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(共71张PPT)
第一章
§1.3　等式性质与
不等式性质
数学
大
一
轮
复
习
1.掌握等式性质.
2.会比较两个数的大小.
3.理解不等式的性质，并能简单应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R).
a-b>0 a b,
a-b＝0 a b,
a-b<0 a b
>
＝
<
2.等式的性质
性质1　对称性：如果a＝b，那么 ；
性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么 ；
性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么 .
b＝a
a＝c
3.不等式的性质
性质1　对称性：a>b ；
性质2　传递性：a>b，b>c ；
性质3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质4　可乘性：a>b，c>0 ；a>b，c<0 ；
性质5　同向可加性：a>b，c>d ；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ；
性质7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2).
ba>c
ac>bc
aca＋c>b＋d
ac>bd
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a(2)若>1，则b>a.(　　)
(3)同向不等式具有可加性和可乘性.(　　)
(4)若>，则b×
√
×
×
2.(多选)下列命题为真命题的是
A.若ac2>bc2，则a>b
B.若a>b>0，则a2>b2
C.若aD.若a
√
C中，若a＝－2，b＝－1，则a2>ab>b2，故C错误.
√
√
3.设M＝2a2＋5a＋4，N＝(a＋1)(a＋3)，则M与N的大小关系为
A.M>N B.M＝N
C.M√
因为M－N＝(2a2＋5a＋4)－(a＋1)(a＋3)＝a2＋a＋1＝>0，所以M>N.
4.若实数a，b满足0∵0(－1，2)
1.熟练应用两个倒数性质
(1)a<0(2)ab>0，a>b <.
2.牢记四个常用不等式
若a>b>0，m>0，则：
(1)<；(2)>(b－m>0)；(3)>；(4)<(b－m>0).
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)(多选)下列不等式中正确的是
A.x2－2x>－3(x∈R)
B.a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)
C.a2＋b2>2(a－b－1)
D.<(b>a>0)
√
数(式)的大小比较
题型一
√
∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，
∴x2－2x>－3，故A正确；
a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).
∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定，
∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误；
∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误；
用作差法比较，
∵b>a>0，∴>0，
∴<，故D正确.
(2)若实数m，n，p满足m＝4，n＝5，p＝，则
A.pC.m√
因为实数m，n，p满足m＝4，n＝5，p＝，则m>0，n>0，p>0，
所以·<1，所以m又·>1，所以m>p.
所以p比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.
思维升华
跟踪训练1　(1)已知c>1，且x＝，y＝，则x，y之间的大小关系是
A.x>y B.x＝y
C.x√
方法一　由题设，易知x>0，y>0，又<1，∴x方法二　设f(x)＝，定义域为[1，＋∞)，
则f(x)＝，故f(x)为减函数，
又c＋1>c>1，则f(c＋1)(2)(多选)若a>b>0，那么下列不等式一定成立的是
A.> B.<
C.a>>b D.a＋>b＋
√
√
√
对于A，因为a>b>0，所以>0，故A正确；
对于B，>1>>0，故B错误；
对于C，a>b>0，>1，所以a>，因为>1，所以>b，所以a>>b，故C正确；
对于D，a＋－b－＝(a－b)>0，故D正确.
例2　(1)(多选)已知实数a，b，c，d，则下列命题中错误的是
A.若a>b，则ac>bc
B.若a>b，c>d，则a－c>b－d
C.若b
D.若a>b，c>d，则ac不等式的基本性质
题型二
√
√
√
对于A，当c＝0时，ac＝bc，故A错误；
对于B，不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a>b，c>d，但a－c＝b－d，故B错误；
对于C，若b－a>0，所以<，则>，故C正确；
对于D，取a＝3，b＝－5，c＝1，d＝－，此时ac>bd，故D错误.
