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2024-2025学年福建省南平市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数，其共轭复数为，是虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部为 B. 在复平面内对应的点在第二象限
C. D.
2.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
3.设，是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4.如图，下列频率分布直方图显示了三种不同的分布形态图形成对称形态，图形成“右拖尾”形态，图形成“左拖尾”形态根据所给图示作出判断，则下列结论正确的是( )
A. 图中平均数中位数众数 B. 图中平均数众数中位数
C. 图中众数平均数中位数 D. 图中平均数中位数众数
5.已知三棱锥，，点，分别是棱，的中点，且，则异面直线与所成的角是( )
A. B. C. D.
6.已知的三个内角，，的对边分别为，，若，，且的面积为，则( )
A. B. C. D.
7.已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.已知圆锥的母线长为，过圆锥的顶点作圆锥的截面，若截面面积的最大值为，则该圆锥底面半径的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某影院连续天的观影人数单位：百人依次为，，，，，，，，，，则下列关于这天观影人数的结论正确的是( )
A. 众数为 B. 平均数为
C. 中位数为 D. 第百分位数为
10.若平面向量，满足，，则( )
A. B. 与的夹角为
C. D.
11.如图，正方体的棱长为，是四边形内包括边界的一个动点，则下列结论正确的是( )
A. 当在线段上时，三棱锥的体积是定值
B. 当是线段的中点时，的周长是
C. 当是线段的中点时，三棱锥的外接球的体积是
D. 当是棱的中点时，的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量与共线，则实数 ______．
13.如图，在边长为的正方形中，点，分别是，的中点将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点若三棱锥的顶点均在球的球面上，则球的表面积为______．
14.研究人员从某公司员工的体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取名女工员、名男员工的体重数据，计算得到名女员工的平均体重为单位：，方差为；名男员工的平均体重为单位：，方差为则这名员工体重的平均数是______，方差是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，，是虚数单位．
若复数是纯虚数，求的值；
当时，复数是关于的方程的一个根，求实数，的值．
16.本小题分
从某次测试中随机抽取份测试卷进行成绩调查，发现抽取的测试卷的成绩分数都在之间，将抽取的测试卷按成绩分成六组：，，，，，，画出如图所示的频率分布直方图．
求的值和抽取测试卷的成绩的第百分位数；
对成绩在和的抽取测试卷，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取份，再从这份测试卷中随机抽取份了解答题情况，写出这份测试卷所有可能结果构成的样本空间，并求这份测试卷成绩都在的概率．
17.本小题分
某高校“强基计划”自主招生的面试中有三道不同的题目，每位面试者依次作答若答对两道题目，则面试通过，结束面试；若答错两道题目，则面试不通过，结束面试已知李明答对第一道题目的概率为，答对第二道题目的概率为，答对第三道题目的概率为，假设每道题目是否答对是独立的．
求李明第二次答题后结束面试的概率；
求李明最终通过面试的概率．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，是的中点，过点作交于点．
若是的中点，过点作一个截面，使得该截面与平面平行，请画出截面，并写出作图过程无需证明；
证明：平面；
求二面角的余弦值．
19.本小题分
已知的三个内角，，的对边分别为，，，点是的外心．
当时，求；
对于任意的，，，，用向量方法证明不等式当且仅当时，等号成立；
若，求的最大值．
参考答案
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14.
15.由题可得，，且，
由得或，由，得，
故；
当时，，
代入关于的方程，得，
整理得，，
因为，为实数，所以，，
解得，，故实数，的值分别为，．
16.由频率分布直方图可得，解得．
又由频率分布直方图可得前组的频率为，
前组的频率为，故第百分位数在区间上，
因此第百分位数为．
采用比例分配的分层抽样从和抽取份测试卷，
由于和的频率比为：：，
故成绩在的测试卷中抽取数为，记作，；
成绩在的测试卷中抽取份数为，记作，，，
则从抽取的份测试卷中随机抽取份测试卷的所有可能构成的样本空间为：
，，，，，，，，，，共有个样本点，
设事件“这份测试卷成绩都在”，
则，，，故，
从而．
因此，这份测试卷成绩都在的概率是．
17.设表示“李明答对第道题目”，，
表示“李明第二次答题后结束面试”，
则，且，互斥．
因为每道题目是否答对是独立的，所以与相互独立，与相互独立，
于是
．
设表示“李明最终通过面试”，
则且互斥，
所以
．
因此，李明最终通过面试的概率是．
18.如图，取的中点，的中点，连接，，，
则截面平面．
证明：因为平面，平面，
所以．
在矩形中，，，平面，平面，
所以平面．
又因为平面，所以．
在中，，是的中点，
所以，又，平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
因为，，平面，平面，所以平面；
由知平面，于是，
所以即为二面角的平面角．
在中，，
故，从而．
在中，，，
故，从而．
又在中，，
故由余弦定理得，
所以二面角的余弦值为．
19.因为点是的外心，所以点在边的中垂线上．如图设点为线段的中点，
则为向量在向量上的投影向量，
设与的夹角为，所以．
证明：构造向量，因为，
所以，
于是，
，
即
当且仅当，即，或时，等号成立，此时与共线，有，
即，不等式得证．
如图，令，由，
得，
由点是的外心可知，是三边中垂线的交点，因此有，
代入上式得，所以．
又是的外接圆的半径，因此，
于是有，
由结论可知，，因此，
从而，于是，当且仅当时，等号成立，
因此的最大值为．
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