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综合·融通(四)　带电粒子在复合场中的运动
(融会课—主题串知综合应用)
通过本节课的学习掌握带电粒子在电场、磁场中运动的特点及分析方法，根据电场知识和磁场知识分析带电粒子在组合场中的运动规律；掌握带电粒子在叠加场中的受力情况和运动情况，能正确运用物理规律解决带电粒子在叠加场中的运动问题。
主题(一)　带电粒子在组合场中的运动
[知能融会通]
1．什么是组合场
电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现。
2．分阶段运动
带电粒子可能依次通过几个情况不同的组合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成。
3．“磁偏转”和“电偏转”的比较
垂直进入磁场(磁偏转) 垂直进入电场(电偏转)
情景图
受力 FB=qv0B大小不变,方向总指向圆心,方向变化,FB为变力 FE=qE,FE大小、方向不变,为恒力
运动规律 做匀速圆周运动r=,T= 做类平抛运动vx=v0,vy=t,L=v0t,y=t2
运动时间 t=T= t=
动能 不变 变化
[典例]　如图甲所示，直角坐标系xOy中，第二象限内有沿x轴正方向的匀强电场，第一、四象限内有垂直坐标系平面的匀强交变磁场，以磁场方向垂直纸面向外为正方向。第三象限内有一发射装置(图中没有画出)，沿y轴正方向射出一个比荷＝100 C/kg的带正电的粒子(可视为质点且不计重力)，该粒子以v0＝20 m/s的速度从x轴上的点A(－2 m，0)进入第二象限，从y轴上的点C(0,4 m)(C点未画出)进入第一象限。取粒子刚进入第一象限的时刻为0时刻，第一、四象限内磁场的磁感应强度按图乙所示规律变化。
(1)求第二象限内电场的电场强度大小；
(2)求粒子第一次经过x正半轴时的位置坐标。
尝试解答：
　　/方法技巧/
带电粒子在组合场中运动问题的分析方法
[题点全练清]
1.(多选)在半导体离子注入工艺中，初速度可忽略的磷离子P＋和P3＋，经电压为U的电场加速后，垂直进入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里、有一定宽度的匀强磁场区域，如图所示。已知离子P＋在磁场中转过θ＝30°后从磁场右边界射出。在电场和磁场中运动时，离子P＋和P3＋(　　)
A．在电场中的加速度之比为1∶1
B．在磁场中运动的半径之比为∶1
C．在磁场中转过的角度之比为1∶2
D．离开电场区域时的动能之比为1∶3
2．(2024·浙江杭州期中)如图所示的坐标系中，第一象限内存在与x轴成30°角斜向下的匀强电场，电场强度E＝400 N/C；第四象限内存在垂直于纸面向里的有界匀强磁场，沿y轴负方向无限大，磁感应强度大小为B＝1×10－4 T。现有一比荷为＝2×1011 C/kg的正离子(不计重力)，以速度v0＝4×106 m/s从O点垂直磁场射入，α＝60°，离子通过磁场后刚好直接从A点射出，之后进入电场。求：
(1)离子从O点进入磁场B中做匀速圆周运动的半径R；
(2)离子进入电场后经多少时间再次到达x轴上；
(3)若离子自O点进入磁场B运动到某一特殊位置时，再加一个垂直纸面向里的同方向的匀强磁场B1使离子做一个完整的圆周运动，然后磁场再恢复到初始数值以使粒子仍能从A点射出，求所加磁场磁感应强度B1的最小值。
主题(二)　带电粒子在叠加场中的运动
[知能融会通]
1．什么是叠加场
电场、磁场、重力场叠加，或其中某两场叠加。
2．是否考虑粒子重力
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。
(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，按题目要求处理。
(3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要结合运动状态确定是否要考虑重力。
3．带电粒子在叠加场中的常见运动
静止或匀速直线运动 当带电粒子在叠加场中所受合力为零时,将处于静止状态或匀速直线运动状态
匀速圆周运动 当带电粒子所受的重力与静电力大小相等、方向相反时,带电粒子在洛伦兹力的作用下,在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动
较复杂的曲线运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化,且与初速度方向不在同一条直线上,粒子做非匀变速曲线运动,这时粒子运动轨迹既不是圆弧,也不是抛物线
[典例]　如图所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小为E＝1 N/C，同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B＝0.5 T。有一带电微粒，质量m＝1×10－7 kg，电荷量q＝＋1×10－6 C，从t＝0时刻由O点开始以速度v在第一象限的竖直面内做匀速直线运动，取g＝10 m/s2，求：
(1)微粒做匀速直线运动的速度v的大小和方向；
(2)若在t＝0.4 s时，将电场方向逆时针旋转90°，在微粒继续运动的过程中，求微粒第一次经过y轴时的坐标；
(3)若在某一时刻撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，在微粒继续运动的过程中，求微粒速度方向恰好平行于x轴正方向时微粒的动能Ek。
尝试解答：
　　/方法技巧/
带电粒子在叠加场中运动问题的分析方法
[题点全练清]
1．(2023·海南高考)如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力的说法正确的是(　　)
A．小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B．小球运动过程中的速度不变
