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综合·融通(二)　电磁感应中的电路及图像问题
(融会课—主题串知综合应用)
电磁感应中的电路及图像问题是高考试题中的高频考点，通过本节课的学习要掌握楞次定律、右手定则、法拉第电磁感应定律的应用；综合应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决图像问题。
主题(一)　电磁感应中的电路问题
[知能融会通]
处理电磁感应中电路问题的一般思路
(1)明确哪部分电路或导体产生感应电动势，该部分电路或导体就相当于电源，其他部分是外电路。
(2)画等效电路图，分清内、外电路。
(3)用法拉第电磁感应定律E＝n或E＝Blv确定感应电动势的大小，用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向。在等效电源内部，电流方向从负极指向正极。
(4)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率、电热等公式联立求解。
[典例]　(2024·四川广安期末)如图所示，间距为L＝1.5 m的光滑平行金属导轨固定在水平地面上，现垂直导轨放置一个有效电阻为r＝1 Ω的直导体棒，在导轨的两端分别连接两个电阻，阻值分别为R1＝3 Ω、R2＝6 Ω，其他电阻不计，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度B＝0.1 T。当直导体棒在导轨上以v＝6 m/s的速度向右匀速运动时，求：
(1)流过R1和R2的电流大小；
(2)导体棒克服安培力做功的瞬时功率。
尝试解答：
/方法技巧/
1．“电源”的确定方法：“切割”磁感线的导体(或磁通量发生变化的线圈)相当于“电源”，该部分导体(或线圈)的电阻相当于“内阻”。
2．电流的流向：在“电源”内部电流从负极流向正极，在“电源”外部电流从正极流向负极。
[题点全练清]
1．(2024·天津期末)如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，用外力拉动金属杆MN在平行金属导轨上向右以速度v0匀速滑动，金属导轨电阻不计，金属杆的电阻为2R、长度为L，ab间电阻为R，则(　　)
A．通过电阻R的电流方向为b→a
B．外力与速度方向同向且大小为BLv0
C．MN两端的电势差为
D．金属杆所受安培力大小时刻发生改变
2．(2024·山东东营期末)(多选)如图所示，半径为L的导电圆环(电阻不计)绕垂直于圆环平面、通过圆心O的金属轴以角速度ω逆时针匀速转动。圆环上接有电阻均为r的三根金属辐条OA、OB、OC，辐条互成120°角。在圆环圆心角∠MON＝120°的范围内(两条虚线之间)分布着垂直圆环平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，圆环的边缘通过电刷P和导线与一个阻值也为r的定值电阻R0相连，定值电阻R0的另一端通过导线接在圆环的中心轴上。在圆环匀速转动过程中，下列说法中正确的是(　　)
A．通过定值电阻R0的电流为
B．定值电阻R0两端的电压为BL2ω
C．圆环转动一周，定值电阻R0产生的热量为
D．金属辐条OA、OB、OC进出磁场前后，辐条中电流的大小不变，方向改变
主题(二)　电磁感应中的电荷量问题
[知能融会通]
闭合回路中磁通量发生变化时，电荷发生定向移动而形成感应电流，在Δt时间内迁移的电荷量(感应电荷量)q＝I·Δt＝·Δt＝n··Δt＝。
从上式可知，线圈匝数一定时，感应电荷量仅由回路电阻和磁通量的变化量决定，与时间无关。
[典例]　如图所示，用粗细相同的铜丝做成边长分别为d和2d的单匝闭合线框a和b，以相同的速度将线框从磁感应强度为B的匀强磁场区域中匀速地拉到磁场外。若此过程中流过两线框的电荷量分别为Qa、Qb，则Qa∶Qb为(　　)
A．1∶4 B．1∶2
C．1∶1 D．不能确定
听课记录：
[题点全练清]
1.如图所示，一匝数为N、面积为S、总电阻为R的圆形线圈，放在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直于线圈平面。当线圈由原位置翻转180°，此过程中通过线圈导线横截面的电荷量为(　　)
A. B.
C. D.
2．如图所示，空间存在垂直于纸面的匀强磁场，在半径为a的圆形区域内部及外部，磁场方向相反，磁感应强度的大小均为B。一半径为b(b＞a)、电阻为R的圆形导线环放置在纸面内，其圆心与圆形区域的中心重合。当内、外磁场同时由B均匀地减小到零的过程中，通过导线环横截面的电荷量为(　　)
