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综合·融通(三)　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
(融会课—主题串知综合应用)
通过本节课的学习会分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动；掌握带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题的思路和方法；会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题，知道产生多解的原因。
主题(一)　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
[知能融会通]
1．直线边界
从某一直线边界射入的粒子，再从这一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图所示。
2．平行边界
3．圆形边界
(1)在圆形磁场区域内，沿半径方向射入的粒子，必沿半径方向射出，如图甲所示。
(2)在圆形磁场区域内，不沿半径方向射入的粒子，入射速度方向与半径的夹角为θ，出射速度方向与半径的夹角也为θ，如图乙所示。
4．三角形边界
等边三角形ABC区域内某带正电的粒子垂直AB方向进入磁场，粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。
[典例]　
如图所示，在圆形区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，ab是圆的直径。一带电粒子从a点射入磁场，速度大小为v1、方向与ab成30°角时，恰好从b点飞出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为t；若同一带电粒子从a点沿ab方向射入磁场，也经时间t飞出磁场，则其速度大小为(　　)
A.v1　　　　　　　 B.v1
C.v1 D.v1
听课记录：
[题点全练清]
1.如图所示，平行线PQ、MN之间有方向垂直纸面向里的无限长匀强磁场，电子从P点沿平行于PQ且垂直于磁场方向射入磁场，当电子速率为v1时与MN成60°角斜向右下方射出磁场；当电子速率为v2时与MN成30°角斜向右下方射出磁场(出射点都没画出)，v1∶v2等于(　　)
A．1∶(2－) B．(2－)∶1
C．2∶1 D.∶1
2.(多选)如图所示，直角三角形ABC中存在一匀强磁场，比荷相同的两个带电粒子沿AB方向射入磁场，分别从AC边上的P、Q两点射出，不计粒子重力，则(　　)
A．从P射出的粒子速度大
B．从Q射出的粒子速度大
C．从P射出的粒子在磁场中运动的时间长
D．两粒子在磁场中运动的时间一样长
主题(二)　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
[知能融会通]
解决带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题，通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界点，确定临界状态，根据匀强磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。
(1)刚好穿出或刚好不能穿出匀强磁场的条件是带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当以一定的速率垂直射入匀强磁场时，运动的弧长越长、圆心角越大，则带电粒子在有界匀强磁场中的运动时间越长。
(3)比荷相同的带电粒子以不同的速率v进入磁场时，圆心角越大的，运动时间越长。
[典例]　(2024·海南海口期末)如图所示，在矩形GHIJ区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场，P点是GH边的中点，四个完全相同的带电粒子仅在洛伦兹力的作用下，以大小不同的速率从P点射入匀强磁场，它们的轨迹在同一平面(纸面)内，下列说法正确的是(　　)
A．④粒子的速率最大
B．③粒子的向心加速度最大
C．②粒子在矩形GHIJ磁场区域运动的时间最长
D．①、②、③、④这四个粒子在矩形GHIJ磁场区域的运动周期不相同
听课记录：
[题点全练清]
1．(2024·山东青岛期末)如图，空间存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场下
边界OM和荧光屏ON之间的夹角为30°。OM上的P点处有一粒子源，沿与OM垂直的方向以不同的速率持续向磁场发射质量为m、电荷量为＋q的粒子。已知P点到O点的距离为d，荧光屏上被打亮区域的长度为(　　)
A.　　 B.　　
C．d　　 D．2d
2．(2024年1月·河南高考适应性演练)2023年4月，我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验装置创造了新的世界纪录。其中磁约束的简化原理如图：在半径为R1和R2的真空同轴圆柱面之间，加有与轴线平行的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，R2＝2R1。假设氘核12H沿内环切线向左进入磁场，氚核13H沿内环切线向右进入磁场，二者均恰好不从外环射出。不计重力及二者之间的相互作用，则12H和13H的速度之比为(　　)
A．1∶2　　 B．2∶1　　
C．1∶3　　 D．3∶1
