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2024-2025学年江西省赣州市全南中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.使得等式有意义的实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知向量与共线，则实数( )
A. B. C. D.
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )
A. B. C. D. ．
6.已知一个圆柱形容器的轴截面是边长为的正方形，往容器内注水后水面高度为，若再往容器中放入一个半径为的实心铁球，则此时水面的高度为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的部分图象如图所示，若，则( )
A.
B.
C.
D.
8.在中，若点满足，且，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 的一个对称中心为
C. 在区间内单调递增
D. 将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象
10.已知复数，则( )
A. B.
C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限
11.已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则的值为______．
13.已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为______用坐标表示
14.已知，复数，，若为纯虚数，则的虚部为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
求的单调递减区间．
16.本小题分
已知，且是第四象限的角，求及；
已知，求及．
17.本小题分
如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为，是等边三角形，．
求该几何体的表面积；
求该几何体的体积．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别是，，，．
求；
若，求，．
19.本小题分
如图，正四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点在侧棱上，且．
求证：；
求二面角的平面角的正切值；
侧棱上是否存在一点，使得平面若存在，求的值；若不存在，试说明理由．
参考答案
1.
2.
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4.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，
得的最小正周期为；
令，，解得：，．
故函数的单调递减区间为，．
16.，且是第四象限的角，
，则；
，是第二或第四象限角，
当是第二象限角时，由，解得，；
当是第四象限角时，由，解得，．
17.解：设是的中点，连接，
因为是边长为的正三角形，
所以，且，
所以该几何体的表面积；
连接，，设交点为，连接，则是四棱锥的高，
则，
所以，
又正方体的体积为，
所以该几何体的体积．
18.因为，
则由正弦定理可得：，
即，所以，又，
所以；
由，可得：，
由可得：，
所以由余弦定理可得：，即，联立，
解得或．
19.证明：在正四棱锥中，连接，设，
连接，则点是正方形的中心，
根据正四棱锥的性质可得平面，而平面，
则，
又，，平面，，
于是平面，而平面，
所以．
过作于，过作于，连接，
在三角形中，，又平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，，，平面，
所以平面，
平面，所以，
于是是二面角的平面角，
令正方形边长为，则，，
因为，
所以，
在直角三角形中，，
所以二面角的正切值为．
在上取点，使得，过作交于点，连接，
由平面，平面，得平面，由是的中点，
得，
而平面，平面，得平面，
又，，平面，
因此平面平面，而平面，
则平面，
由知，，
即点是中点，故，
于是，
所以侧棱上存在一点，使得平面，此时：：．
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