A. B.
C. D.
主题(三)　电磁感应中的图像问题
[知能融会通]
1．电磁感应中的图像问题
图像类型 (1)磁感应强度B、磁通量Φ、感应电动势E和感应电流I随时间t变化的图像,即B-t图像、Φ-t图像、E-t图像和I-t图像。(2)对于切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况,还常涉及感应电动势E和感应电流I随导体位移x变化的图像,即E-x图像和I-x图像
问题类型 (1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图像。(2)由给定的有关图像分析电磁感应过程,求解相应的物理量
应用知识 左手定则、右手定则、安培定则、楞次定律、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律、相关数学知识等
2.解决此类问题的一般步骤
[典例]　(2024·湖南邵阳期末)如图所示，abcd是一个由粗细均匀的同种材料制成、边长为l的正方形闭合线框，以恒定的速度v沿x轴正方向在纸面内运动，并穿过一宽度为2l、方向垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场区域，线框ab边距磁场左边界为l时开始计时。下列选项分别为线框受到的安培力F(以x轴正方向为正)、ab两点间的电势差Uab、线框中的感应电流i(以顺时针方向为正)及线框的焦耳热Q随时间t的变化图像，其中可能正确的是(　　)
听课记录：
/方法技巧/
求解图像类选择题的两种常用方法
(1)排除法：定性分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化情况(变化快慢及均匀变化还是非均匀变化)，特别是分析物理量的正负，以排除错误的选项。
(2)函数法：根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，然后由函数关系对图像进行分析和判断。
[题点全练清]
1．(2024·陕西咸阳期末)(多选)如图甲所示，一个匝数n＝100匝的圆形导体线圈，面积S1＝0.4 m2，电阻r＝1 Ω。在线圈中存在面积S2＝0.3 m2的垂直于线圈平面向外的匀强磁场
区域，磁感应强度B随时间t变化的关系如图乙所示。有一个R＝2 Ω的电阻，将其两端a、b分别与图甲中的圆形线圈相连接，下列说法正确的是(　　)
A．0～4 s内，a点电势高于b点电势
B．4～6 s内，a、b间的电压为4 V
C．0～4 s内，通过电阻R的电荷量为6 C
D．4～6 s内，电阻R上产生的焦耳热为36 J
2．(2024·黑龙江哈尔滨期末)(多选)如图所示，空间分布着宽为L、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一金属线框从磁场左边界匀速向右通过磁场区域。规定顺时针方向为电流的正方向，则感应电流随位移变化的关系图像、ab两端电势差随位移变化的关系图像，可能正确的是(　　)
综合·融通(二)　电磁感应中的电路及图像问题
主题(一)　
[典例]　解析：(1)由法拉第电磁感应定律E＝BLv，
得E＝0.9 V
总电阻R＝＋r＝3 Ω
干路电流I＝＝0.3 A
流过R1的电流I1＝I＝0.2 A
流过R2的电流I2＝I＝0.1 A。
(2)导体棒受到的安培力F＝ILB＝0.045 N
导体棒克服安培力做功的瞬时功率P＝Fv＝0.27 W。
答案：(1)0.2 A　0.1 A　(2)0.27 W
[题点全练清]
1．选C　根据右手定则，金属杆中感应电流方向为N→M，则通过电阻R的电流方向为a→b，故A错误；通过金属杆的电流大小为I＝＝，根据左手定则，金属杆受到的安培力与速度方向相反，金属杆做匀速直线运动，则外力与速度方向同向，大小等于金属杆所受安培力大小，即F外＝FA＝IBL＝，故金属杆所受安培力大小不变，故B、D错误；MN两端的电势差为U＝IR＝，故C正确。
2．选AC　由题意知，三根金属辐条始终有一根在磁场中切割磁感线，切割磁感线的金属辐条相当于内阻为r的电源，另外两根金属辐条和定值电阻R0并联，故辐条进出磁场前后电流的大小、方向均改变，电路的总电阻为R＝r，圆环匀速转动时，产生的感应电动势为E＝BL·＝，所以定值电阻两端的电压为U＝·＝，通过定值电阻R0的电流为I＝＝，故A正确，B、D错误；圆环转动一周，定值电阻R0产生的热量为Q＝I2rT＝，故C正确。
主题(二)　
[典例]　选B　设闭合线框的边长为L，则流过线框的电荷量为Q＝IΔt＝Δt＝Δt＝＝，由电阻定律有R＝ρ，则Q＝，则＝＝＝，故B正确。
[题点全练清]
1．选B　由于开始时线圈平面与磁场方向垂直，把线圈翻转180°，有ΔΦ＝2BS，则通过线圈导线横截面的电荷量q＝N＝，选项B正确，A、C、D错误。
2．选A　设开始时穿过导线环向里的磁通量为正值，Φ1＝Bπa2，则穿过导线环向外的磁通量为负值，Φ2＝－B·π(b2－a2)，穿过导线环总的磁通量的绝对值为|Φ|＝|B·π(b2－2a2)|，末态总的磁通量为Φ′＝0，由法拉第电磁感应定律可知，导线环产生的平均感应电动势为＝，则通过导线环横截面的电荷量为q＝·Δt＝＝，A项正确。
主题(三)　
[典例]　选B　0～ 时间内，线框在磁场外，线框受到的安培力与线框中的感应电流都为零，a、b两点间的电势差Uab、线框的焦耳热Q也为零；～时间内，由右手定则可知，线框内感应电流的方向为逆时针，线框匀速运动，有E＝Blv，则I＝，Uab＝E＝Blv，F＝BIl＝，根据左手定则可知，线框受到的安培力的方向沿x轴负方向，Q＝；～时间内，线框完全进入磁场，感应电流i、安培力F均为零，焦耳热Q＝不变，电势差Uab＝Blv；～时间内，线框穿出磁场，由右手定则可知，线框内电流的方向为顺时针，线框匀速运动，有E＝Blv，则I＝，Uab＝E＝Blv，F＝BIl＝，根据左手定则可知，线框受到的安培力的方向沿x轴负方向，Q＝＋；综上所述，故选B。
[题点全练清]
1．选CD　0～4 s内，根据法拉第电磁感应定律，得线圈中产生的感应电动势为E1＝n＝4.5 V，回路中的电流为I1＝＝1.5 A，在0～4 s时间内，磁感应强度B增大，穿过线圈向外的磁通量增加，根据楞次定律结合安培定则知，线圈中产生的感应电流由b流经电阻R回到a，a点电势低于b点电势，通过电阻R的电荷量为q1＝I1t1＝6 C，故A错误，C正确；在4～6 s时间内，线圈产生的感应电动势为E2＝n＝9 V，感应电流为I2＝＝3 A，根据楞次定律结合安培定则知，线圈中产生的感应电流由a流经电阻R回到b，a、b间的电势差为Uab＝I2R＝6 V，电阻R上产生的焦耳热为Q＝I22Rt2＝36 J，故B错误，D正确。