C．小球运动过程中的加速度保持不变
D．小球受到的洛伦兹力对小球做正功
2．如图所示，一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强磁场中刚好做匀速圆周运动，其轨道半径为R。已知该电场的电场强度为E，方向竖直向下；该磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。不计空气阻力，设重力加速度为g，则(　　)
A．液滴带正电荷
B．液滴比荷＝
C．液滴沿顺时针方向运动
D．液滴运动速度大小v＝
3．(2024·安徽高考)(多选)空间中存在竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a，在纸面内做半径为R的圆周运动，轨迹如图所示。当a运动到最低点P时，瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ，二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同，并做半径为3R的圆周运动，轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g，不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用，则(　　)
A．油滴a带负电，所带电量的大小为
B．油滴a做圆周运动的速度大小为
C．小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为，周期为
D．小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动
综合·融通(四)　带电粒子在复合场中的运动
主题(一)　
[典例]　解析：(1)带电粒子在第二象限的电场中只受静电力，且静电力方向与初速度方向垂直，所以粒子做类平抛运动；
粒子从A点到C点用时t＝＝ s＝ s；
粒子在水平方向上有a＝，OA＝at2，
则有E＝a＝·＝ N/C＝1 N/C。
(2)设粒子进入磁场时的速度为v，
则其竖直分量vy＝v0＝20 m/s，
水平分量vx＝at＝t＝20 m/s；
所以v＝＝20 m/s，v与y轴正方向的夹角为45°；
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力得Bvq＝，粒子在磁场中做圆周运动的半径
R＝＝ m＝ m；
粒子做圆周运动的周期T＝＝ s，
所以由题图乙可知，粒子每运动半个圆周，偏转方向改变一次，则粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，
因为4 m＝8R，所以粒子运动第四个半圆的过程中第一次经过x轴，由几何关系可知，粒子第一、二次经过x轴，在x轴上对应的弦长为R＝1 m；
所以OD＝3 m，
则粒子第一次经过x正半轴时的位置坐标为(3 m,0)。
答案：(1)1 N/C　(2)(3 m,0)
[题点全练清]
1．选BCD　离子P＋和P3＋质量之比为1∶1，电荷量之比等于1∶3，故在电场中的加速度之比等于1∶3，A错误；离子在离开电场区域时有qU＝mv2，故离子离开电场时的动能之比等于电荷量之比，即1∶3，D正确；离子在磁场中做匀速圆周运动，有qvB＝m，得半径r＝＝ ，则半径之比为1∶＝∶1，B正确；设磁场宽度为d，由几何关系知d＝rsin θ，可知离子在磁场中转过的角度正弦值之比等于半径倒数之比，即1∶，因θ＝30°，则θ′＝60°，故转过的角度之比为1∶2，C正确。
2．解析：(1)根据qv0B＝m，得R＝
代入数据解得R＝0.2 m。
(2)离子射出磁场时与x轴夹角为α＝60°，即射入电场时速度方向与电场垂直，则离子在电场中做类平抛运动。再次到达x轴上时，根据tan 60°＝，a＝，解得t＝×10－7 s。
(3)离子在磁场中的运动轨迹如图所示，
离子在磁场中运动一半时间时加磁场B1，运动一周且轨迹与x轴相切。由几何关系可得，
2r＝R
根据qv0(B＋B1)＝m
得所加磁场磁感应强度的最小值为B1＝3×10－4 T。
答案：(1)0.2 m　(2)×10－7 s　(3)3×10－4 T
主题(二)　
[典例]　解析：(1)微粒做匀速直线运动时，受力如图甲所示
其所受的三个力在同一平面内，合力为零，则有Bqv＝
代入数据解得v＝2 m/s
速度v的方向与x轴的正方向之间的夹角满足
tan θ＝，解得θ＝45°
即速度方向斜向右上与x轴正方向成45°角。
(2)经过t＝0.4 s后，微粒运动到A点，
位移为OA＝vt＝0.8 m
即A点坐标为，此时将电场逆时针旋转90°后，有Eq＝mg
分析可知，运动到A点后微粒做匀速圆周运动，设圆周运动的半径为r，有Bqv＝，解得r＝＝0.4 m
分析可得微粒运动轨迹如图乙所示
设微粒经过y轴的交点为Q，则由几何关系可知
＝＝2r
则＝＝1.6 m
即微粒第一次经过y轴时的坐标为(0,1.6 m)。
(3)设微粒处于P点时速度恰好平行于x轴正方向，在P点速度大小为vP，
刚撤去磁场时，沿y轴正方向速度为vy＝vsin θ＝2 m/s
设运动到P点所用的时间为t，则t＝＝0.2 s
刚撤去磁场时，沿x轴正方向速度为
vx＝vcos θ＝2 m/s
沿x轴正方向加速度为ax＝＝10 m/s2
微粒到达P点时速度为vP＝vx＋axt＝4 m/s
微粒在P点处的动能为Ek＝mvP2＝8×10－7 J。
答案：(1)2 m/s，方向斜向右上与x轴正方向成45°角
(2)(0,1.6 m)　(3)8×10－7 J
[题点全练清]
1．选A　根据左手定则，可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，A正确；小球受洛伦兹力和重力作用，合力不为零且时刻变化，则小球运动过程中的速度、加速度都改变，B、C错误；洛伦兹力永不做功，D错误。
