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2025年河南省驻马店市遂平县三校联考三模数学试题
一、单选题
1．下列四个数中，最小的有理数是（ ）
A． B． C．0 D．1
2．2025年4月22日，影片《哪吒之魔童闹海》全球票房突破157亿元．数据“157亿”用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．如图的蒙古包可以近似看成是圆锥和圆柱组成的几何体，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．在下列各式中，结果是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
5．不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
6．图1为《天工开物》记载的用于舂（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，图2为其平面示意图．已知于点与水平线MN相交于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，菱形中，，为边上一点，且，折叠菱形使点B与点P重合，展开后得到折痕，分别与交于点．则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
8．有5个外观完全相同的密封且不透明的试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、碳酸钠、氯化钠、氢氧化钾五种溶液．小东从这5个试剂瓶中随机抽取2个，则均能使酚酞溶液变红的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，四边形ABCD内接于，，连接，若平分，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．下面是某数学小组利用软件绘制的函数的部分图象，根据学习函数的经验判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．请写一个次数为4的单项式： ．
12．如图是甲、乙两地2月份连续六天的日平均气温，则甲、乙两地这6天日平均气温的方差大小关系为 ．（填“”“”或“”）
13．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为 ．
14．如图，将置于第一象限内，一次函数的图象经过中点，将沿射线平移，当点的对应点与点M重合时，则点A的对应点坐标为 ．
15．如图，在平行四边形ABCD中，为边的中点，M为平面内一点，且之间的距离为1，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，则的最小值为 ，最大值为 ．
三、解答题
16．（1）计算：；
（2）化简：．
17．河南某校在4月12日“世界航天日”期间举办了航天主题知识测试．为了了解学生的掌握情况，现从七年级和八年级中各随机抽取20名学生的成绩进行分析（满分100分，90分及以上为优秀），分为A，B，C，D四个等级：．
信息一：七年级成绩为：
信息二：八年级等级C的成绩为：81，82，83，82，82．
两组数据的平均数、中位数、众数、优秀率如下表：
平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 76 b
八年级 a 82
八年级学生测试成绩扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题；
(1)_________，_________；
(2)通过以上数据分析，你认为哪个年级的成绩更好？说明理由；
(3)为提高优秀率，请你提出一条合理化建议．
18．如图，是的中线．
(1)请用无刻度的直尺和圆规在上取点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)连接，若点A到直线的距离是1，求点B到直线的距离．
19．民桥位于河南省信阳市浉河区，横贯浉河，是信阳重要交通枢纽，也是河南省唯一的一座独塔斜拉式桥梁．某数学兴趣小组进行测量民桥主塔高度的实践活动，淇淇、萍萍两位同学分别制定了不同的测量方案，并完成了实地测量，测量方案与数据如下表：
课题 测量民桥主塔高度
测量方案 淇淇的方案 萍萍的方案
测量示意图
测量数据
说明 民桥主塔的高为，所有点在同一竖直平面内，图中，测角仪垂直于水平地面，测角仪的高度．
请任选一种方案计算民桥主塔高度．（结果精确到1m．参考数据：，）
20．如图，反比例函数图象经过点，已知经过点B，且与y轴相切于点，连接交于点D．点P为上一动点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求的长；
(3)直接写出面积的最大值．
21．某小区为方便业主电动汽车充电，准备购买两种型号的充电桩，已知A型充电桩的单价比B型少0.5万元，购买一台A型充电桩与一台B型充电桩共需要花费5.5万元．
(1)求两种型号充电桩的单价；
(2)小区准备采购两种型号的充电桩共m台，商家提供了两种购买方案：
方案一 方案二
两种型号的充电桩分别按单价的九折销售 两种型号的充电桩分别按单价的八八折销售，但小区自行承担1.2万元的运费．
①若小区准备购买的12台A型充电桩和n台B型充电桩，两种方案的最终费用相同，直接写出的值；
②当时，若选择方案二购买充电桩，且购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的，请设计费用最省的购买方案．
22．如图，在平面直角坐标系中，正方形与抛物线有交点．
(1)若其中一个交点为．
①求a的值；
②求抛物线与x轴的交点坐标；
(2)若点，抛物线的图象与正方形的边有两个交点，求a的取值范围．
23．综合与实践
如图，在中，，点M为边上不与端点重合的一个动点，过点M作于点D，过点B作，交的延长线于点E，连接，过点M作，交于点N．
(1)初步探究