2．选AC　设金属线框总电阻为R，以线框刚要进入磁场为0时刻。在0～L过程中，根据右手定则可知，线框中的感应电流方向为逆时针(负方向)，此时线框中产生的电动势为E1＝BLv，感应电流大小为I1＝＝，ab两端电势差为Uab＝E1＝BLv；在L～2L过程中，根据右手定则可知，线框中的感应电流方向为逆时针(负方向)，此时线框中产生的电动势为E2＝2BLv，感应电流大小为I2＝＝＝2I1，ab两端电势差为Uab′＝E2＝BLv＝2Uab；在2L～3L过程中，根据右手定则可知，线框中的感应电流方向为顺时针(正方向)，此时线框中产生的电动势为E3＝3BLv，感应电流大小为I3＝＝＝3I1，ab两端电势差为Uab″＝E3＝BLv＝7Uab；故选A、C。
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电磁感应中的电路及图像问题
　　　 (融会课—主题串知综合应用)
综合 融通(二)
电磁感应中的电路及图像问题是高考试题中的高频考点,通过本节课的学习要掌握楞次定律、右手定则、法拉第电磁感应定律的应用;综合应用楞次定律和法拉第电磁感应定律解决图像问题。
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主题(一)　电磁感应中的电路问题
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主题(二)　电磁感应中的电荷量问题
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主题(三)　电磁感应中的图像问题
4
课时跟踪检测
CONTENTS
目录
主题(一)　电磁感应中的电路问题
处理电磁感应中电路问题的一般思路
(1)明确哪部分电路或导体产生感应电动势,该部分电路或导体就相当于电源,其他部分是外电路。
(2)画等效电路图,分清内、外电路。
知能融会通
(3)用法拉第电磁感应定律E=n或E=Blv确定感应电动势的大小,用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向。在等效电源内部,电流方向从负极指向正极。
(4)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率、电热等公式联立求解。
[典例]　(2024·四川广安期末)如图所示,间距为L=1.5 m的光滑平行金属导轨固定在水平地面上,现垂直导轨放置一个有效电阻为r=1 Ω的直导体棒,在导轨的两端分别连接两个电阻,阻值分别为R1=3 Ω、R2=6 Ω,其他电阻不计,整个装置处在竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度B=0.1 T。当直导体棒在导轨上以v=6 m/s的速度向右匀速运动时,求:
(1)流过R1和R2的电流大小;
[答案]　0.2 A　0.1 A　
[解析]　由法拉第电磁感应定律E=BLv,
得E=0.9 V
总电阻R=+r=3 Ω
干路电流I==0.3 A
流过R1的电流I1=I=0.2 A
流过R2的电流I2=I=0.1 A。
(2)导体棒克服安培力做功的瞬时功率。
[答案]　0.27 W
[解析]　导体棒受到的安培力F=ILB=0.045 N
导体棒克服安培力做功的瞬时功率P=Fv=0.27 W。
/方法技巧/
1.“电源”的确定方法:“切割”磁感线的导体(或磁通量发生变化的线圈)相当于“电源”,该部分导体(或线圈)的电阻相当于“内阻”。
2.电流的流向:在“电源”内部电流从负极流向正极,在“电源”外部电流从正极流向负极。
1.(2024·天津期末)如图所示,在磁感应强度大
小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中,用外力
拉动金属杆MN在平行金属导轨上向右以速度v0
匀速滑动,金属导轨电阻不计,金属杆的电阻为2R、长度为L,ab间电阻为R,则 (　　)
题点全练清
A.通过电阻R的电流方向为b→a
B.外力与速度方向同向且大小为BLv0
C.MN两端的电势差为
D.金属杆所受安培力大小时刻发生改变
√
解析:根据右手定则,金属杆中感应电流方向为N→M,则通过电阻R的电流方向为a→b,故A错误;通过金属杆的电流大小为I==,根据左手定则,金属杆受到的安培力与速度方向相反,金属杆做匀速直线运动,则外力与速度方向同向,大小等于金属杆所受安培力大小,即F外=FA=IBL=,故金属杆所受安培力大小不变,故B、D错误;MN两端的电势差为U=IR=,故C正确。
2.(2024·山东东营期末)(多选)如图所示,半径为L的导电圆
环(电阻不计)绕垂直于圆环平面、通过圆心O的金属轴以角速
度ω逆时针匀速转动。圆环上接有电阻均为r的三根金属辐条
OA、OB、OC,辐条互成120°角。在圆环圆心角∠MON=120°的范围内(两条虚线之间)分布着垂直圆环平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场,圆环的边缘通过电刷P和导线与一个阻值也为r的定值电阻R0相连,定值电阻R0的另一端通过导线接在圆环的中心轴上。在圆环匀速转动过程中,下列说法中正确的是 (　　)
A.通过定值电阻R0的电流为
B.定值电阻R0两端的电压为BL2ω
C.圆环转动一周,定值电阻R0产生的热量为
D.金属辐条OA、OB、OC进出磁场前后,辐条中电流的大小不变,方向改变
√
√
解析:由题意知,三根金属辐条始终有一根在磁场中切割磁感线,切割磁感线的金属辐条相当于内阻为r的电源,另外两根金属辐条和定值电阻R0并联,故辐条进出磁场前后电流的大小、方向均改变,电路的总电阻为R=r,圆环匀速转动时,产生的感应电动势为E=BL·=,所以定值电阻两端的电压为U=·=,通过定值电阻R0的电流为I==,故A正确,B、D错误;圆环转动一周,定值电阻R0产生的热量为Q=I2rT=,故C正确。
主题(二)　电磁感应中的
电荷量问题
闭合回路中磁通量发生变化时,电荷发生定向移动而形成感应电流,在Δt时间内迁移的电荷量(感应电荷量)q=I·Δt=·Δt=n··Δt=。
从上式可知,线圈匝数一定时,感应电荷量仅由回路电阻和磁通量的变化量决定,与时间无关。
知能融会通
[典例]　如图所示,用粗细相同的铜丝做成边长分别为
d和2d的单匝闭合线框a和b,以相同的速度将线框从磁感应
强度为B的匀强磁场区域中匀速地拉到磁场外。若此过程
中流过两线框的电荷量分别为Qa、Qb,则Qa∶Qb为 (　　)
A.1∶4　　　　　　　　 B.1∶2
C.1∶1 D.不能确定
√
[解析]　设闭合线框的边长为L,则流过线框的电荷量为Q=IΔt
=Δt=Δt==,由电阻定律有R=ρ,则Q=,则===,故B正确。
1.如图所示,一匝数为N、面积为S、总电阻为R的圆形
线圈,放在磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直于
线圈平面。当线圈由原位置翻转180°,此过程中通过线圈
导线横截面的电荷量为 (　　)