2．选C　液滴在重力场、匀强电场、匀强磁场的复合场中做匀速圆周运动，可知qE＝mg，得＝，B错误；液滴所受的静电力竖直向上，则液滴带负电荷，A错误；由左手定则可判断液滴沿顺时针方向运动，C正确；对液滴有qE＝mg，qvB＝m，解得v＝，D错误。
3．选ABD　油滴a做圆周运动，故重力与电场力平衡，可知其带负电，有mg＝Eq，解得q＝，故A正确；根据洛伦兹力提供向心力有Bqv＝m，可得R＝，解得油滴a做圆周运动的速度大小为v＝，故B正确；设小油滴Ⅰ的速度大小为v1，则有3R＝，解得v1＝＝，周期为T＝＝，故C错误；带电油滴a分离前后动量守恒，设分离后小油滴Ⅱ的速度为v2，取油滴a分离前瞬间的速度方向为正方向，由动量守恒定律得mv＝v1＋v2，解得v2＝－，由于分离后的小油滴Ⅱ受到的电场力和重力仍然平衡，且分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反，根据左手定则可知，小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动，故D正确。
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　带电粒子在复合场中的运动
　　 (融会课—主题串知综合应用)
综合 融通(四)
通过本节课的学习掌握带电粒子在电场、磁场中运动的特点及分析方法,根据电场知识和磁场知识分析带电粒子在组合场中的运动规律;掌握带电粒子在叠加场中的受力情况和运动情况,能正确运用物理规律解决带电粒子在叠加场中的运动问题。
1
主题(一)　带电粒子在组合场中的运动
2
主题(二)　带电粒子在叠加场中的运动
3
课时跟踪检测
CONTENTS
目录
主题(一)　带电粒子在组合
场中的运动
1.什么是组合场
电场与磁场各位于一定的区域内,并不重叠,或在同一区域,电场、磁场分时间段或分区域交替出现。
2.分阶段运动
带电粒子可能依次通过几个情况不同的组合场区域,其运动情况随区域发生变化,其运动过程由几种不同的运动阶段组成。
知能融会通
3.“磁偏转”和“电偏转”的比较
垂直进入磁场 (磁偏转) 垂直进入电场
(电偏转)
情景图
受力 FB=qv0B大小不变,方向总指向圆心,方向变化,FB为变力 FE=qE,FE大小、方向不变,为恒力
运动规律 做匀速圆周运动 r=,T= 做类平抛运动
vx=v0,vy=t,
L=v0t,y=t2
运动时间 t=T= t=
动能 不变 变化
续表
[典例]　如图甲所示,直角坐标系xOy中,第二象限内有沿x轴正方向的匀强电场,第一、四象限内有垂直坐标系平面的匀强交变磁场,以磁场方向垂直纸面向外为正方向。第三象限内有一发射装置(图中没有画出),沿y轴正方向射出一个比荷=100 C/kg的带正电的粒子(可视为质点且不计重力),该粒子以v0=20 m/s的速度从x轴上的点A(-2 m,0)进入第二象限,从y轴上的点C(0,4 m)(C点未画出)进入第一象限。取粒子刚进入第一象限的时刻为0时刻,第一、四象限内磁场的磁感应强度按图乙所示规律变化。
(1)求第二象限内电场的电场强度大小;
[答案] 1 N/C　
[解析]　带电粒子在第二象限的电场中只受静电力,且静电力方向与初速度方向垂直,所以粒子做类平抛运动;
粒子从A点到C点用时t== s= s;
粒子在水平方向上有a=,
OA=at2,
则有E=a=·= N/C=1 N/C。
(2)求粒子第一次经过x正半轴时的位置坐标。
[答案]　(3 m,0)
[解析]　设粒子进入磁场时的速度为v,
则其竖直分量vy=v0=20 m/s,
水平分量vx=at=t=20 m/s;
所以v==20 m/s,v与y轴正方向的夹角为45°;
粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力得Bvq=,粒子在磁场中做圆周运动的半径
R== m= m;
粒子做圆周运动的周期T== s,
所以由题图乙可知,粒子每运动半个圆周,偏转方向改变一次,则粒子在磁场中的运动轨迹如图所示,
因为4 m=8R,所以粒子运动第四个半圆的过程中第一次经过x轴,由几何关系可知,粒子第一、二次经过x轴,在x轴上对应的弦长为R=1 m;
所以OD=3 m,
则粒子第一次经过x正半轴时的位置坐标为(3 m,0)。
　/方法技巧/
带电粒子在组合场中运动问题的分析方法
1.(多选)在半导体离子注入工艺中,初速度可忽略的磷
离子P+和P3+,经电压为U的电场加速后,垂直进入磁感应强
度大小为B、方向垂直纸面向里、有一定宽度的匀强磁场
区域,如图所示。已知离子P+在磁场中转过θ=30°后从磁场右边界射出。在电场和磁场中运动时,离子P+和P3+ (　　)
题点全练清
A.在电场中的加速度之比为1∶1
B.在磁场中运动的半径之比为∶1
C.在磁场中转过的角度之比为1∶2
D.离开电场区域时的动能之比为1∶3
解析:离子P+和P3+质量之比为1∶1,电荷量之比等于1∶3,故在电场中的加速度之比等于1∶3,A错误;离子在离开电场区域时有qU=mv2,故离子离开电场时的动能之比等于电荷量之比,即1∶3,D正确;
√
√
√
离子在磁场中做匀速圆周运动,有qvB=m,得半径r==,则半径之比为1∶=∶1,B正确;设磁场宽度为d,由几何关系知d=rsin θ,可知离子在磁场中转过的角度正弦值之比等于半径倒数之比,即1∶,因θ=30°,则θ'=60°,故转过的角度之比为1∶2,C正确。
2.(2024·浙江杭州期中)如图所示的坐标系中,
第一象限内存在与x轴成30°角斜向下的匀强电场,
电场强度E=400 N/C;第四象限内存在垂直于纸面向
里的有界匀强磁场,沿y轴负方向无限大,磁感应强度大小为B=1×10-4 T。现有一比荷为=2×1011 C/kg的正离子(不计重力),以速度v0=4×106 m/s从O点垂直磁场射入,α=60°,离子通过磁场后刚好直接从A点射出,之后进入电场。求:
(1)离子从O点进入磁场B中做匀速圆周运动的半径R;
答案:0.2 m　
