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第六章 几何图形初步
6.3 角
6.3.3 余角和补角
1.了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题.
2. 了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些简单的实际问题.
如图坝底是由石块堆积而成，要测出∠1的度数，你有什么简单的方法吗？
要解决这问题，我们先来学习余角和补角.
1
如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ).
2
余角和补角的概念
学生活动一 【一起探究】
如图，可以说∠1 是∠2 的余角，
或∠2 是∠1的余角，或∠1和∠2互余.
图中给出的各角，哪些互为余角？
15o
24o
66o
75o
46.2o
43.8o
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ).
如图，可以说∠3 是∠4 的补角，或∠4是∠3 的补角，或∠3 和∠4 互补.
4
3
图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
例1 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，
求这个角的度数.
素养考点 1
利用余角、补角的概念求角的度数
解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180 –x )°，
余角是 ( 90 –x )° .
根据题意，得180 –x = 4 ( 90 –x ) .
解得 x = 60.
答：这个角的度数是 60 °.
已知 ∠A 与∠B 互余，且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多30°，求∠B的度数.
解：设∠B的度数为x°，则 ∠A 的度数为 (3x+30)°. 根据题意得：
x + ( 3x+30 ) = 90.
解得 x=15.
故 ∠B 的度数为15°.
例2 如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．
O
D
A
B
C
N
M
素养考点 2
余角、补角、角平分线相结合的题目
所以
解得x=50°，则180°–x =130°.
即∠AOB=50°，∠AOC=130°.
所以∠AOM= ， ∠AON= .
解：设∠AOB=x，
因为∠AOC与∠AOB互补，
则∠AOC=180°–x．
因为OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，
O
D
A
B
C
N
M
如图，AB是一条直线，OC是一条射线，
∠AOC＝2∠AOF，∠BOC＝2∠BOE.
(1)∠1与∠2互余吗？
解：互余.
因为 ∠AOC＝2∠AOF，∠BOC＝2∠BOE,
所以 ∠AOF= ∠ FOC= ∠AOC, ∠BOE= ∠ COE = ∠BOC.
所以∠1+ ∠2 = (∠AOC+ ∠BOC） = 180°=90°.
所以∠1与 ∠2 互余.
(2)指出图中所有互余和互补的角．
解：互余的角：∠1与∠2；∠1与∠BOE；
∠2与∠AOF；∠BOE与∠AOF.
互补的角：∠BOE与∠AOE；∠2与∠AOE；∠AOF与∠BOF；∠1与∠BOF；∠AOC与∠BOC.
∠α ∠α的余角 ∠α的补角
5°
32°
45°
77°
62°23′
x°(0＜x＜90)
27°37′
117°37′
85°
175°
58°
148°
45°
135°
103°
13°
(90–x)°
(180–x)°
观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_____.
90°
想一想
∠1 与∠2， ∠1 与∠3都互为补角，
∠2 与∠3 的大小有什么关系？
思考：
1
2
3
∠2=180°–∠1
∠3=180°–∠1
=
余角和补角的性质
学生活动二 【一起探究】
同角 (等角) 的补角相等.
结论：
同角 (等角) 的余角相等.
类似地，可以得到：
素养考点
余角和补角的识别
例 如图，点A，O，B在同一直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
图中哪些角互为余角？
O
A
B
C
D
E
解：因为点A，O，B在同一直线上，
所以∠AOC和∠BOC 互为补角.
O
A
B
C
D
E
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，
所以∠COD+∠COE = ∠AOC+ ∠BOC
= (∠AOC+∠BOC ) = 90°.
所以∠COD和∠COE互为余角，
同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.
如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）∠AOD的余角是_______________，
∠COD的余角是________________;
∠COE、∠BOE
∠COE、∠BOE
O
A
B
C
D
E
如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
O
A
B
C
D
E
解：OE平分∠BOC，理由如下：
因为∠DOE=90°，所以∠AOD+∠BOE=90°，
所以∠COD+∠COE=90°，
所以∠AOD+∠BOE=∠COD+∠COE，
因为OD平分∠AOC,所以∠AOD=∠COD，
所以∠COE=∠BOE，所以OE平分∠BOC．
1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（ 　 ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
A
2.下列说法正确的是（ 　 ）
A．一个角的补角一定大于它本身
B．一个角的余角一定小于它本身
C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角
D．一个角的余角一定小于其补角
D
3.如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是 （　　）
A．图① B．图② C．图③ D．图④
4.∠α=35°，则∠α的补角为______度．
145
A
5. 如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.
(1) 图中有哪几对互余的角？
(2) 图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
答案：∠A+∠B=90°，
∠A+∠2=90°，
∠1+∠B=90°，
∠1+∠2=90°.
答案：∠B=∠2,
∠A=∠1.
( 同角的余角相等 )
( 同角的余角相等 )
A
C
D
1
2
B
6.一个角的补角是它的3倍,这个角是多少度
解:
180 – x=3x
解得:x = 45
答: 这个角是45°.
则它的补角为(180°– x°),
得:
设这个角为x°,
互余 互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
同角或等角的
补角相等
同角或等角的
余角相等
∠1+∠2=90°
∠1+∠2=180°
∠1=90°-∠2
∠1=180°-∠2

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