主题(三)　带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
[知能融会通]
1.带电粒子电性不确定形成多解。如图甲中做匀速圆周运动的粒子可能带正电，也可能带负电，由于带电性质不确定带来多解。
2．磁场方向不确定带来多解。如描述的磁场垂直于纸面，需分垂直纸面向外、垂直纸面向里两种情况进行讨论。
3．临界状态不唯一形成多解。如图乙中带负电粒子不打在下极板上，粒子的速度有两种情况：v≤v1或v≥v2。
4．运动的周期性带来多解。如带负电粒子在图丙所示电磁组合场中会做周期性运动，从而带来多解。
[典例]　在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场中，直线OM和ON之间的夹角为30°，一质量为m、带电量为q的粒子，沿纸面以大小为v0的速度从OM上的O′点向左上方垂直磁场方向射入NOM之间，速度与OM成30°角，如图所示。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点，不计重力，则OO′的距离为多少？
尝试解答：
[题点全练清]
1.(多选)如图所示，在x轴上方且x＞0的区域有电场强度大小为E、垂直x轴向上的匀强电场，在x轴下方且x＞0的区域有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场，M点在x轴上，OM的长度为L。现把电子(质量为m、电荷量为e)在某位置(x＞0)无初速释放，要求能通过M点，则电子释放时的坐标x、y应满足的关系为(　　)
A．x＝L，y＜0
B．x＝L，y＞0
C．y＝(n＝1,2,3，…)
D．0＜x＜L，y＝(n＝1,2,3，…)
2.(多选)如图所示，A点的离子源在纸面内沿垂直OQ的方向向上射出一束负离子，离子重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域，可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A间的距离为s，负离子的比荷为、速率为v，OP与OQ间夹角为30°。则所加磁场的磁感应强度B应满足(　　)
A．垂直纸面向里，B>
B．垂直纸面向里，B>
C．垂直纸面向外，B>
D．垂直纸面向外，B>
综合·融通(三)　带电粒子在有界
匀强磁场中的运动
主题(一)　
[典例]　选C　画出两种情况下带电粒子的运动轨迹如图所示，由题意可知，同一粒子在磁场中偏转时间均为t，则两种情况下带电粒子的偏转角均为60°。设磁场圆的半径为R，由几何关系可以确定带电粒子在两种情况下做匀速圆周运动的半径分别为r1＝2R，r2＝Rtan 60°＝R，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，则速度大小为v＝，则＝＝，所以当粒子沿ab方向射入时，v2＝v1，A、B、D错误，C正确。
[题点全练清]
1．选B　设电子射出磁场时速度方向与MN之间的夹角为θ，电子做匀速圆周运动的半径为r，两平行线之间的距离为d，由几何关系可知cos θ＝，解得r＝，电子做匀速圆周运动，qvB＝，解得v＝∝r，联立可得v1∶v2＝(2－)∶1，故B正确。
2．选BD　作出两带电粒子各自的运动轨迹，如图所示，根据圆周运动特点可知，两粒子分别从P、Q点射出时，速度方向与AC边的夹角相同，故可判定轨迹半径RP＜PQ，又两个带电粒子的比荷相同，故由R＝可知，从Q点射出的粒子速度大，A错误，B正确；由T＝＝可知，两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，根据图示可知，两轨迹对应的圆心角相等，由t＝T可知，两粒子在磁场中的运动时间相等，C错误，D正确。
主题(二)　
[典例]　选A　对于完全相同的粒子，其比荷相同，在同一匀强磁场中，则周期相同，由题图知，③粒子在磁场中转过的圆心角最大，所以③粒子在矩形GHIJ磁场区域运动的时间最长，故C、D错误；根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，可得r＝，由于④粒子的轨迹半径最大，则④粒子的速率最大，故A正确；粒子的向心加速度为a＝＝，可知④粒子的向心加速度最大，故B错误。
[题点全练清]
1．选A　根据题意，若粒子的速率足够大，粒子无限接近沿直线打到荧光屏的A点，如图1所示，由几何关系可得AO＝＝d；若粒子的速率较小，打到荧光屏上B点为临界点，如图2所示，设粒子做圆周运动的半径为r，由几何关系可得＝sin 30°，OB＝cos 30°，解得OB＝d，则荧光屏上被打亮区域的长度为L＝OA－OB＝d，故选A。
2.选A　由题意可知,根据左手定则,作轨迹图如图所示,由几何关系可知,氘核H的轨迹半径为r1,有2r1=R2-R1=R1,则r1=,由几何关系可知,氚核H的轨迹半径为r2,有2r2=R2+R1=3R1,则r2=,即=,由洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,可得v=,由题意可知,氘核H和氚核H的比荷之比为=·=×=,故H和H的速度之比为=·=×=,故选A。
主题(三)　
[典例]　解析：若粒子带负电，其在磁场中运动的轨迹如图1所示，
由图1可得ab＝2R，O′a＝R，Oa＝4R
根据洛伦兹力提供向心力，有Bqv0＝
可得OO′＝Oa－O′a＝；
若粒子带正电，其在磁场中运动的轨迹如图2所示，
则可得OO′＝R，所以OO′＝。
　
答案：若粒子带负电，OO′的距离为；若粒子带正电，OO′的距离为
[题点全练清]
1.
