时，，
∴，
∴，
∴，
∴为的中点，
∴当点在的中点时，是直角三角形．
6．（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，．
(1)作出边，的垂直平分线，，并分别与边交于点，．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)连接，．
①若，则的周长为______．
②若，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)①8；②
【分析】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确作图是解答本题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的作图方法画图即可；
（2）①由线段垂直平分线的性质得，，，进而可求出的周长；
②先由三角形内角和求出，进而得出，进而可求的度数．
【详解】（1）解：如图，
（2）解：①如图，
∵点D在的垂直平分线上，
∴．
同理：，
∴的周长
．
故答案为：8；
②∵，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
7．（24-25八年级上·河北邢台·期中）在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
(1)如图①，当点在线段上，时，那么_____
(2)设，．
①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论．
②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）．
【答案】(1)
(2)①，理由见解析；②补充图形见解析，，证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理以及全等三角形对应边相等，对应角相等．
（1）先证，即可证明，可得，等量代换可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解；
（2）①先证，即可证明，可得，等量代换可得，结合，可证；
②先根据题意补充图形，由（1）同理可得，推出，可得，根据，，可得，即可得出．
【详解】（1）解：，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：．
（2）解：①，
证明如下：
，
，
，
，即，
在和中，
，
，
，
，
即，
，
；
②，证明如下：
如图，
由（1）同理可得，
，
，
，
即，
，，
，
．
1．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查等腰三角形等边对等角的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握这些性质和定理是解题的关键．利用等腰三角形等边对等角的性质，先由求出，进而得到，再结合求出，最后根据三角形内角和求出 ．
【详解】解：∵ ，
∴
∴
∵
∴
在中，
∵ 三角形内角和为
∴
故选：C．
2．（河南省焦作市2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题）如图，已知，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．根据等边对等角得出，利用线段垂直平分线的性质得出，得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：，，
，
∵
由题意可得：垂直平分，
则，
∴，
．
故选：A．
3．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、． 若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段的垂直平分线的性质及利用等腰三角形的性质与三角形内角和定理找出各角之间的等量关系是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，由三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和得，，可得，求出，根据三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，
，
，
，，
，
又∵
，
∴，
故选：A．
4．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，为边上两点，且满足，，连结，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查求角度，涉及等腰三角形性质、三角形内角和定理等知识，设，，由等腰三角形性质得到，，在中，由三角形内角和定理可得①，再由得到②，解方程组即可得到答案．熟记等腰三角形性质、三角形内角和定理是解决问题的关键．
【详解】解：设，，
，，
，，
在中，由三角形内角和定理可得，
即①，
，
，则②，
由②①得，
故选：B．
5．（2025·吉林长春·模拟预测）数学综合实践课上，数学兴趣小组根据等腰三角形的性质联想到，一个三角形中，如果一条边比另一条边长，那么长边所对的角大于短边所对的角．如图，在中，，下面操作不能说明的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等边对等角、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据等边对等角、三角形外角的性质，逐项分析即可判断．
【详解】解：A、由图可得，
，
，
，故A选项不符合题意；
B、由图可得，
，
，
，故B选项不符合题意；
C、由图可得，
，
，故C选项不符合题意；
D、由图可得，
，
根据图形无法说明与的大小关系，
不能说明，故D选项符合题意；
故选：D．
6．（2025·山东滨州·二模）图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若， ，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据平行线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
7．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点D，，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故答案为：．
8．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，平分，的中垂线交于点E，交于点F，连接．若，，则 ．
【答案】/30度
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键．先根据角平分线的定义得到， ，再利用三角形的内角和定理求得，然后利用线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，进而可求解．