A. B. C. D.
题点全练清
√
解析:由于开始时线圈平面与磁场方向垂直,把线圈翻转180°,有ΔΦ=2BS,则通过线圈导线横截面的电荷量q=N=,选项B正确,A、C、D错误。
2.如图所示,空间存在垂直于纸面的匀强磁场,在
半径为a的圆形区域内部及外部,磁场方向相反,磁感应
强度的大小均为B。一半径为b(b>a)、电阻为R的圆形
导线环放置在纸面内,其圆心与圆形区域的中心重合。
当内、外磁场同时由B均匀地减小到零的过程中,通过导线环横截面的电荷量为 (　　)
A. B. C. D.
√
解析:设开始时穿过导线环向里的磁通量为正值,Φ1=Bπa2,则穿过导线环向外的磁通量为负值,Φ2=-B·π(b2-a2),穿过导线环总的磁通量的绝对值为|Φ|=|B·π(b2-2a2)|,末态总的磁通量为Φ'=0,由法拉第电磁感应定律可知,导线环产生的平均感应电动势为=,则通过导线环横截面的电荷量为q=·Δt==,A项正确。
主题(三)　电磁感应中的
图像问题
1.电磁感应中的图像问题
知能融会通
图像 类型 (1)磁感应强度B、磁通量Φ、感应电动势E和感应电流I随时间t变化的图像,即B-t图像、Φ-t图像、E-t图像和I-t图像。
(2)对于切割磁感线产生感应电动势和感应电流的情况,还常涉及感应电动势E和感应电流I随导体位移x变化的图像,即E-x图像和I-x图像
问题 类型 (1)由给定的电磁感应过程选出或画出正确的图像。
(2)由给定的有关图像分析电磁感应过程,求解相应的物理量
应用 知识 左手定则、右手定则、安培定则、楞次定律、法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律、相关数学知识等
续表
2.解决此类问题的一般步骤
[典例]　(2024·湖南邵阳期末)如图所示,abcd
是一个由粗细均匀的同种材料制成、边长为l的
正方形闭合线框,以恒定的速度v沿x轴正方向在纸面内运动,并穿过一宽度为2l、方向垂直纸面向里、大小为B的匀强磁场区域,线框ab边距磁场左边界为l时开始计时。下列选项分别为线框受到的安培力F(以x轴正方向为正)、ab两点间的电势差Uab、线框中的感应电流i(以顺时针方向为正)及线框的焦耳热Q随时间t的变化图像,其中可能正确的是 (　　)
√
[解析]　0~ 时间内,线框在磁场外,线框受到的安培力与线框中的感应电流都为零,a、b两点间的电势差Uab、线框的焦耳热Q也为零;
~时间内,由右手定则可知,线框内感应电流的方向为逆时针,线框匀速运动,有E=Blv,则I=,Uab=E=Blv,F=BIl=,根据左手定则可知,线框受到的安培力的方向沿x轴负方向,Q=;~时间内,线框完全进入磁场,感应电流i、安培力F均为零,
焦耳热Q=不变,电势差Uab=Blv;~时间内,线框穿出磁场,由右手定则可知,线框内电流的方向为顺时针,线框匀速运动,有E=Blv,则I=,Uab=E=Blv,F=BIl=,根据左手定则可知,线框受到的安培力的方向沿x轴负方向,Q=+;综上所述,故选B。
/方法技巧/
求解图像类选择题的两种常用方法
(1)排除法:定性分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减小)、变化情况(变化快慢及均匀变化还是非均匀变化),特别是分析物理量的正负,以排除错误的选项。
(2)函数法:根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系,然后由函数关系对图像进行分析和判断。
1.(2024·陕西咸阳期末)(多选)如图甲所示,一个匝数n=100匝的圆形导体线圈,面积S1=0.4 m2,电阻r=1 Ω。在线圈中存在面积S2=0.3 m2的垂直于线圈平面向外的匀强磁场区域,磁感应强度B随时间t变化的关系如图乙所示。有一个R=2 Ω的电阻,将其两端a、b分别与图甲中的圆形线圈相连接,下列说法正确的是 (　　)
题点全练清
A.0~4 s内,a点电势高于b点电势
B.4~6 s内,a、b间的电压为4 V
C.0~4 s内,通过电阻R的电荷量为6 C
D.4~6 s内,电阻R上产生的焦耳热为36 J
解析: 0~4 s内,根据法拉第电磁感应定律,得线圈中产生的感应电动势为E1=n=4.5 V,回路中的电流为I1==1.5 A,
√
√
在0~4 s时间内,磁感应强度B增大,穿过线圈向外的磁通量增加,根据楞次定律结合安培定则知,线圈中产生的感应电流由b流经电阻R回到a,a点电势低于b点电势,通过电阻R的电荷量为q1=I1t1=6 C,故A错误,C正确;在4~6 s时间内,线圈产生的感应电动势为E2=n=9 V,感应电流为I2==3 A,根据楞次定律结合安培定则知,线圈中产生的感应电流由a流经电阻R回到b,a、b间的电势差为Uab=I2R=6 V,电阻R上产生的焦耳热为Q=Rt2=36 J,故B错误,D正确。
2.(2024·黑龙江哈尔滨期末)(多选)如图所示,空间分
布着宽为L、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。一金属
线框从磁场左边界匀速向右通过磁场区域。规定顺时
针方向为电流的正方向,则感应电流随位移变化的关系图像、ab两端电势差随位移变化的关系图像,可能正确的是(　　)
√
√
解析:设金属线框总电阻为R,以线框刚要进入磁场为0时刻。在0~L过程中,根据右手定则可知,线框中的感应电流方向为逆时针(负方向),此时线框中产生的电动势为E1=BLv,感应电流大小为I1==,ab两端电势差为Uab=E1=BLv;在L~2L过程中,根据右手定则可知,线框中的感应电流方向为逆时针(负方向),
此时线框中产生的电动势为E2=2BLv,感应电流大小为I2===2I1,
ab两端电势差为Uab'=E2=BLv=2Uab;在2L~3L过程中,根据右手定则可知,线框中的感应电流方向为顺时针(正方向),此时线框中产生的电动势为E3=3BLv,感应电流大小为I3===3I1,ab两端电势差为Uab″=
E3=BLv=7Uab;故选A、C。
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1.(2024·甘肃张掖期末)图甲为列车运行的俯视图,列车首节车厢下面安装一块电磁铁,电磁铁产生垂直于地面的匀强磁场,列车经过放在铁轨间的线圈时,线圈产生的电脉冲信号传到控制中心,如图乙所示。则列车的运动情况可能是 (　　)