如图1，，四边形的形状是____________；线段与的数量关系是____________；
(2)类比探究
如图2，，
①写出图中与相等的角，并说明理由；
②求证：；
(3)拓展应用
当时，直接用含n的代数式表示的值．
参考答案
1．B
解：，，
∵，
∴，
则最小的有理数是，
故选：B．
2．D
157亿即，．
故选：D．
3．B
解：该几何体的俯视图是：
．
故选：B．
4．A
解：，为无理数，故选项A符合题意；
，为有理数，故选项B不符合题意；
，为有理数，故选项C不符合题意；
，为有理数，故选项D不符合题意；
故选：A．
5．D
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为：，
故选：D．
6．A
，，
，
（对顶角相等），
在四边形中，
，，
，
，
，
则的度数为150°．
故选：A．
7．B
如图所示，过点P作交的延长线于点E
∵四边形是菱形
∴，
∴
∵，
∴
∴
∴
设，则，
由折叠得，
∵
∴
∴
∴
∴的长为．
故选：B．
8．C
酚酞遇碱性溶液变红，五种溶液中，只有碳酸钠和氢氧化钾可使酚酞变红．
从这5个试剂瓶中随机抽取2个，共有10种等可能结果，列举如下：
稀硫酸和稀盐酸，稀硫酸和碳酸钠，稀硫酸和氯化钠，稀硫酸和氢氧化钾，稀盐酸和碳酸钠，
稀盐酸和氯化钠，稀盐酸和氢氧化钾，碳酸钠和氯化钠，碳酸钠和氢氧化钾，氯化钠和氢氧化钾，
其中均能使酚酞溶液变红的只有碳酸钠和氢氧化钾这一种，其概率为，
故选：C．
9．A
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故选：A．
10．C
解：
由图象可得，当时，，
又当时，，
∴，
∴．
故选：C
11．（答案不唯一）
解：次数为4的单项式可以是；
故答案为：（答案不唯一）．
12．
解：观察平均气温统计图可知：乙地的日平均气温波动较小，甲地的日平均气温波动较大；
故甲地的日平均气温的方差大于乙地的日平均气温的方差，
则，
故答案为：．
13．
解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
14．
解：∵一次函数的图象经过中点，
∴把代入，
得，
∴，
∵，且是的中点，
∴，
∴，
∴点A的坐标为
∵将沿射线平移，点的对应点与点重合，
∴平移规律是向左平移个单位，向下平移个单位，
∵点A的坐标为
故，
即点A的对应点坐标为，
故答案为：．
15．
解：连接，将绕点旋转，得到，连接，
则：，
∵，点为的中点，
∴，
∴，
∵将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴在以点为圆心，为半径的圆上运动，
∴，
即：，
∴的最小值为；最大值为：；
故答案为：，
16．（1）（2）
解：（1）
；
（2）
．
17．(1)；75
(2)八年级的测试成绩更好，理由见解析
(3)详见解析
（1）解：八年级C等级，D等级的人数共有为，
∴八年级的中位数在C等级，
∵八年级等级C的成绩为：81，82，82，82，83，
∴，
∵七年级成绩中75出现的次数最多，
∴；
故答案为：；75
（2）解：八年级的测试成绩更好．因为八年级成绩的平均数、中位数、众数、优秀率均比七年级的大，
所以八年级的测试成绩更好；
（3）解：定期对学生进行相关知识的培训．
18．(1)图见解析
(2)点到直线CE的距离是1
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：是的中线，
，
∵，，
，
，
即，
，
又∵和同底，点A到直线的距离是1，
点到直线的距离是1．
19．民桥主塔高度为
解：选淇淇的方案：
如图，延长交于点，
由题意知，，，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴；
设，
在中，，
；
在中，，
；
，
，
即，
解得；
．
选萍萍的方案：
如图，设交于G，
∵，
∴四边形和四边形是平行四边形，
∵，
即，
∴四边形和四边形是矩形，
∴，；
设，
在中，，
∴，
∴；
在中，，
∴
∴；
∵，
∴，
解得：，
答：民桥主塔高度为．
20．(1)
(2)
(3)
（1）解：∵反比例函数图象经过点，
∴，
∴；
（2）连接，
∵与y轴相切于点，
∴轴，
∴，
∵点在反比例函数上，
∴，
∴，
∴，，
∵交于点D，
∴，
∴；
（3）作轴，由（2）可知，的半径为，
则：，
∴，
∴当轴，且最大时，最大，
∴当为的直径时，此时轴，且的值最大为，
∵，
∴面积的最大值．
21．(1)A、B两种型号充电桩的单价分别是2.5万元、3万元
(2)①10
②最省钱的购买方案是购买A型充电桩11台，B型充电桩9台
（1）解：设A、B两种型号的充电桩的单价分别是x、y万元，
根据题意得，
解得：
答：A、B两种型号充电桩的单价分别是2.5万元、3万元；
（2）解：① ，
解得：，
答：的值为10；
②设购买A型充电桩台，则购买B型充电桩台，购买充电桩的总费用为万元，
购买A型充电桩的数量不超过B型充电桩数量的，
，
解得．
的取值范围为，且为正整数，
根据题意，可得，
，
随的增大而减小，
当时，有最小值，此时．
答：最省钱的购买方案是购买A型充电桩11台，B型充电桩9台
22．(1)①；②抛物线与轴的交点坐标为
(2)
（1）解：①把点代入中，
得
解得
②由题意得抛物线的表达式为．
令，即，
解得，．
抛物线与轴的交点坐标为
（2）解：点，
，
点的坐标为，
拋物线开口向下，
将点代入得，解得．
将点代入得，解得．
抛物线的图象与正方形的边有两个交点，的取值范围是
23．(1)矩形；
(2)①，理由见解析；②详见解析
(3)．
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形；
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：矩形，；
（2）解：①∵，
∴，
∴，即；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
整理得，
∴，
∴．

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