【详解】解：∵平分，，
∴，则，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（24-25七年级下·江西抚州·期末）如图，在中，，．点在线段上运动．连接，当是等腰三角形时，则中最大内角的度数是 ．
【答案】或或
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
分、、三种情况，分别运用等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
当时，则，
∴此时中最大内角是；
当时，，
∴此时中最大内角是；
当时，，
∴，
∴，
∵，
∴此时中最大内角是，
综上所述：当是等腰三角形时，中最大内角的度数是或或．
故答案为：或或．
10．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到点，使，连接，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个按此作法继续下去，则第2023个三角形的底角度数是 ．
【答案】
【分析】先根据等腰三角形的性质求得的度数，再根据三角形一个外角等于与其不相邻的两个内角和，分别求出的度数，找出规律即可得到第个三角形中以为顶点的底角度数．
【详解】解：在中，
是的外角，
同理得，
第个三角形中以为顶点的底角度数是
第2023个三角形的底角度数是：，
故答案为：．
11．（2025·新疆·模拟预测）如图，在中，，，将三角形沿某条直线折叠，使点落在边上的点，折痕与边、分别交于点、．若折叠后的为等腰三角形，为直角三角形，则 ．
【答案】或
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、折叠的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．连接，设，则，再根据为等腰三角形，可得，再根据折叠的性质可得，由此求出，最后分两种情况：①和，列方程求解即可．
【详解】解：设，则，
∵在中，，
∴，即，
∴，
∵在中，，为等腰三角形，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
则分以下两种情况：
①当时，为直角三角形，
，
∴即，
解得，符合题意，
∴；
②当时，为直角三角形，
∴，
解得，符合题意，
∴；
综上，或，
故答案为：或．
12．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）连接，由线段垂直平分线的性质得到，得到，根据等腰三角形的三线合一证明；
（2）根据等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质得到，利用等边对等角得到，再根据列式计算即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
，理由如下：
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∵D为线段的中点，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴．
13．（24-25八年级上·重庆南岸·开学考试）如图，在等腰中，，点F在边上，延长交于点E，，．
(1)试说明：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）首先得到，然后证明出即可；
（2）根据三角形外角的性质可得，利用全等三角形的性质即可得到，根据等边对等角得到，利用角的和差即可求解．
【详解】（1）∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴
∵，
∴，
∴．
14．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．
(1)若，则_______．
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)；
(2)24．
【分析】本题考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线性质，三角形内角和等知识点，掌握这些是解题的关键．
（1）根据垂直平分线的性质得线段相等，再根据“等边对等角”和“三角形内角和”即可求得答案；
（2）根据垂直平分线性质得线段相等，再等量代换可得为即可．
【详解】（1）解：，，
，，
的垂直平分线交于点D，
，
，
．
故答案为：；
（2），，
，
的垂直平分线交于点D，
，
又，
的周长为：．
15．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，，，请用无刻度直尺和圆规作图．（标注字母，保留作图痕迹，不要求写作法）
(1)图①，在边上找一点，使得；
(2)图②，是上一点，在边上作点，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）作的角平分线交于点，则点即为所求；
（2）作的垂直平分线，交于点，则点即为所求．
【详解】（1）解：如图，点即为所求，
∵，，
∴
∵平分
∴
∴；
（2）解：如图，点即为所求，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴．
16．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为．
(1)求线段的长；
(2)若，求的度数；
(3)连接，，，若的周长为，求线段的长．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等边对等角，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．
（1）先根据线段垂直平分线的性质得出，再根据即可得出结论；
（2）先根据三角形的内角和求得，再根据等腰三角形的性质可得，进而计算即可；
（3）先根据线段垂直平分线的性质得出，再由的周长为，求出的长，进而得出结论．
【详解】（1）解：∵直线分别是线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∵的周长为，即，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵边的垂直平分线交于D，边的垂直平分线交于E，
∴，
∵的周长为，即，
∴，
∴，
∴．
17．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究：
如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E．
小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想．
(1)请补全下表：
……
……
______ ______ ……
(2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明；