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A.匀速运动　　　　　　 B.匀加速运动
C.匀减速运动 D.变加速运动
解析:由U-t图像可得,线圈两端的电压大小与时间呈线性关系,即有U=U0-kt,由法拉第电磁感应定律有E=U=BLv,L、k、B均一定,则速度v随时间t均匀减小,所以火车做匀减速直线运动,故C正确。
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2.(2024·福建福州期末)如图,abcdef为“日”字形导线
框,其中abdc和cdfe均为边长为l的正方形,导线ab、cd、ef
的电阻相等,其余部分电阻不计。导线框右侧存在着宽度
略小于l的匀强磁场,磁感应强度为B,导线框以速度v匀速穿过磁场区域,运动过程中线框始终和磁场垂直且无转动。线框穿越磁场的过程中,ab两点电势差Uab随位移变化的图像正确的是 (　　)
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√
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解析:由于匀强磁场的宽度略小于l,导线ab在磁场内时,导线cd、ef在磁场外,导线ab充当电源,Uab表示路端电压,则Uab=Blv;导线cd在磁场内时,导线ab、ef在磁场外,导线cd充当电源,Uab是外电路并联电压,则Uab=Blv;导线ef在磁场内时,导线ab、cd在磁场外,导线ef充当电源,Uab是外电路并联电压,则Uab=Blv。故选A。
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3.(2024·江苏南通期末)如图所示,边长为L的正方形线框,从图示位置在恒力作用下沿光滑水平面滑动,中途穿越垂直纸面向里、有理想边界的匀强磁场区域,磁场的宽度大于L,以i表示导线框中的感应电流,以v表示线框运动的速度。从线框刚进入磁场区域开始计时,电流取逆时针方向为正方向,以下图像可能正确的是 (　　)
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解析:线框以一定速度进入磁场区域后,线框中产生感应电动势和感应电流,线框受到安培力作用。在线框刚进入磁场时,若线框所受安培力刚好等于恒定外力F,线框做匀速运动,线框中感应电流为恒定值;线框完全进入磁场后,穿过线框的磁通量不变,线框中不产生感应电流,线框不受安培力作用,线框加速运动;在线框出磁场时,线框所受安培力一定大于外力F,线框一定做减速运动,线框中产生的感应电流逐渐减小,故A错误,B可能正确。
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在线框刚进入磁场时,若线框所受安培力小于恒定外力F,线框做加速运动;线框完全进入磁场后,穿过线框的磁通量不变,线框中不产生感应电流,不受安培力作用,线框加速度大于刚进入时的加速度。在线框刚进入磁场时,若线框所受安培力大于恒定外力F,线框做减速运动;线框完全进入磁场后,穿过线框的磁通量不变,线框中不产生感应电流,线框不受安培力作用,线框做加速运动。综上所述,故C、D错误。
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4.(2024·湖南长沙期中)(多选)如图所示,空间有一宽度为L
的匀强磁场区域,磁场方向垂直于纸面向里,abc是由均匀电阻
丝做成的等腰直角三角形线框,bc边上的高也为L。图示时刻,
bc边与磁场边界平行,a点在磁场边界上。现使线框从图示位
置匀速通过磁场区域,速度方向始终与磁场边界垂直,若规定图示线框的位置x=0,感应电流i沿逆时针方向为正,线框受到的安培力F方向向左为正,则下列图像可能正确的是 (　　)
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√
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解析:进入磁场的过程中,由几何关系可知,线框切割磁感线的有效长度d=2x,回路中的感应电流i==x,随位置x均匀增加,根据楞次定律结合安培定则可知,感应电流沿逆时针方向,即为正方向;出磁场时,由于线框切割磁感线的有效长度均匀增加,线框产生的感应电动势均匀增加,线框中感应电流也均匀增加,根据楞次定律结合安培定则可知,电流沿顺时针方向,即为负方向,因此A正确,B错误;进入磁场的过程中,线框所受安培力F=Bid=x2,方向向左,出磁场时所受安培力与入磁场时完全相同,方向也向左,因此C正确,D错误。
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5.(2024·宁夏银川期中)(多选)如图所示,匀强磁场垂直于纸面向里,磁感应强度的大小为B,磁场在y轴方向足够长,在x轴方向宽度为a。一直角三角形导线框ABC(BC边的长度为a)从图示位置向右匀速穿过磁场区域,以逆时针方向为电流的正方向,在下图中感应电流i、BC两端的电压UBC与线框移动的距离x的关系图像正确的是 (　　)
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√
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解析:设∠ACB=θ,三角形导线框ABC向右匀速运动的速度为v,则其匀速穿过磁场区域的过程中,在0~a内,切割磁感线的有效长度为l=xtan θ,由此产生的感应电动势为E=Blv=Bvtan θ·x,设三角形导线框ABC的总电阻为R,则其产生的感应电流为i==·x,可知,感应电流随距离x均匀增加,而根据右手定则可知,在0~a内,感应电流为逆时针方向,即为正方向;而在a~2a内,切割磁感线的有效长度随距离的变化关系与0~a内的相同,而根据右手定则可知,