(2)(多选)(2025·常德模拟)已知a>b>0，则下列不等式正确的是
A.a2>ab B.>
C.a＋b＋ln(ab)>2 D.a－>b－
√
√
√
对于A，∵a>b>0，∴a2>ab，故A正确；
对于B，∵a>b>0，∴<，∴1＋<1＋，即0<<，∴>，故B正确；
对于C，令a＝1，b＝，则a＋b＋ln(ab)＝1＋＋ln <2，故C错误；
对于D，易得y＝x－(x>0)为增函数，且a>b>0，故a－>b－，故D正确.
判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证.
(2)利用特殊值法排除错误选项.
(3)作差法.
(4)构造函数，利用函数的单调性.
思维升华
跟踪训练2　(1)设a，b∈R，则“a”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
充分性：由a－b>0，则(－a)2>(－b)2>0，
即a2>b2>0，两边同乘，可得<，不满足充分性；
必要性：取特殊值a＝1，b＝2，满足>，但不满足a”的既不充分也不必要条件.
(2)(多选)若a>b>0，c>d>0，则下列结论正确的是
A.ad>bc B.a(a＋c)>b(b＋d)
C.< D.ac＋bd>ad＋bc
√
√
√
对于A，取a＝2，b＝1，c＝2，d＝1，则ad＝bc，故A错误；
对于B，由a>b>0，c>d>0，得a＋c>b＋d>0，则a(a＋c)>b(b＋d)，故B正确；
对于C，由a>b>0，c>d>0，得ac>bd，
且<等价于<，
等价于>，等价于ac>bd，故C正确；
对于D，(ac＋bd)－(ad＋bc)＝(ac－ad)＋(bd－bc)＝a(c－d)＋b(d－c)＝(c－d)(a－b)>0，
则ac＋bd>ad＋bc，故D正确.
例3　(1)(多选)已知－1A.－15C.－2√
不等式性质的综合应用
题型三
√
√
因为－1所以－1<－b<3，
对于A，当0≤a<5，0≤b<1时，0≤ab<5；
当0≤a<5，－3则0≤－ab<15，即－15当－1则0≤－ab<1，即－1当－1综上，－15对于B，－1－3＝－4对于C，－1－1＝－2对于D，当a＝4，b＝时，＝8，故D错误.
(2)(2024·辽宁县域重点高中协作体模拟)公园的绿化率是指公园内的绿化面积与公园的面积之比.已知某公园的面积为a m2，绿化面积为b m2(0A.变大 B.变小
C.不变 D.不确定
√
原来公园的绿化率为，扩建后公园的绿化率为，
则，
所以与的大小与a，2b的大小有关，故扩建后公园的绿化率与原来公园的绿化率的变化情况不确定.
利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点
(1)必须严格运用不等式的性质.
(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
思维升华
跟踪训练3　(1)已知2A.[6，7] B.(2，5) C.[4，7] D.(5，8)
√
由题意可知4<2a<6，1<－b<2，所以5<2a－b<8.
(2)手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在(0，1)之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新的手机外观，则该手机“屏占比”和升级前比
A.不变 B.变小
C.变大 D.变化不确定
√
设原来手机屏幕面积为b，整机面积为a，
则屏占比为(a>b>0)，设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为m(m>0)，升级后屏占比为，∵a>b>0，
∴>0，
即该手机“屏占比”和升级前比变大.
返回
课时精练
对一对
答案
1
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C D A B AB ABD
题号 9 10 13 　14
答案 a=-1，b=2(答案不唯一) C C
(1)∵a>b>c>d，
∴a>b，-d>-c，
∴a-d>b-c>0，则<.
(2)∵a>b>0，c∴-c>-d>0，
∴a-c>b-d>0，b-a<0，c-d<0，
则-===>0，∴>.
11.
答案
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答案
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6
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14
(1)a=[(a+b)+(a-b)]，
由-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4，
得-4≤(a+b)+(a-b)≤6，
∴-2≤[(a+b)+(a-b)]≤3，
即-2≤a≤3，
故实数a的取值范围为[-2，3].
