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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优沪科版（2024）
第3章 一次方程与方程组 3.6 三元一次方程组及其解法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．由方程组可得，x∶y∶z是（　　）
A．1∶2∶1 B．1∶（－2）∶（－1）
C．1∶（－2）∶1 D．1∶2∶（－1）
2．解三元一次方程组 ， 时， 最简单的做法是（　　）
A．先消去 B．先消去 C．先消去 D．先消去常数
3．幻方是古老的数字问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的3个数之和相等．如图为一个三阶幻方的一部分，则图中右上角空格中c的值为（　　）
a b c
10 d 　
e 　
A． B．0 C．2 D．4
4．解三元一次方程组，若先消去z，组成关于x、y的方程组，则应对方程组进行的变形是（　　）
A． B．
C． D．
5．一宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客居住，某旅行团24人准备同时租用这三间客房共8间，且每个客房都住满，那么租房方案有（　　）
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
6．已知是自然数，且满足，则的取值不可能是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为，，则下列关系式正确的是 （　　）
A． B． C． D．
8．若2a+5b+4c=0，3a+b-7c=0，则a+b-c的值是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．－1
9．若二元一次方程组 的解也是二元一次方程3x－4y=6的解，则k的值为（　　）
A．4 B．8 C．6 D．-6
10．若方程组的解中x的值比y的值的相反数大1，则k为（　　）
A．3 B．-3 C．2 D．-2
二、填空题
11．中，当时，，当时，，当时，，则　 　，　 　，　 　．
12．有甲、乙、丙三种货物，若购买甲3件、乙7件、丙1件，共30元；若购买甲4件、乙10件、丙1件，共35元，现在购买甲、乙、丙各1件，共需　 　元．
13．已知（xyz≠0），则x：y：z的值　　 　
14．已知方程组的解也是方程3x﹣2y=0的解，则k=　 　 ．
15．冰墩墩和雪容融到校门外文具店买文件，冰墩墩购铅笔2支，练习本2本，圆珠笔1支，共付9元钱；雪容融购同样铅笔1支，练习本4本，圆珠笔2支，共付12元钱，若小明去购买与她们一样的铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支，他需付　 　元钱.
16．甲、乙、丙三人做游戏：有三张背面完全一样，正面分别写有正整数、、的卡片，且．洗匀卡片之后分发给三人，每人一张，并按每人所得卡片上的数字发相应颗数的糖果，然后收回卡片再洗匀，所得的糖果由每人自己保存．这样洗卡片、发卡片、发糖果的游戏至少进行两次．已知游戏结束时甲、乙、丙三人分别获得糖果17颗、9颗、7颗，且乙在最后一次游戏中得到颗糖果．则
（1）　 　．
（2）丙在第一次游戏中得到的糖果的准确数量是　 　颗．
三、计算题
17．解方程组
（1） ；
（2）
四、解答题
18．小明去商店购买盒子，若 三种型号的盒子各买一个共需花费 9 元，若购买 3 个 型盒子、 2 个 型盒子和 1 个 型盒子共需花费 16 元，那么一个C型盒子比一个A型盒子贵多少元？
19．解方程组： ．
20．用如图的方式测量桌子的高度，将两块完全一样的木块先按图1放置，再按图2放置，测得的数据如图（单位：）．
（1）求出桌子的高度；
（2）如果两次测量的数据分别是和，直接写出桌子的高度．（用含、的式子表示）
21．根据已知条件解决下列问题
（1）在等式，当时，；当时，；当时，．求，，的值；
（2）已知是的整数部分，是的小数部分．
①求，的值；
②求的平方根．