(3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______．
【答案】(1)见解析
(2)，证明见（1）
(3)
【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，线段垂直平分线的性质，等边对等角等等，熟知三角形内角和定理是解题的关键．
（1）由垂线的定义可得，则由三角形内角和定理可得，，再由角平分线的定义可得，则可求出，据此计算求解即可；
（2）根据（1）所求即可得到答案；
（3）由（1）可得，则可求出；由线段垂直平分线的性质可得，则，求出，即可得到．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，的平分线交边于点D，
∴，
∴，
当时， ；
当时， ；
填表如下：
……
……
……
（2）解：由（1）可得，
∵，，
∴；
（3）解：由（1）可得，
∵，
∴，
∴；
由线段垂直平分线的性质可得，
∴，
∵，的平分线交边于点D，
∴，
∴．中小学教育资源及组卷应用平台
2.3 等腰三角形的性质定理（第一课时）
题型一：垂直平分线与等边对等角求角度
1．（24-25八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交于点M，N，若M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·福建漳州·模拟预测）在中，，线段的垂直平分线交点D，交点E，连接，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，中，，的垂直平分线交于，交于，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，线段的垂直平分线交于点C，且，，则的度数为（ ）
A．168° B．158° C．148° D．138°
6．（2025·广西梧州·二模）如图，在中，，，是的垂直平分线，分别交、于点，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型二：角平分线与等边对等角求角度
1．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在中，分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图：在中，，平分，交于点D，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，的平分线交于点，如果垂直平分，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·安徽宿州·一模）如图，在中，，垂直平分，平分，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，分别是的中线和角平分线．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型三：三角形的外角与等边对等角相关求解
1．（24-25八年级下·山东青岛·期中）钝角等腰三角形一条腰上的高是另一条腰长的一半，则等腰三角形底角度数为（ ）
A． B． C． D．或
2．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，点在边上，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·安徽六安·三模）把一副三角尺按如图所示摆放，两个三角尺有一个顶点重合，角三角尺的直角顶点恰好在另一个三角尺的直角边上，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·山东青岛·阶段练习）等腰纸片（）可按图中所示方法折成一个四边形，点与点重合．点与点重合，请问原等腰中的（　　）度．
A． B． C． D．
5．（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在中，，M，N，K分别是，，上的点，且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·河南安阳·三模）如图，和是一副三角板，，，与交于点，与交于点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25八年级下·四川雅安·期中）中，是高，E是的中点，且线段平分的周长，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·陕西宝鸡·二模）如图，，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型四：三角形内角和与等边对等角相关求解
1．（2025·辽宁大连·一模）如图，在四边形中，，，，，则为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江苏南京·一模）如图，在中，点在上，，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·陕西汉中·一模）如图，点A，B在直线m上，点C，D在直线n上，连接、、，，，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·安徽宿州·三模）如图，直线，把一块含角的直角三角板按如图所示的方式放置，点在上，点，在上，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级下·贵州毕节·期中）如图，，M、N为直线上的两点，连接，于点E，点F在上，连接，，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，的平分线交于点，则的度数为 ．
7．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，已知线段、的垂直平分线交于点，连接、、、，若，，那么的度数是 ．
8．（24-25七年级下·上海普陀·期末）在中，边的垂直平分线相交于点，如果点在边上，那么 °．
9．（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，直线，直线EF分别交AB，CD于点E，F，点G，H分别在射线FC，射线FD上，且．若，则的度数为 ．

10．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，点O是各边垂直平分线的交点，连接．如果，那么 ．
题型五：等边对等角与尺规作图的结合
1．（24-25九年级下·山东烟台·期中）如图，以点为圆心作弧，使弧与直线相交于点和点，再分别以点，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点和点，直线与直线相交于点，若，则的度数 ．
2．（2025·贵州遵义·三模）如图，在中，，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点，作直线分别交于点，连接．若，则的度数为 °．