解析:根据qv0B=m,得R=
代入数据解得R=0.2 m。
(2)离子进入电场后经多少时间再次到达x轴上;
答案:×10-7 s　
解析:离子射出磁场时与x轴夹角为α=60°,即射入电场时速度方向与电场垂直,则离子在电场中做类平抛运动。再次到达x轴上时,根据tan 60°=,a=,解得t=×10-7 s。
(3)若离子自O点进入磁场B运动到某一特殊位置时,再加一个垂直纸面向里的同方向的匀强磁场B1使离子做一个完整的圆周运动,然后磁场再恢复到初始数值以使粒子仍能从A点射出,求所加磁场磁感应强度B1的最小值。
答案:3×10-4 T
解析:离子在磁场中的运动轨迹如图所示,
离子在磁场中运动一半时间时加磁场B1,
运动一周且轨迹与x轴相切。由几何关系可得,
2r=R
根据qv0(B+B1)=m
得所加磁场磁感应强度的最小值为B1=3×10-4 T。
主题(二)　带电粒子在叠加
场中的运动
1.什么是叠加场
电场、磁场、重力场叠加,或其中某两场叠加。
2.是否考虑粒子重力
(1)对于微观粒子,如电子、质子、离子等,因为其重力一般情况下与静电力或磁场力相比太小,可以忽略;而对于一些实际物体,如带电小球、液滴、尘埃等一般应当考虑其重力。
知能融会通
(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的,按题目要求处理。
(3)不能直接判断是否要考虑重力的,在进行受力分析与运动分析时,要结合运动状态确定是否要考虑重力。
3.带电粒子在叠加场中的常见运动
静止或匀速 直线运动 当带电粒子在叠加场中所受合力为零时,将处于静止状态或匀速直线运动状态
匀速圆周运动 当带电粒子所受的重力与静电力大小相等、方向相反时,带电粒子在洛伦兹力的作用下,在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动
较复杂的 曲线运动 当带电粒子所受合力的大小和方向均变化,且与初速度方向不在同一条直线上,粒子做非匀变速曲线运动,这时粒子运动轨迹既不是圆弧,也不是抛物线
[典例]　如图所示,空间中存在着水平向右的匀强
电场,电场强度大小为E=1 N/C,同时存在着水平方向
的匀强磁场,其方向与电场方向垂直,磁感应强度大小
B=0.5 T。有一带电微粒,质量m=1×10-7 kg,电荷量q=+1×10-6 C,从t=0时刻由O点开始以速度v在第一象限的竖直面内做匀速直线运动,取g=10 m/s2,求:
(1)微粒做匀速直线运动的速度v的大小和方向;
[答案]　2 m/s,方向斜向右上与x轴正方向成45°角　
[解析]　微粒做匀速直线运动时,受力如图甲所示
其所受的三个力在同一平面内,合力为零,
则有Bqv=
代入数据解得v=2 m/s
速度v的方向与x轴的正方向之间的夹角满足tan θ=
解得θ=45°
即速度方向斜向右上与x轴正方向成45°角。
(2)若在t=0.4 s时,将电场方向逆时针旋转90°,在微粒继续运动的过程中,求微粒第一次经过y轴时的坐标;
[答案]　(0,1.6 m)　
[解析]　经过t=0.4 s后,微粒运动到A点,位移为OA=vt=0.8 m
即A点坐标为,此时将电场逆时针旋转90°后,有Eq=mg
分析可知,运动到A点后微粒做匀速圆周运动,设圆周运动的半径为r,有Bqv=
解得r==0.4 m
分析可得微粒运动轨迹如图乙所示
设微粒经过y轴的交点为Q,则由几何
关系可知==2r
则==1.6 m
即微粒第一次经过y轴时的坐标为(0,1.6 m)。
(3)若在某一时刻撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象),在微粒继续运动的过程中,求微粒速度方向恰好平行于x轴正方向时微粒的动能Ek。
[答案]　8×10-7 J
[解析]　设微粒处于P点时速度恰好平行于x轴正方向,在P点速度大小为vP,
刚撤去磁场时,沿y轴正方向速度为vy=vsin θ=2 m/s
设运动到P点所用的时间为t,则t==0.2 s
刚撤去磁场时,沿x轴正方向速度为
vx=vcos θ=2 m/s
沿x轴正方向加速度为ax==10 m/s2
微粒到达P点时速度为vP=vx+axt=4 m/s
微粒在P点处的动能为Ek=m=8×10-7 J。
　/方法技巧/
带电粒子在叠加场中运动问题的分析方法
1.(2023·海南高考)如图所示,带正电的小球竖直向下射
入垂直纸面向里的匀强磁场,关于小球运动和受力的说法
正确的是 (　　)
A.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B.小球运动过程中的速度不变
C.小球运动过程中的加速度保持不变
D.小球受到的洛伦兹力对小球做正功
题点全练清
√
解析:根据左手定则,可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右,A正确;小球受洛伦兹力和重力作用,合力不为零且时刻变化,则小球运动过程中的速度、加速度都改变,B、C错误;洛伦兹力永不做功,D错误。
2.如图所示,一带电液滴在相互垂直的匀强电场和匀强
磁场中刚好做匀速圆周运动,其轨道半径为R。已知该电场
的电场强度为E,方向竖直向下;该磁场的磁感应强度为B,方
向垂直纸面向里。不计空气阻力,设重力加速度为g,则 (　　)
A.液滴带正电荷 B.液滴比荷=
C.液滴沿顺时针方向运动 D.液滴运动速度大小v=
√
解析:液滴在重力场、匀强电场、匀强磁场的复合场中做匀速圆周运动,可知qE=mg,得=,B错误;液滴所受的静电力竖直向上,则液滴带负电荷,A错误;由左手定则可判断液滴沿顺时针方向运动,C正确;对液滴有qE=mg,qvB=m,解得v=,D错误。
3.(2024·安徽高考)(多选)空间中存在竖直向下的
匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场,电场强度大小
为E,磁感应强度大小为B。一质量为m的带电油滴a,在