选BD　画出满足题中条件的可能情况如图所示，Q、C之间还有整数个半圆未画出。电子最初坐标为(x，y)，若电子最初位置在AM右侧，即x＞L，不能经过M点；若电子最初位置在AM上，只需y＞0即可经过M点；若电子最初位置在AM左侧，即0＜x＜L，根据题意有L－x＝2nR(n＝1,2,3，…)，即R＝(n＝1,2,3，…)，电子由静止释放至运动到x轴，根据动能定理，有eEy＝mv02，电子在磁场中做匀速圆周运动的半径R＝，解得y＝(n＝1,2,3，…)。B、D正确，A、C错误。
2．选BC　当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时，由左手定则可知，负离子向右偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(大圆弧)，由几何知识可知r2＝OBsin 30°＝OB，而OB＝s＋r2，故r2＝s，所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件，可得qvB＞，解得B>，A错误，B正确；当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时，由左手定则可知，负离子向左偏转，负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切，如图(小圆弧)，由几何知识知r1＝，所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件，可得qvB＞，解得B>，C正确，D错误。
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带电粒子在有界匀强磁场中的运动
　　　 (融会课—主题串知综合应用)
综合 融通(三)
通过本节课的学习会分析带电粒子在有界匀强磁场中的运动;掌握带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题的思路和方法;会分析带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题,知道产生多解的原因。
1
主题(一)　带电粒子在有界匀强
磁场中的运动
2
主题(二)　带电粒子在有界匀强磁场
中运动的临界问题
3
主题(三)　带电粒子在有界
匀强磁场中运动的多解问题
4
课时跟踪检测
CONTENTS
目录
主题(一)　带电粒子在有界
匀强磁场中的运动
1.直线边界
从某一直线边界射入的粒子,再从这一边界射出时,速度与边界的夹角相等,如图所示。
知能融会通
2.平行边界
3.圆形边界
(1)在圆形磁场区域内,沿半径方向射入的粒子,必沿半径方向射出,如图甲所示。
(2)在圆形磁场区域内,不沿半径方向射入的粒子,入射速度方向与半径的夹角为θ,出射速度方向与半径的夹角也为θ,如图乙所示。
4.三角形边界
等边三角形ABC区域内某带正电的粒子垂直AB方向进入磁场,粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。
[典例]　如图所示,在圆形区域内存在垂直纸面向外的
匀强磁场,ab是圆的直径。一带电粒子从a点射入磁场,
速度大小为v1、方向与ab成30°角时,恰好从b点飞出
磁场,且粒子在磁场中运动的时间为t;若同一带电粒子从a点沿ab方向射入磁场,也经时间t飞出磁场,则其速度大小为 (　　)
A.v1　 B.v1 C.v1 D.v1
√
[解析]　画出两种情况下带电粒子的运动轨迹如图所
示,由题意可知,同一粒子在磁场中偏转时间均为t,则两
种情况下带电粒子的偏转角均为60°。设磁场圆的半径
为R,由几何关系可以确定带电粒子在两种情况下做匀速
圆周运动的半径分别为r1=2R,r2=Rtan 60°=R,由洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,则速度大小为v=,则==,所以当粒子沿ab方向射入时,v2=v1,A、B、D错误,C正确。
1.如图所示,平行线PQ、MN之间有方向垂直纸
面向里的无限长匀强磁场,电子从P点沿平行于PQ
且垂直于磁场方向射入磁场,当电子速率为v1时与
MN成60°角斜向右下方射出磁场;当电子速率为v2时与MN成30°角斜向右下方射出磁场(出射点都没画出),v1∶v2等于 (　　)
A.1∶(2-) B.(2-)∶1
C.2∶1 D.∶1
题点全练清
√
解析:设电子射出磁场时速度方向与MN之间的夹角为θ,电子做匀速圆周运动的半径为r,两平行线之间的距离为d,由几何关系可知cos θ=,解得r=,电子做匀速圆周运动,qvB=,解得v=∝r,联立可得v1∶v2=(2-)∶1,故B正确。
2.(多选)如图所示,直角三角形ABC中存在一匀强磁场,
比荷相同的两个带电粒子沿AB方向射入磁场,分别从AC边
上的P、Q两点射出,不计粒子重力,则 (　　)
A.从P射出的粒子速度大
B.从Q射出的粒子速度大
C.从P射出的粒子在磁场中运动的时间长
D.两粒子在磁场中运动的时间一样长
√
√
解析:作出两带电粒子各自的运动轨迹,如图所示,
根据圆周运动特点可知,两粒子分别从P、Q点射出时,
速度方向与AC边的夹角相同,故可判定轨迹半径RP又两个带电粒子的比荷相同,故由R=可知,从Q点射出的粒子速度大,A错误,B正确;由T==可知,两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等,根据图示可知,两轨迹对应的圆心角相等,由t=T可知,两粒子在磁场中的运动时间相等,C错误,D正确。
主题(二)　带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题