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此过程中感应电流为顺时针方向,即为负方向,但仍随着距离均匀增大,故A错误,B正确;设BC边的电阻为R',则其两端的电压UBC=iR'=·x,
在0~a内,感应电流为正方向,且随时间均匀增加,则可知在0~a内,BC两端的电压均匀增加且图线在x轴上方;在a~2a内,感应电流为负方向,且随时间均匀增加,则可知在a~2a内,BC两端的电压均匀增加且图线在x轴下方,故C错误,D正确。
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6.(2024·贵州黔东南期末)(多选)如图甲所示,电阻r=25 Ω、匝数n=200匝的线圈两端A、B与电阻R相连,R=75 Ω。线圈内有方向垂直于纸面向里的磁场,线圈中的磁通量按图乙所示的规律变化,下列说法正确的是 (　　)
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A.通过电阻R的电流方向为由A通过R到B
B.线圈两端的电压为100 V
C.电阻R的电功率为75 W
D.0.1 s时间内通过电阻R的电荷量为0.05 C
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解析:根据楞次定律结合安培定则,可知通过R的电流方向为由A通过R到B,A正确;由法拉第电磁感应定律可知,线圈产生的感应电动势E=n=200× V=100 V,线圈两端的电压为路端电压U==75 V,B错误;电阻R的电功率P== W=75 W,C正确;0.1 s时间内通过电阻R的电荷量q=t=0.1 C,D错误。
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7.(2024·天津期末)(多选)1831年10月28日,法拉第展示人类历史上第一台发电机,其结构示意图如图甲所示,可等效为图乙所示的圆盘中任意一个半径CD都在切割磁感线,在CD之间接上电阻R,已知转盘匀速转动的角速度为ω,CD的长度为L,每条半径对应的电阻都为r,匀强磁场的磁感应强度为B,下列说法正确的是 (　　)
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A.D点电势比C点电势高
B.通过电阻R的电流为
C.CD两端的电势差为BL2ω
D.电阻R上消耗的电功率为R
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解析:由右手定则可知,CD中产生的感应电流由C流向D,则D点电势比C点电势高,故A正确;回路中的感应电动势为E=BL=BL2ω,通过电阻R的电流为I==,故B错误;CD两端的电势差为U=IR=,故C错误;电阻R上消耗的电功率为P=I2R=R,故D正确。
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8.(2024·福建龙岩期末)如图甲所示,一圆形金属线圈面积为S=0.5 m2、匝数n=100、阻值为r=1 Ω,线圈与电阻R、平行板电容器C组成闭合回路。电阻R=9 Ω,电容器电容C=1×10-3 F,板间距离d=0.2 m。在线圈中有垂直于线圈平面向里的匀强磁场,磁感应强度B随时间t变化的关系如图乙所示,导线电阻不计。求:
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(1)线圈产生的感应电流的大小;
答案:0.5 A　
解析:设线圈产生的感应电动势为E,由法拉第电磁感应定律,有E=nS,又I=,解得I=0.5 A。
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(2)a、b两端的电压的大小;
答案:4.5 V　
解析:设a、b两端的电压为U,根据欧姆定律有U=IR,解得U=4.5 V。
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(3)电容器所带的电荷量和两板间的场强。
答案:4.5×10-3 C
解析:电容器所带的电荷量Q=CU
解得Q=4.5×10-3 C
两板间的场强E电场=
解得E电场=22.5 V/m
场强方向从上极板指向下极板(“向下”“竖直向下”等描述也正确)。
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9.(2024·北京高考)如图甲所示为某种“电磁枪”的原理图。在竖直向下的匀强磁场中,两根相距L的平行长直金属导轨水平放置,左端接电容为C的电容器,一导体棒放置在导轨上,与导轨垂直且接触良好,不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦。已知磁场的磁感应强度大小为B,导体棒的质量为m、接入电路的电阻为R。开关闭合前电容器的电荷量为Q。
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(1)求闭合开关瞬间通过导体棒的电流I;
答案:　
解析:开关闭合前电容器的电荷量为Q,则电容器两极板间电压U=
闭合开关瞬间,通过导体棒的电流I=
解得闭合开关瞬间通过导体棒的电流I=。
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(2)求闭合开关瞬间导体棒的加速度大小a;
答案:　
解析:闭合开关瞬间,由牛顿第二定律有BIL=ma
解得a=。
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(3)在图乙中定性画出闭合开关后导体棒的速度v随时间t的变化图线。
答案:见解析图
解析:由(2)中结论可知,随着电容器放电,电容器所带电
荷量不断减少,同时导体棒的速度不断增大,产生的反向感应
电动势不断增大,故闭合回路中的电流不断减小,所以导体棒
的加速度不断减小,直至为零,其v-t图线如图所示,
