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2024-2025学年安徽省安庆市江淮协作区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.关于样本相关系数，下列说法正确的是( )
A. 样本相关系数
B. 当样本相关系数时，称成对数据成正相关
C. 两个随机变量线性相关越弱，则相关系数越接近
D. 两个随机变量线性相关越强，则相关系数越接近
2.已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
3.已知随机变量服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆，圆，则两圆的位置关系是( )
A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切
5.记为等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
6.江淮地区不仅风景优美，而且美食也是远近闻名现有一游客计划用三天品尝山粉圆子烧肉、秋浦花鳜、大通茶干、八公山豆腐这种特色美食，每天至少选择一种种美食不重复选择且每天美食的选择不分先后顺序，游客三天后恰好品尝完这种美食则这三天他选择美食的不同选法种数为( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知函数在处的切线与直线平行，且在区间内存在最小值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知事件，满足，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.关于随机变量的期望与方差，下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 若，则的值与无关
D. 若是两点分布，则当时，最大
10.如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的有( )
A. 当点运动时，总成立
B. 当向运动时，二面角逐渐变小
C. 二面角的最小值为
D. 三棱锥的体积为定值
11.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过个步骤变成简称为步“雹程”现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：
已知数列满足：为正整数，记数列的前项和为，则下列说法正确的是( )
A. 当时，
B. 当时，使得要步“雹程”
C. 当时，
D. 若，则的取值有个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.根据成对样本数据建立变量关于的成对数据如下表所示：
若由该数据得到的线性回归方程为，则的值为______．
13.某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择粒种子进行播种，则恰有粒种子发芽的概率是______．
14.已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，且若在上恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求该二项展开式中二项式系数最大的项；
求的值．
16.本小题分
已知单调递增数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
若数列满足，求数列的前项和．
17.本小题分
年是中国共产党成立的周年，某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个决赛环节，前两个环节是否通过相互独立只要一个环节失败，即终止比赛现有，，三位同学参加比赛，同学通过前两个环节的概率分别为和，同学和同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为．
求恰有两位同学仅通过第一个环节的概率；
设进入决赛的同学人数为，求的分布列与数学期望．
18.本小题分
已知椭圆过点，其中一个焦点在直线上，为椭圆的上顶点，直线：与椭圆相交于不同的两点，．
求椭圆的方程；
若，为坐标原点，求的面积最大时实数的值；
若直线，的斜率分别为，，且，直线，与圆分别交于点，证明：直线过定点，并求出定点坐标．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数在点处的切线方程；
讨论的单调性；
若函数有两个极值点，，，证明：．
参考答案
1.
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14.
15.由题意，的展开式中的第项为，
根据为偶数，可知时，第项为二项式系数最大的项，
结合，可得二项式系数最大项为；
令代入已知等式，求得，
令，可得，
所以．
16.由已知得：，
当时，，解得，
当时，，
即，
又数列单调递增，所以，即，
则，，时也符合，
所以．
，
，
，
故得：，
整理得：．
17.根据题意，同学通过前两个环节的概率分别为和，
同学和同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为，
，，三位同学仅通过第一个环节的概率分别为：
，，，
所以恰有两位同学仅通过第一个环节的概率为：
；
记，，三位同学进入决赛分别为事件，，，则，
，，，
随机变量可能的取值为：，，，，
，
，
，
，
故的分布列为：
所以随机变量的数学期望为．
18.因为焦点在直线上，令，解得，
又因为过点，那么可得，解得，
因此椭圆为．
如图，
当时，直线：，设，，
联立直线和椭圆方程可得，化简得，
因为根的判别式，那么可得，
根据韦达定理可得，，
点到直线的距离，
弦长，
那么三角形的面积
，
当且仅当，即时，等号成立，因此的值为．
如图，
根据第一问可知，因此圆：，又因为，因此，
若直线垂直于轴，，设的方程：，，，
那么可得，化简得，
根的判别式，且，
可得，解得，不满足，不合题意；
若直线不垂直于轴，
那么设：，，，
那么，化简得，
根的判别式，那么根据韦达定理可得，，
可得．
由于，那么，即，
根的判别式，所以
所以直线方程为：，
所以直线过定点．
19.由题意可知的定义域为，
当时，函数，那么导函数，
因此，，
因此在处的切线为：，即．
导函数，
当，由于，恒成立，因此函数在上单调递减；
当，令导函数，即，由于根的判别式，
若时，得，，，
当时，导函数，那么函数在上单调递减；
当，时，导函数，那么函数在，上单调递增，
若时，，那么导函数恒成立，那么函数在上单调递增．
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在和上单调递增，
当时，在上单调递增．
证明：根据第二问知，当时，函数有两个极值点，，
其中是的极小值点，是的极大值点，且，，因此，
要证，只要证，
根据，
代入可得，原式，
令，设函数，
因此导函数，即导函数，
那么函数在上单调递增，所以，
则，即，
所以原不等式成立．
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