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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优沪科版（2024）
第3章 一次方程与方程组 3.2 一元一次方程及其解法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中，解为 的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列方程中， 解为的是 （ ）
A． B． C． D．
3．下列等式变形中，错误的是（　　）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
4．下列方程中是一元一次方程的是（　　）
A． B．x2=1 C．2x+y=1 D．
5．若单项式 的次数是8，则m的值是（　　）
A．8 B．6 C．5 D．15
6．如果关于x的一元一次方程x－m＋2＝0的解是负数，那么m的取值范围是(　　)
A．m＜2 B．m≤2 C．m≥2 D．m＞2
7．若方程x |a| - 2－7=0是一个一元一次方程，则a等于 (　　)
A．－3 B．3 C．±3 D．0
8．下图是明代数学家程大位所著的《算法统宗》中的一个问题，其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两：如果每人分九两，则还差八两．设共有银子x两，共有y人，则所列方程（组）错误的是（　　）
隔壁听得客分银， 不知人数不知银， 七两分之多四两， 九两分之少半斤。 《算法统宗》 注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语
A． B．
C． D．
9．若关于x的方程 的解是 ，则关于y的方程 的解是（　　）
A． B． C． D．
10．解方程时，去分母正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若方程是关于的一元一次方程．则a的值为　 　．
12．若含x的式子 与x﹣3互为相反数，则x＝　 　．
13．在实数范围定义运算“&”：a&b=2a+b，则满足x&（x﹣6）=0的实数x是　 　．
14．若关于x的方程(n－5)x2＋xm－1－3＝0是一元一次方程，则nm＝　 　．
15．若是关于x的一元一次方程的解，则　 　．
16．表示不大于a的最大整数，例如，那么方程的解是　 　．
三、计算题
17．解方程
（1）
（2）
四、解答题
18．已知方程 和方程 的解相同，求m及方程的解
19．根据下列条件列方程，并利用等式的性质求出方程的解。
（1）某数的 比它本身小6，求这个数。
（2）一个数的2倍与3的和等于这个数与7的差。
20．甲、乙两人在相距18千米的A、B两地相向而行，乙的速度是甲的速度的2倍，两人同时出发 小时后相遇，请问甲的速度是多少？
21．用等式的性质解方程：3x﹣4x=x．
22．若，，且，求的值．
23．数轴上有A、B两点，分别对应的数为a，b，已知（a+2）2与|b-6|互为相反数．点P为数轴上一动点，对应的数为x．
（1）若点P到点A和点B的距离相等，求点P对应的数；
（2）数轴上是否存在点P，使点P到点A和点B的距离之和为10？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由；
（3）当点P以每分钟1个单位长度的速度从O点向左运动，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B以每分钟20个单位长度的速度向左运动，问几分钟时点P到点A、点B的距离相等？
参考答案及试题解析
1．D
【解答】解：A、当x=2时，左边=3×2+6=12，右边=0，左边≠右边，故x=2不是本方程的解；
B、当x=2时，左边=3－2×2=－1，右边=0，左边≠右边，故x=2不是本方程的解；
C、当x=2时，左边= ×2=－1，右边=1，左边≠右边，故x=2不是本方程的解；
D、当x=2时，左边= ，右边=0，左边=右边，故x=2是本方程的解.
故答案为：D．
【分析】使方程的左边和右边相等的未知数的值就是方程的解，故将x=2分别代入各选项中的方程进行检验即可.