纸面内做半径为R的圆周运动,轨迹如图所示。当a运动到最低点P时,瞬间分成两个小油滴Ⅰ、Ⅱ,二者带电量、质量均相同。Ⅰ在P点时与a的速度方向相同,并做半径为3R的圆周运动,轨迹如图所示。Ⅱ的轨迹未画出。已知重力加速度大小为g,不计空气浮力与阻力以及Ⅰ、Ⅱ分开后的相互作用,则 (　　)
A.油滴a带负电,所带电量的大小为
B.油滴a做圆周运动的速度大小为
C.小油滴Ⅰ做圆周运动的速度大小为,周期为
D.小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动
√
√
√
解析:油滴a做圆周运动,故重力与电场力平衡,可知其带负电,有mg=Eq,解得q=,故A正确;根据洛伦兹力提供向心力有Bqv=m,可得R=,解得油滴a做圆周运动的速度大小为v=,故B正确;设小油滴Ⅰ的速度大小为v1,则有3R=,解得v1==,周期为T==,故C错误;
带电油滴a分离前后动量守恒,设分离后小油滴Ⅱ的速度为v2,取油滴a分离前瞬间的速度方向为正方向,由动量守恒定律得mv=v1+v2,解得v2=-,由于分离后的小油滴Ⅱ受到的电场力和重力仍然平衡,且分离后小油滴Ⅱ的速度方向与正方向相反,根据左手定则可知,小油滴Ⅱ沿顺时针方向做圆周运动,故D正确。
课时跟踪检测
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1.(2024·天津期末)一带电粒子在匀强磁场、匀强电场、重力场的复合场区域内运动,对于粒子的运动性质,下列说法正确的是 (　　)
A.粒子在复合场区域受力一定不平衡
B.粒子可能做匀变速直线运动
C.若粒子做曲线运动,则一定是匀速圆周运动
D.若粒子做直线运动,则一定是匀速直线运动
√
6
7
解析:粒子在复合场区域受到重力、电场力和洛伦兹力(若粒子运动方向与磁场方向共线,则不受洛伦兹力)共同作用,可能受力平衡,故A错误;若粒子的运动方向与磁场方向平行,则不受洛伦兹力,且若电场力和重力的合力方向与运动方向共线,则粒子做匀变速直线运动,故B正确,D错误;若粒子运动方向与重力、电场力和洛伦兹力的合力方向不共线,则会做曲线运动,不一定是匀速圆周运动,故C错误。
1
2
3
4
5
1
5
6
7
2.(2024·湖北高考)如图所示,在以O点为圆心、半径
为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应
强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范
围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力,下列说法正确的是 (　　)
2
3
4
1
5
6
7
A.粒子的运动轨迹可能经过O点
B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短,粒子运动的速度大小为
2
3
4
√
1
5
6
7
解析:在圆形匀强磁场区域内,沿着半径方向射入的粒子,总是沿着半径方向射出,根据圆的特点可知粒子的运动轨迹不可能经过O点,故A、B错误;若粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域用时最短,则根据对称性可知粒子运动轨迹如图甲所示,
2
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5
6
7
则最短时间t=2T=,故C错误;若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短,则粒子运动轨迹如图乙所示,设粒子在磁场中运动的半径为r,根据几何关系可知r=,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,可得v=,故D正确。
2
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1
5
6
7
3.(2023·新课标卷)一电子和一α粒子从铅盒上的小孔O竖直向上射出后,打到铅盒上方水平放置的屏幕P上的a和b两点,a点在小孔O的正上方,b点在a点的右侧,如图所示。已知α粒子的速度约为电子速度的,铅盒与屏幕之间存在匀强电场和匀强磁场,则电场和磁场方向可能为(　 )
A.电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向里
B.电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向外
C.电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向里
D.电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向外
2
3
4
√
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5
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7
解析:带电粒子在电场和磁场中运动,打到a点的粒子所受电场力和洛伦兹力平衡,当电场水平向左、磁场垂直纸面向里时,α粒子受到水平向左的电场力和洛伦兹力,电子受到水平向右的电场力和洛伦兹力,均不能满足受力平衡打到a点,A错误;同理可知,D错误。电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向外时,此时如果α粒子打在a点,则受到水平向左的电场力和水平向右的洛伦兹力平衡,qE=qvB,则电子受到水平向左的洛伦兹力大于水平向右的电场力,向左偏转,同理如果电子打在a点,则α粒子受到水平向左的电场力大于水平向右的洛伦兹力,向左偏转,均不会打在b点,B错误;同理可知,C正确。
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4.(多选)如图所示的xOy坐标系中,y轴左侧存在电场
