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2024-2025学年河北省五个一名校联盟高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知全集，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.设，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数在上没有零点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数的图象关于点对称，则( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线：的右焦点为，右顶点为，过点且与轴垂直的直线与在第一象限交于点，直线与的渐近线在第一象限交于点，若是的中点，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.如图，正方形的边长为，取正方形各边的中点，，，，作第个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第个正方形如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近于( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，则( )
A. B. C. D.
10.甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规定如下：先赢两局者获胜，每局比赛甲赢的概率为，甲输的概率为，每局比赛的结果相互独立，记甲、乙共进行了局比赛后分出胜负，则下列结论正确的是( )
A. 若，则甲最终获胜的概率为 B. 若，则
C. D.
11.如图，在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，点在棱上不含端点，过点作截面，且平面，平面，平面平面，下列结论正确的是( )
A. 四边形是平行四边形
B. 若，四边形的面积的最大值为
C. 的长的取值范围为
D. 若的周长为，则三棱锥的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽，根据图中坐标系，这条抛物线的方程为______．
13.已知数据，，，，均为整数且互不相等，若该组数据的平均数、中位数、极差均为，则这组数据的方差为______．
14.已知函数，若，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某工厂的某台机器工作时，分为正常运转和非正常运转两种状态已知该机器正常运转时每天生产的零件数量单位：千个与次品数单位：个之间存在一定的线性关系为了研究这种关系，质量检测部门记录了该机器正常运转下某天的生产数据，其数据如下：
生产零件数量千个
次品数个
求次品数关于生产零件数量的经验回归方程．
根据经验，该机器正常运转的概率为该机器正常运转时，生产的零件中次品数满足第问的经验回归方程；该机器非正常运转时，次品率会提高，每生产个零件会出现个次品若某天计划用该机器生产个零件，试估计这个零件中的次品数结果经四舍五入后取整数
参考公式及数据：．
16.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知，，．
求；
设为边上一点，且，求的面积．
17.本小题分
如图，四边形为正方形，平面平面，，，，，点在线段上，．
证明：平面．
证明：平面平面．
求平面与平面的夹角的正弦值．
18.本小题分
已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴、轴，且过，两点．
求的方程．
直线：与交于，两点．
若，求的取值范围；
若，求的取值范围．
19.本小题分
证明：函数有且仅有一个零点，记该零点为，则．
证明：，．
证明：，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.根据题意易得，，
所以，
所以，
所以次品数关于生产零件数量的经验回归方程为；
该机器正常运转时，把代入，得，
估计这个零件中的次品数为．
该机器非正常运转时，估计这个零件中的次品数为．
估计这个零件中的次品数为．
16.利用正弦定理化简已知等式可得，
由于，
可得，即，
又，
可得，
又因为，
由于，可得；
由题意可得，
因为，
所以，
在中，由正弦定理得，可得，解得，
由余弦定理得，可得，解得舍去，
可得．
17.证明：过点作，垂足为．
因为，，，
所以四边形是正方形，
所以，，
则是等腰直角三角形，所以，则，即．
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面．
因为平面，所以．
因为，所以平面．
证明：连接，记，连接．
由得四边形是正方形，，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
又，，
所以．
因为∽，
所以，
即，
所以，所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
连接在正方形中，．
由得平面，因为平面，所以．
因为，所以平面．
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
由题可知是平面的一个法向量，是平面的一个法向量．
则，
所以，
所以平面与平面的夹角的正弦值为．
18.若椭圆的焦点在轴上，则设椭圆方程为，
因为椭圆过，两点，
所以，解得，符合题意，则椭圆方程为；
若椭圆的焦点在轴上，则设椭圆方程为，
因为椭圆过，两点，
所以，解得，不符合题意．
所以的方程为．
联立，消去得．
，化简得．
因为，所以，解得，
所以的取值范围为．
设，，则．
所以
，
化简得，
即，
即，解得，
所以的取值范围为．
19.证明：由题意，的定义域为，
则，在上单调递增．
函数是增函数，且有且仅有个零点，
若满足，则，，
函数有且仅有一个零点，且．
令，则．
令，则，
在上单调递增，
．
，
，即，
．
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
．
令，面积，
在上单调递增．
，即，
，．
令，则．
令，则．
又，且结合可得，，在上单调递增．
若满足，则，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，
．
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