解决带电粒子在有界匀强磁场中运动的临界问题,通常以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口,寻找临界点,确定临界状态,根据匀强磁场边界和题设条件画好轨迹,建立几何关系求解。
(1)刚好穿出或刚好不能穿出匀强磁场的条件是带电粒子在匀强磁场中运动的轨迹与边界相切。
知能融会通
(2)当以一定的速率垂直射入匀强磁场时,运动的弧长越长、圆心角越大,则带电粒子在有界匀强磁场中的运动时间越长。
(3)比荷相同的带电粒子以不同的速率v进入磁场时,圆心角越大的,运动时间越长。
[典例]　(2024·海南海口期末)如图所示,在矩形GHIJ区域
内分布着垂直纸面向里的匀强磁场,P点是GH边的中点,四个完
全相同的带电粒子仅在洛伦兹力的作用下,以大小不同的速率
从P点射入匀强磁场,它们的轨迹在同一平面(纸面)内,下列说法正确的是 (　　)
A.④粒子的速率最大
B.③粒子的向心加速度最大
C.②粒子在矩形GHIJ磁场区域运动的时间最长
D.①、②、③、④这四个粒子在矩形GHIJ磁场区域的运动周期不相同
√
[解析]　对于完全相同的粒子,其比荷相同,在同一匀强磁场中,则周期相同,由题图知,③粒子在磁场中转过的圆心角最大,所以③粒子在矩形GHIJ磁场区域运动的时间最长,故C、D错误;根据洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,可得r=,由于④粒子的轨迹半径最大,则④粒子的速率最大,故A正确;粒子的向心加速度为a==,可知④粒子的向心加速度最大,故B错误。
1.(2024·山东青岛期末)如图,空间存在垂直于纸
面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,磁场下边界
OM和荧光屏ON之间的夹角为30°。OM上的P点处有一粒子源,沿与OM垂直的方向以不同的速率持续向磁场发射质量为m、电荷量为+q的粒子。已知P点到O点的距离为d,荧光屏上被打亮区域的长度为 (　　)
A.　 B. C.d D.2d
题点全练清
√
解析:根据题意,若粒子的速率足够大,粒子无限接近沿直线打到荧光屏的A点,如图1所示,由几何关系可得AO==d;若粒子的速率较小,打到荧光屏上B点为临界点,如图2所示,设粒子做圆周运动的半径为r,由几何关系可得=sin 30°,OB=cos 30°,解得OB=d,则荧光屏上被打亮区域的长度为L=OA-OB=d,故选A。
2.(2024年1月·河南高考适应性演练)2023年4月,
我国有“人造太阳”之称的托卡马克核聚变实验
装置创造了新的世界纪录。其中磁约束的简化原理
如图:在半径为R1和R2的真空同轴圆柱面之间,加有与轴线平行的匀强磁场,磁场方向垂直纸面向里,R2=2R1。假设氘核H沿内环切线向左进入磁场,氚核H沿内环切线向右进入磁场,二者均恰好不从外环射出。不计重力及二者之间的相互作用,则H和H的速度之比为(　　)
A.1∶2 B.2∶1 C.1∶3 D.3∶1
√
解析: 由题意可知,根据左手定则,作轨迹图如图所示,
由几何关系可知,氘核H的轨迹半径为r1,有2r1=R2-R1=R1,
则r1=,由几何关系可知,氚核H的轨迹半径为r2,有2r2=
R2+R1=3R1,则r2=,即=,由洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,可得v=,由题意可知,氘核H和氚核H的比荷之比为=·=×=,故H和H的速度之比为=·=×=,故选A。
主题(三)　带电粒子在有界
匀强磁场中运动的多解问题
1.带电粒子电性不确定形成多解。如图甲中做匀速圆周运动的粒子可能带正电,也可能带负电,由于带电性质不确定带来多解。
知能融会通
2.磁场方向不确定带来多解。如描述的磁场垂直于纸面,需分垂直纸面向外、垂直纸面向里两种情况进行讨论。
3.临界状态不唯一形成多解。如图乙中带负电粒子不打在下极板上,粒子的速度有两种情况:v≤v1或v≥v2。
4.运动的周期性带来多解。如带负电粒子在图丙所示电磁组合场中会做周期性运动,从而带来多解。
[典例]　在磁感应强度大小为B、方向垂直于
纸面向里的匀强磁场中,直线OM和ON之间的夹角
为30°,一质量为m、带电量为q的粒子,沿纸面以
大小为v0的速度从OM上的O'点向左上方垂直磁场方向射入NOM之间,速度与OM成30°角,如图所示。已知该粒子在磁场中的运动轨迹与ON只有一个交点,不计重力,则OO'的距离为多少
[答案]　若粒子带负电,OO'的距离为;若粒子带正电,OO'的距离为
[解析]　若粒子带负电,其在磁场中运动的轨迹如图1所示,
由图1可得ab=2R
O'a=R,Oa=4R
根据洛伦兹力提供向心力,有Bqv0=
可得OO'=Oa-O'a=;
若粒子带正电,其在磁场中运动的轨迹如图2所示,
则可得OO'=R,所以OO'=。
1.(多选)如图所示,在x轴上方且x>0的区域有电场
强度大小为E、垂直x轴向上的匀强电场,在x轴下方且
的区域有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场,M点在x轴上,OM的长度为L。现把电子(质量为m、电荷量为e)在某位置(x>0)无初速释放,要求能通过M点,则电子释放时的坐标x、y应满足的关系为 (　　)
题点全练清
A.x=L,y<0
B.x=L,y>0
C.y=(n=1,2,3,…)
D.0√
√
解析:画出满足题中条件的可能情况如图所示,Q、
C之间还有整数个半圆未画出。电子最初坐标为(x,y),
若电子最初位置在AM右侧,即x>L,不能经过M点;若电子最初位置在AM上,只需y>0即可经过M点;若电子最初位置在AM左侧,即02.(多选)如图所示,A点的离子源在纸面内沿垂直OQ
的方向向上射出一束负离子,离子重力忽略不计。为把
这束负离子约束在OP之下的区域,可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A间的距离为s,负离子的比荷为、速率为v,OP与OQ间夹角为30°。则所加磁场的磁感应强度B应满足(　　)