2．A
【解答】：A、将x=2代入，左边=右边，故本选项符合题意；
B、将x=2代入，左边=4≠右边，故本选项不合题意；
C、将x=2代入，左边=4≠右边，故本选项不合题意；
D、将x=2代入，左边=10≠右边，故本选项不合题意；
故答案为：A．
【分析】将x=2分别代入各选项求解判断即可。
3．D
【解答】解：A、由，得，故A正确；
B、由，得，故B正确；
C、由，得，故C正确；
D、当时，由，得，故D错误；
故答案为：D
【分析】根据等式的性质1：等式的两边同时加或减同一个式子，等式仍成立；等式的性质2：等式的两边同时乘同一个式子，等式仍成立，进而即可求解。
4．D
【解答】解：A、分母子中含有未知数，不是一元一次方程，故A选项不符合题意；
B、未知数的最高次项是2，故不是一元一次方程．故B选项不符合题意；
C、含有两个未知数，故不是一元一次方程，故C选项不符合题意；
D、符合一元一次方程的定义，故D选项正确．
故选D．
【分析】根据一元一次方程的定义分别判断即可得解．
5．B
【解答】解：∵单项式 的字母指数的和=m+2+1=9，
∴m=6．
故选B．
【分析】单项式的次数是单项式中所有字母的指数和，抓住已知此单项式的次数=8，建立方程，求解即可。
6．A
【解答】解：解方程 x－m＋2＝0，得x=m-2，
方程x－m＋2＝0的解是负数，
m-2<0，
m<2，
m的取值范围是m<2.
故答案为：A.
【分析】先解方程 x－m＋2＝0得x=m-2，再根据方程x－m＋2＝0的解是负数，得出关于m的不等式，解不等式即可得到m的取值范围.
7．C
8．D
【解答】解：根据题意得等量关系：人数×7=银子总数－4；人数×9=银子总数+8.
A、根据上面两个等量关系，可得：人数×7+4=银子总数=人数×9－8，于是可得方程：7y+4=9y－8.故A选项正确，不符合题意；
B、根据上面两个等量关系，可得：人数=(银子总数－4)÷7=（银子总数+8）÷9，于是可得方程：.故B选项正确，不符合题意；
CD、根据上面两个等量关系列二元一次方程，可得，故C选项正确，不符合题意；故D选项错误，符合题意；
故答案为：D
【分析】根据题意得等量关系：人数×7=银子总数－4；人数×9=银子总数+8.据此列方程（组），即可对选项进行判断.
9．B
【解答】∵关于x的方程 的解是 ，
∴关于y的方程 的解是 ，
解得： y=9 ，
故答案为：B．
【分析】观察两个方程的特征，可得求出，据此解答即可.
10．D
【解答】解：程两边同时乘以12，得
，
即，
故答案为：D．
【分析】方程两边同时乘以12即可得到答案。
11．4
12．2
【解答】解：∵含x的式子 与x﹣3互为相反数，
∴ +x﹣3＝0，
∴x＝2，
故答案为：2．
【分析】先根据题意列出方程 +x﹣3＝0，再利用一元一次方程的解法求解即可。
13．2
【解答】解：根据题中的新定义化简x&（x﹣6）=0，得：2x+x﹣6=0，
解得：x=2，
故答案为：2
【分析】利用题中的新定义化简所求方程，求出方程的解即可得到x的值．
14．25
15．3
【解答】解：由题意把x=1代入原方程可得：
a+b-3=0，
∴a+b=3.
故答案为：3.
【分析】由题意把x=1代入原方程整理可求解.
16．x=、或2
【解答】解：∵表示不大于a的最大整数，
∴a-1＜≤a，
∴ 2x＜≤2x+1，
∵，
∴2x＜3x-1≤2x+1，
解得：1＜x≤2，
∴3＜3x≤6，
∵3x-1为整数，
∴3x为整数，
∴3x可为4，5，6，
∴3x=4、5或6，
解得：x=、或2；
故答案为：x=、或2；
【分析】 由表示不大于a的最大整数，可得a-1＜≤a，从而得出2x＜≤2x+1，由 可得2x＜3x-1≤2x+1，解得1＜x≤2，即得3＜3x≤6，由3x-1为整数则3x为整数，则3x可为4，5，6，据此求出x值.
17．（1）解：
去括号得，
移项得，
合并得，
系数化为1得，；
（2）解：
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并得，
系数化为1，得.
【分析】（1）先去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项、合并同类项，最后把未知数的系数化为1；
（2）先去分母（两边同时乘以6，右边的-1也要乘以6，不能漏乘），再去括号（括号前是负号，去掉括号和负号，括号里的每一项都要变号，括号前的数要与括号里的每一项都要相乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1.