3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交于点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点．若，则的度数是 ．
4．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，以点A为圆心作弧，使弧与直线l相交于点B和点C，再分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点E和点F，直线与直线l相交于点D，若，则的度数是 ．
5．（2025·湖南·模拟预测）如图，在已知的中，按如下步骤作图：
①分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点；
②作直线，交于点，连接．
若，则的度数为 ．
6．（24-25八年级下·河南驻马店·期中）如图，依据尺规作图的痕迹，若，则的度数为 ．
7．（2025·湖南常德·一模）如图，直线，直线分别交，于点，，，以点为圆心，长为半径画弧，若在弧上存在点使，则的度数是 ．
8．（2025·湖南·一模）如图，在中，，，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，交于点E，则 ．
题型六：等边对等角的简单证明
1．（24-25八年级上·山东滨州·期中）如图，平分，，，垂足分别为，．求证：．
2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）如图，点E，B，C，F在一条直线上，，，与相交于点，求证：
(1)；
(2)．
3．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知，在中，点D是上一点，过点D的直线交于点E，交延长线于点F，点G是上一点，连接并延长交延长线于点H，，．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求证：．
4．（24-25八年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，，，点在边上，，交于点．
(1)求证：．
(2)求证：平分．
5．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，是上一点，连接，是的平分线，且，是上一点，过点分别作、交于点．求证：．

6．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）如图，中，，点为的中点，过点分别作于于．
(1)求证：；
(2)求证：．
7．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，，点在上．
(1)求证：；
(2)若平分，求的度数．
8．（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在中，是高线，是角平分线，．
(1)求的大小．
(2)求证：．
题型七：等边对等角中的尺规作图（解答题）
1．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在中，，．
(1)用尺规作的垂直平分线，交于点，交于点，连接（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，求的度数．
2．（24-25八年级上·青海西宁·期中）如图，已知，点在边上，且．
(1)尺规作图：作出点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，且，求的度数．
3．（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，已知，，利用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
4．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在中，．
(1)在AC上求作点，使（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(2)在（1）的条件下，求的度数．
5．（24-25七年级下·福建厦门·期中）如图，O是直线上一点，平分，点M是射线上一点．
(1)在直线上方画一条射线，使得．在射线上找一点N，使得．
(2)在（1）的条件下，判断与的位置关系，并说明理由．
6．（24-25八年级下·福建宁德·期中）如图，中，，．
(1)求的度数；
(2)在边上求作一点，使（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；圆规仅用一次得3分，圆规使用多次得2分）．
7．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，在中，，．
(1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的 ，射线是的 ；
(2)在（1）所作的图中，求的度数．
题型八：利用等边三角形的性质求角度
1．（24-25八年级下·陕西安康·期中）如图，与都是等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接．若，，则的长是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（24-25八年级下·河南·期末）已知：如图，D、E分别是等边三角形两边、上的点，连接、，与交于点O，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在等边中，为边上的中线，点E在边上，连接，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·浙江温州·三模）如图，点，分别在等边三角形的边，上，，若，则为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·浙江嘉兴·二模）如图，直线，等边的顶点在直线上，直线交边于点．若，则的度数为 ．
6．（24-25九年级下·重庆·阶段练习）如图，和均为等边三角形，点在同一直线上，若，则的度数为 ．
7．（2025·重庆·模拟预测）如图，和都是等边三角形，点分别在边上，若的周长为，则的长为 ．
8．（2025·湖南常德·二模）如图，为等边三角形，点D是边的中点，过点D的直线与相交于点E，与的延长线相交于点F，当时，则 ．
题型九：利用等边三角形的性质求线段长度
1．（24-25八年级下·广东佛山·期中）如果等边三角形的边长为3，则等边三角形的周长为 ．
2．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）如图，已知在等边中，，点D在边BC上，连接AD，线段AD的垂直平分线分别交边、于点E、F，如果的周长比的周长小，那么 ．
3．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）如图，将边长为4个单位的等边沿边向右平移2个单位得到，则四边形的周长为 ．