强度为E的匀强电场,电场方向平行于x轴,y轴右侧存在
垂直坐标系所在平面向外的匀强磁场。一个比荷为k的
带正电的粒子从x轴上的M点以某一初速度平行于y轴向上运动,经电场偏转后从y轴上的P点进入磁场,进入磁场时速度方向与y轴正方向成θ=60°角,粒子经磁场偏转后打到坐标原点O上。已知M点到O点的距离为L,不计粒子的重力,下列说法正确的是 (　　)
2
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1
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7
A.P与O的距离为L
B.粒子轨迹半径为L
C.粒子初速度大小为
D.磁场的磁感应强度大小为
2
3
4
√
√
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5
6
7
解析:粒子的运动轨迹如图所示,根据类平抛运动推论
有=tan 60°,解得P与O的距离s=L,A错误;由几何关系
得s=2Rsin 60°,解得R=L,B错误;根据L=at2,at=v0tan 60°,Eq=ma,=k,联立解得v0==,C正确;粒子在P点的合速度v==2v0,由R=L=,解得B=,D正确。
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7
5.(2024·福建福州期末)在如图所示的直角坐标系xOy中,
第一象限内有沿y轴正方向的匀强电场,场强大小为E=。
在第四象限部分区域内存在垂直于纸面向里的有界矩形匀强磁场(磁场边界未知)。一质量为m、电荷量为q的带负电的粒子从y轴上的M(0,l)点以大小为v0的初速度沿x轴正方向射入电场,并从x轴上的N点进入有界矩形磁场区域,粒子经磁场偏转后飞出磁场区域,再运动一段时间后,从O点以速度与x轴正方向成135°斜向左上方射出第四象限。不计粒子自身重力,求:
2
3
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1
5
6
7
(1)ON的长度;
答案:2l　
解析:粒子在电场中做类平抛运动,沿y轴方向有l=at2,其中a=
沿x轴方向有xON=v0t,解得xON=2l。
2
3
4
1
5
6
7
(2)粒子到达N点时的速度v的大小与方向;
答案:v0,与x轴正方向成45°角斜向右下　
解析:粒子到达N点时的水平分速度大小为v0,竖直分速度大小为vy
在竖直方向vy=at,解得vy=v0
则粒子到达N点时的速度大小为v==v0,tan θ==1
解得θ=45° 则速度方向与x轴正方向成45°角斜向右下。
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4
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5
6
7
(3)有界矩形磁场的最小面积。
答案:l2
解析:粒子从N点进入磁场后做圆周运动的轨迹如图所示,由几何关系可知2lsin 45°=2R
粒子做圆周运动的半径R=l
如图所示,矩形磁场最小面积S=R×2R,解得S=l2。
2
3
4
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5
6
7
6.(2024·山西运城期末)如图所示,平面直角坐标系
xOy在竖直平面内,在第二象限存在水平方向的匀强磁
场(垂直纸面向内)和竖直向上的匀强电场,电场强度大小为E1=。在第一象限有一条直线OA,OA与x轴正方向的夹角为30°,在yOA区域内存在水平方向大小为B2的匀强磁场(垂直纸面向外)和竖直向上的匀强电场,电场强度大小为E2=。一质量为m、带电荷量为q的带正电微粒从第二象限的某点C开始以沿x轴正方向的初速度v0做匀速直线运动,之后从D点(未画出)进入yOA区域内运动,一段时间后从OA上某点垂直OA进入AOx区域。重力加速度为g,求:
2
3
4
1
5
6
7
(1)第二象限的匀强磁场的磁感应强度B1的大小;
答案:　
解析:微粒在第二象限内做匀速直线运动,则有qv0B1+qE1=mg,解得B1=。
2
3
4
1
5
6
7
(2)微粒在yOA区域内运动的时间t;
答案:　
解析:微粒在yOA区域内运动时qE2=mg
所以微粒在yOA区域内做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,则有
qv0B2=m,解得R=
圆周运动的周期T=,解得T=
2
3
4
1
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7
由几何关系可知,微粒在yOA区域内做匀速圆周运动的圆心在坐标原点O,圆心角θ=60°,由t=T
可知微粒在yOA区域内运动的时间为t=。
2
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4
1
5
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7
(3)微粒运动到x轴上时动能的大小Ek。
答案:+m
解析:微粒进入AOx区域后,根据动能定理有mgRsin 30°=Ek-m
解得微粒运动到x轴上时动能的大小为Ek=+m。
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1
5
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7
7.(2024·湖北荆州期末)如图所示,竖直虚线的
左侧存在电场强度大小为E、方向竖直向上的匀
强电场,在虚线的右侧存在电场强度大小为E、方向竖直向上的匀强电场与磁感应强度大小为B、方向水平向外的匀强磁场。电荷量为q的带正电小球从虚线左侧的A点以水平向右的速度v抛出,经过虚线上的D点时速度与虚线的夹角为30°,小球在虚线的右侧正好做匀速圆周运动,到达C点时速度正好水平向左,重力加速度大小为g,求:
