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2024-2025学年贵州省安顺市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面是不同成对数据的散点图，从左到右对应的样本相关系数是，，，，其中最大的是( )
A. B. C. D.
2.已知函数的导函数为，若，则( )
A. B. C. D.
3.正十二边形的对角线的条数是( )
A. B. C. D.
4.已知三个正态密度函数的图像如图所示，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5.细胞在适宜环境下的繁殖通常符合类型的模型，假设某种细胞的初始数量为，在理想条件下，每个细胞单位时间的繁殖率一定，经过个单位时间后，细胞总数万个会呈指数增长设，变换后得到线性回归方程，已知该回归方程的样本中心为，则( )
A. B. C. D.
6.某班级组织抽奖活动，共有个外观相同的抽奖盒，其中个盒子有奖品，个盒子为空盒现甲、乙两名同学依次抽奖甲抽完后不放回，则在甲没有抽到奖品的情况下，乙抽到奖品的概率是( )
A. B. C. D.
7.某公司男、女职工人数相等，该公司为了了解职工是否接受去外地长时间出差，在男、女职工中各随机抽取了人进行调查，数据显示男职工和女职工接受去外地长时间出差的人数分别为和，则下列结论正确的是( )
附表：
附：，其中．
A. 依据小概率值的独立性检验，不能认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
B. 依据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
C. 根据小概率值的独立性检验，可以认为是否接受去外地长时间出差与性别有关
D. 是否接受去外地长时间出差与性别无关
8.若函数有两个极值，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于独立事件和互斥事件的说法，正确的是( )
A. 若两个事件是互斥事件，则这两个事件一定不是对立事件
B. 掷一枚质地均匀的骰子，记事件为“掷出的点数为奇数”，事件为“掷出的点数大于”，则事件与事件是互斥事件
C. 若事件与事件相互独立，则
D. 若事件与事件是互斥事件，则
10.已知的展开式中各项系数之和为，则展开式中( )
A. 各项的二项式系数之和为 B. 含的项的系数为
C. 奇数项的二项式系数之和为 D. 二项式系数最大项为第项
11.已知函数在区间上的最大值为，则下列结论正确的是( )
A.
B. 若有个零点，，，则
C. 若，则函数有个零点
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则在点处的切线方程为______．
13.已知变量与的一组观测数据如表：
根据表中数据得到关于的经验回归方程为，则 ______，当时，的预测值为______．
14.某校组织学生参加数学、物理、化学三项学科竞赛，要求每名学生只报名一项竞赛，且每项竞赛至少有一人参加若有名学生报名，其中甲、乙都不参加化学竞赛，则不同的报名方案共有______种用数字作答．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的首项，且
证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，底面是边长为的正三角形，底面，，，分别是，的中点，点在线段上，且．
证明：平面．
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知平面内一动点到点的距离与它到直线的距离之比为，过点的直线与动点的轨迹相交于，两点．
求动点的轨迹的方程．
是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
甲、乙两选手进行象棋比赛，假设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛分出胜负时结束．
若，比赛采用三局两胜制，求乙获胜的概率；
若比赛有两种赛制，五局三胜制和三局两胜制，且，试分析哪种赛制下甲获胜的概率更大，并说明理由；
设，已知甲、乙进行了局比赛且甲胜了局，试给出的估计值表示局比赛中甲胜的局数，以使得最大的的值作为的估计值．
19.本小题分
若，，，为上任意个实数，满足，当且仅当时，等号成立，则称函数在上为“凸函数”；也可设可导函数在上的导函数为，若在上单调递减，则称为上的“凸函数”若，，，为上任意个实数，满足，当且仅当时，等号成立，则称函数在上为“凹函数”；也可设可导函数在上的导函数为，若在上单调递增，则称为上的“凹函数”．
判断函数在上的凹凸性，并说明理由；
已知的三个内角分别为，，，求的最大值；
已知在上是凹函数，求实数的取值范围．
参考答案
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14.
15.证明：由，两边取倒数可得：．
数列是等差数列，公差为，首项为．
．
．
解：．
数列的前项和
．
16.证明：在三棱柱中，
因为，分别是，的中点，
根据三棱柱的性质，且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
由题意，底面是边长为的正三角形，
侧棱，则．
如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系．
因为，所以，，
所以．
设平面的法向量为，
则，则，
令，则．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.由于点到点的距离为，
点到的距离为，
因此，
化简得，即，
因此动点的轨迹的方程为．
根据题意可知直线的斜率不为，
因此设直线为，，，
联立直线和椭圆方程可得，得，直线过点，那么必有，
那么，
因此三角形的面积，
．
令，那么，因此．
令函数，那么导函数在上单调递减，
因此，所以三角形面积的最大值为．
由于，因此不存在直线，使得三角形面积为．
18.根据题意，设事件“比赛采用三局两胜制乙获胜”．
因为每局比赛乙获胜的概率为，
所以．
根据题意，采用五局三胜制甲获胜的概率更大，
理由如下：
在五局三胜制中甲获胜的概率．
在三局两胜制中甲获胜的概率．
．
若，则，必有，故采用五局三胜制甲获胜的概率更大．
根据题意，表示局比赛中甲胜的局数，则，
可知．
令，则．
令，解得，当时，可得；
令，解得，当时，可得．
故当时，最大，即的值最大，
所以的估计值为．
19.为上的凸函数．
因为，，所以，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递减．
故为上的凸函数．
由知为上的凸函数，且，
所以，
当且仅当时，等号成立，即，
所以的最大值为，当且仅当时，等号成立．
因为，
所以，
令，
则，
因为在区间上为“凹函数”，
所以，即．
令，
则．
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，故的取值范围为．
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