18．解：解方程 得到 ，
解方程 得到
∵方程 和方程 的解相同
∴
解得：
把 的值代入得：
∴原方程的解是： .
【分析】先根据解一元一次方程的步骤解得两个方程含 的解，再根据解相同，列出关于 的一元一次方程，解方程即可得到 的值，最后把 的值代入求原方程的解即可.
19．（1）解：列方程得：x- x=6
整理得：
给等式两边都乘以得：x=9
（2）解：列方程得：2y+3=y-7，
给方程两边都减去（）得：
所以
【分析】（1）先根据等量关系列出方程，此时未知数都在左边，先合并同类项，再利用等式的性质2把系数化为1即可；
（2）先根据等量关系列出方程，此时方程两边都有未知数和常数，先利用等式的性质1分别把未知数和常数移到等号两边，再合并同类项，最后利用等式的性质2把系数化为1即可 .
20．解：设甲的速度为x千米 小时，依题意得：
，
，
，
答：甲的速度为4千米 小时．
【分析】设甲的速度为x千米 / 小时，根据“甲的路程 乙的路程 ”列出方程求解可得．
21．解：方程的两边都减x，得：3x﹣4x﹣x=0，合并同类项，得：﹣2x=0，方程的两边都除以﹣2，得：x=0．
【解答】方程的两边都减x，方程的两边都除以﹣2，即可解方程.
【分析】根据等式的性质1，等式的性质2，可得方程的解．
22．解：由可知
若x+3＞0，则有x+3=6，
解得x=3，=3
若x+3＜0，则有-3-x=6，
解得x=-9，=9
由可知
若y-4＞0，则有y-4=2，
解得y=6，=6
若y-4＜0，则有4-y=2，
解得y=2，=2
∵
∴当=3时，=2满足条件
则
当=9时，=6满足条件
则
当=9时，=2满足条件
则
综上所述的值为1，11，15
【分析】根据绝对值的性质先分类求出x、y的值，结合 ，对x、y的取值进行分类讨论，再代值计算即可.
23．（1）解：∵（a+2）2与|b-6|互为相反数
∴（a+2）2+|b-6|＝0，
∴a+20且b-6=0，
解之：a＝-2，b＝6．
设P点对应的数为x，
根据数轴得：x+2＝6-x，
解得：x＝2，
则P对应的数为：2；
（2）解：存在．根据题意得：|x+2|+|6-x|＝10，
当x＜-2时，化简得：-x-2+6-x＝10，即x＝-3；
当-2＜x＜6时，x+2+6-x=10，
8=10，
∵8≠10，此种情况不符合题意；
当x＞6时，化简得：x+2+x-6＝10，即x＝7；
∴轴上是否存在点P，使点P到点A和点B的距离之和为10，此时x的值为-3或7.
（3）解：设第t分钟时，点P到点A、点B的距离相等．
∵A：-2-5t，B：6-20t，P：-t，
∴PA＝|（-2-5t）-（-t）|＝|-4t-2|．
PB＝|（6-20t）-（-t）|＝|6-19t|．
∵PA＝PB，
∴|-4t-2|＝|6-19t|．
∴-4t-2＝6-19t，
解得：t＝
-4t-2＝-（6-19t），
解得：t＝．
∴在分钟或分钟时，点P到点A、B的距离相等．
【分析】（1）利用互为相反数的两数之和为0，可得到关于a，b的方程，再利用偶次方的非负性和绝对值的非负性，可求出a，b的值；设P点对应的数为x，用含x的代数式表示出PA，PB的长，根据PA=PB，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
（2）利用点P到点A和点B的距离之和为10，可得到关于x的绝对值方程，再分情况讨论：当x＜-2时；当x＞6时；当-2＜x＜6时；分别可得到关于x的方程，解方程求出符合题意的x的值.
（3）第t分钟时，点P到点A、点B的距离相等，分别用含t的代数式表示出点A、B、P，即可表示出PA，PB，根据PA=PB，可得到关于t的方程，解方程求出t的值即可.
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