22．三兄弟带着西瓜到农贸市场去卖：老大带了个，老二带了个，老三带了个．上午他们按同一价格卖了若干个西瓜（西瓜按整个出售，均大于等于个，且均有剩余），过了中午，怕西瓜卖不完，他们降价把所有剩余的西瓜仍按同一价格全部卖掉了，回家后，他们清点卖瓜款后发现，三人卖瓜所得的钱数一样多，每人都卖得元，问他们的西瓜到底上、下午各按什么价格卖出的？
23．阅读材料：
我们知道方程组的解与方程组中每个方程的系数和常数项有联系，系数和常数项经过一系列变形、运算就可以求出方程组的解．因此，在现代数学的高等代数学科将系数和常数项排成一个矩阵的形式，规定：关于x，y的二元一次方程组可以写成矩阵的形式．例如：可以写成矩阵的形式．
根据以上信息解决下列问题：
（1）请求出矩阵对应的方程组的解；
（2）若矩阵所对应的方程组的解为，求的值．
参考答案及试题解析
1．A
【解答】解：
由①得，③
将③代入②可得，，解得，
将代入③得，，
∴
故答案为：A
【分析】将方程组进行标注，然后再由①，通过移项，得到x关于y和z的关系式：x=2y-3z，然后再将该式子代入2x-3y+4z=0，求出y和z的关系式，最后再将该式子代入x=2y-3z，求出x关于z的关系式，由此即可求出x：y：z的值
2．A
【解答】解：∵第一个方程只含有y，z，
∴对于方程组，
得到关于y，z的二元一次方程，联立第一个方程得到方程组，
∴最简单的做法是先消去x.
故答案为：A.
【分析】由题意可知第一个方程只含有y，z，利用第二、三个方程根据加减消元法消去x，即可得到关于y，z的二元一次方程，与第一个方程联立组成方程组即可得到答案.
3．D
4．C
5．B
【解答】解：设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意得：
，
解得：y+2z=8，
y=8﹣2z，
∵x，y，z是正整数，
当z=1时，y=6，x=1；
当z=2时，y=4，x=2；
当z=3时，y=2，x=3；
当z=4时，y=0，x=4；（不符合题意，舍去）
∴租房方案有3种．
故选：B．
【分析】首先设宾馆有客房：二人间x间、三人间y间、四人间z间，根据题意可得方程组，解方程组可得y+2z=8，又由x，y，z是非负整数，即可求得答案．
6．D
【解答】解：原式=
∵式中有乘数3的倍数
∴
∵不能被3整除
∴原式中只能有1个3
∴原式化为
∴
∴
∵是自然数
∴
解得
当时，，得；
当时，，得；
当时，，得；
当时，，得；
故答案为：D．
【分析】将原方程化为，得出，再根据是自然数，求出a、c的值，进而求出答案。
7．C
【解答】解：设“ ▲ ”的质量为z，
根据甲天平，得x+y=y+2z，整理得x=2z①，
根据乙天平，得x+z=x+2y，整理得z=2y②，
将②代入①得x=4y.
故答案为：C.
【分析】设“ ▲ ”的质量为z，根据甲、乙两个天平， 分别列等式x=2z①，z=2y②，再将②代入①即可得出答案.
8．A
【分析】首先把2a+5b+4c=0，3a+b-7c=0，建立关于a、b的二元一次方程组，求出的解用c表示，进一步代入求得结果即可．
【解答】由2a+5b+4c=0，3a+b-7c=0得，，
解得，
代入a+b-c=3c-2c-c=0．
故选：A．
【点评】此题考查方程组的解法，注意把三元变为二元，把其中一个未知数看作已知数是解决问题的关键．
9．B
【解答】已知 ，①＋②得：2x= ，∴x= ，代入①得：y=2k－ ，∴y= ．将x= ，y= ，代入3x－4y=6，得：3×－4× =6，解得：k=8．故选：B
【分析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，先用含k的代数式表示x，y，即解关于x，y的方程组，再代入3x－4y=6中可得解出k的数值．
10．A
【解析】解：由题意，
解得x=，y=，
∵x的值比y的值的相反数大1，
∴x+y=1，即+=1
解得k=3，
故选A．
【分析】所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．解出方程组的解，在列出关于两解的等式，求出k．
11．；；3
12．20
【解答】解：设甲x元，乙y元，丙z元，由题意可得
①×3-②×2，得x+y+z=30×3-35×2=90-70=20.