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10.(2024·北京九中期中)如图所示,用均匀导线做成边长为l的单匝正方形线框MNPQ,线框每一边的电阻都相等,总电阻为R。将线框置于光滑绝缘的水平面上。在线框的右侧存在竖直方向的有界匀强磁场,磁场边界间的距离为2l,磁感应强度为B。在垂直MN边的水平拉力作用下,线框以垂直磁场边界的速度v匀速穿过磁场。在运动过程中线框平面水平,且MN边与磁场的边界平行。求:
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(1)线框从MN边刚进入磁场到PQ边刚穿出磁场的过程所用时间t;
答案:　
解析:线框以垂直磁场边界的速度v匀速穿过磁场,所以线框穿越磁场的时间为t=。
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(2)线框从MN边刚进入磁场到PQ边刚穿出磁场的过程中,产生的焦耳热Q;
答案:　
解析:线框进入磁场和穿出磁场过程中,线框中产生感应电流,有
E=Blv,I==,t'=
所以Q=I2Rt'=。
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(3)线框从MN边刚进入磁场到PQ边刚穿出磁场的过程中,M、N两点间的电势差UMN随运动时间的变化图像;
答案:见解析图　
解析:线框进入磁场过程UMN1=Blv,t1=
线框完全进入磁场到恰要出磁场过程UMN2=Blv,t2=
线框出磁场过程UMN3=Blv,t3=
作图如右。
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(4)线框进入磁场过程中通过导线横截面的电量。
答案:
解析:线框进入磁场过程中通过导线横截面的电量q=t1=·=。
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4课时跟踪检测(十二)　电磁感应中的电路及图像问题
　1．(2024·甘肃张掖期末)图甲为列车运行的俯视图，列车首节车厢下面安装一块电磁铁，电磁铁产生垂直于地面的匀强磁场，列车经过放在铁轨间的线圈时，线圈产生的电脉冲信号传到控制中心，如图乙所示。则列车的运动情况可能是(　　)
A．匀速运动　　　　　　 B．匀加速运动
C．匀减速运动 D．变加速运动
2．(2024·福建福州期末)如图，abcdef为“日”字形导线框，其中abdc和cdfe均为边长为l的正
方形，导线ab、cd、ef的电阻相等，其余部分电阻不计。导线框右侧存在着宽度略小于l的匀强磁场，磁感应强度为B，导线框以速度v匀速穿过磁场区域，运动过程中线框始终和磁场垂直且无转动。线框穿越磁场的过程中，ab两点电势差Uab随位移变化的图像正确的是(　　)
3．(2024·江苏南通期末)如图所示，边长为L的正方形线框，从图示位置在恒力作用下沿光滑水平面滑动，中途穿越垂直纸面向里、有理想边界的匀强磁场区域，磁场的宽度大于L，以i表示导线框中的感应电流，以v表示线框运动的速度。从线框刚进入磁场区域开始计时，电流取逆时针方向为正方向，以下图像可能正确的是(　　)
4.(2024·湖南长沙期中)(多选)如图所示，空间有一宽度为L的匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面向里，abc是由均匀电阻丝做成的等腰直角三角形线框，bc边上的高也为L。图示时刻，bc边与磁场边界平行，a点在磁场边界上。现使线框从图示位置匀速通过磁场区域，速度方向始终与磁场边界垂直，若规定图示线框的位置x＝0，感应电流i沿逆时针方向为正，线框受到的安培力F方向向左为正，则下列图像可能正确的是(　　)
5．(2024·宁夏银川期中)(多选)如图所示，匀强磁场垂直于纸面向里，磁感应强度的
大小为B，磁场在y轴方向足够长，在x轴方向宽度为a。一直角三角形导线框ABC(BC边的长度为a)从图示位置向右匀速穿过磁场区域，以逆时针方向为电流的正方向，在下图中感应电流i、BC两端的电压UBC与线框移动的距离x的关系图像正确的是(　　)
6．(2024·贵州黔东南期末)(多选)如图甲所示，电阻r＝25 Ω、匝数n＝200匝的线圈两端A、B与电阻R相连，R＝75 Ω。线圈内有方向垂直于纸面向里的磁场，线圈中的磁通量按图乙所示的规律变化，下列说法正确的是(　　)
A．通过电阻R的电流方向为由A通过R到B
B．线圈两端的电压为100 V
C．电阻R的电功率为75 W
D．0.1 s时间内通过电阻R的电荷量为0.05 C
7．(2024·天津期末)(多选)1831年10月28日，法拉第展示人类历史上第一台发电机，其结构示意图如图甲所示，可等效为图乙所示的圆盘中任意一个半径CD都在切割磁感线，在CD之间接上电阻R，已知转盘匀速转动的角速度为ω，CD的长度为L，每条半径对应的电阻都为r，匀强磁场的磁感应强度为B，下列说法正确的是(　　)
A．D点电势比C点电势高
B．通过电阻R的电流为
C．CD两端的电势差为BL2ω
D．电阻R上消耗的电功率为2R
8．(2024·福建龙岩期末)如图甲所示，一圆形金属线圈面积为S＝0.5 m2、匝数n＝100、阻值为r＝1 Ω，线圈与电阻R、平行板电容器C组成闭合回路。电阻R＝9 Ω，电容器电容C＝1×10－3 F，板间距离d＝0.2 m。在线圈中有垂直于线圈平面向里的匀强磁场，磁感应强度B随时间t变化的关系如图乙所示，导线电阻不计。求：
(1)线圈产生的感应电流的大小；
(2)a、b两端的电压的大小；
(3)电容器所带的电荷量和两板间的场强。
9.(2024·北京高考)如图甲所示为某种“电磁枪”的原理图。在竖直向下的匀强磁场中，两根相距L的平行长直金属导轨水平放置，左端接电容为C的电容器，一导体棒放置在导轨上，与导轨垂直且接触良好，不计导轨电阻及导体棒与导轨间的摩擦。已知磁场的磁感应强度大小为B，导体棒的质量为m、接入电路的电阻为R。开关闭合前电容器的电荷量为Q。
(1)求闭合开关瞬间通过导体棒的电流I；
(2)求闭合开关瞬间导体棒的加速度大小a；
(3)在图乙中定性画出闭合开关后导体棒的速度v随时间t的变化图线。