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(1)小球的质量m;
答案:　
解析:小球在虚线右侧做圆周运动,
有qE=mg,故m=。
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7
(2)小球从A到C的运动时间;
答案:+　
解析:由(1)可知qE=3mg
故小球在虚线左侧竖直方向做初速度为0、加速度为2g的匀加速直线运动,水平方向做匀速直线运动。由经过D点时速度方向与虚线的夹角为30°可知,在D点的速度、水平方向的分速度、竖直方向的分速度大小分别为vD=2v、vx=v、vy=v
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7
从A到D的运动时间为t1=
由几何关系得,从D到C转过的圆心角为,运动时间为t2=T==
故从A到C的总时间为t总=t1+t2=+。
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7
(3)若B=,当小球离开磁场时,虚线左侧的电场方向变为水平向左,大小变为E1,小球刚好能回到A点,求E1的大小。
答案:
解析:AD之间竖直方向的距离为yAD===,小球离开磁场时的位置相对D点沿竖直方向向下移动了一个小球做圆周运动的半径R,半径的大小为R===
2
3
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1
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7
故从离开磁场至回到A点竖直方向上的位移为y=R-yAD=
小球再次回到左侧区域后,竖直方向只受重力,在竖直方向做初速度为v、加速度为g的匀减速直线运动,设离开磁场后运动t时间回到A点,有y=vt-gt2,解得t=
2
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7
从离开磁场至回到A点水平方向的位移
x=xAD=vt1=
小球再次回到左侧区域后,水平方向只受电场力,水平方向上做初速度为v、加速度为的匀加速直线运动,有x=vt+·t2
解得E1=。
2
3
4课时跟踪检测(八)　带电粒子在复合场中的运动
1．(2024·天津期末)一带电粒子在匀强磁场、匀强电场、重力场的复合场区域内运动，对于粒子的运动性质，下列说法正确的是(　　)
A．粒子在复合场区域受力一定不平衡
B．粒子可能做匀变速直线运动
C．若粒子做曲线运动，则一定是匀速圆周运动
D．若粒子做直线运动，则一定是匀速直线运动
2．(2024·湖北高考)如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列说法正确的是(　　)
A．粒子的运动轨迹可能经过O点
B．粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C．粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D．若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为
3．(2023·新课标卷)一电子和一α粒子从铅盒上的小孔O竖直向上射出后，打到铅盒上方水平放置的屏幕P上的a和b两点，a点在小孔O的正上方，b点在a点的右侧，如图所示。已知α粒子的速度约为电子速度的，铅盒与屏幕之间存在匀强电场和匀强磁场，则电场和磁场方向可能为(　　)
A．电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向里
B．电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向外
C．电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向里
D．电场方向水平向右、磁场方向垂直纸面向外
4.(多选)如图所示的xOy坐标系中，y轴左侧存在电场强度为E的匀强电场，电场方向平行于x轴，y轴右侧存在垂直坐标系所在平面向外的匀强磁场。一个比荷为k的带正电的粒子从x轴上的M点以某一初速度平行于y轴向上运动，经电场偏转后从y轴上的P点进入磁场，进入磁场时速度方向与y轴正方向成θ＝60°角，粒子经磁场偏转后打到坐标原点O上。已知M点到O点的距离为L，不计粒子的重力，下列说法正确的是(　　)
A．P与O的距离为L
B．粒子轨迹半径为L
C．粒子初速度大小为
D．磁场的磁感应强度大小为
5．(2024·福建福州期末)在如图所示的直角坐标系xOy中，第一象限内有沿y轴正方向的匀强电场，场强大小为E＝。在第四象限部分区域内存在垂直于纸面向里的有界矩形匀强磁场(磁场边界未知)。一质量为m、
电荷量为q的带负电的粒子从y轴上的M(0，l)点以大小为v0的初速度沿x轴正方向射入电场，并从x轴上的N点进入有界矩形磁场区域，粒子经磁场偏转后飞出磁场区域，再运动一段时间后，从O点以速度与x轴正方向成135°斜向左上方射出第四象限。不计粒子自身重力，求：
(1)ON的长度；
(2)粒子到达N点时的速度v的大小与方向；
(3)有界矩形磁场的最小面积。
6.(2024·山西运城期末)如图所示，平面直角坐标系xOy在竖直平面内，在第二象限存在水平方向的匀强磁场(垂直纸面向内)和竖直向上的匀强电场，电场强度大小为E1＝。在第一象限有一条直线OA，
OA与x轴正方向的夹角为30°，在yOA区域内存在水平方向大小为B2的匀强磁场(垂直纸面向外)和竖直向上的匀强电场，电场强度大小为E2＝。一质量为m、带电荷量为q的带正电微粒从第二象限的某点C开始以沿x轴正方向的初速度v0做匀速直线运动，之后从D点(未画出)进入yOA区域内运动，一段时间后从OA上某点垂直OA进入AOx区域。重力加速度为g，求：