A.垂直纸面向里,B> B.垂直纸面向里,B>
C.垂直纸面向外,B> D.垂直纸面向外,B>
√
√
解析:当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时,
由左手定则可知,负离子向右偏转,负离子被约束
在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切,如图(大圆弧),由几何知识可知r2=OBsin 30°=OB,而OB=s+r2,故r2=s,所以当离子运动轨迹的半径小于s时满足约束条件,可得qvB>,解得B>,A错误,B正确;
当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时,由左手定则可知,负离子向左偏转,负离子被约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切,如图(小圆弧),由几何知识知r1=,所以当离子运动轨迹的半径小于时满足约束条件,可得qvB>,解得B>,C正确,D错误。
课时跟踪检测
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1.(2024·广西高考)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场
区域如图所示,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里。
质量为m、电荷量为+q的粒子,以初速度v从O点沿x轴正
向开始运动,粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°,交点为P。不计粒子重力,则P点至O点的距离为 (　　)
A. C.(1+) D.
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解析:粒子运动轨迹如图所示,在磁场中,根据洛伦
兹力提供向心力有qvB=m,可得粒子做圆周运动的半
径r=,根据几何关系可得P点至O点的距离LPO=r+=(1+)。故选C。
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2.(多选)如图所示,匀强磁场的磁感应强度大小为B,
方向垂直纸面向里,MN是它的下边界。现有质量为m、
电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场,则粒子在磁场中运动的时间可能为 (　　)
A.
C. D.
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解析:由于带电粒子的电性不确定,其轨迹可能是
如图所示的两种情况。由qvB=m和T=,得T=。
由图可知,若粒子带正电,轨迹对应的圆心角为θ1=300°,若粒子带负电,轨迹对应的圆心角为θ2=60°,则对应时间分别为t1=T=T=,t2=T=T=,选项A、D正确。
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3.(2024·山东青岛期末)长度为L的水平板上方区域
存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场,从
水平板中心正上方的P点处以水平向右的速度v0释放一个质量为m、电荷量为e的电子,若电子能打在水平板上,速度v0应满足(　　)
A.v0> B.v0<
C.或v0<
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解析:电子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向
心力,则有ev0B=m,解得R=,分析可知,当轨迹半径很小或
者轨迹半径很大时,电子均不能够到达水平板上,两个临界轨迹
分别与水平板相切、恰好经过水平板两端点,如图所示,根据几何关系可知,Rmin=,Rmax=,解得v0min=,v0max=,则有2
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4.(多选)如图所示,长为l的水平极板间有垂直纸面向里的
匀强磁场,磁感应强度大小为B,板间距离也为l,极板不带电。
现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场,欲使粒子不打在极板上,可采用的办法是 (　　)
A.使粒子的速度v< B.使粒子的速度v>
C.使粒子的速度v> D.使粒子的速度2
3
4
√
√
1
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6
7
8
9
10
11
12
解析:如图所示,带电粒子刚好打在极板右边缘时,有=+l2,又r1=,所以v1=;粒子刚好打在极板左边缘时,有r2==,解得v2=;欲使粒子不打在极板上,应使v>v1或v2
3
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
5.(多选)如图所示,直线MN与水平方向成60°角,MN的
右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场,左下方存在垂直纸面
向里的匀强磁场,两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子
源位于MN上的a点,能水平向右发射不同速率、质量为m(重力不计)、电荷量为q(q>0)的同种粒子,所有粒子均能通过MN上的b点,已知ab=L,则粒子的速率可能是 (　　)
