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2024-2025学年河南省信阳市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数与互为共轭复数，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.下列命题中正确的是( )
A. 若直线上有无数个点不在平面内，则
B. 若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都平行
C. 若直线直线，直线平面，则直线平面
D. 若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点
3.设平面向量，，若与不能作为平面向量的一组基底，则( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，点是的中点，，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知两条不同的直线，，两个不同的平面，，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
6.数据，，，的平均数为，方差，现在增加两个数据和，则这组新数据的标准差为( )
A. B. C. D.
7.将一个直角边长分别为，的直角三角形绕其较长直角边所在的直线旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥内切球的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知非零向量，的夹角为锐角，为在方向上的投影向量，且，设与的夹角为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，则下列说法正确的是( )
A. 若在复平面对应的点位于第二象限，则
B. 若为纯虚数，则
C. 的最小值为
D. 存在，使与互为共轭复数
10.如图，在正三棱柱中，，为线段上的动点，则下列结论中正确的是( )
A. 点到平面的距离为
B. 平面与底面的交线平行于
C. 三棱锥的体积为定值
D. 二面角的大小为
11.在锐角中，设，，分别表示角，，对边，，，则下列选项正确的有( )
A.
B. 的取值范围是
C. 当时，的外接圆半径为
D. 若当，变化时，存在最大值，则正数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正六边形的边长为，则 ______．
13.已知函数的图象经过定点，且幂函数的图象过点，则 ______．
14.在四棱锥中，平面平面，，，，，，若二面角为，则四棱锥外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，，．
若，求的值；
若与的夹角是钝角，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数的部分图象如图所示．
求的解析式及单调递增区间；
将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数图象，若不等式对任意成立，求的取值范围．
17.本小题分
人工智能的广泛应用，给人们的生活带来了便捷随着的开源，促进了技术的共享和进步某网站组织经常使用的人进行了知识竞赛从参赛者中随机选出人作为样本，并将这人按成绩分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示．
求；
求样本数据的中位数与第百分位数；
已知直方图中成绩在内的平均数为，方差为，内的平均数为，方差为，求成绩在内的平均数与方差．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，．
求；
已知，求面积的最大值．
19.本小题分
如图，四棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，，，点在棱上，且．
求证：平面；
已知．
若二面角的正切值为，求三棱锥的体积；
若，设直线与平面所成的角为，若，求的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：因为，，，
若，则，
解得或，
当时，，，，，
当时，，，，；
若与的夹角是钝角，则且与不共线，
当与共线时，，即，
所以且，
故的范围为且
16.由函数的部分图象知，，
，所以，
由，得，；
解得，；
又，所以，，
令，；
解得，；
所以的单调递增区间为，；
将函数的图象向左平移个单位长度，
得函数的图象，
所以，
不等式可化为，
时，，，
由题意，令，解得，
所以的取值范围是．
17.由题意可得，解得．
前三组频率之和为，所以样本数据的中位数为；
前两组频率之和为，
则样本数据的第百分位数落在第三组，设第百分位数为，
则，解得；
由题意，成绩在，内的人数分别为，．
所以成绩在内的平均数为：，
方差为．
所以，成绩在内的平均数为，方差为．
18.因为，
由正弦定理，，
因此；
由，
得，
因此，
由基本不等式，，
因此，当且仅当，即，时等号成立．
由，，
因此，
因此．
故面积的最大值为．
19.证明：连接交于点，连接，
因为，，由相似三角形的性质，可得，
又，所以，
因为平面，平面，
因此平面．
取的中点，取的中点，连接，，，
则，，
因为，因此，
因为是边长为的等边三角形，则，，
又平面平面，平面平面，平面，
因此平面，因为平面，因此．
又，，平面，因此平面，
因为平面，因此，所以为二面角的平面角．
在中，．
因此
在中，，
，
因此．
过作交于，连接，由于平面，
所以平面，
则为与平面所成角，即，．
点在棱上，且．
由，，，
由余弦定理得，
因为，因此，，因此，
因此
故的取值范围为．
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