故答案为：20.
【分析】设甲x元，乙y元，丙z元，由题意可得，然后利用①×3-②×2就可求出x+y+z的值，据此解答.
13．1：2：3　
【解答】解方程组：，②×4﹣①得：21y=14z，即y=z，将y=z代入②得：x=z，则x：y：z=z：z：z=1：2：3．
故答案为：1：2：3
【分析】将z看做已知数表示出x与y，即可求出三字母之比．
14．-5
【解答】根据题意，联立方程，
运用加减消元法解得，
再把解代入方程4x﹣3y+k=0，
得k=﹣5．
【分析】由题意，建立关于x，y的二元一次方程组，求得解后，再代入4x﹣3y+k=0的方程而求解的．
15．7
【解答】解：设铅笔的单价为a元，练习本的单价为b元，圆珠笔的单价为c元，
∵冰墩墩购铅笔2支，练习本2本，圆珠笔1支，共付9元钱，
∴2a+2b+c=9.
∵冰墩墩购铅笔1支，练习本4本，圆珠笔2支，共付12元钱，
∴a+4b+2c=12，
∴3a+6b+3c=21，
∴a+2b+c=7，
∴小明去购买与她们一样的铅笔1支、练习本2本、圆珠笔1支，需付7元.
故答案为：7.
【分析】设铅笔的单价为a元，练习本的单价为b元，圆珠笔的单价为c元，由题意可得2a+2b+c=9，a+4b+2c=12，两式相加并化简可得a+2b+c的值，据此解答.
16．11；3
17．（1）原方程组整理可得：
②-①，得：6y=6，
解得y=1，
将y=1代入①，得：3x-4=6，
解得x=
则方程组的解为
（2）①代入②，整理得：11x+2z=23 ④，
④×2+③，得25x=50，
解得x=2，
将x=2代入①，得y=-3，
将x=2代入③，得6-4z=4，
解得z=，
则方程组的解为
【分析】根据解方程组的加减消元法和代入消元法，求出方程组的解.
18．解：设A、B、C三个盒子的单价分别为a元，b元，c元，
根据题意得：，
由② ①×2得a c＝ 2，
∴c a＝2，
∴一个C型盒子比一个A型盒子贵2元，
答：一个C型盒子比一个A型盒子贵2元.
【分析】设A、B、C三个盒子的单价分别为a元，b元，c元，根据“ 若 三种型号的盒子各买一个共需花费 9 元 ”和“ 购买 3 个 型盒子、 2 个 型盒子和 1 个 型盒子共需花费 16 元 ”列出方程组，再求解即可.
19．解： ，
③×3+②得：11x+10z=35④，
①×5﹣④×2得：﹣7x=﹣35，
解得：x=5，
把x=5代入④得：z=﹣2，
把x=5，z=﹣2代入②得：y= ，
则方程组的解为 ．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
20．（1）桌子的高度为
（2）桌子的高度为；
21．（1）
（2）①，；②
22．上午每个西瓜卖 元，下午每个西瓜卖 元
23．（1）解：由题意得：矩阵对应的方程组为，
解得，，
∴矩阵对应的方程组的解为；
（2）解：∵矩阵所对应的方程组的解为，
∴将代入，得，
得，．
【分析】本题考查解二元一次方程组、三元一次方程组和新定义运算。根据方程组和矩阵的形式变化，可写出矩阵 阵对应的方程组为， 用代入法或加减法求出解即可。当矩阵出现三行时，可类推为三元一次方程组，仔细观察，会发现a+b+c的值，恰好是把三个三元一次方程求和，而不用分别求出a，b，c的值。当然，如果没发现简便算法，也可以计算出a，b，c的值，再去求和。
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