A. B. C. D.
2
3
4
√
√
1
5
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7
8
9
10
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12
解析:由题意可知,粒子可能的运动轨迹如图所示,
所有圆弧所对的圆心角均为120°,所以粒子运动的半
径为r=·(n=1,2,3,…);粒子在匀强磁场中做匀速圆周
运动,由洛伦兹力提供向心力,得qvB=m,则v==·(n=1,2,3,…),A、B正确。
2
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1
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6.(多选)如图所示,在等腰直角三角形abc区域内存在
垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场,O为ab边的
中点,在O处有一粒子源沿纸面内不同方向、以相同的
速率v=不断向磁场中释放相同的带正电的粒子,已知粒子的质量为m、电荷量为q,直角边ab长为2L,不计重力和粒子间的相互作用力。则(　　)
2
3
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1
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12
A.从ac边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为
B.从ac边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为
C.粒子能从bc边射出的区域长度为L
D.粒子能从bc边射出的区域长度为L
2
3
4
√
√
1
5
6
7
8
9
10
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12
解析:粒子在磁场中做圆周运动,根据洛伦兹力提供向
心力,有Bqv=,解得r=L,如图所示,Od与ac垂直,由几何关
系可知,Od=Oacos 45°=L,即最短弦长,对应最短时间,圆心
角为60°,则最短时间为t=T,又T=,解得从ac边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为t=,故A错误,B正确;粒子轨迹与ac相切时,交于bc边最远的e点,由几何关系可知,Oe长度为2L,则粒子能从bc边射出的区域eb的长度为eb=Oecos 45°=L,故C错误,D正确。
2
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1
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10
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12
7.如图所示,边长为l的等边三角形ACD内、外分布
着方向相反的匀强磁场,磁感应强度大小均为B。顶点A
处有一粒子源,能沿∠CAD的平分线方向发射不同速度的粒子,粒子质量均为m,电荷量均为+q,不计粒子重力。则粒子以下列哪一速度发射时不能通过D点 (　　)
A.B. C. D.
2
3
4
√
1
5
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12
解析:粒子带正电,且经过D点,其可能的轨迹如
图所示,所有圆弧所对的圆心角均为60°,所以粒子
运动的半径为r=(n=1,2,3,…);粒子在匀强磁场中做
匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得qvB=m,解得v==(n=1,2,3,…);本题要求选择不能通过D点的,故选C。
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8.(2024·襄阳高二调研)如图,半径为d的圆形区域内有
磁感应强度为B的匀强磁场,磁场垂直圆所在的平面。一带
电荷量为q、质量为m的带电粒子从圆周上a点对准圆心O点
射入磁场,从b点射出,若α=60°,则带电粒子射入磁场时的速度大小为 (　　)
A. B.
C. D.
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3
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√
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解析:如图所示,根据几何知识可知,粒子运动的轨迹半径为r=d·tan 60°=d,因为粒子受到的洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,所以粒子射入磁场时的速度大小为v==,B正确。
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9.真空中有一匀强磁场,磁场边界为两个半径分别为a
和3a的同轴圆柱面,磁场的方向与圆柱轴线平行,其横截面
如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。
已知电子质量为m,电荷量为e,忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内,磁场的磁感应强度最小为 (　　)
A.B. C. D.
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3
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√
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解析:磁感应强度取最小值时对应的电子的运动轨迹临界状态如图所示,设电子在磁场中做圆周运动的半径为r,由几何关系得a2+r2=(3a-r)2,根据洛伦兹力提供向心力,有evB=m,联立解得B=,故选C。
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10.如图所示,在直角坐标系第一象限存在方向垂直纸面
向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场,一个质量为m、电荷
量为q的粒子从x轴上的P点射入磁场中,入射方向与x轴成θ=
60°,射入后恰好能垂直于y轴射出磁场,不计粒子重力,已知OP=a。则(　　)
A.粒子带正电荷
B.射出点与O点距离为2a
C.若只改变θ,粒子射出点与O点最远的距离为4a
D.若只改变θ,粒子在磁场中运动时间最长为
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√
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解析:粒子受洛伦兹力做匀速圆周运动,由题知粒子垂直于y轴射出磁场,即水平向左离开,由左手定则可知,粒子带负电,故A错误;粒子的运动轨迹如图1所示,