10．(2024·北京九中期中)如图所示，用均匀导线做成边长为l的单匝正方形线框MNPQ，线框每一边的电阻都相等，总电阻为R。将线框置于光滑绝缘的水平面上。在线框的右侧存在竖直方向的有界匀强磁场，磁场边界间的距离为2l，磁感应强度为B。在垂直MN边的水平拉力作用下，线框以垂直磁场边界的速度v匀速穿过磁场。在运动过程中线框平面水平，且MN边与磁场的边界平行。求：
(1)线框从MN边刚进入磁场到PQ边刚穿出磁场的过程所用时间t；
(2)线框从MN边刚进入磁场到PQ边刚穿出磁场的过程中，产生的焦耳热Q；
(3)线框从MN边刚进入磁场到PQ边刚穿出磁场的过程中，M、N两点间的电势差UMN随运动时间的变化图像；
(4)线框进入磁场过程中通过导线横截面的电量。
课时跟踪检测(十二)
1．选C　由U t图像可得，线圈两端的电压大小与时间呈线性关系，即有U＝U0－kt，由法拉第电磁感应定律有E＝U＝BLv，L、k、B均一定，则速度v随时间t均匀减小，所以火车做匀减速直线运动，故C正确。
2．选A　由于匀强磁场的宽度略小于l，导线ab在磁场内时，导线cd、ef在磁场外，导线ab充当电源，Uab表示路端电压，则Uab＝Blv；导线cd在磁场内时，导线ab、ef在磁场外，导线cd充当电源，Uab是外电路并联电压，则Uab＝Blv；导线ef在磁场内时，导线ab、cd在磁场外，导线ef充当电源，Uab是外电路并联电压，则Uab＝Blv。故选A。
3．选B　线框以一定速度进入磁场区域后，线框中产生感应电动势和感应电流，线框受到安培力作用。在线框刚进入磁场时，若线框所受安培力刚好等于恒定外力F，线框做匀速运动，线框中感应电流为恒定值；线框完全进入磁场后，穿过线框的磁通量不变，线框中不产生感应电流，线框不受安培力作用，线框加速运动；在线框出磁场时，线框所受安培力一定大于外力F，线框一定做减速运动，线框中产生的感应电流逐渐减小，故A错误，B可能正确。在线框刚进入磁场时，若线框所受安培力小于恒定外力F，线框做加速运动；线框完全进入磁场后，穿过线框的磁通量不变，线框中不产生感应电流，不受安培力作用，线框加速度大于刚进入时的加速度。在线框刚进入磁场时，若线框所受安培力大于恒定外力F，线框做减速运动；线框完全进入磁场后，穿过线框的磁通量不变，线框中不产生感应电流，线框不受安培力作用，线框做加速运动。综上所述，故C、D错误。
4．选AC　进入磁场的过程中，由几何关系可知，线框切割磁感线的有效长度d＝2x，回路中的感应电流i＝＝x，随位置x均匀增加，根据楞次定律结合安培定则可知，感应电流沿逆时针方向，即为正方向；出磁场时，由于线框切割磁感线的有效长度均匀增加，线框产生的感应电动势均匀增加，线框中感应电流也均匀增加，根据楞次定律结合安培定则可知，电流沿顺时针方向，即为负方向，因此A正确，B错误；进入磁场的过程中，线框所受安培力F＝Bid＝x2，方向向左，出磁场时所受安培力与入磁场时完全相同，方向也向左，因此C正确，D错误。
5．选BD　设∠ACB＝θ，三角形导线框ABC向右匀速运动的速度为v，则其匀速穿过磁场区域的过程中，在0～a内，切割磁感线的有效长度为l＝xtan θ，由此产生的感应电动势为E＝Blv＝Bvtan θ·x，设三角形导线框ABC的总电阻为R，则其产生的感应电流为i＝＝·x，可知，感应电流随距离x均匀增加，而根据右手定则可知，在0～a内，感应电流为逆时针方向，即为正方向；而在a～2a内，切割磁感线的有效长度随距离的变化关系与0～a内的相同，而根据右手定则可知，此过程中感应电流为顺时针方向，即为负方向，但仍随着距离均匀增大，故A错误，B正确；设BC边的电阻为R′，则其两端的电压UBC＝iR′＝·x，在0～a内，感应电流为正方向，且随时间均匀增加，则可知在0～a内，BC两端的电压均匀增加且图线在x轴上方；在a～2a内，感应电流为负方向，且随时间均匀增加，则可知在a～2a内，BC两端的电压均匀增加且图线在x轴下方，故C错误，D正确。
6．选AC 　根据楞次定律结合安培定则，可知通过R的电流方向为由A通过R到B，A正确；由法拉第电磁感应定律可知，线圈产生的感应电动势E＝n＝200× V＝100 V，线圈两端的电压为路端电压U＝＝75 V，B错误；电阻R的电功率P＝＝ W＝75 W，C正确；0.1 s时间内通过电阻R的电荷量q＝t＝0.1 C，D错误。
7．选AD　由右手定则可知，CD中产生的感应电流由C流向D，则D点电势比C点电势高，故A正确；回路中的感应电动势为E＝BL＝BL2ω，通过电阻R的电流为I＝＝，故B错误；CD两端的电势差为U＝IR＝，故C错误；电阻R上消耗的电功率为P＝I2R＝2R，故D正确。
8．解析：(1)设线圈产生的感应电动势为E，由法拉第电磁感应定律，有E＝nS，又I＝，解得I＝0.5 A。
(2)设a、b两端的电压为U，根据欧姆定律有U＝IR，
解得U＝4.5 V。
(3)电容器所带的电荷量Q＝CU
解得Q＝4.5×10－3 C
两板间的场强E电场＝
解得E电场＝22.5 V/m
场强方向从上极板指向下极板(“向下”“竖直向下”等描述也正确)。
答案：(1)0.5 A　(2)4.5 V　(3)4.5×10－3 C
22．5 V/m，从上极板指向下极板
9．解析：(1)开关闭合前电容器的电荷量为Q，则电容器两极板间电压U＝
闭合开关瞬间，通过导体棒的电流I＝
解得闭合开关瞬间通过导体棒的电流I＝。
(2)闭合开关瞬间，由牛顿第二定律有BIL＝ma
解得a＝。
(3)由(2)中结论可知，随着电容器放电，电容器所带电荷量不断减少，同时导体棒的速度不断增大，产生的反向感应电动势不断增大，故闭合回路中的电流不断减小，所以导体棒的加速度不断减小，直至为零，其v t图线如图所示，
答案：(1)　(2)　(3)见解析图
10．解析：(1)线框以垂直磁场边界的速度v匀速穿过磁场，所以线框穿越磁场的时间为t＝。
(2)线框进入磁场和穿出磁场过程中，线框中产生感应电流，有
E＝Blv，I＝＝，t′＝
所以Q＝I2Rt′＝。
(3)线框进入磁场过程UMN1＝Blv，t1＝
线框完全进入磁场到恰要出磁场过程UMN2＝Blv，t2＝
线框出磁场过程UMN3＝Blv，t3＝
作图如下。
(4)线框进入磁场过程中通过导线横截面的电量
q＝t1＝·＝。
答案：(1)　(2)　(3)见解析图　(4)
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