4．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，已知是等边三角形，且边长为3，点分别在边上，将沿所在的直线折叠．若点C落在点处，分别交边于点，则阴影部分图形的周长等于 ．
5．（24-25八年级上·北京平谷·期末）如图，在等边中，，点D在上，点F在上，且，，，则的长为
6．（24-25八年级上·湖南衡阳·期中）如图，是等边三角形的中线，且，延长至E，使，连接，则的长是 ．
题型一：等边对等角中折叠问题
1．（24-25八年级上·江苏宿迁·期中）如图，在中，，将沿折叠，使点B落在边上的点F处，若，且为等腰三角形，则是度数为（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（24-25八年级下·河南信阳·开学考试）如图，在中，，，将沿折叠，使点落在直角边上的点处，设与，边分别交于点、点，如果折叠后与 均为等腰三角形，则的度数为（ ）度．
A． B． C． D．或
3．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）把一个等腰三角形纸片折叠，使其底角的顶点与顶角的顶点重合，折痕所在的直线与腰所在直线的夹角为则这个等腰三角形纸片的底角的度数为 ．
4．（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，，点是边上一动点（点不与点和点重合），将沿所在直线折叠得到，若是等腰三角形，则的度数为 ．
5．（24-25八年级下·河南·阶段练习）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线相交于点，点、分别在、上，点沿折叠后与点重合，则的度数为 ．
6．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，点是上一点，连接，将沿折叠，点落在上的点处，若，则的度数 ．
7．（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）已知一张三角形纸片（如图甲），其中，先将纸片折叠，使点A落到点B点处，折痕为（如图乙），再将纸片沿过点B的直线折叠，点C恰好与点D重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的度数为 ．
8．（24-25八年级上·重庆大足·期末）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于点，再将沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，那么的度数是 ．
9．（23-24八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，中，，，点是上一动点，将沿折叠得到，当与重叠部分是直角三角形时，的度数为 ．
题型二：等边对等角中最值问题
1．（24-25八年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在四边形中，，在上分别找一点M、N，当周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知，点P是内部一点，点M、N分别是、上的动点．当的周长最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，中，，，点D为上一定点，点E、F分别为边上的动点，当的周长最小时，则度数（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）在中，，，、分别为边、上的动点，且满足，当最小时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在五边形中，，，，．在，上分别找一点，，使得的周长最小时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）如图，点P在内，，的垂线相交于点P，E、F分别是上的动点，连接，当的周长最小时，的度数为 ．
7．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，等腰，，，于点D，点P、Q分别为上的动点，联结，当最小时， ．
8．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，点M，N为边上的两个定点，点P，Q为边上的两个动点．在点P，Q运动过程中，当四边形的周长最小时，的大小为 ．
9．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在等腰中，，，点D，E分别为边上的动点，且，连接，当的值最小时，的大小是 ．
题型三：等边三角形的性质中多结论问题
1．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作正三角形和正三角形、与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④；⑤是正三角形．其中正确的结论有（ ）
A．①②③⑤ B．①③④⑤ C．①②⑤ D．②③④
2．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图，的三条边相等，三个内角也相等，且，连接，，，与交于H点，以下结论：①；②与的面积相等；③；④．其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③④
3．（24-25七年级下·上海·期末）如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．以下结论不正确的是（ ）

A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·新疆巴音郭楞·期末）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，连接，，与交于点，与交于点，与交于点，连接．给出下列结论：①；②；③．其中正确的有 ．（填序号）
5．（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图，A，C，B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，，分别与，交于点，，有如下结论：①；②；③；④其中正确结论的是（填序号） ．
6．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，和都是等边三角形，连接、交于点P，、与、分别交于M、N，则下列说法中：①；②；③当A、C、E三点共线时，；④点C在的角平分线上．正确的有 ．
7．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，中，，平分，分别是的两外角的平分线，下列结论中：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论是 （直接填写序号）．