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由几何关系可得sin θ=,可得轨迹的半径为r=2a,则射出点与O点距离为d=r+rcos θ=3a,故B错误;若只改变θ,出射点与入射点连线为轨迹圆直径时,粒子射出点离O点最远,如图2所示,
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3
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则dmax==a,故C错误;若只改变θ,粒子
在磁场中运动时间由圆心角决定,圆心角最大时运动时间
最长,则当θ=0°时,即粒子水平向右进入磁场时运动时间
最长,如图3所示,有cos α==,解得α=30°,则最长运动时间为tmax=·T=·T=,故D正确。
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11.(2024·云南昭通期末)如图所示,磁感应强度为B的匀强
磁场左、右边缘平行,磁场的宽度为d,正粒子射入磁场的速度方
向与左边缘夹角为θ,已知粒子质量为m、带电荷量为q,运动到
磁场右边缘时恰好相切。
(1)粒子做匀速圆周的半径是多大
答案:　
2
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解析:初速度延长线与右边缘夹角的角
平分线和初速度垂线的交点即为圆心
根据几何关系r+rcos θ=d
解得r=。
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(2)粒子射入磁场的速度是多大
答案:
解析:根据洛伦兹力提供向心力,有qvB=,解得v=。
2
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12.如图所示,一足够长的矩形区域abcd内,有磁感应
强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。现从矩形
区域ad边的中点O处垂直磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°、大小为v的带电粒子。已知带电粒子的质量为m、电荷量为+q,ad边长为L,重力影响忽略。试求:
(1)粒子能从ab边射出磁场的v的范围;
答案:2
3
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解析:当v较小时,运动轨迹恰好与ab边相切;当v较大时,运动轨迹恰好与cd边相切,然后从ab边穿出,如图所示。当速度较小为v1时,有r1+r1sin 30°=L,解得r1=
又由半径公式r1=,可得v1=
当速度较大为v2时,由几何关系知r2=L
又由半径公式r2=,可得v2=
故带电粒子在磁场中从ab边射出时,其速度范围为2
3
4
1
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6
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12
(2)如果带电粒子不受上述v大小范围的限制,粒子在磁场中运动的最长时间。
答案:
解析:带电粒子在磁场中运动的周期为T=
要使带电粒子在磁场中运动时间最长,其运动轨迹对应的圆心角应最大,所以粒子在磁场中运动一段时间后从Oa边穿出时,对应的运动时间最长,即有tmax=T=·=。
2
3
4课时跟踪检测(六)　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1．(2024·广西高考)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为＋q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为(　　)
A. B.
C．(1＋) D.
2.(多选)如图所示，匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，MN是它的下边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子与MN成30°角垂直射入磁场，则粒子在磁场中运动的时间可能为(　　)
A. B.
C. D.
3.(2024·山东青岛期末)长度为L的水平板上方区域存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，从水平板中心正上方的P点处以水平向右的速度v0释放一个质量为m、电荷量为e的电子，若电子能打在水平板上，速度v0应满足(　　)
A．v0> B．v0<
C.或v0<
4.(多选)如图所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从两极板间边界中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　)
A．使粒子的速度v<
B．使粒子的速度v>
C．使粒子的速度v>
D．使粒子的速度5.(多选)如图所示，直线MN与水平方向成60°角，MN的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场，左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点，能水平向右发射不同速率、质量为m(重力不计)、电荷量为q(q>0)的同种粒子，所有粒子均能通过MN上的b点，已知ab＝L，则粒子的速率可能是(　　)
A. B.
C. D.
6．(多选)如图所示，在等腰直角三角形abc区域内存在垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，O为ab边的中点，在O处有一粒子源沿纸面内不同方向、以相同的速率v＝不断向磁场中释放相同的带正电的粒子，已知粒子的质量为m、电荷量为q，直角边ab长为2L，不计重力和粒子间的相互作用力。则(　　)
A．从ac边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为
B．从ac边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为
C．粒子能从bc边射出的区域长度为L
D．粒子能从bc边射出的区域长度为L
7.如图所示，边长为l的等边三角形ACD内、外分布着方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。顶点A处有一粒子源，能沿∠CAD的平分线方向发射不同速度的粒子，粒子质量均为m，电荷量均为＋q，不计粒子重力。则粒子以下列哪一速度发射时不能通过D点(　　)
A. B.
C. D.
8.(2024·襄阳高二调研)如图，半径为d的圆形区域内有磁感应强度为B的匀强磁场，磁场垂直圆所在的平面。一带电荷量为q、质量为m的带电粒子从圆周上a点对准圆心O点射入磁场，从b点射出，若α＝60°，则带电粒子射入磁场时的速度大小为(　　)
A. B.
C. D.
9.真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为(　　)
