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(共28张PPT)
第1章 勾股定理
3 勾股定理的应用
导入新课
1．如图①，小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末
端距离地面2 m，则旗杆的高度为多
少米？
2．如图②是学校的旗杆示意图，旗杆上的绳子垂到了地面，并多出一段，现在老师想知道旗杆的高度，你能帮老师想个办法吗？说出你的设计方案．
探究新知
【探究1】直角三角形的判定
装修工人李叔叔想检测某块装修用砖（如图）的边AD 和边 BC 是否分别垂直于底边 AB.
(1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？
(2)李叔叔量得边AD长是30 cm，边AB长是40 cm，点B，D之间的距离是50 cm.边AD垂直于边AB吗？
(3)如果李叔叔随身只带了一个长度为20 cm的刻度尺，那么他能检验边AD
是否垂直于边AB吗？
用卷尺分别测量 AD，DB，AB 的长，
若 AD2 + AB2＝DB2，
则 ∠A＝90°，即AD⊥AB.
(1)如果李叔叔随身只带了卷尺，那么你能替他想办法完成任务吗？
∵ AD2 + AB2＝302 + 402＝2500，DB2＝502＝2500
∴∠A＝90°，即AD⊥AB.
所以边 AD 垂直于边 AB
(2)李叔叔量得边AD长是30 cm，边AB长是40 cm，点B，D之间的距离是50 cm.边AD垂直于边AB吗？
A
B
C
D
A
B
C
D
能检验.在 AD 上从 A 点量取 12 cm
得点 E，在 AB 上从 A 点量取 16 cm 得点 F.
因为 12 + 16 = 20 ，
用刻度尺测 EF 长度，若 EF = 20 cm，
根据勾股定理逆定理，AD⊥AB；
若 EF≠20 cm，则 AD 不垂直 AB.
(3) 如果李叔叔随身只带了一个长度为 20 cm 的刻度尺，那么他能检验边 AD 是否垂直于边 AB 吗
E
F
案例分析
用一张直角三角形纸片折叠，你能发现折叠前后两部分图形有什么关系吗？说明理由.
如图，一张直角三角形纸片，两直角边 AC = 5 cm，BC = 10 cm，将△ABC 折叠，使得 B 与 A 重合，折痕为 DE，你能求出 CD 的长吗？
A
C
B
E
D
分析：
(1) 本题已知什么？求的是什么？
5
10
A
C
B
E
D
（3）观察 CD 在哪一个三角形中？你能表示出这个三角形的每一条边吗？
（2）本题将△ABC 折叠，使得 B 与 A 重
合，折痕为 DE，可得到什么？依据是什么？
AD = BD；依据：折叠的性质.
5
CD 在Rt△ACD 中；
x
10-x
10-x
可设 CD = x，
则 AD = 10 - x.
10
A
C
B
E
D
5
x
10-x
10-x
10
解：设 CD = x cm，则 DB = (10 - x) cm，
由题意，根据折叠的性质，
可得 AD = BD = 10 - x， 且 AC = 5.
在Rt△ACD 中，
由勾股定理得，AD = AC + CD ，
(10 - x) = 5 + x ，
解得 x = .
则 CD = .
【探究2】勾股定理的应用
如图，正方形纸片 ABCD 的边长为 8 cm，点 E 是边 AD 的中点，将这个正方形纸片翻折，使点 C 落到点 E 处，折痕交边 AB 于点 G，
交边 CD 于点 F. 你能求出 DF 的长吗
解：设DF长x cm，则EF长为(8-x) cm，
∵正方形纸片ABCD的边长为8 cm，点E为AD中点，
∴ED＝AD＝4 cm.
在Rt△DEF中，由勾股定理，
得DE2＋DF2＝EF2，
即42＋x2＝(8-x)2，
解得x＝3.
∴DF的长为3 cm.
你能利用以下折叠图形，借助勾股定理，设计一个有关折叠的计算问题么？
试一试
1. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm，BC ＝ 8 cm，将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为（ ）
A. 4 cm B. 5 cm
C. 6 cm D. 10 cm
B
练一练
总 结
利用勾股定理解决折叠问题的一般步骤：
①标已知，设未知；
②利用折叠，找相等；
③利用勾股定理，列方程；
④解方程，得解.
应用举例
【例1】今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。问:水深、葭长各几何 (选自《九章算术》)题目大意:有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形。在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺(如图)。如果
把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的
顶端恰好到达岸边的水面。这个水池
的深度和这根芦苇的长度各是多少
解：设水池的水深 OA 为 x 尺，则芦苇的长度 OB 为 (x + 1) 尺.
由于芦苇位于水池中央，所以 AC为 5 尺.
在Rt△OAC 中，由勾股定理，可得
AC2 + OA2 = OC2，
即 52 + x2 = (x + 1)2.
解得 x = 12.
12 + 1 = 13.
因此，水池的深度是 12 尺，芦苇的长度是 13 尺.
【例2】甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6 km/h的速度向正东行走，1 h后乙出发，他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00甲、乙两人相距多远？
解：如图，已知A是甲、乙的出发点，
10：00甲到达B点，乙到达C点，
则AB＝2×6＝12(km)，AC＝1×5＝5(km).
在Rt△ABC中，
BC2＝AC2＋AB2＝52＋122＝169＝132.
∴BC＝13 km.
故甲、乙两人相距13 km.
随堂练习
1. 强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒
下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的
高度是(　D　)
A. 12m B. 13m
C. 17m D. 18m
D
2. 如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒
斜放入一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻
璃棒被水淹没部分长10cm，则这只烧杯的底面直径
是(　D　)
A. 9cm B. 8cm
C. 7cm D. 6cm
D
3．小雨用竹竿扎了一个长40 cm、宽30 cm的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹竿作斜拉杆将四边形定形，则斜拉杆最短需____cm.
50
4．如图，有两棵树，一棵高13 m，另一棵高8 m，两树相距12 m，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，至少飞了____m.
13
5. 如图，阴影部分是一个正方形，它的面积是
_____cm2.
64　
6. 如图，要在两幢楼房的房顶A，B间拉一根光缆线(按线段计算)，则至少需要光缆线____m.
10　
7．如图，阴影部分的半圆的面积是多少？(π取3.14)
解：62＋82＝100＝102，
∴半圆的直径为10.
π×≈39.25.
课堂小结
勾股定理的应用
立体图形中两点之间的最短路程问题
勾股定理的实际应用问题
教材P14～15习题1.3中的T1、T2、T3.
作业布置

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