12.
答案
1
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14
(2)设3a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+n)a+(m-n)b，
则解得
∴3a-2b=(a+b)+(a-b)，
∵-3≤a+b≤2，-1≤a-b≤4.
∴-≤(a+b)≤1，-≤(a-b)≤10，
∴-4≤3a-2b≤11，即3a-2b的取值范围为[-4，11].
12.
一、单项选择题
1.若a＝(x＋1)(x＋3)，b＝2(x＋2)2，则下列结论正确的是
A.a>b B.aC.a≥b D.a，b的大小关系不确定
√
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知识过关
答案
因为b－a＝2(x＋2)2－(x＋1)(x＋3)＝2x2＋8x＋8－(x2＋4x＋3)＝x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1>0，所以a1
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答案
2.已知a>b，则下列不等式一定成立的是
A.< B.2a>2b
C.a2>b2 D.|a|>|b|
√
取a＝1，b＝－2，满足a>b，显然有>，a2指数函数y＝2x为增函数，若a>b，则必有2a>2b，B正确.
3.已知a，b，x均为实数，下列不等式恒成立的是
A.若aC.若ax2 026√
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当a＝－2，b＝1时，(－2)2 026>12 026，A错误；
当a＝0时，没意义，B错误；
由ax2 0260，所以a当x＝0时，ax2 026答案
4.A，B，C，D四名同学的年龄关系如下.A，C的年龄之和与B，D的年龄之和相同，C，D的年龄之和大于A，B的年龄之和，B的年龄大于A，D的年龄之和，则A，B，C，D的年龄关系是
A.B>C>A>D B.B>C>D>A
C.C>B>A>D D.C>B>D>A
√
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答案
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13
14
用A，B，C，D表示A，B，C，D四名同学的年龄，则A>0，B>0，C>0，D>0.
则A＋C＝B＋D， ①
C＋D>A＋B， ②
B>A＋D. ③
①＋②得C>B，①＋③得C>2D，②＋③得C>2A，由于A>0，D>0，故由③得B>A，B>D，
答案
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14
由①得C－B＝D－A，
∵C>B，∴C－B>0，∴D－A>0，∴D>A，
综上，C>B>D>A.
答案
5.已知－3A.(1，3) B.
C. D.
√
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答案
因为－3而3故的取值范围为(1，3).
6.已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0且a>b>c，则下列选项错误的是
A.bc>ac
B.a2>c2
C.2ac－2bcD.(a－c)2≤2(a－b)2＋2(b－c)2
√
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答案
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14
因为a＋b＋c＝0且a>b>c，所以a>0，c<0，
A选项，bc－ac＝(b－a)c>0，故bc>ac，A正确；
B选项，不妨设a＝1，b＝0，c＝－1，此时满足a＋b＋c＝0且a>b>c，但a2＝c2，B错误；
C选项，因为a＋b＋c＝0且a>b>c，所以a－b>0，a＋b－2c＝a－c＋b－c>0，
a2－b2＋2bc－2ac＝(a＋b)(a－b)＋2c(b－a)＝(a－b)(a＋b－2c)>0，
所以2ac－2bc答案
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D选项，2(a－b)2＋2(b－c)2－(a－c)2
＝2(a－b)2＋2(b－c)2－[(a－b)＋(b－c)]2
＝2(a－b)2＋2(b－c)2－(a－b)2－2(a－b)(b－c)－(b－c)2
＝(a－b)2＋(b－c)2－2(a－b)(b－c)
＝[(a－b)－(b－c)]2＝(a＋c－2b)2，
因为a＋b＋c＝0，所以2(a－b)2＋2(b－c)2－(a－c)2＝(－b－2b)2＝9b2≥0，
故(a－c)2≤2(a－b)2＋2(b－c)2，D正确.