A. B.
C. D.
10.如图所示，在直角坐标系第一象限存在方向垂直纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，一个质量为m、电荷量为q的粒子从x轴上的P点射入磁场中，入射方向与x轴成θ＝60°，射入后恰好能垂直于y轴射出磁场，不计粒子重力，已知OP＝a。则(　　)
A．粒子带正电荷
B．射出点与O点距离为2a
C．若只改变θ，粒子射出点与O点最远的距离为4a
D．若只改变θ，粒子在磁场中运动时间最长为
11.(2024·云南昭通期末)如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场左、右边缘平行，磁场的宽度为d，正粒子射入磁场的速度方向与左边缘夹角为θ，已知粒子质量为m、带电荷量为q，运动到磁场右边缘时恰好相切。
(1)粒子做匀速圆周的半径是多大？
(2)粒子射入磁场的速度是多大？
12.如图所示，一足够长的矩形区域abcd内，有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。现从矩形区域ad边的中点O处垂直磁场射入一速度方向与ad边夹角为30°、大小为v的带电粒子。已知带电粒子的质量为m、电荷量为＋q，ad边长为L，重力影响忽略。试求：
(1)粒子能从ab边射出磁场的v的范围；
(2)如果带电粒子不受上述v大小范围的限制，粒子在磁场中运动的最长时间。
课时跟踪检测(六)
1.选C　粒子运动轨迹如图所示，在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得粒子做圆周运动的半径r＝，根据几何关系可得P点至O点的距离LPO＝r＋＝(1＋)。故选C。
2.选AD　由于带电粒子的电性不确定，其轨迹可能是如图所示的两种情况。由qvB＝m和T＝，得T＝。由图可知，若粒子带正电，轨迹对应的圆心角为θ1＝300°，若粒子带负电，轨迹对应的圆心角为θ2＝60°，则对应时间分别为t1＝T＝T＝，t2＝T＝T＝，选项A、D正确。
3.选C　电子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有ev0B＝m，解得R＝，分析可知，当轨迹半径很小或者轨迹半径很大时，电子均不能够到达水平板上，两个临界轨迹分别与水平板相切、恰好经过水平板两端点，如图所示，根据几何关系可知，Rmin＝，Rmax＝，解得v0min＝，v0max＝，则有4.选AB　如图所示，带电粒子刚好打在极板右边缘时，有r12＝2＋l2，又r1＝，所以v1＝；粒子刚好打在极板左边缘时，有r2＝＝，解得v2＝；欲使粒子不打在极板上，应使v＞v1或v＜v2，综合上述分析可知，A、B正确。
5.选AB　由题意可知，粒子可能的运动轨迹如图所示，所有圆弧所对的圆心角均为120°，所以粒子运动的半径为r＝·(n＝1,2，3，…)；粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，得qvB＝m，则v＝＝·(n＝1,2,3，…)，A、B正确。
6.选BD　粒子在磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，有Bqv＝，解得r＝L，如图所示，Od与ac垂直，由几何关系可知，Od＝Oacos 45°＝L，即最短弦长，对应最短时间，圆心角为60°，则最短时间为t＝T，又T＝，解得从ac边射出的粒子中在磁场中运动的最短时间为t＝，故A错误，B正确；粒子轨迹与ac相切时，交于bc边最远的e点，由几何关系可知，Oe长度为2L，则粒子能从bc边射出的区域eb的长度为eb＝Oecos 45°＝L，故C错误，D正确。
7.选C　粒子带正电，且经过D点，其可能的轨迹如图所示，所有圆弧所对的圆心角均为60°，所以粒子运动的半径为r＝(n＝1,2,3，…)；粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝m，解得v＝＝(n＝1,2,3，…)；本题要求选择不能通过D点的，故选C。
8.选B　如图所示，根据几何知识可知，粒子运动的轨迹半径为r＝d·tan 60°＝d，因为粒子受到的洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，所以粒子射入磁场时的速度大小为v＝＝，B正确。
9.选C　磁感应强度取最小值时对应的电子的运动轨迹临界状态如图所示，设电子在磁场中做圆周运动的半径为r，由几何关系得a2＋r2＝(3a－r)2，根据洛伦兹力提供向心力，有evB＝m，联立解得B＝，故选C。
10.选D　粒子受洛伦兹力做匀速圆周运动，由题知粒子垂直于y轴射出磁场，即水平向左离开，由左手定则可知，粒子带负电，故A错误；粒子的运动轨迹如图1所示，由几何关系可得sin θ＝，可得轨迹的半径为r＝2a，则射出点与O点距离为d＝r＋rcos θ＝3a，故
B错误；若只改变θ，出射点与入射点连线为轨迹圆直径时，粒子射出点离O点最远，如图2所示，则dmax＝＝a，故C错误；若只改变θ，粒子在磁场中运动时间由圆心角决定，圆心角最大时运动时间最长，则当θ＝0°时，即粒子水平向右进入磁场时运动时间最长，如图3所示，
有cos α＝＝，解得α＝30°，则最长运动时间为tmax＝·T＝·T＝，故D正确。
11.解析：(1)初速度延长线与右边缘夹角的角平分线和初速度垂线的交点即为圆心
根据几何关系r＋rcos θ＝d
解得r＝。
(2)根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝，解得v＝。
答案：(1)　(2)
12．解析：(1)当v较小时，运动轨迹恰好与ab边相切；当v较大时，运动轨迹恰好与cd边相切，然后从ab边穿出，如图所示。当速度较小为v1时，有r1＋r1sin 30°＝L，解得r1＝
又由半径公式r1＝，可得v1＝
当速度较大为v2时，由几何关系知r2＝L
又由半径公式r2＝，可得v2＝
故带电粒子在磁场中从ab边射出时，
其速度范围为(2)带电粒子在磁场中运动的周期为T＝
要使带电粒子在磁场中运动时间最长，其运动轨迹对应的圆心角应最大，所以粒子在磁场中运动一段时间后从Oa边穿出时，对应的运动时间最长，即有tmax＝T＝·＝。
答案：(1)5 / 5

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