(1)第二象限的匀强磁场的磁感应强度B1的大小；
(2)微粒在yOA区域内运动的时间t；
(3)微粒运动到x轴上时动能的大小Ek。
7．(2024·湖北荆州期末)如图所示，竖直虚线的左侧存在电场强度大小为E、方向竖直向上的匀强电场，在虚线的右侧存在电场强度大小为E、方向竖直向上的匀强电场与磁感应强度大小为B、方向水平向外的匀强磁场。电荷量为q的带正电小球从虚线左侧的A点以水平向右的速度v抛出，经过虚线上的D点时速度与虚线的夹角为30°，小球在虚线的右侧正好做匀速圆周运动，到达C点时速度正好水平向左，重力加速度大小为g，求：
(1)小球的质量m；
(2)小球从A到C的运动时间；
(3)若B＝，当小球离开磁场时，虚线左侧的电场方向变为水平向左，大小变为E1，小球刚好能回到A点，求E1的大小。
课时跟踪检测(八)
1．选B　粒子在复合场区域受到重力、电场力和洛伦兹力(若粒子运动方向与磁场方向共线，则不受洛伦兹力)共同作用，可能受力平衡，故A错误；若粒子的运动方向与磁场方向平行，则不受洛伦兹力，且若电场力和重力的合力方向与运动方向共线，则粒子做匀变速直线运动，故B正确，D错误；若粒子运动方向与重力、电场力和洛伦兹力的合力方向不共线，则会做曲线运动，不一定是匀速圆周运动，故C错误。
2．选D　在圆形匀强磁场区域内，沿着半径方向射入的粒子，总是沿着半径方向射出，根据圆的特点可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，故A、B错误；若粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域用时最短，则根据对称性可知粒子运动轨迹如图甲所示，则最短时间t＝2T＝，故C错误；若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，则粒子运动轨迹如图乙所示，设粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系可知
r＝，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得v＝，故D正确。
3．选C　带电粒子在电场和磁场中运动，打到a点的粒子所受电场力和洛伦兹力平衡，当电场水平向左、磁场垂直纸面向里时，α粒子受到水平向左的电场力和洛伦兹力，电子受到水平向右的电场力和洛伦兹力，均不能满足受力平衡打到a点，A错误；同理可知，D错误。电场方向水平向左、磁场方向垂直纸面向外时，此时如果α粒子打在a点，则受到水平向左的电场力和水平向右的洛伦兹力平衡，qE＝qvB，则电子受到水平向左的洛伦兹力大于水平向右的电场力，向左偏转，同理如果电子打在a点，则α粒子受到水平向左的电场力大于水平向右的洛伦兹力，向左偏转，均不会打在b点，B错误；同理可知，C正确。
4.选CD　粒子的运动轨迹如图所示，根据类平抛运动推论有＝tan 60°，解得P与O的距离s＝L，A错误；由几何关系得s＝2Rsin 60°，解得R＝L，B错误；根据L＝at2，at＝v0tan 60°，Eq＝ma，＝k，联立解得v0＝＝，C正确；粒子在P点的合速度v＝＝2v0，由R＝L＝，解得B＝，D正确。
5．解析：(1)粒子在电场中做类平抛运动，沿y轴方向有l＝at2，其中a＝
沿x轴方向有xON＝v0t
解得xON＝2l。
(2)粒子到达N点时的水平分速度大小为v0，竖直分速度大小为vy
在竖直方向vy＝at
解得vy＝v0
则粒子到达N点时的速度大小为
v＝＝v0，tan θ＝＝1
解得θ＝45°
则速度方向与x轴正方向成45°角斜向右下。
(3)粒子从N点进入磁场后做圆周运动的轨迹如图所示，由几何关系可知
2lsin 45°＝2R
粒子做圆周运动的半径R＝l
如图所示，矩形磁场最小面积S＝R×2R
解得S＝l2。
答案：(1)2l　(2)v0，与x轴正方向成45°角斜向右下　(3)l2
6．解析：(1)微粒在第二象限内做匀速直线运动，
则有qv0B1＋qE1＝mg
解得B1＝。
(2)微粒在yOA区域内运动时
qE2＝mg
所以微粒在yOA区域内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，则有qv0B2＝m，解得R＝
圆周运动的周期T＝，解得T＝
由几何关系可知，微粒在yOA区域内做匀速圆周运动的圆心在坐标原点O，圆心角θ＝60°，由t＝T
可知微粒在yOA区域内运动的时间为t＝。
(3)微粒进入AOx区域后，
根据动能定理有mgRsin 30°＝Ek－mv02
解得微粒运动到x轴上时动能的大小为Ek＝＋mv02。
答案：(1)　(2)　(3)＋mv02
7．解析：(1)小球在虚线右侧做圆周运动，
有qE＝mg，故m＝。
(2)由(1)可知qE＝3mg
故小球在虚线左侧竖直方向做初速度为0、加速度为2g的匀加速直线运动，水平方向做匀速直线运动。由经过D点时速度方向与虚线的夹角为30°可知，在D点的速度、水平方向的分速度、竖直方向的分速度大小分别为vD＝2v、vx＝v、vy＝v
从A到D的运动时间为t1＝
由几何关系得，从D到C转过的圆心角为，运动时间为t2＝T＝＝
故从A到C的总时间为t总＝t1＋t2＝＋。
(3)AD之间竖直方向的距离为yAD＝＝＝，小球离开磁场时的位置相对D点沿竖直方向向下移动了一个小球做圆周运动的半径R，半径的大小为R＝＝＝
故从离开磁场至回到A点竖直方向上的位移为
y＝R－yAD＝
小球再次回到左侧区域后，竖直方向只受重力，在竖直方向做初速度为v、加速度为g的匀减速直线运动，设离开磁场后运动t时间回到A点，有y＝vt－gt2
解得t＝
从离开磁场至回到A点水平方向的位移
x＝xAD＝vt1＝
小球再次回到左侧区域后，水平方向只受电场力，水平方向上做初速度为v、加速度为的匀加速直线运动，
有x＝vt＋·t2
解得E1＝。
答案：(1)　(2)＋　(3)
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