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2024-2025学年四川省泸州市老窖天府中学高二（下）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在的展开式中，常数项为( )
A. B. C. D.
2.记为等差数列的前项和若，，则( )
A. B. C. D.
3.从件合格品和件次品共件产品中任意抽取件检查，抽取的件中至少有件是次品的概率是( )
A. B. C. D.
4.函数的图象在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
6.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
7.某班有，，，，五名同学要排成一排进行拍照，其中同学不站在两端，，两名同学相邻，则不同的排列方式种数为( )
A. B. C. D.
8.如图，已知，为双曲线的左、右焦点，过点，分别作直线，交双曲线于，，，四点，使得四边形为平行四边形，且以为直径的圆过，则
双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知个互不相同的样本数据，，，的平均值为，则关于新样本数据，，，，，下列说法正确的是( )
A. 极差不变 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 中位数变小
10.在平面直角坐标系中，已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是( )
A. 对任意直线，均有 B. 若，则
C. 面积的最小值为 D. 以为直径的圆与的准线不可能相切
11.已知函数在上是增函数，在上是减函数，且方程有个不等实根，它们分别为，，，则( )
A. 实数为 B. 为定值 C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列满足，则数列的通项公式 ______．
13.函数的零点为______．
14.设函数，，设数列的前项和，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
等比数列的各项均为正数，且，．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．
16.本小题分
，，三个班共有名学生，为调查他们的上网情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的上网时长，数据如表单位：小时：
班
班
班
Ⅰ试估计班的学生人数；
Ⅱ从这名学生中任选名学生，估计这名学生一周上网时长超过小时的概率；
Ⅲ从班抽出的名学生中随机选取人，从班抽出的名学生中随机选取人，求这人中恰有人一周上网时长超过小时的概率．
17.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，为的中点．
证明：平面；
若二面角的余弦值为，求点到平面的距离．
18.本小题分
已知函数．
若，求的极值；
若，求函数的单调增区间；
若，函数有两个极值点，，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
焦点在轴上的等轴双曲线，其顶点到渐近线的距离为，直线过点与双曲线的左、右支分别交于点、．
求双曲线的方程；
若，求直线的斜率；
若点关于原点的对称点在第三象限，且，求直线斜率的取值范围．
参考答案
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15.解：是各项均为正数的等比数列，设数列的公比为，且，由，．
即
得：，所以．
由，得到
所以数列的通项公式为．
由条件知，
又
将两式相减：即可得，
所以．
故得数列的前项和．
16.解：由题可得：，，三个班抽取的人数分别为，，，共有人；
Ⅰ由题可得：班的人数估计为：人；
Ⅱ抽取的人中，网时长超过小时的有：；
从这名学生中任选名学生，这名学生一周上网时长超过小时的概率为：；
Ⅲ从班抽出的名学生中随机选取人，从班抽出的名学生中随机选取人，共有抽法：种；
这人中恰有人一周上网时长超过小时的抽法有：均来自班，有种；
一个来自班，一个来自班，有种；
故共有：种；
这人中恰有人一周上网时长超过小时的概率为：．
17.解：证明：因为四边形为正方形，所以，
因为平面，且平面，所以，
由，得，
又，平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
又，平面，平面，
所以平面；
由知，，，两两互相垂直，
则以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，
所以，，
设是平面的一个法向量，则，
令，则，，所以为平面的一个法向量，
由题知，平面的一个法向量为，
因为二面角的余弦值为，
则，解得，所以，
因为，所以点到平面的距离为．
18.当时，，，
则，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以函数只有极小值，为；
因为，，
又因为的判断别式，
当时，，在上单调递增；
当时，
令，得，，
此时，
所以当时，，
所以在及上单调递增；
由知，当时，，，
则，
由恒成立，
即，
即，
即，
记，，
则，
故在上为增函数，
且，
故，
所以实数的取值范围为．
19.解：设等轴双曲线的方程为，
其渐近线方程为，
故，
解得，
所以双曲线的方程为．
由题意，过点的直线斜率存在且不为，
可设其方程为，
设，由，得，
联立，
整理得，
由韦达定理得：，，
联立解得，
经验证均满足题意，所以直线的斜率为．
点在第三象限，如图所示，故直线的斜率是正数，
由，得，
所以，则，
则，
由，
得，
所以，则，
又因为直线交两支两点，
故直线的斜率，
所以直线斜率的取值范围是．
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