答案
二、多项选择题
7.已知c>b>a，则下列结论正确的是
A.c＋b>2a B.>
C.> D.<
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√
答案
√
对于选项A，因为c>b>a，所以c＋b>2a，故选项A正确；
对于选项B，因为c>b>a，所以c－a>c－b>0，所以>>0，故选项B
正确；
对于选项C，取a＝－3，b＝－2，c＝－1，满足c>b>a，此时＝－2，＝－，<，故选项C错误；
对于选项D，当c＝1，b＝－1，a＝－2时，＝2，＝－，此时>，
故选项D错误.
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答案
8.已知实数x，y满足－3A.－1B.－2C.x＋y的取值范围是(－3，3)
D.x－y的取值范围是(－1，3)
√
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答案
√
√
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因为－3所以－2<4x－2y<8，
则－5<5x<10，即－1又－4<－2x－4y<6，－1<2x－y<4，
所以－5<－5y<10，即－2x＋y＝的取值范围是(－2，2)，故C错误；
x－y＝的取值范围是(－1，3)，故D正确.
答案
三、填空题
9.已知0<β<α<，则α－β的取值范围是　　　　.
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答案
∵0<β<，∴－<－β<0，
又0<α<，∴－<α－β<，
又β<α，∴α－β>0，即0<α－β<.
10.若a，b同时满足下列两个条件：
①a＋b>ab；②>.
请写出一组a，b的值　　　 　　　 .
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答案
a＝－1，b＝2(答案不唯一)
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容易发现，若将①式转化为②式，
需使(a＋b)ab<0，即a＋b与ab异号，
显然应使a＋b>0，ab<0，
当a<0，b>0时，要使a＋b>0，则|a|<|b|，可取a＝－1，b＝2；
当a>0，b<0时，要使a＋b>0，则|a|>|b|，可取a＝2，b＝－1.
综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案.
答案
四、解答题
11.证明下列不等式：
(1)已知a>b>c>d，求证：<；
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答案
∵a>b>c>d，∴a>b，－d>－c，
∴a－d>b－c>0，则<.
(2)已知a>b>0，c.
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答案
∵a>b>0，c∴－c>－d>0，
∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0，
则>0，
∴>.
12.已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
(1)求实数a的取值范围；
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答案
a＝[(a＋b)＋(a－b)]，
由－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，
得－4≤(a＋b)＋(a－b)≤6，
∴－2≤[(a＋b)＋(a－b)]≤3，即－2≤a≤3，
故实数a的取值范围为[－2，3].
(2)求3a－2b的取值范围.
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答案
设3a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)＝(m＋n)a＋(m－n)b，
则解得
∴3a－2b＝(a＋b)＋(a－b)，
∵－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.
∴－≤(a＋b)≤1，－≤(a－b)≤10，
∴－4≤3a－2b≤11，
即3a－2b的取值范围为[－4，11].
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答案
13.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则的取值范围为
A.(1，＋∞) B.(1，3)
C.(0，2) D.(0，3)
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答案
√
能力拓展
由已知及三角形三边关系得
所以则
两式相加得0<<4，
所以0<<2.
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答案
14.某超市A，B两种蔬菜连续n天的价格分别为a1，a2，a3，…，an和b1，b2，b3，…，bn，令M＝{m|amA.若AB.若AC.AD.A1
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答案
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答案
对于A，采用特例法：若a1＝a2＝…＝a7＝1，a8＝4；b1＝b2＝…＝b7＝2，b8＝3；c1＝c2＝…＝c6＝3，c7＝1，c8＝4，满足A对于B，若a1＝a2＝…＝a6＝1，a7＝a8＝2；b1＝b2＝…＝b6＝2，b7＝b8＝1；c1＝c2＝…＝c6＝1.5，c7＝c8＝3，此时A1
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答案
对于C，例如蔬菜A连续10天价格为1，2，3，4，…，10，蔬菜B连续10天价格分别为10，9，…，1时，
M＝{1，2，3，4，5}，则M中元素个数为5，n＝×10＝，此时A同理，B对于D，A返回