题型四：等边对等角中综合证明题型
1．（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）如图，在中，，点是直线上一点（不与，重合），以为一边在的右边作，使，连接．
(1)如图1，当点在线段上时，如果，
①求证：；
②的度数为___________；
(2)设．
①如图2，当点在线段上移动时，之间有怎样的数量关系？请说明理由：
②当点在线段的反向延长线上移动时，，之间有怎样的数量关系？请直接写出结论．
2．（2025·山东济宁·一模）（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____；
（2）如图②，在中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：；
（3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明．
3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）（1）已知：如图1，等腰中，，，，P为边上一点，过点P作，交直线于点E．求证：；
（2）如图2，等腰中，，，P为边上一点，过点P作，交直线于点E．求证：；
（3）如图3，中，直线过点C，平分，P为边上一点，连接，若的度数为，的度数为，且，则直线上必有一点E，使得，请计算 ．（用的代数式表示）
4．（24-25八年级上·河南三门峡·期末）已知中，，点D为直线上的一动点（点D不与点B、C重合），以为边作，，连接．
(1)发现问题
如图1，当点D在边上时．
①请写出和之间的数量关系为______，位置关系为______；
②求证：
(2)尝试探究
如图2，当点D在边的延长线上且其他条件不变时，请写出、、之间存在的数量关系并说明理由．
(3)拓展延伸
如图3，当点D在的延长线上且其他条件不变时，若，，求线段的长．
5．（24-25八年级上·广西崇左·期末）如图，中，，，点是上的一动点，，，连接．
(1)求证：；
(2)当点在什么的位置时，是直角三角形？请说明理由．
6．（24-25八年级上·山西朔州·期中）如图，在中，．
(1)作出边，的垂直平分线，，并分别与边交于点，．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）
(2)连接，．
①若，则的周长为______．
②若，求的度数．
7．（24-25八年级上·河北邢台·期中）在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
(1)如图①，当点在线段上，时，那么_____
(2)设，．
①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论．
②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）．
1．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（河南省焦作市2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题）如图，已知，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，连接．若，，则的度数为( )
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交、于点、． 若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为 （ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，为边上两点，且满足，，连结，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·吉林长春·模拟预测）数学综合实践课上，数学兴趣小组根据等腰三角形的性质联想到，一个三角形中，如果一条边比另一条边长，那么长边所对的角大于短边所对的角．如图，在中，，下面操作不能说明的是（ ）
A．B． C． D．
6．（2025·山东滨州·二模）图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若， ，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点D，，，则的度数为 ．
8．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，平分，的中垂线交于点E，交于点F，连接．若，，则 ．
9．（24-25七年级下·江西抚州·期末）如图，在中，，．点在线段上运动．连接，当是等腰三角形时，则中最大内角的度数是 ．
10．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到点，使，连接，得到第2个；在边上任取一点E，延长到，使，得到第3个按此作法继续下去，则第2023个三角形的底角度数是 ．
11．（2025·新疆·模拟预测）如图，在中，，，将三角形沿某条直线折叠，使点落在边上的点，折痕与边、分别交于点、．若折叠后的为等腰三角形，为直角三角形，则 ．
12．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，求的度数．
13．（24-25八年级上·重庆南岸·开学考试）如图，在等腰中，，点F在边上，延长交于点E，，．
(1)试说明：；
(2)若，，求的度数．
14．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．
(1)若，则_______．
(2)若，，求的周长．
15．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，在中，，，请用无刻度直尺和圆规作图．（标注字母，保留作图痕迹，不要求写作法）
(1)图①，在边上找一点，使得；
(2)图②，是上一点，在边上作点，使．
16．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为．
(1)求线段的长；
(2)若，求的度数；
(3)连接，，，若的周长为，求线段的长．
17．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究：
如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E．
小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想．
(1)请补全下表：
……
……
______ ______ ……
(2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明；
(3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______．

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